ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC TRONG GIẢI TOÁN Vật lý Nguyễn Đức Thắng Du Hiền Vinh sưu tầm và trình bày Xct :)) Page 4 Biết giá trị cûa E và r . Tìm R để công suçt mäch ngoài đät cực đäi. Lời giâi: Áp dýng Định luêt Ohm đối với toàn mäch, ta đþợc cþờng độ dòng điện là E I R r Công suçt mäch ngoài là 2 2 2 2 2 2 2 2 2 E E R E P I R R R r R Rr r r R r R Để công suçt mäch ngoài đät cực đäi (hay P đät giá trị lớn nhçt) thì 2 2 r R r R sẽ đät giá trị nhô nhçt. Áp dýng bçt đîng thĀc AM GM cho 2 số thực dþơng R và 2 r R ta có 2 2 2 2 . 2 4 r r R r R r r R R Tÿ đó dễ dàng suy ra 2 2 2 4 2 E E P r r R r R Dçu đîng thĀc xây ra khi r R R hay R r . Ví dụ 2: Dòng điện chay qua một vòng dåy dån täi hai điểm A, B. Dåy dén täo nên vòng dåy là đồng chçt, tiết diện đều và có điện trở R 25. Góc AOB . Tìm để điện trở tþơng đþơng cûa vòng dåy lớn nhçt.
NGUYỄN ĐỨC THẮNG – DU HIỀN VINH ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC TRONG GIẢI TOÁN LỚP 11 TOÁN - TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN NGỌC HIỂN ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC TRONG GIẢI TOÁN Vật lý Lời mở đầu Vi bõn chỗt l cỏc mụn hc t nhiờn, s tỵng quan cỷa Toỏn hc v Vờt lý hc nỡm nhiu mt Tuy nhiờn, v c bõn, bõn chỗt cûa môn học đào såu, såu vo nhng ng dýng cỹng nhỵ tớch hp kin thc mơn học Tÿ làm sở nn tõng hỡnh thnh cỏc phỵng phỏp giõi bi têp bìng cách áp dýng kiến thĀc cûa mơn học vào mơn học mà đåy Tốn học vào Vêt lý Ở đåy ta xét Āng dýng thỵng thỗy, ú chớnh l vic ỏp dýng Bỗt đỵng thĀc Tốn học vào giâi tốn Vêt lý Phỵng phỏp ny cỹng giỳp ta giõi quyt mt số cåu hôi đề thi tuyển sinh đäi học mơn vêt lý (tìm giá trị cực đäi, cực tiểu…) Cà Mau, ngày 20 tháng 11 năm 2016 Nguyễn Đức Thắng - Du Hiền Vinh sưu tầm trình bày Xct :)) Page ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC TRONG GIẢI TOÁN Vật lý Ứng dụng bất đẳng thức AM – GM Ví dụ 1: Cho mọch in nhỵ hỡnh v: Bit E 20 ; r 4W R biến trở Tìm R cụng suỗt mọch ngoi ọt cc ọi Li giõi: Áp dýng Định luêt Ohm toàn mäch, ta ỵc cỵng dũng in l I E 20 Rr R4 400 R 400 20 Cụng suỗt mọch ngoi l P I R R R 8R 16 R 16 R4 R Để công suỗt mọch ngoi ọt cc ọi (hay P ọt giỏ tr ln nhỗt) thỡ R nhỗt p dýng bỗt ợng thc AM GM cho s thc dỵng R R Tÿ dễ dàng suy P 16 đät giá trị nhô R 16 ta có R 16 16 R 16 R R 400 400 25 16 R 16 R Dỗu đỵng thĀc xây R 16 hay R R Từ ví dụ ta tổng quát toán lên sau: Cho mäch in nhỵ hỡnh v: Nguyn c Thng - Du Hin Vinh sưu tầm trình bày Xct :)) Page ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC TRONG GIẢI TOÁN Vật lý Biết giá trị cûa E r Tìm R cụng suỗt mọch ngoi ọt cc ọi Li giâi: Áp dýng Định luêt Ohm toàn mäch, ta ỵc cỵng dũng in l I E Rr E2R E2 E R Công suỗt mọch ngoi l P I R r2 R Rr r Rr R 2r R Để cụng suỗt mọch ngoi ọt cc ọi (hay P ọt giỏ tr ln nhỗt) thỡ R r2 2r s ọt giỏ tr R r2 nhụ nhỗt p dýng bỗt ợng thc AM GM cho s thc dỵng R v ta cú R r2 r2 R 2r R 2r 4r R R Tÿ dễ dàng suy P E2 E2 r2 4r R 2r R Dỗu đỵng thĀc xây R r hay R r R Ví dụ 2: Dòng điện chay qua vòng dåy dån täi hai điểm A, B Dồy dộn tọo nờn vũng dồy l ng chỗt, tit diện có điện trở R 25 Góc AOB Tìm để điện trở tỵng ỵng cỷa vũng dồy ln nhỗt Nguyn c Thng - Du Hiền Vinh sưu tầm trình bày Xct :)) Page ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC TRONG GIẢI TỐN Vật lý Lời giâi: Đặt điện trở độn vòng dåy AMB R1 với R1 360 R Đặt điện trở độn vòng dåy läi R2 với R2 R R1 R T ú suy in tr tỵng ỵng cỷa vũng dåy Rtd 360 R 360 R 360 360 R 3602 Đến ồy ỏp dýng bỗt ợng thc AM GM cho hai s thc dỵng 360 v ta có 360 3602 360 4 Suy Rtd Vêy Rtd max 360 R R 3602 R ọt ỵc 360 hay 180o Vêy, A, B hai điểm xun tåm đối cûa vòng dåy điện trở tỵng ỵng cỷa vũng dồy ln nhỗt Vớ d 3: Hai điện tích q1 q2 q đặt täi A, B khơng khí (hay ) Cho biết AB 2a Điểm M nỡm trờn ỵng trung trc cỷa oọn thợng AB v cách AB không cách bìng h Xác định h để EM đät cực đäi Tính giá trị cực đäi Nguyễn Đức Thắng - Du Hiền Vinh sưu tầm trình bày Xct :)) Page ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC TRONG GIẢI TOÁN Vật lý Lời giâi: Ta có EM E1 E2 E1 E2 lổn lỵt cú hỵng AM v BM v cú ln ỵc cho bi E1 k q q q k k 2 AM BM a h2 Vờy EM cú hỵng OM v cú ln ỵc xỏc nh bi EM E1.cos 2k q h 2 a h a h2 Hay EM 2kqh a h2 Trong biểu thĀc cûa EM ta ỏp dýng bỗt ợng thc AM GM cho ba s thc dỵng a2 a2 , v 2 h để có a h2 a2 a2 a 4h2 h2 3 2 (1) Tỵng ỵng Nguyn c Thng - Du Hin Vinh sưu tầm trình bày Xct :)) Page ỨNG DỤNG CỦA a h2 BẤT ĐẲNG THỨC TRONG GIẢI TOÁN Vật lý 3 ah Tÿ ta suy Vêy, EM max a2 4kq a hay h h 2 3a Nhận xét: Việc tách a a2 a2 a2 a2 ỏp dýng bỗt ợng thc AM GM cho ba s thc dỵng , v h 2 2 ỵc lm nhỵ sau: a2 h2 õm bõo dỗu bỡng xõy ra, ta s tỏch a thành n số häng h thành m số häng (với n m m, n * ) p dýng bỗt ợng thc AM GM cho m n s thc dỵng n a2 h2 v , ta có n m a2 h2 m m n mn a n h2 m m n a n h m n m m n Suy EM 2kqh a h2 2kqh m n a h 3 n m m n m n2 kq 3n 1 h 3m m n a m n Để EM khơng phý thuộc vào h bêc cûa biến h bỡng Cý th l tỵng ỵng n 2m Lỗy m thỡ n T ú ta tỏch ỵc a h2 3m 0 mn a2 a2 h2 để mang läi 2 lời giâi gọn đẹp Ví dụ 4: Một tơ chuyển động tÿ A đến B dài 800m Khởi hành tÿ A, tơ chuyển động nhanh dỉn đều, sau tơ chuyển động chêm dỉn dÿng läi B Bit ln gia tc cỷa xe khụng vỵt 2m / s Hãy tính thời gian ngớn nhỗt m ụ tụ chọy t A n B Lời giâi: Nguyễn Đức Thắng - Du Hiền Vinh sưu tầm trình bày Xct :)) Page ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC TRONG GIẢI TOÁN Vật lý Gọi a1 , a2 độ lớn cûa ô tô hai giai đoän Áp dýng vt 2as t vt a Ta có vmax 2a1s1 2a2 s2 Suy s1 a2 a2 800a2 hay s1 s1 s2 s2 a1 a1 a2 a1 a2 Thay vào ta ỵc vmax 40 a1a2 a1 a2 Ta có t t1 t2 vmax vmax 40 a1 a2 a1 a2 p dýng bỗt ợng thc AM GM cho s thc dỵng a1 a 2 a2 a1 a1 a 2 a1 a2 a1 a2 a2 ta có a1 a1a2 2 a1a2 Cùng với ý a1 a2 Để suy t 40 a1 a2 a1 a 40 a1 a2 Vêy, t đät cực tiểu 40 giåy a1 a2 2m / s Từ ví dụ ta tổng qt tốn lên sau: Một ô tô chuyển động tÿ A đến B với khoâng cách l m Khởi hành tÿ A, tơ chuyển động nhanh dỉn đều, sau tơ chuyển động chêm dỉn dÿng läi B Bit ln gia tc cỷa xe khụng vỵt a0 m / s Hãy tính thời gian ngớn nhỗt m ụ tụ chọy t A n B Li giõi: Lm tỵng t cỏc bỵc nhỵ li giõi vớ dý trờn ỵc s1 a2 al s1 s2 a1 a2 a1 a2 Nguyễn Đức Thắng - Du Hiền Vinh sưu tầm trình bày Xct :)) Page ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC TRONG GIẢI TOÁN Vật lý Và vmax 2a1a2l a1 a2 Ta có t t1 t2 vmax vmax 2l a1 a2 a1 a2 p dýng bỗt ợng thc AM GM cho s thc dỵng a1 a 2 a2 a1 a1 a 2 a1 a2 a1 a2 a2 ta có a1 a1a2 2 a1a2 Cùng với ý a1 a2 2a0 Để suy t 2l a1 a2 a1 a l 2 a1 a0 a2 Vêy, t đät cực tiểu l a1 a2 a0 a0 Ví dụ 5: Cỉn phõi nộm mt hũn ỏ dỵi mt gúc i vi phỵng ngang vi vờn tc ban ổu ti thiu ( v0min ) bìng để đät tới độ cao h ? Thời gian t để đá lên tới độ cao bìng bao nhiêu? Lời giâi: Đặt gốc O cûa trýc tọa độ Oy thỵng đĀng im nộm Khi ú phỵng trỡnh chuyn ng cỷa hũn ỏ theo phỵng thợng ng l y v0t sin gt 2 Täi thời điểm đá độ cao h , ta có v0t sin gt h Hay Nguyễn Đức Thắng - Du Hiền Vinh sưu tầm trình bày Xct :)) Page ỨNG DỤNG CỦA v0 BẤT ĐẲNG THỨC TRONG GIẢI TOÁN Vật lý gt h 2sin t sin p dýng bỗt ợng thc AM GM cho s thc dỵng gt h ta có 2sin t sin gh gt h gt h 2 2sin t sin 2sin t sin sin Suy v0 gh sin Đỵng thĀc xây gt h 2h hay t 2sin t sin g Vêy, vên tốc cực tiểu cûa đá v0 gh 2h thời gian cỉn tìm t sin g Ví dụ 6: Một q cỉu nhơ rơi tự t im A n mt tỗm chớn t nghiờng mt góc 450 so với mặt phỵng ngang Sau va chọm n hi trờn tỗm chớn, quõ cổu ri xung mt ỗt tọi im C cỏch ỵng thợng đĀng AB độn bìng s ( AB H ) Hụi phõi t tỗm chớn cao h bỡng bao nhiờu m khụng thay i hỵng cỷa nú để s đät cực đäi Khi s bìng bao nhiêu? Bơ qua sĀc cân cûa khơng khí Lời giâi: Áp dýng định luêt bâo toàn nëng, ta xác nh ỵc vờn tc cỷa quõ cổu trỵc chọm vo tỗm chớn mv mg H h Và Nguyễn Đức Thắng - Du Hiền Vinh sưu tầm trình bày Xct :)) Page 10 ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC TRONG GIẢI TOÁN Vật lý v 2g H h Sau va chäm đàn hồi, vên tốc không thay đổi v ln, nhỵng hỵng cỷa nú thay i Theo phỵng ngang quõ cổu bay ỵc mt khoõng s vt , với t thời gian quâ cæu bay t lỳc va chọm gt trờn tỗm chớn n chọm ỗt, cũn theo phỵng thợng ng h Khi s 2g H h 2h h H h g p dýng bỗt ợng thc AM GM cho s thc dỵng h v H h ta cú H h H h h H h Vêy, smax H h H h hay h H Vớ d 7: Mt ngỵi trỵt bởng trỵt trờn khoõng cách l 500m , ban đæu với vên tốc v khơng đổi sau hãm läi với gia tốc a 0,05m / s Hôi với vờn tc v bỡng bao nhiờu thỡ thi gian ngỵi chuyển động dÿng läi bé nhỗt? Li giõi: Hin nhiờn thi gian chuyn ng bao gồm thời gian chuyển động với vên tốc không đổi thời gian chuyển dộng chêm dæn dÿng hỵn läi t l v v a p dýng bỗt ợng thc AM GM cho s thc dỵng l v v ta cú v a l v l v l 2 2 v a va a Vêy tmin l l v 200s ọt ỵc hay v la 5m / s a v a Ví dụ 8: Tÿ hai bến A B bờ sông cú hai canụ cựng hnh Khi nỵc chõy sĀc đèy cûa động cơ, ca nô tÿ A chäy song song với bờ theo chiều tÿ A đến B với vên tốc 24km / h , ca nơ tÿ B chäy vng góc với bờ có vên tốc 18km / h Biết AB 1km Hôi Nguyễn Đức Thắng - Du Hiền Vinh sưu tầm trình bày Xct :)) Page 11 ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC TRONG GIẢI TỐN Vật lý không cỏch nhụ nhỗt gia hai ca nụ quỏ trỡnh chuyn ng l bao nhiờu nu n ỵc chõy t A đến B với vên tốc 6km / h Biết rìng sĀc đèy cûa động khơng thay đổi Lời giâi: Ở ta chọn hệ quy chiếu gín với bờ sơng Vên tốc cûa canơ bờ sông vAO vA vO 24 30 km / h vBO vo2 vB2 182 62 10 km / h Suy sin vB 18 10 vBO 10 10 cos vO 10 vBO 10 10 di quóng ỵng hai canụ i ỵc quóng thi gian t l AC vAO t 30t BD vBO t 10t BH BD.cos 6t DH BD.sin 18t Áp dýng định lý Pytago cho tam giác vng CHD ta có CD2 CH HD2 1 24t 18t 900t 48t 2 Nguyễn Đức Thắng - Du Hiền Vinh sưu tầm trình bày Xct :)) Page 12 ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC TRONG GII TON Vt p dýng bỗt ợng thc AM GM cho s thc dỵng 900t v 900t lý 16 ta có 25 16 16 900 .t 48t 25 25 Hay CD2 0,36 km Vêy CDmin 0,6 km ọt ỵc tọi t s 75 Ví dụ 9: Một mäch điện chĀa n pin Mỗi pin cú suỗt in ng E v in tr r Cỏc phin ny ỵc mớc thnh k nhúm nối tiếp, nhóm có n pin míc song song Xỏc nh k cỵng k dũng in chọy qua điện trở mäch đät cực đäi Lời giâi: p dýng nh luờt Ohm cho ton mọch, cỵng dòng điện mäch bìng I kE nkE k r k r nR R n Dễ thỗy cỵng dũng in ọt cc ọi thỡ phồn số kr nR k đät cực đäi, hay kr nR đät cực k tiểu Nguyễn Đức Thắng - Du Hiền Vinh sưu tầm trình bày Xct :)) Page 13 ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC TRONG GII TON Vt p dýng bỗt ợng thc AM GM cho s thc dỵng kr v kr lý nR ta có k nR nR nR kr 2 k k r Suy I max Giỏ tr cc ọi ọt ỵc kr nE E rnR n rR nR r nR hay k k Ngoài để ý thêm thỡ dỗu bỡng xõy tọi rb rk nR r R n nr 103 Ví dụ 10: Cho mäch điện R L C nội tiếp có điện trở thuæn R 30 C (F) Đặt vào 4 hai đỉu độn mäch điện áp U AB 100 cos100 t (V) thay đổi L để U L đät giá trị cực đäi Lời giâi: Ta có U L I Z L U Z L Z ZL R Z L ZC Hay UL U R ZC ZC 1 ZL ZL ZL Để U L đät giá trị cực đäi 2 R ZC ZC 1 phâi đät giá trị cực tiểu ZL ZL ZL R Z Z x y C C Đặt ZL ZL ZL ZL Ta có Nguyễn Đức Thắng - Du Hiền Vinh sưu tầm trình bày Xct :)) Page 14 ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC TRONG GIẢI TOÁN Vật lý R Z Z y C C R Z L2 x 2ZC x ZL ZL ZL p dýng bỗt ợng thc AM GM cho s thc dỵng R ZC2 x R ZC2 x Z C2 ta có R Z C2 ZC2 2Z C x R ZC2 Hay y R ZC2 x 2ZC x ZC2 R2 R ZC2 R ZC2 Suy U Lmax U R ZC2 U ymin R Giỏ tr U L cc ọi ọt ỵc R ZC2 x Vêy U L ln nhỗt Z L ZC2 R ZC2 ZC2 R ZC2 Z L2 R ZC2 R ZC2 62,5 ZC Ứng dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz Vớ d 1: Cho mọch in nhỵ hỡnh vẽ: Biết tổng giá trị cûa R1 R2 không lớn 2 hiệu điện đæu ngun l 12V Tỡm giỏ tr cc ọi cỷa cỵng độ dòng điện qua mäch Lời giâi: Theo giâ thiết suy R1 R2 Nguyễn Đức Thắng - Du Hiền Vinh sưu tầm trình bày Xct :)) Page 15 ỨNG DỤNG CỦA Ta tính ỵc cụng thc R12 BT NG THC TRONG GII TOÁN Vật U 1 12 I AB AB R1 R2 R12 R12 p dýng bỗt đỵng thĀc Cauchy Schwarz , ta có R12 Suy I AB lý 1 4 2 R1 R2 R1 R2 12 R12 Vờy giỏ tr cc ọi cỷa cỵng dũng in i qua mọch chớnh l 6A Dỗu đỵng thĀc xây R1 R2 1 Từ ví dụ ta tổng qt toán lên sau: Cho mäch điện với n điện trở míc song song với nguồn cho tổng giá trị cûa chúng không lớn Ω hiệu điện đæu nguồn V Tỡm giỏ tr cc ọi cỷa cỵng dũng in qua mäch Lời giâi: Theo giâ thiết suy R1 R2 Rn Ta tớnh ỵc cụng thc R12 n U 1 I AB AB R1 R2 Rn R12 n R12 n p dýng bỗt ợng thc Cauchy Schwarz dọng cng méu số, ta có R12 n Suy I AB R12 n 1 n2 n2 R1 R2 Rn R1 R2 Rn n2 Vờy giỏ tr cc ọi cỷa cỵng dũng in qua mäch R1 R2 Rn n n2 6A Dỗu đỵng thĀc xây Ví dụ 2: Một vêt cú lỵng m , ỵc kộo i vi vờn tốc khổng đổi lực F mặt phỵng nghiêng góc với mặt ngang Hệ số ma sát vêt mặt phỵng nghiêng k Xác định Nguyễn Đức Thắng - Du Hiền Vinh sưu tầm trình bày Xct :)) Page 16 ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC TRONG GIẢI TỐN Vật lý góc lực F với mặt phỵng nghiêng lực F nhụ nhỗt Khi ú lc F cú ln bỡng bao nhiờu? Li giõi: Vờt trỵt u nờn P F Fms N mg.cos F sin N Và mg.sin F cos k.N Suy F sin k.cos mg cos k sin Để F đät giá trị cự tiểu cos k.sin phâi đät cự đäi Đặt y cos k.sin v ỏp dýng bỗt ợng thc Cauchy Schwarz ta có y 1.cos k.sin 1 k cos 2 sin k Vêy ymax k Dỗu ợng thc xây cos k.sin k hay arctan k Tÿ suy ỵc Fmin sin k.cos mg 1 k Ví dụ 3: Hệ c nhỵ hỡnh v H s ma sỏt gia hai vêt m M k1 , M sàn ngang k Tác dýng vào M mt lc F hp vi phỵng ngang mt gúc Khi thay đổi ( 0o 90o ) Tỡm F nhụ nhỗt M trỵt khụi vêt m Nguyễn Đức Thắng - Du Hiền Vinh sưu tầm trình bày Xct :)) Page 17 ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC TRONG GIẢI TOÁN Vật lý Lời giâi: Vêt m có ma1 k1mg a1 k1 g Ma2 F cos k1 N1 k2 N Vêt M có N m M g F sin Suy a2 F cos k2 F sin k1mg k2 m M g M Để M khơi m a2 a1 hay F k1 k2 m M g cos k2 sin Vêy F đät cự tiểu cos k2 sin đät cực đäi Đặt y cos k.sin ỏp dýng bỗt ợng thc Cauchy Schwarz ta cú y 1.cos k2 sin 1 k cos sin 2 2 k22 Vêy ymax k22 Dỗu ợng thc xõy cos k2 sin k22 hay arctan k2 T ú suy ỵc Fmin T ú suy ỵc Fmin sin k.cos mg mg.sin 1 k k1 k2 m M g k22 Nguyễn Đức Thắng - Du Hiền Vinh sưu tầm trình bày Xct :)) Page 18 ... vêt lý (tìm giá trị cực đäi, cực tiểu…) Cà Mau, ngày 20 tháng 11 năm 2016 Nguyễn Đức Thắng - Du Hiền Vinh sưu tầm trình bày Xct :)) Page ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC TRONG GIẢI TOÁN Vật lý Ứng dụng. .. nhỗt m ụ tụ chọy tÿ A đến B Lời giâi: Nguyễn Đức Thắng - Du Hiền Vinh sưu tầm trình bày Xct :)) Page ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC TRONG GIẢI TOÁN Vật lý Gọi a1 , a2 độ lớn cûa tơ hai giai độn Áp... s1 a2 al s1 s2 a1 a2 a1 a2 Nguyễn Đức Thắng - Du Hiền Vinh sưu tầm trình bày Xct :)) Page ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC TRONG GIẢI TOÁN Vật lý Và vmax 2a1a2l a1 a2 Ta có t t1 t2