ĐỀ tài PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN và các ỨNG DỤNG

Trường Đại học Thương mại Nhóm 11 ĐỀ TÀI PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN VÀ CÁC ỨNG DỤNG Giảng viên hướng dẫn : Sinh viên thực : Trường Đại học Thương mại Nhóm 11 BÀI THẢO LUẬN NHÓM 11 Môn Toán cao cấp Đề tài: PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN VÀ CÁC ỨNG DỤNG Nội dung hảo luận gồm có nội dung sau: A/ Sai phân PT sai phân Lưới thời gian sai phân Phương trình sai phân B/ Ứng dụng PTSP Ứng dụng tìm công thức tổng quát dãy số Ứng dụng PTSP tính tổng dãy số 3.Ứng dụng PTSP kinh tế Một số ứng dụng khác sai phân Trường Đại học Thương mại Nhóm 11 Nội dung chi tiết: A/ Sai phân phương trình sai phân 11.1.1 Lưới thời gian sai phân a) Lưới bước lưới Cho điểm t0 trục thực khoảng cách h>0 Tập điểm trục thực: I := {t0 = nh : n ∈ Z } tập rời rạc, gồm điểm cách điều khoảng cách h, h0 Ta gọi I lưới thời gian với bước lưới h b) Sai phân GIả sử y(t) hàm lưới I; t ∈ I Khi : ∆ Y(t) := y(t+h) – y(t) gọi sai phân cấp hàm y(.) điểm t ∆ y(t) := ∆ ( ∆ y(t)) := [y(t+2h)-y(t+h)] - [y(t+h) – y(t)] := y(t+2h) – 2y(t+h) + y(t) gọi sai phân cấp hai Tương tự ta có ∆k y(t) := ∆ ( ∆k +1 y(t)) := i =k ∑ (−1) C i =o i i k y(t+ih) gọi sai phân cấp k Ý nghĩa: -Giả sử y(t) hàm khả vi R Khi h>0 khoảng thời gian đủ nhỏ ta có xấp xỷ: Y(t+h) – y(t) ≅ y’(t)h Như với hàm số khả vi bước lưới bé sai phân coi xấp xỷ tích đạo hàm độ dài bước lưới -Giả sử y(n) hàm lưới Z ta dùng ký hiệu y(.) : Z → R : n  y(n) y(.) : Z → R : n  y n giá trị hàm y(.) bước n ∈ Z ký hiệu y(n) y n vậy, lưới Z theo định nghĩa trên, ta có : ∆ y(n) =y(n+1) – y(n) Trường Đại học Thương mại Nhóm 11 Ví dụ 4: Tìm tất hàm số f(x) cho: a) f ( x ) = f '( x ) ∀ x ∈ R b) f ( x ) = f '( x ) + x (∀x ∈ R ) c) f ( x) = f '( x) + e x (∀ x ∈ R) d) f ( x ) = f '( x ) + cosx (∀x ∈ R ) e) f ( x ) = f '( x ) + x + 3x (∀ x ∈ R ) Giải: a) Ta biết hàm số g(x) có g '( x ) = 0∀x ∈ ( a; b) g ( x) = C∀x ∈ ( a; b) - C số Giả thiết ⇔ f ( x ) − f '( x ) = 0∀x ∈ R Ta lại có ( e ax f ( x ))' = ae ax f ( x ) + e ax f '( x ) = ae ax ( f ( x ) + Chọn a = (e − x − f '( x )) a suy giả thiết trở thành f ( x ))' = 0∀ x ∈ R ⇒ e − x x f ( x) = C ⇒ f ( x ) = Ce (C số ) b)Ta áp dụng sai phân: Tìm hàm g(x) = ax+b cho g(x) - g'(x) = x( ∀ x ∈ R ) Dễ dàng tìm g(x) = x+2 Khi theo giả thiết ta có f ( x ) − g ( x ) = ( f '( x ) − g '( x ) ) ∀ x ∈ R Theo câu a) ta có x x f ( x ) − g ( x ) = Ce ⇒ f ( x ) = Ce + x + 2(∀ x ∈ R ) Thử lại thoả mãn c) Tương tự câu b) ta tìm hàm số g ( x ) = ae x cho g ( x ) − g '( x) = e x∀ x ∈ R Dễ thấy g ( x) = − e x câu b) ta có f ( x ) = Ce x − e x Thử lại thoả mãn d) Ta tìm hàm số g(x) = acosx + bsinx cho Giải ta có g ( x ) − g '( x ) = cosx(∀x ) g ( x ) = cosx − sinx 5 Khi giả thiết trở thành x f ( x ) − g ( x ) = 2( f '( x ) − g '( x ))∀x ∈ R x 5 Theo kết câu a) ta có f ( x ) − g ( x) = Ce ⇒ f ( x ) = Ce + cosx − sinx(∀ x ∈ R ) Trường Đại học Thương mại Nhóm 11 Thử lại thoả mãn e) Ta phải tìm hai hàm số: g(x) = ax + bx + c h(x) = d 3x cho g(x) - 2g'(x) = x (∀ x ∈ R ) cho h( x ) − 2h '( x ) = 3x (∀ x ∈ R ) 3x Giải ta g ( x ) = x + x + ; h( x ) = Khi giả thiết trở thành: − 2ln f ( x ) − g ( x ) − h( x ) = ( f '( x ) − g '( x) − h '( x) ) ∀ x ∈ R Theo câu a) ta có: x x 3x 2 f ( x ) − g ( x ) − h( x ) = Ce ∀ x ∈ R hay f ( x ) = Ce + x + x + + − 2ln ∀ x ∈ R Thử lại thoả mãn Trên thảo luận môn toán cao cấp nhóm 11, thành viên nhóm cố gắng nghiên cứu thu thập tài liệu trình làm thảo luận tránh khỏi sai sót, mong cô nhận xét có ý kiến để thảo luận nhóm hoàn thiện Chúng em xin chân thành cảm ơn! Tài liệu tham khảo: [1] Giáo trình Toán Cao Cấp – Trường ĐH Thương Mại [2] Toán cao cấp cho nhà kinh tế -NXB ĐH Kinh tế Quốc dân [3] Bài tập Toán cao cấp – Hoàng Xuân Sính – NXB Giáo dục [4] Ngân hàng câu hỏi toán cao cấp – ĐHCN TP Hồ Chí Minh Cùng số website tham khảo  ... cao cấp Đề tài: PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN VÀ CÁC ỨNG DỤNG Nội dung hảo luận gồm có nội dung sau: A/ Sai phân PT sai phân Lưới thời gian sai phân Phương trình sai phân B/ Ứng dụng PTSP Ứng dụng tìm... quát dãy số Ứng dụng PTSP tính tổng dãy số 3 .Ứng dụng PTSP kinh tế Một số ứng dụng khác sai phân Trường Đại học Thương mại Nhóm 11 Nội dung chi tiết: A/ Sai phân phương trình sai phân 11.1.1... 11.1.1 Lưới thời gian sai phân a) Lưới bước lưới Cho điểm t0 trục thực khoảng cách h>0 Tập điểm trục thực: I := {t0 = nh : n ∈ Z } tập rời rạc, gồm điểm cách điều khoảng cách h, h0 Ta gọi I lưới