đề tài '''' phương trình sai phân và các ứng dụng ''''

Khi đó đẳng thức trên được gọi là một phương trình sai phân cấp k.. Mọi hàm số đối số nguyên mà khi thay vào phương trình được đẳng thức đúng với mọt n J đều gọi là nghiệm của phương tr

BÀI THẢO LUẬN NHÓM 11

Môn Toán cao cấp

Đề tài: PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN VÀ CÁC ỨNG DỤNG

Nội dung bài hảo luận gồm có các nội dung chính như sau:

A/ Sai phân và PT sai phân

1 Lưới thời gian và sai phân

4 Một số ứng dụng khác của sai phân

Nội dung chi tiết:

A/ Sai phân và phương trình sai phân

11.1.1 Lưới thời gian và sai phân

a) Lưới và bước lưới

Cho điểm t0 trên trục thực và khoảng cách h>0 Tập các điểm trên trục thực:

GIả sử y(t) là một hàm trên lưới I; t I Khi đó :

Y(t) := y(t+h) – y(t)

gọi là sai phân cấp một của hàm y(.) tại điểm t

 2 y(t) := (y(t)) := [y(t+2h)-y(t+h)] - [y(t+h) – y(t)]

:= y(t+2h) – 2y(t+h) + y(t)

gọi là sai phân cấp hai Tương tự ta có

i

) 1 ( Ci

ky(t+ih)gọi là sai phân cấp k

Ý nghĩa:

-Giả sử y(t) là một hàm khả vi trên R Khi h>0 là một khoảng thời gian

đủ nhỏ thì ta có xấp xỷ:

Y(t+h) – y(t)  y’(t)h

Như vậy với hàm số khả vi khi bước lưới là bé thì sai phân có thể coi là xấp

xỷ tích của đạo hàm và độ dài bước lưới

-Giả sử y(n) là một hàm trên lưới Z ta cũng dùng ký hiệu

y(.) : Z R : n  y(n) hoặc

y(.) : Z R : n yn

giá trị của hàm y(.) tại bước nZ được ký hiệu là y(n) hoặc yn

như vậy, trên lưới Z theo các định nghĩa ở trên, ta có :

y(n) =y(n+1) – y(n)

i k

i c

0

) 1 (

1 ( )

N M n

y(n) = y(N + 1) –y(M)

11.1.2 Phương trình sai phân ( PTSP)

Định nghĩa 11.1 Giả sử y(n) là một hàm đối số nguyên, chưa biết, cần tìm từ

đẳng thức

F(n,  y(n),  y(n), ,y(n), y(n)) = 0 (11.1)

Trong đó không được khuyết k

 y(n) Khi đó đẳng thức trên được gọi là một phương trình sai phân cấp k

Từ định nghĩa sai phân ta thấy phương trình (11.1) có thể viết dưới dạng tương đương như sau :

F1(n, y(n+k), y(n+k-1), ,y(n+1), y(n) = 0 (11.2)

Trường hợp đặc biệt, ta được phương trình sau :

Y(n+k) = f(n, y(n+k-1), y(n+k-2), ,y(n+1),y(n)) (11.3)

được gọi là một phương trình sai phân cấp k dạng chính tắc

Nghiệm

Giả sử ta xét bải toán trên tập n  J  Z := {0;1;2; )

Mọi hàm số đối số nguyên mà khi thay vào phương trình được đẳng thức đúng với mọt n J đều gọi là nghiệm của phương trình sai phân đó ( trên J)

Điều kiện ban đầu

Cho một giá trị bất kì n0  Z

và một bộ k giá trị thực tùy ý (y y yk0

1

0 1

0

0 ; ; ;

 ) Nghiệm y(.) của phương trình sai phân, sao cho:

Y(n0 = y0

0

Y(n0+1) = y0

1 (11.4)

định nghĩa 11.2: Giải phương trỡnh sai phõn cấp k, được kết quả là một đẳng thứctương đương dạng

y(n) = (n, C1, C2 , Ck ) (11.5)

trong đú C1, C2, ,Ck là k hằng số tự do, khi đú (11.5) gọi là nghiệm tổng quỏt của phương trỡnh sai phõn đú Thay một bộ giỏ trị hằng số cụ thể vào nghiệm tổng quỏt , ta được đẳng thức:

y(n) = (n,C C Ck

0 0 2

0

1 , , , )đẳng thức này được gọi là một nghiệm riờng

Thụng thường, nghiệm riờng được xỏc định theo điều kiện ban đầu

11.2 Phơng trình sai phân tuyến tính thuần nhất.

Phơng trình dới đây gọi là phơng trình sai phân tuyến tính ( PTSPTT) cấp k

aky(n +k) +ak-1y(n+k-1)+…+a1y(n+1)+a0y(n) = f(n) (aka0 0) (11.6)

Nếu tồn tại n sao cho f(n) ≠ 0 thì phơng trình gọi là không thuần nhất Nếu f(n) = 0thì phơng trình sau đaay là phơng rtình thuần nhất tơng ứng của (11.6)

aky(n +k) +ak-1y(n+k-1)+…+a1y(n+1)+a0y(n) = 0 (11.7)Nếu có hệ só ai phụ thuộc vào n thì nói phơng trình có hệ số biến thiên Trờng hợp ngợc lại, khi mọi hệ số ai đều không phụ thuộc và n thì nói phơng trình có hệ số hằng

Tính chất tập nghiệm của phơng trình tuyến tính thuần nhất.

Mệnh đề 11.1 1) Nếu y1(n) là các nghiệm của (11.7) thì với mọi cấp số thực α,β hàm

y(n) = αy1(n) + βy2(n) cũng là nghiệm của (11.7)

2) Nếu y1(n), y2(n),…,yk(n) là k nghiệm độc lập tuyến tính của (11.7) thì

= C1y1(n) + C2y2(n) +…+ Ckyk(n)

Trong đó C1,C2, ,Cn là các hằng số tuỳ ý, là nghiệm tổng quát của (11.7)

Ngoài ra, ta dễ thấy phơng trình thuần nhất luôn có nghiệm tầm thờng y(n) = 0

- Cách 1: Xét phương trình đặc trưng của (1) là λ – 3 = 0 =>λ = 3

=> Nghiệm tổng quát của (1) là: y(n) = C 3n

- Cách 2: Truy hồi: y(n) ≠ 0 √ n, y(n + 1) = 3y(n)

Ta tìm được nghiệm tổng quát y(n) = (-b/a) c

Bước 2: Tìm nghiệm riêng ü(n) của 1

Trường hợp 1: Cho hàm f(n) = αn.Pm(n)

Với Pm(n) là đa thức bậc m của n

+ Nếu α không là nghiệm của phương trình đặc trưng, nghĩa là α ≠ -b/a Nghiệm riêng của (1) có thể tìm dưới dạng: ü(n) = αn Qm(n)

Trong đó Qm(n) là một đa thức bậc m có hệ số chưa biết và có thể tìm bằngphương pháp hệ số bất định

+ Nếu α là nghiệm của phương trình đặc trưng thì tìm nghiệm riêng ở dạng:

ü(n) = n αn Qm(n)

Trường hợp 2: Cho hàm f(n) = αn [ Pm(n)cos(nβ) + Ql(n).sin(nβ) ]

Nghiệm riêng có thể tìm dưới dạng ü(n) = αn [ Ph(n)cos(nβ) +

Qh(n).sin(nβ) ]

Trong đó h = max(l,m)

Cách giải 2: Phương pháp biến thiên hằng số:

Bước 1: Giải phương trình thuần nhất ay(n+1) +by(n) = 0

Ta tìm được nghiệm tổng quát y(n) = (-b/a)n c

Bước 2: Tìm nghiệm riêng của phương trình thuần nhất bằng biến thiên

hằng số

Coi C = C(n) khi đó:

Y(n) = C(n) (-b/a)n

 y(n+1) = C(n+1) (-b/a)n+1

Thay vào phương trình

Ay(n + 1) +by(n) = f(n) ta được: a.C(n+1).(-b/a)n+1 + b.C(n).(-b/a)n = f(n)

 C(n+1) – C(n) = (-1/b).(-a/b)n.f(n)

Đây là phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng đối với C(n) ta có thể giải bằng các cách đã biết

 Nghiệm của phương trình là y(n) = C.5n + n.5n(n + 5)/10

Cách giải 2: Xét phương trình thuần nhất y(n+1) – 5y(n) = 0

Thay C(n) vào y(n) ta được nghiệm tổng quát của phương trình không thuần nhất là:

Y(n) = (C + (n2 + 5n)/10)

Chú ý 11.1 : Ta thờng ding kí hiệu (n) để chỉ nghiệm tổng quát của phơng trình thuần nhất để tránh nhầm lẫn về sau.

Ta cũng có thể viết nghiệm tổng quát đơn giản là y(n)

11.2.2 Phơng trình tuyến tính thuần nhất cấp 2 hệ số hằng

Xét phơng trình sau với a, b, c là các hằng số và ac ≠ 0

ay(n+2) + by(n+1) +cy(n) = 0 (11.9)

Phơng trình nghiệm phức sau đây gọi là phơng trình đặc trng của (11.9)

a + bλ + c = 0 (ac ≠ 0 )

Mệnh đề 11.3 1) Nếu phơng trình đặc trng (11.10) có 2 nghiệm thực khác nhau

là thì nghiệm tổng quát của 11.9 là:

(n) = C1 + C2

2) Nếu (11.10) có 2 nghiệm thực trùng nhau là λ1 = λ2 = λ thì nghiệm tổng quát của (11.9) là

= C1 + nC2

Nếu (11.10) có 2 nghiệm phức liên hợp là α iβ trong đó β ≠ 0; α iβ = r(

i ) thì nghiệm tổng quát của (11.9) là :

ở đây C1,C2 là các hằng số tùy ý

11.2.3 Phơng trình tuyến tính thuần nhất cấp k hệ số hằng

Xét phơng trình sau với a0a1,…ak là các hằng số với aoak ≠ 0:

aky(n +k) +ak-1y(n+k-1)+…+a1y(n+1)+a0y(n) = 0 (11.12)

Gi¶ sö r»ng A(n)B(n) ≠ 0, n ≥ no Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t khi ta gi¶ sö n0= 0 khi chØ xÐt ph¬ng tr×nh sau:

Y(n+1) = a(n)y(n) (a(n) ≠ 0, n ) (11.16)

B/ Ứng dụng của PT sai phân

I.Ứng dụng của PTSP trong tìm CTTQ của dãy số

Vấn đề sai phân và ứng dụng của sai phân giải toán dãy số cũng như

giải toán nói chung đã được nhiều người quan tâm, cho dù mức độ cũng như

dạng loại cũng có phần khác nhau Sai phân và ứng dụng của sai phân là

phần rất quan trọng nó không những góp phần giải quyết các bài toán dãy số

mà còn giúp giải một số bài toán khác như: phương trình hàm, đa thức, bất đẳng thức Về bản chất sai phân là tìm cách tách một số hạng của dãy số đã cho thành hiệu (hay tổng quát hơn là tổng đại số) của hai hay ba số hạng liên

tiếp của dãy số khác Dưới đây là ứng dụng của phương trình sai phân trong tìm công thức số hạng tổng quát của một dãy số.

1) Sai phân cấp I:

Cho dãy U n : U1 cho trước , U n1aU n b( với a,b cho trước) hãy xácđịnh số hạng tổng quát U của dãy số Ta gọi đó là phương trình sai phân cấp I n

( tức là để tìm một số hạng của dãy cần biết một số hạng ngay trước nó)

Đây là bài toán cơ bản có cách giải đơn giản:

+) Nếu a=1 thì dãy số là cấp số cộng công sai b nên U n U1(n1)b

Phương pháp này gọi là Sai phân cấp I: Tức là tách một số hạng của

dãy thành hiệu hai số hạng liên tiếp của dãy mới, cũng có thể thay dấu bằngbởi các dấu lớn, nhỏ hơn mà ta sẽ thấy qua các ví dụ dưới đây, phương phápnày có ứng dụng rất lớn

Ví dụ 1:(Sai phân trong trong đa thức )

Tìm tất cả các đa thức f(x) R x thoả mãn một trong các điều kiện sau:a) f(x+1)- f(x) = x x

b) f(x+1)- 3f(x) = 2x+5 x

a) Đây mới là bài toán dùng sai phân:

Ta sẽ đưa về bài toán a) bằng cách tìm một đa thức g(x) sao cho:

g(x+1) - g(x) = x (x)

Chỉ cần chọn g(x)=ax2+bx ( đa thức có bậc lớn hơn bậc của x một đơn vị)

Ta có a x( 1) 2b x( 1) (  ax bx2 ) x x( )  2ax a b    x x a12,b 12khi đó bài toán đã cho  ( (f x 1)  g x(  1)) ( ( )  f x  g x( ))   0 x

Theo a) ta có f(x)- g(x)=A( hằng số) hay f(x) = 1 2 1

2x  2A xThử lại đúng

b)Tương tự câu a), nhưng tìm g(x) = ax+b (cùng bậc với 2x+5) sao cho

g(x+1)-3g(x) = 2x+5x

Ta có a(x+1)+b-3(ax+b)=2x+5(x)  2ax a  2b 2x   5 x a 1,b 3khi đó giả thiết có dạng: (f(x+1)-g(x+1)) - 3(f(x)-g(x)) = 0 (x)

Dễ chứng minh đa thức h(x) thoả mãn h(x+1) - 3h(x) = 0 (x) là đa thứcđồng nhất bằng 0 (đồng nhất hệ số)

Vậy f(x) = g(x) = - x - 3x

Ví dụ 2 :(Sai phân trong phương trình hàm)

Tìm các hàm số xác dịnh trên R và thoả mãn một trong các điều kiện sau:a)f(x+2) = f(x) + 3x - 1x

b)f(x+1) = 3f(x) + x

c) f(x+1) = 3f(x) + 2x

xGiải:

a)Dùng phương pháp sai phân:

Tìm một hàm số g(x) sao cho g(x+2) - g(x) = 3x - 1x

Ta chọn g(x) = ax2 + bx; ta có a(x+2)2 + b(x+2) - (ax2+bx) = 3x-1(x) hay4ax+4a+2b = 3x-1 x , nên a = 34 ; b = -2

Khi đó ta có giả thiết tương đương với f(x+2) - g(x+2) = f(x) - g(x) x Vậyf(x) - g(x) là hàm tuần hoàn chu kỳ 2, ta gọi đó là h(x)( hoàn toàn xác định)hay f(x) = h(x) + 43x2 - 2x Thử lại thoả mãn.

b)Trước tiên ta tìm hàm số f(x) thoả mãn:

Bước hai: Ta tìm hàm số g(x) = ax+b sao cho g(x+1) - 3g(x) = x (x)

a x  b ax b x x hay a= - 1

2 ; b= - 1

4Khi đó f(x+1)-g(x+1) = 3(f(x)- g(x)) (x) Theo kết quả ở trên suy ra

f(x) =  12x 14+3xh(x), ở đó h(x) là hàm tuần hoàn chu kỳ 1 bất kỳ

c) Ta tìm hàm số g(x) = a.2xsao cho g(x+1) - 3 g(x) = 2x (x)

hay a.2x+1- 3a.2x=2x

x suy ra a = -1Khi đó bài toán đã cho thành: f(x+1) - g(x+1) = 3(f(x)- g(x)) (x)

Cũng theo kết quả trên thì f(x) = 3x h(x) - 2x (x), trong đó h(x) là hàm tuầnhoàn chu kỳ 1 tuỳ ý

2 )Sai phân cấp I suy rộng :

Ta đã giải quyết được bài toán tìm Un thoả mãn Un+1=aUn+b với a, b làcác hằng số và một vài ví dụ về áp dụng sai phân cấp I

Bây giờ ta sẽ giải bài toán phức tạp hơn: tìm Un thoả mãn

Un+1=aUn+f(n) trong đó f(n) là một trong các hàm: đa thức của n; sinn; cosn;

an Thông qua các ví dụ sau đây ta sẽ thấy ứng dụng sai phân rất mạnh, và

có thể nghiên cứu được quy luật để áp dụng

Ví dụ 3:

1

1 :

n

n n

U U

Ta tìm đa thức bậc 1 với n ( cùng bậc với (n+1) ) là: an+b sao cho

a n  an b  n  n N hay 1

2

a b

1(*)

n

n n

U U

Nhận xét : Qua hai ví dụ trên thấy rằng nếu f(n) là đa thức của n có

bậc k thì ta tìm đa thức để sai phân cùng bậc k (khi hệ số Un khác 1); hoặc đathức bậc k+1 (khi hệ số Un bằng 1)

Ví dụ 5:

1

1 :

n n

U U

U U

c)Tìm   1

1

1 :

n n

U U

1 1

n

n n

U U

n

n n

U U

nhất là (a;b) Khi đó ta có: U n1 g n(  1) U n g n n N( )  * suy ra

1

n

U g n U  g a n b n  a  b

Với a, b xác định theo hệ trên

b) Sử dụng phương trình sai phân: Tìm hàm số g(n) = a cosn + b sinn, sao chog(n+1)-2g(n) = sinn  n N* Làm tương tự như trên: a,b là nghiệm của hệphương trình (cos1 2) sin1 0

Thay vào giả thiết ta có

Đến đây ta thấy rõ ràng lợi ích của phép sai phân: tìm hàm g(n) để đưa

về bài toán đã biết(với f(n)=0)

Bây giờ ta sẽ giải quyết bài toán phức tạp hơn: f(n) là tổng hai hàmtrong ba hàm số đã nêu là hàm đa thức, hàm mũ và hàm cosin, sin của biến n

Để nắm được phương pháp chung ta chỉ cần xét một ví dụ sau:

Ví dụ 7:

1

1 :

n n

U U

Rõ ràng không thể chia hai vế của đẳng thúc đã cho cho 2n+1

Ta sẽ tìm hai hàm số : g(n)=an+b sao cho g(n+1) -2g(n) = n và h(n) = c3n saocho h(n+1)-2h(n) = 3n  n N* Giải ra ta có a = b = -1; c = 1 Khi đó giảthiết đã cho trở thành:U n1 g n(  1) h n(  1) 2(U n g n h n( ) ( )) n N*

3) Sai phân cấp II:

Ta gọi biểu thức af(x+2)+bf(x+1)+cf(x) là sai phân cấp II của biến x.Phương trình sai phân cấp II thuần nhất: af(x+2)+bf(x+1)+cf(x) = 0(*) trong

đó x thuộc R hay thuộc N Ta xét cách giải và mở rộng cho phương trình

không thuần nhất ( tức là vế phải của phương trình (*) là hàm số) thông quacác ví dụ

Ví dụ 8:

; :

n

n n n

U U R U

n

n n n

U U R U

*

n

n n n

U U U

  a, b xác định nhờ U1;U2 Thử lại thấy thoả mãn đề bài.

Tổng quát: phương trình sai phân mà trong đó phương trình đặc trưng

có 2 nghiệm phức liên hợp thì: n( sin )

n

U r acosnb n ( Ở đó x1;2 r co( sin ) là hai nghiệm của phương trình đặc trưng)

U U

n

U R U

4)Sai phân cấp II suy rộng:

Tương tự sai phân cấp I , ta xét các phương trình sai phân dạng:

2 1 ( )

aU  bU  cU f n ; trong đó f n( )là hàm đa thức của n, hàm mũ của n,hàm cosn, sinn

Ta có thể thấy phương pháp thông qua ví dụ cụ thể:

Ví dụ 12:(Trường hợp phương trình đặc trưng có 2 nghiệm phân biệt khác 1)

Khi đó giả thiết suy ra V n2 5V n1 6 (V V U n n  n g n( ))

Giải phương trình sai phân ta có 2.2 53

4

n n n

n n

n

U     Thử lại thoả mãn

Ví dụ 13:(Trường hợp phương trình đặc trưng có nghiệm x=1 là nghiệm đơn)

0; 1 :

3

n n

a    n  n Thử lại thoả mãn

Ví dụ 14:(Trường hợp phương trình đặc trưng có nghiệm kép x =1)

n n

2 2

n n n

a   Thử lại thoả mãn

Ví dụ 17:( Trường hợp phương trình đặc trưng có nghiệm kép là cơ số củahàm mũ).

Ví dụ 1: Tính tổng

S1 = 13 + 23 + 33 + … + n3.Lời giải Đặt k3 = a(k + 1) – a(k) (k = 1; 2; 3; …; n), ta có:

S1 = a(n + 1) – a(1)

Ta tìm a(n) từ phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng sau:

a(n + 1) – a(n) = n3.Phương trình thuần nhất: a(n + 1) – a(n) = 0

Phương trình đặc trưng: k – 1 = 0  k = 1

Nghiệm tổng quát của PT thuần nhất: ā(n) = C

Tìm một nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất dưới dạng â(n) =

n(An3 + Bn2 + Cn + D) = An4 + Bn3 + Cn2 + Dn

Tính â(n + 1), thay â(n), x(n +1) vào PT không thuần nhất, so sánh các hệ sốcủa n, ta được hệ phương trình:

Lời giải Đặt k.2k = a(k + 1) – a(k) (k = 1; 2; 3; …; n), ta có

S2 = a(n + 1) – a(1) Ta tìm a(n) từ phương trình sai phân tuyến tính hệ sốhằng sau

a(n + 1) – a(n) = n.2n.Phương trình thuần nhất: a(n + 1) – a(n) = 0

Phương trình đặc trưng: k – 1= 0  k = 1

Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất: ā(n) = C

Tìm một nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất dưới dạng â(n) =

1

B A A

B A

 â(n) = (n – 2)2n; a(n) = ā(n) + â(n) = C + (n – 2)2n

Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất: ā(n) = C.

Ta thử tìm một nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất dưới dạngâ(n) = n!(An + B)

Tính â(n + 1), thay â(n), â(n + 1) vào phương trình không thuần nhất, so sánhcác hệ số của n, ta được hệ phương trình:

0 0

B A

 â(n) = n!; a(n) = ā(n) + â(n) = C + n!

) 0 (

) 0 (

1 ,

1 1

,

1 , 1

P Q

Q Q

t

s

t t

d

t s t

t t

P P

P P

1

1

(2.9)Phương trình là phương trình sai phân otonom tuyến tính dạng

Sử dụng công thức Y t y (Y0  Y (  P) ta tìm được quỹ đạo thời gian của sản phẩm :

Trong đó P0 là giá tại thời kì xuất phát t=0

Biểu thức (2.10) cho thấy

 Với P 0 P quỹ đạo thời gian của giá thị trường dao động lên xuống xung quanh giá cân bằng P (do   0



)

 Điều kiện ổn định động của giá cân bằng là :

Tức là quỹ đạo thời gian của giá thị trường hội tụ đến mức giá cân bằng khi

và chỉ khi đường cung phẳng hơn đường cầu (hệ số  biểu thị độ dốc của đường cung và hệ số biểu thị độu dốc của đường cầu ) Nếu    thì quỹ đạo thời gian của giá thị trường ngày càng rời xa mức cân bằng P

b) Mô hình thị trường có hàng hóa tồn đọng

Trong mô hình trên đây ta giả thiết giá được xác định ở mức cân bằng cung cầu trong từng thời kì ,người bán không có hàng tồn đọng Sau đây là mô hình thị trường với giả thiết những người bán có hàng tồn đọng

Các giả thiết của mô hình :

1 Cả lượng cung Q s và lượng cầu Q d đều không bị trễ và đều là hàm tuyến tính của giá cả ở mỗi thời kì :

3.Lượng điều chỉnh giá từ thời kì này sang thời kì khác tỉ lệ với lượng

dư cung theo chiều người lại :

) (

t P Q Q

P      (=const.>0)Với gải thiết trên đây ta có phương trình

) (

t P P P

P             Hay

) ( ]

( 1 [