Hệ phương trình tuyến tính, Phương pháp matrân, Phương pháp Gauss, Phương pháp Gramer, Phương trình tuyến tính, Phương trình tuyến tính thuần nhất. Tài liệu trong Thư viện điện tử ĐH Khoa học Tự nhiên có thể sử dụng cho mục đích học tập và nghiên cứu cá nhân. Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép, in ấn phục vụ các mục đích khác nếu không được sự chấp thuận của nhà xuất bản và tác giả.
Chương 4. Hệ phương trình tuyến tính Nguyễn Thủy Thanh Bài tập toán cao câp tâp 1. NXB Đại học quốc gia Hà Nội 2006. Tr 132-176. Từ khoá: Hệ phương trình tuyến tính, Phương pháp matrân, Phương pháp Gauss, Phương pháp Gramer, Phương trình tuyến tính, Phương trình tuyến tính thuần nhất. Tài liệu trong Thư viện điện tử ĐH Khoa học Tự nhiên có thể sử dụng cho mục đích học tập và nghiên cứu cá nhân. Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép, in ấn phục vụ các mục đích khác nếu không được sự chấp thuận của nhà xuất bản và tác giả. Chu . o . ng 4 Hˆe . phu . o . ng tr`ınh tuyˆe ´ nt´ınh 4.1 Hˆe . n phu . o . ng tr`ınh v´o . i n ˆa ’ nc´od i . nh th´u . c kh´ac0 132 4.1.1 Phu . o . ng ph´ap ma trˆa . n 133 4.1.2 Phu . o . ng ph´ap Cramer . . . . . . . . . . . . 134 4.1.3 Phu . o . ng ph´ap Gauss . . . . . . . . . . . . . 134 4.2 Hˆe . t`uy ´y c´ac phu . o . ng tr`ınh tuyˆe ´ n t´ınh . . . 143 4.3 Hˆe . phu . o . ng tr`ınh tuyˆe ´ nt´ınh thuˆa ` n nhˆa ´ t . . 165 4.1 Hˆe . n phu . o . ng tr`ınh v´o . i n ˆa ’ nc´od i . nh th´u . ckh´ac 0 Hˆe . phu . o . ng tr`ınh tuyˆe ´ n t´ınh trˆen tru . `o . ng sˆo ´ P d u . o . . cgo . il`ahˆe . Cramer 1 nˆe ´ usˆo ´ phu . o . ng tr`ınh b˘a ` ng sˆo ´ ˆa ’ nv`ad i . nh th´u . ccu ’ a ma trˆa . nco . ba ’ n (ma trˆa . nhˆe . sˆo ´ )cu ’ ahˆe . l`a kh´ac khˆong. 1 G. Cramer (1704-1752) l`a nh`a to´an ho . c Thu . yS˜ı. 4.1. Hˆe . n phu . o . ng tr`ınh v´o . i n ˆa ’ nc´od i . nh th´u . c kh´ac 0 133 Hˆe . Cramer c´o da . ng a 11 x 1 + a 12 x 2 + ···+ a 1n x n = h 1 , a 21 x 1 + a 22 x 2 + ···+ a 2n x n = h 2 , . . . . . . a n1 x 1 + a n2 x 2 + ···+ a nn x n = h n (4.1) hay du . ´o . ida . ng ma trˆa . n AX = H (4.2) trong d ´o A = a 11 a 12 . a 1n a 21 a 22 . a 2n ··· . . . . . . . . . a n1 a n2 . a nn ,X= x 1 x 2 . . . x n ,H= h 1 h 2 . . . h n ho˘a . c a 11 a 21 . . . a n1 x 1 + a 12 a 22 . . . a n2 x 2 + ···+ a 1n a 2n . . . a nn x n = h 1 h 2 . . . h n . 4.1.1 Phu . o . ng ph´ap ma trˆa . n V`ı detA =0nˆentˆo ` nta . i ma trˆa . n nghi . ch da ’ o A −1 . Khi d´ot`u . (4.2) ta thu d u . o . . c A −1 AX = A −1 H ⇒ EX = X = A −1 H. Vˆa . yhˆe . nghiˆe . m duy nhˆa ´ tl`a X = A −1 H. (4.3) Tuy nhiˆen viˆe . c t`ım ma trˆa . n nghi . ch d a ’ o n´oi chung l`a rˆa ´ tph´u . cta . pnˆe ´ u cˆa ´ pcu ’ a ma trˆa . n A l´o . n. 134 Chu . o . ng 4. Hˆe . phu . o . ng tr`ınh tuyˆe ´ n t´ınh 4.1.2 Phu . o . ng ph´ap Cramer Nghiˆe . m duy nhˆa ´ tcu ’ ahˆe . Cramer du . o . . c x´ac d i . nh theo cˆong th´u . c Cramer: x j = det(A j ) detA ,j= 1,n (4.4) trong d ´o A j l`a ma trˆa . nthudu . o . . ct`u . ma trˆa . n A b˘a ` ng c´ach thay cˆo . t th´u . j bo . ’ icˆo . t c´ac hˆe . sˆo ´ tu . . do H, v`a c´ac cˆo . t kh´ac gi˜u . nguyˆen. 4.1.3 Phu . o . ng ph´ap Gauss Nˆo . i dung chu ’ yˆe ´ ucu ’ aphu . o . ng ph´ap Gauss (hay thuˆa . t to´an Gauss) l`a khu . ’ liˆen tiˆe ´ p c´ac ˆa ’ ncu ’ ahˆe . . Thuˆa . t to´an Gauss du . . a trˆen c´ac ph´ep biˆe ´ n d ˆo ’ iso . cˆa ´ p hˆe . phu . o . ng tr`ınh. D ´o l`a c´ac ph´ep biˆe ´ ndˆo ’ i: 1 + Nhˆan mˆo . tphu . o . ng tr`ınh n`ao d ´ocu ’ ahˆe . v´o . imˆo . tsˆo ´ kh´ac 0. 2 + Thˆem v`ao mˆo . tphu . o . ng tr`ınh n`ao d ´ocu ’ ahˆe . mˆo . tphu . o . ng tr`ınh kh´ac nhˆan v´o . imˆo . tsˆo ´ t`uy ´y. 3 + Dˆo ’ ichˆo ˜ hai phu . o . ng tr`ınh cu ’ ahˆe . . D - i . nh l´y. Mo . iph´ep biˆe ´ nd ˆo ’ iso . cˆa ´ p thu . . chiˆe . ntrˆen hˆe . phu . o . ng tr`ınh (4.1) d ˆe ` udu . ad ˆe ´ nmˆo . thˆe . phu . o . ng tr`ınh m´o . itu . o . ng d u . o . ng. Viˆe . c thu . . chiˆe . n c´ac ph´ep biˆe ´ nd ˆo ’ iso . cˆa ´ ptrˆenhˆe . phu . o . ng tr`ınnh (4.1) thu . . cchˆa ´ t l`a thu . . chiˆe . n c´ac ph´ep biˆe ´ nd ˆo ’ iso . cˆa ´ p trˆen c´ac h`ang cu ’ a ma trˆa . nmo . ’ rˆo . ng cu ’ ahˆe . . Do d ´o sau mˆo . tsˆo ´ bu . ´o . cbiˆe ´ nd ˆo ’ itathudu . o . . chˆe . (4.1) tu . o . ng d u . o . ng v´o . ihˆe . tam gi´ac b 11 x 1 + b 12 x 2 + ···+ b 1n x n = h 1 b 22 x 2 + ···+ b 2n x n = h 2 . . . b nn x n = h n T`u . d ´or´ut ra x n ,x n−1 , .,x 2 ,x 1 . 4.1. Hˆe . n phu . o . ng tr`ınh v´o . i n ˆa ’ nc´od i . nh th´u . c kh´ac 0 135 C ´ AC V ´ IDU . V´ı d u . 1. Gia ’ ic´achˆe . phu . o . ng tr`ınh sau b˘a ` ng phu . o . ng ph´ap ma trˆa . n 1) x 1 + x 2 + x 3 =4, x 1 +2x 2 +4x 3 =4, x 1 +3x 2 +9x 3 =2. (4.5) 2) 3x 1 +2x 2 − x 3 =1, x 1 + x 2 +2x 3 =2, 2x 1 +2x 2 +5x 3 =3. (4.6) Gia ’ i. 1) Ta k´yhiˆe . u A = 111 124 139 ,X= x 1 x 2 x 3 ,H= 4 4 2 . Khi d ´ophu . o . ng tr`ınh (4.5) c´o da . ng AX = H. V`ı detA =2=0nˆenA c´o ma trˆa . n nghi . ch d a ’ o v`a do vˆa . yhˆe . (4.5) c´o nghiˆe . m duy nhˆa ´ t: X = A −1 H. Dˆe ˜ d`ang thˆa ´ yr˘a ` ng A −1 = 3 −31 − 5 2 4 − 3 2 1 2 −1 1 2 v`a do d ´o x 1 x 2 x 3 = 3 −31 − 5 2 4 − 3 2 1 2 −1 1 2 4 4 2 . 136 Chu . o . ng 4. Hˆe . phu . o . ng tr`ınh tuyˆe ´ n t´ınh Thu . . chiˆe . n ph´ep nhˆan ma trˆa . no . ’ vˆe ´ pha ’ itathud u . o . . c x 1 =3· 4 − 3 · 4+1· 2=2, x 2 = − 5 2 · 4+4· 4 − 3 2 · 2=3, x 3 = 1 2 · 4 − 1 · 4+ 1 2 · 2=−1. 2) Viˆe ´ t ma trˆa . n A cu ’ ahˆe . v`a t`ım A −1 : A = 32−1 11 2 22 5 ⇒ A −1 = 1 −12 5 −117−7 0 −21 . T`u . d ´o suy r˘a ` ng x 1 x 2 x 3 = 1 −12 5 −117−7 0 −21 1 2 3 = −8 12 −1 t´u . cl`a x 1 =8,x 2 =12,x 3 = −1. V´ı du . 2. ´ Ap du . ng quy t˘a ´ c Cramer, gia ’ ic´achˆe . phu . o . ng tr`ınh 1) x 1 +2x 2 +3x 3 =6, 2x 1 − x 2 + x 3 =2, 3x 1 − x 2 − 2x 3 =2. (4.7) 2) x 1 − 2x 2 +3x 3 − x 4 =6, 2x 1 +3x 2 − 4x 3 +4x 4 =7, 3x 1 + x 2 − 2x 3 − 2x 4 =9, x 1 − 3x 2 +7x 3 +6x 4 = −7. (4.8) Gia ’ i. 1) ´ Ap du . ng cˆong th´u . c (4.4) x j = det(A j ) detA ,j= 1, 3 4.1. Hˆe . n phu . o . ng tr`ınh v´o . i n ˆa ’ nc´od i . nh th´u . c kh´ac 0 137 trong d´o detA = 12 3 3 −11 31−2 =30= 0; detA 1 = 62 3 2 −11 21−2 = 30; detA 2 = 16 3 22 1 32−2 = 30; detA 3 = 126 2 −12 312 =30. T`u . d ´o suy ra x 1 =1,x 2 =1,x 3 =1. 2) T´ınh d i . nh th´u . ccu ’ ahˆe . : detA = 1 −23−1 23−44 31−2 −2 1 −37 6 =35. V`ı detA =0nˆen hˆe . c´o nghiˆe . m duy nhˆa ´ t v`a nghiˆe . md u . o . . c t`ım theo cˆong th´u . c (4.4). Ta t´ınh c´ac d i . nh th´u . c det(A 1 )= 6 −23−1 −73−44 91−2 −2 −7 −37 6 =70, 138 Chu . o . ng 4. Hˆe . phu . o . ng tr`ınh tuyˆe ´ n t´ınh det(A 2 )= 16 3−1 2 −7 −44 39−2 −2 1 −77 6 = −35, det(A 3 )= 1 −26−1 23−74 31 9−2 1 −3 −76 =0, det(A 4 )= 1 −23 6 23−4 −7 31−29 1 −37−7 = −70. Do d ´o x 1 = det(A 1 ) detA =2,x 2 = det(A 2 ) detA = −1, x 3 = det(A 3 ) detA =0,x 4 = det(A 4 ) detA = −2. V´ı du . 3. ´ Ap du . ng phu . o . ng ph´ap Gauss gia ’ ic´achˆe . phu . o . ng tr`ınh 1) x 1 − 2x 3 = −3, −2x 1 + x 2 +6x 3 =11, −x 1 +5x 2 − 4x 3 = −4. 2) 2x 1 − x 2 +3x 3 − x 4 =9, x 1 + x 2 − 2x 3 +4x 4 = −1, 3x 1 +2x 2 − x 3 +3x 4 =0, 5x 1 − 2x 2 + x 3 − 2x 4 =9. 4.1. Hˆe . n phu . o . ng tr`ınh v´o . i n ˆa ’ nc´od i . nh th´u . c kh´ac 0 139 Gia ’ i. 1) Lˆa . p ma trˆa . nmo . ’ rˆo . ng v`a thu . . chiˆe . n c´ac ph´ep biˆe ´ nd ˆo ’ i: A = 10−2 −3 −21 6 11 −15−4 −4 h 2 +2h 1 → h 2 h 3 + h 1 → h 3 −→ 10−2 −3 01 2 5 05−6 −7 −→ h 3 − 5h 2 → h 3 10 −2 −3 01 2 5 00−16 −32 . T`u . d ´o suy ra x 1 − 2x 3 = −3 x 2 +2x 3 =5 −16x 3 = −32 ⇒ x 1 =1,x 2 =1,x 3 =2. 2) Lˆa . p ma trˆa . nmo . ’ rˆo . ng v`a thu . . chiˆe . n c´ac ph´ep biˆe ´ nd ˆo ’ iso . cˆa ´ p: 2 −13−1 9 11−24 −1 32−13 0 5 −21−2 9 h 1 → h 2 h 2 → h 1 −→ 11−24 −1 2 −13−1 9 32−13 0 5 −21−2 9 −→ h 2 − 2h 1 → h 2 h 3 − 3h 1 → h 3 h 4 − 5h 1 → h 4 11−24 −1 0 −37 −9 11 0 −15 −9 3 0 −711−22 14 h 2 → h 3 h 3 → h 2 −→ 140 Chu . o . ng 4. Hˆe . phu . o . ng tr`ınh tuyˆe ´ n t´ınh −→ 11−24 −1 0 −15 −9 3 0 −37 −9 11 0 −711−22 14 h 3 − 3h 2 → h 3 h 4 − 7h 2 → h 4 −→ 11 −24 −1 0 −15−9 3 00 −818 2 00−24 41 −7 −→ h 4 − 3h 3 → h 4 11−24 −1 0 −15 −9 3 00−818 2 00 0−13 −13 T`u . d ´o suy ra r˘a ` ng x 1 =1,x 2 = −2, x 3 =2,x 4 =1. B ` AI T ˆ A . P Gia ’ i c´ac hˆe . phu . o . ng tr`ınh tuyˆe ´ n t´ınh sau 1. x 1 − x 2 +2x 3 =11, x 1 +2x 2 − x 3 =11, 4x 1 − 3x 2 − 3x 3 =24. .(D S. x 1 =9,x 2 =2,x 3 =2) 2. x 1 − 3x 2 − 4x 3 =4, 2x 1 + x 2 − 3x 3 = −1, 3x 1 − 2x 2 + x 3 =11. .(D S. x 1 =2,x 2 = −2, x 3 =1) 3. 2x 1 +3x 2 − x 3 =4, x 1 +2x 2 +2x 3 =5, 3x 1 +4x 2 − 5x 3 =2. .(D S. x 1 = x 2 = x 3 =1) [...]... x2 + x3 + x4 x1 + x2 − 2x3 − x4 x1 + x2 − 4x3 + 3x4 x1 + x2 + 7x3 + 5x4 = 1, = 0, = 2, = 3 2 − 3x2 − 2x4 1 − 2x4 , x3 = , x2 , x4 t`y y) u ´ 3 3 x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 5, x2 + 2x3 + 3x4 = 1, = 2, x1 + 3x3 + 4x4 x1 + x2 + 5x3 + 6x4 = 1 (DS x1 = 10 15 3 13 , x2 = , x3 = − , x4 = 2) 4 2 4 x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 30, −x1 + 2x2 − 3x3 + 4x4 = 10, x2 − x3 + x4 = 3, ... = 0, x4 = 1) 32 x1 + 2x2 + 3x3 − 2x4 2x1 − x2 − 2x3 − 3x4 3x1 + 2x2 − x3 + 2x4 2x1 − 3x2 + 2x3 + x4 = 6, = 8, = 4, = −8 (DS x1 = 1, x2 = 2, x3 = −1, x4 = −2) 33 x2 − 3x3 + 4x4 x1 − 2x3 + 3x4 3x1 + 2x2 − 5x4 4x1 + 3x2 − 5x3 = −5, = 4, = 12, = 5 (DS x1 = 1, x2 = 2, x3 = 1, x4 = −1) 34 x1 + x2 − x3 + x4 2x1 − x2 + 3x3 − 2x4 x1 − x3 + 2x4 3x1 − x2 + x3 − x4 = 4, ... 3x3 + 4x4 = 7, 2x1 + 4x2 + 5x3 − x4 = 2 hay 2x2 − 3x3 = 7 − x1 − 4x4 , 4x2 + 5x3 = 2 − 2x1 + x4 ´ Chu.o.ng 4 Hˆ phu.o.ng tr`nh tuyˆn t´ e ı e ınh 148 ’ ´ 2 Ta c´ thˆ giai hˆ theo quy t˘c Cramer D˘t x1 = α, x4 = β ta o e ’ e a a c´ o 2x2 − 3x3 = 7 − α − 4 , 4x2 + 5x3 = 2 − 2α + β ı Theo cˆng th´.c Cramer ta t`m du.o.c o u 7 − α − 4 −3 2 − 2α + β 5 x2 = x3 = 22 2 7 − α − 4 4 2 − 2α + β 22 = = 41 ... x3 + x4 (DS x1 = 11 (DS x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3, x4 = 4) 12 5x1 + x2 − 3x3 2x1 − 5x2 + 7x3 4x1 + 2x2 − 4x3 5x1 − 2x2 + 2x3 = −6, = 9, = −7, = 1 1 1 3 (DS x1 = − , x2 = , x3 = ) 3 6 2 13 x1 − x2 + x3 − x4 x1 + x2 + 2x3 + 3x4 2x1 + 4x2 + 5x3 + 10x4 2x1 − 4x2 + x3 − 6x4 = 4, = 8, = 20, = 4 3 1 a u ´ (DS x1 = 6 − x3 − x4, x2 = 2 − x3 − 2x4 , x3 v` x4 t`y y) 2 2 ´ 4. 2 Hˆ... ınh 3 x1 + x2 + 2x3 + x4 = 1, x1 − 2x2 − x4 = −2 1 (DS x3 = (−2x1 + x2 − 1), x4 = x1 − 2x2 + 2, 2 u ´ x1 , x2 t`y y) x1 + 5x2 + 4x3 + 3x4 = 1, 4 2x1 − x2 + 2x3 − x4 = 0, 5x1 + 3x2 + 8x3 + x4 = 1 14 2 1 6 7 2 , x2 = − x3 − x4 + , (DS x1 = − x3 + x4 + 11 11 11 11 11 11 u ´ x3 , x4 t`y y) 3x1 + 5x2 + 2x3 + 4x4 = 3, 5 2x1 + 3x2 + 4x3 + 5x4 = 1, 5x1 + 9x2 − 2x3 + 2x4 = 9 e o e (DS Hˆ vˆ... −1, x4 = 1) 13 x1 − 2x2 + x3 − 4x4 − x5 x1 + 2x2 + 3x3 − 5x4 x2 − 2x3 + x4 + 3x5 − 7x3 + 8x4 − x5 x1 − 5x5 3x1 − x2 = 13, = 15, = −7, = −30, = 4 (DS x1 = 1, x2 = −1, x3 = 2, x4 = −2, x5 = 0) 14 x1 + x2 + 4x3 + x4 − x5 x1 − 2x2 − 2x3 + 3x5 4x2 + 3x3 − 2x4 + 2x5 − x3 + 3x4 − 2x5 2x1 − 5x4 + 3x5 3x1 + 2x2 (DS x1 = = 2, = 0, = 2, = −2, = 3 2 3 4. .. ınh 14 e o e (DS Hˆ vˆ nghiˆm) 15 x1 + 2x2 + 3x3 − 2x4 2x1 − x2 − 2x3 − 3x4 3x1 + 2x2 − x3 + 2x4 2x1 − 3x2 + 2x3 + x4 = 1, = 2, = −5, = 11 2 43 , x2 = − , x3 3 18 x1 + 2x2 − 3x3 + 5x4 x1 + 3x2 − 13x3 + 22x4 3x1 + 5x2 + x3 − 2x4 2x1 + 3x2 + 4x3 − 7x4 (DS x1 = 16 = 2, = −3, = 5, = 8 x1 − 2x2 + 3x3 − 4x4 3x1 + 3x2 − 5x3 + x4 −2x1 + x2 + 2x3 − 3x4 3x1 + 3x3 − 10x4 13... 7 , x4 = − ) 9 18 = 1, = −1, = 5, = 4 = u ´ (DS x1 = −17x3 + 29x4 + 5, x2 = 10x3 − 17x4 − 2, x3, x4 t`y y) x1 − 5x2 − 8x3 + x4 = 3, 3x1 + x2 − 3x3 − 5x4 = 1, 17 = −5, x1 − 7x3 + 2x4 11x2 + 20x3 − 9x4 = 2 e o e (DS Hˆ vˆ nghiˆm) x2 − 3x3 + 4x4 x − 2x3 + 3x4 1 18 3x1 + 2x2 − 5x4 4x1 + 3x2 − 5x3 = −5, = 4, = 12, = 5 (DS x1 = 1, x2 = 2, x3 = 1, x4 = −1)... 3x2 − 6x3 − 2x4 = −1, = −2, 6x1 + x2 − 2x4 6x1 − 7x2 + 21x3 + 4x4 = 3, = 3, 9x1 + 4x2 + 2x4 12x1 − 6x2 + 21x3 + 2x4 = 1 (DS x1 = 30 (DS x1 = 7 11 16 , x2 = 4, x3 = − , x4 = ) 5 5 5 161 ´ Chu.o.ng 4 Hˆ phu.o.ng tr`nh tuyˆn t´ e ı e ınh 162 31 = 1, = 4, = −6, = 4 x1 + x2 + 2x3 + 3x4 3x1 − x2 − x3 − 2x4 2x1 + 3x2 − x3 − x4 x1 + 2x2 + 3x3 − x4 (DS x1 = x2 =... + 4x2 − 2x = 13 2x1 − x2 + x3 + 2x4 = 5, x1 + 3x2 − x3 + 5x4 = 4, 5x1 + 4x2 + 3x3 = 2, 3x1 − 3x2 − x3 − 6x4 = −6 1 2 4 , x2 = − , x3 = 1, x4 = ) 3 3 3 x1 − 2x2 + 3x3 − x4 = −8, 2x1 + 3x2 − x3 + 5x4 = 19, 4x1 − x2 + x3 + x4 = −1, 3x1 + 2x2 − x3 − 2x4 = −2 (DS x1 = 9 10 1 3 1 (DS x1 = − , x2 = , x3 = − , x4 = 3) 2 2 2 x1 − x3 + x4 = 3, 2x1 + 3x2 − x3 − x4 = . Chương 4. Hệ phương trình tuyến tính Nguyễn Thủy Thanh Bài tập toán cao câp tâp 1. NXB Đại học quốc gia Hà Nội 2006. Tr 132-176. Từ khoá: Hệ phương trình. khoá: Hệ phương trình tuyến tính, Phương pháp matrân, Phương pháp Gauss, Phương pháp Gramer, Phương trình tuyến tính, Phương trình tuyến tính thuần nhất. Tài