Phương trình vi phân và các mô hình ứng dụng

Phương trình vi phân và các mô hình ứng dụng Lây lan bệnh Tăng dân sồ Phương trình vi phân và các mô hình ứng dụng Lây lan bệnh Tăng dân sồPhương trình vi phân và các mô hình ứng dụng Lây lan bệnh Tăng dân sồPhương trình vi phân và các mô hình ứng dụng Lây lan bệnh Tăng dân sồPhương trình vi phân và các mô hình ứng dụng Lây lan bệnh Tăng dân sồPhương trình vi phân và các mô hình ứng dụng Lây lan bệnh Tăng dân sồPhương trình vi phân và các mô hình ứng dụng Lây lan bệnh Tăng dân sồPhương trình vi phân và các mô hình ứng dụng Lây lan bệnh Tăng dân sồPhương trình vi phân và các mô hình ứng dụng Lây lan bệnh Tăng dân sồPhương trình vi phân và các mô hình ứng dụng Lây lan bệnh Tăng dân sồPhương trình vi phân và các mô hình ứng dụng Lây lan bệnh Tăng dân sồPhương trình vi phân và các mô hình ứng dụng Lây lan bệnh Tăng dân sồPhương trình vi phân và các mô hình ứng dụng Lây lan bệnh Tăng dân sồPhương trình vi phân và các mô hình ứng dụng Lây lan bệnh Tăng dân sồPhương trình vi phân và các mô hình ứng dụng Lây lan bệnh Tăng dân sồPhương trình vi phân và các mô hình ứng dụng Lây lan bệnh Tăng dân sồPhương trình vi phân và các mô hình ứng dụng Lây lan bệnh Tăng dân sồPhương trình vi phân và các mô hình ứng dụng Lây lan bệnh Tăng dân sồPhương trình vi phân và các mô hình ứng dụng Lây lan bệnh Tăng dân sồPhương trình vi phân và các mô hình ứng dụng Lây lan bệnh Tăng dân sồPhương trình vi phân và các mô hình ứng dụng Lây lan bệnh Tăng dân sồPhương trình vi phân và các mô hình ứng dụng Lây lan bệnh Tăng dân sồPhương trình vi phân và các mô hình ứng dụng Lây lan bệnh Tăng dân sồPhương trình vi phân và các mô hình ứng dụng Lây lan bệnh Tăng dân sồPhương trình vi phân và các mô hình ứng dụng Lây lan bệnh Tăng dân sồPhương trình vi phân và các mô hình ứng dụng Lây lan bệnh Tăng dân sồPhương trình vi phân và các mô hình ứng dụng Lây lan bệnh Tăng dân sồPhương trình vi phân và các mô hình ứng dụng Lây lan bệnh Tăng dân sồPhương trình vi phân và các mô hình ứng dụng Lây lan bệnh Tăng dân sồPhương trình vi phân và các mô hình ứng dụng Lây lan bệnh Tăng dân sồPhương trình vi phân và các mô hình ứng dụng Lây lan bệnh Tăng dân sồPhương trình vi phân và các mô hình ứng dụng Lây lan bệnh Tăng dân sồPhương trình vi phân và các mô hình ứng dụng Lây lan bệnh Tăng dân sồPhương trình vi phân và các mô hình ứng dụng Lây lan bệnh Tăng dân sồPhương trình vi phân và các mô hình ứng dụng Lây lan bệnh Tăng dân sồPhương trình vi phân và các mô hình ứng dụng Lây lan bệnh Tăng dân sồPhương trình vi phân và các mô hình ứng dụng Lây lan bệnh Tăng dân sồPhương trình vi phân và các mô hình ứng dụng Lây lan bệnh Tăng dân sồPhương trình vi phân và các mô hình ứng dụng Lây lan bệnh Tăng dân sồPhương trình vi phân và các mô hình ứng dụng Lây lan bệnh Tăng dân sồPhương trình vi phân và các mô hình ứng dụng Lây lan bệnh Tăng dân sồPhương trình vi phân và các mô hình ứng dụng Lây lan bệnh Tăng dân số Phương trình vi phân và các mô hình ứng dụng Lây lan bệnh Tăng dân sồPhương trình vi phân và các mô hình ứng dụng Lây lan bệnh Tăng dân sồPhương trình vi phân và các mô hình ứng dụng Lây lan bệnh Tăng dân sồPhương trình vi phân và các mô hình ứng dụng Lây lan bệnh Tăng dân sồPhương trình vi phân và các mô hình ứng dụng Lây lan bệnh Tăng dân sồPhương trình vi phân và các mô hình ứng dụng Lây lan bệnh Tăng dân sồPhương trình vi phân và các mô hình ứng dụng Lây lan bệnh Tăng dân sồPhương trình vi phân và các mô hình ứng dụng Lây lan bệnh Tăng dân sồPhương trình vi phân và các mô hình ứng dụng Lây lan bệnh Tăng dân sồ

Bài giảng mô hình lây lan dịch bệnh

Ngày 1 Giới thiệu về phép lấy giới hạn, đạo hàm

Ngày 2 Phương trình vi phân và một số mô hình đơn giản

1 Phương trình vi phân

(a) Phương trình vi phân cấp 1

• Dạng tổng quát F (x, y, y0) = 0

• Một số dạng phương trình vi phân cấp 1

– Phương trình tách biến X(x)dx + Y (y)dy = 0

– Phương trình thuần nhất M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0, trong đó M (x, y) và

N (x, y) là các hàm thuần nhất cùng bậc Đưa phương trình thuần nhất về phương trình tách biến bằng cách đặt y = xz, trong đó z = z(x) là hàm số mới phải tìm

M (x, y) = xkM (1, y

x) vàN (x, y) = x

k(1,y

x).

Phương trình trở thành

xkM (1, z)dx + xkN (1, z)(xdz + zdx) = 0

dx

x +

N (1, z)

M (1, z) + zN (1, z)dz = 0.

– Phương trình tuyến tính cấp một y0+ p(x)y = q(x)

Để tìm nghiệm tổng quát, ta giải phương trình tuyến tính thuần nhất

y0+ p(x)y = 0 được nghiệm y = Ce−R p(x)dx sau đó dùng biến thiên hằng số Lagrange

y = C(x)e−R p(x)dxz và thay vào phương trình

(b) Phương trình vi phân cấp cao

• Dạng tổng quát F (x, y, , y(n)) = 0

• Một số dạng phương trình vi phân cấp cao giải được

– Phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng

y(n)+ a1y(n−1)+ · · · + any = 0

Xét phương trình đặc trưng

λn+ a1λn−1+ · · · + an= 0

Các trường hợp có thể xảy ra

∗ Phương trình đặc trưng có n nghiệm thực phân biệt

∗ Phương trình đặc trưng có n nghiệm thực nhưng trong chúng có nghiệm phức

∗ Phương trình đặc trưng có nghiệm bội – Phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất hệ số hằng

y(n)+ a1y(n−1)+ · · · + any = f (x)

Các trường hợp có thể xảy ra

∗ Hàm f có dạng là một đa thức cấp m nhân với hàm mũ

f (x) = (b0xm+ b1xm−1+ · · · + bm)eαx Trường hợp 1: α không là nghiệm của phương trình đặc trưng Khi đó

y∗ = Qm(x)eαx Trường hợp 2: α là nghiệm bội k Khi đó

y∗ = xkQm(x)eαx

∗ Hàm f có dạng

f (x) = eαx[Pm1(x) cos βx + Pm2(x) sin βx]

Trường hợp 1: α + iβ không là nghiệm của Phương trình đặc trưng Khi đó

y∗ = Q(1)m (x)e(α+iβ)x+ Q(2)m (x)e(α−iβ)x Trường hợp 2: α − iβ là nghiệm bội k Khi đó

y∗ = xk[Q(1)m (x)e(α+iβ)x+ Q(2)m (x)e(α−iβ)x]

2 Một số bài tập luyện tập

Bài 1 Cho phương trình

y0+ a(x)y = f (x), trong đó, a(x) ≥ α > 0 và f (x) → 0 khi x → +∞ Chứng minh rằng mỗi nghiệm của phương trình trên đều dần tới 0 khi x → +∞

Bài 2 Chứng minh rằng mọi nghiệm của phương trình

y0 = 1

1 + x2+ y2

đều giới nội trên toàn trục số

Bài 3 Tìm những đường cong mà góc giữa tiếp tuyến của đường đường cong với trụ Ox bằng bình phương tung độ tại mọi điểm Biết rằng đường cong đó đi qua điểm N (0, 1) Bài 4 Biết rằng tốc độ phân rã của radium tỷ lệ thuận với khối lượng hiện tại của nó Hãy tìm quy luật phân rã của radium, nếu biết khối lượng ban đầu của nó và thời gian T cần thiết để phân rã hết một nửa khối lượng radium ban đầu Hỏi sau 100 năm sẽ phân

ra hết bao nhiêu phần trăm khối lượng radium ban đầu nếu biết T = 1600

3 Một số mô hình đơn giản

(a) Mô hình Malthus - Bài toán dân số

y(t) dân số tại thời điểm t, y(0) = y0 dân số tại thời điểm ban đầu Dự đoán số người trong tương lai biết tốc độ tăng trưởng dân số là α ∈ R

Ta có

α = y(t + ∆t) − y(t)

y(t)∆t . Cho ∆t → 0, ta có

α = y

0

y. (b) Mô hình Logistic

Xét quần thể cá trong hồ, y(t) là số cá trong hồ tại thời điểm t, y(0) = y0 là thời điểm ban đầu Dự đoán số cá trong hồ biết sức chứa môi trường là k (tức là y(t) > k thì y0 > 0 và ngược lại) Phương trình

y0 = αy1 − y

k



(c) Mô hình dao động điều hòa (mô hình lò xo)

Đặt độ lệch của vật so với vị trí cân bằng là x(t), độ cứng của lò xo là k > 0 Khi

đó, ta có

mx00 = −kx

Từ đó, ta thu được mô hình của dao động lò xo x00+ w2x = 0, trong đó w =r k

m. (d) Mô hình Lotka - Volterra (Mô hình thú săn mồi và con mồi)

Giả sử trong một hòn đảo biệt lập mà loài săn mồi sinh sống là sói và nguồn thức

ăn duy nhất của sói là thỏ Cuộc sống tiếp diễn bình thường, người ta quan sát thấy

số lượng sói và thỏ có sự thay đổi theo thời gian Đặt x(t) là số lượng quần thể thỏ sinh sống trên đảo tại thời điểm t, và y(t) là số lượng sói sinh sống tại thời điểm t Khi đó, x0 và y0 là chỉ số phát triển về số lượng của thỏ và sói trong một khoảng thời gian Giả sử α là chỉ số tăng sinh tự nhiên (sinh) của loài thỏ, γ là chỉ số tăng sinh tự nhiên (chết) của loài sói Khi đó, ta có mô hình







dx

dt = αx − βxy dy

dt = δxy − γy.