Bài giảng phương pháp tính chương 2 hệ phương trình tuyến tính ax =b TS nguyễn quốc lân

2 22

21

1 12

n

n n

a a

a

a a

a

a a

a

a a

a a

a A







00

11

 Giải lùi

514

76

13

22

3 2

1

3 2

1

3 2

1

x x

x

x x

x

x x

130

14

3

84

76

2

32

6

21  

m

22

130

14

3

84

76

2

1 3

a

a

m 

:quátTổng

GIẢI LÙI & PHẦN TỬ TRỤ

124

14

5

3

00

10

22

Điều kiện: Khử cột 1: a 11 (1)  0 & Khử cột 2: a 22 (2)  0 & Giải lùi: a 33 (3)  0  Phần tử trụ (pivot) a kk  0

Giải lùi với hệ tam giác trên thu được:

32

1

31

52

14

4

3 2

1

3 2

3

x x

x

x x

25

13

2

2

3

3 2

3 2

1

x

x x

x x

2

x

41

KHỬ GAUSS VỚI LỆNH MAPLE

4

2

203

32

2

82

4 3

2 1

3 2

1

4 3

2 1

4 3

2 1

x x

x x

x x

x

x x

x x

x x

x x

> A := matrix(2,3,[2, 3, 4, 1, 2, 3]); # Nhập ma trận

> m21 := A[2,1]/A[1,1]; # Tính hệ số khử

> A := addrow(A,1,2,–m21) ; # Cộng hàng h 2  h 2 – m 21 h 1

> A := swaprow(A,1,2) ; # Nếu cần thiết, đổi hàng h 2  h 1

> x := backsup(A) ; # Hệ đã ở dạng tam giác trên: Giải lùi

> AA := gausselim(A); # Lệnh gộp khử Gauss toàn ma trận

> with(linalg); # Khởi động gói lệnh Đại số tuyến tính

KHỬ GAUSS VỚI MA TRẬN “LẺ”: PIVOT ĐƠN VỊ

1

168

0

152

0

264

1

08.2

3.100

7.00

0

08.27

.00

3.108

.27

.0

03

.108

.2

108

.27

.0

168

03

.108

.27

.0

152

03

.108

.27

.0

608

03

.108

.2

4 3

3 3

2

3 2

1

2 1

x x

x x

x

x x

x

x x

0

593

0

636

0

006

1

y

THỰC TẾ TÍNH TOÁN: VẤN ĐỀ LÀM TRÒN SỐ

-Quy tắc làm tròn trên máy tính: Làm tròn chữ số có nghĩa

35,1210

235,

110

234567,

134567

Biến đổi cột một: (E 2 )  (E 2 ) – m 21 (E 1 )

???

:10

001

1104400

104300

17.5914

.59003

0

1

2 2

x x

.6291

5

)(E17.5914

.59003

0

2 2

1

1 2

1

x x

PHÂN TÍCH NHÂN TỬ (MATRIX FACTORIZATIONS)

0

*

*0

0

*

*

*0

*

*

00

1

*

00

01

y Ux

11

00

11

20

12

73

138

3

0152

00

11

00

01

125

59

50

46

01

53

22

73

A

Giải Ux = y tìm x

PHÂN TÍCH NHÂN TỬ A = LU

Kết quả: Nếu quá trình khử Gauss diễn ra bình thường

0

510

32

2

142

013

00

1

GIẢI THUẬT TÌM LU (CROUT – DOOLITLE)

308

4

147

6

32

32 31 21







m m m

013

00

i

k ik kj

ij

ij a l u u

k ik kj

ij jj

u l

Tự xem SGK/ 35

Phân tích LU với đường chéo chính L bằng 1  Khử Gauss (không đổi hàng) Các hệ số khử tạo L, ma trận kết quả: U

MINH HOẠ GIẢI THUẬT DOOLITLE (ĐCHÉO L = 1)

4

147

6

32

0

,1

01

00

1

U L

32 32

31 33

n j

j i ij

T n

T

x x

0

25

1

01

1

GIẢI THUẬT CHOLESKY

k jk ik

ji ii

b b

Ax = b  (BB T )x = b  B T x = y & By = b: 2 hệ  (như LU)

A k0 xác định dương (chỉ đối xứng): A = BB T có thể chứa số

MINH HOẠ GIẢI THUẬT CHOLESKY

0

25

1

01

b

a

b 

2 21 22

22

21 31

32 32

b

b b

a

2 32

2 31 33

j = 3

q y

x

x

x x

:)

()

(

)

(0

A

1 1

A

1 1

1 max

3

0,

2.5

4.7

1

43

14

32

13

2

3 2

1

3 2

1

3 2

1

x x

x

x x

x

x x

x

36

1213

x x

1

1

2

1

x

x x

5

34

2

23

1

A A A

LẶP JACOBI

-Với vectơ x (0) = [0, 0, 0] T , tìm vectơ nghiệm xấp xỉ x (k) của phép

lặp Jacobi với hệ sau Dừng: x (k) “giống” x (k-1) (khoảng 0.3)

1/ Rút x trên đường chéo chính  Đưa về dạng x = Tx + c

2

910

3

5.73

10

3 2

1

3 2

1

3 2

1

x x

x

x x

x

x x

025

.0125

08

5

28

28

1

9.01

.03

010

910

110

3

75.01

.03

010

5

710

110

3

2 1

2 1

3

3 1

3 1

2

3 2

3 2

1

x x

x x

x

x x

x x

x

x x

x x

x

9.0

75

0,

110

48

3,10

4max,

08

28

1

10

10

10

3

10

110

30

c T

025

.0125

.0

9.01

.03

.0

75.01

.03

.0

)

( 2

)

( 1

) 1

( 3

)

( 3

)

( 1

) 1

( 2

)

( 3

)

( 2

) 1

( 1

k k

k

k k

k

k k

k

x x

x

x x

x

x x

x

75

09

0

3125

025

.0125

.0

9.01

.03

.0

75.01

.03

.0

) 0 ( 2

) 0 ( 1

) 1 ( 3

) 0

( 3

) 0

( 1

) 1

( 2

) 0

( 3

) 0

( 2

) 1

( 1

x x

x

x x

x

x x

x

LẶP JACOBI KHÔNG BIẾN ĐỔI MA TRẬN A

8

93

10

5.73

10

2 1

3

3 1

2

3 2

1 /

x x

x

x x

x

x x

x

cheùo Ñ

8

93

10

5.73

10

)

( 2

)

( 1

) 1

( 3

)

( 3

)

( 1

) 1

( 2

) ( 3

) ( 2

) 1 ( 1

k k

k

k k

k

k k

k

x x

x

x x

x

x x

x (k+1) ) ; Chuyển số hạng còn lại sang vế phải ( x (k) )

2

910

3

5.73

10

3 2

1

3 2

1

3 2

1

x x

x

x x

x

x x

2

910

3

5.73

10

) 1

( 3

)

( 2

)

( 1

) ( 3

) 1 ( 2

) ( 1

)

( 3

)

( 2

) 1

( 1

k k

k

k k

k

k k

k

x x

x

x x

x

x x

ngoài đường chéo chính Xem x (k+1) là ẩn Giảix (k+1)

TÍNH TỐN & KẾT QUẢ LẶP JACOBI

10

93

10

5.73

)

( 2

)

( 1 )

1

(

3

) ( 3

) ( 1 )

)

( 2 )

k

k k

k

k k

x

x x

x

x x

x

x x

2

910

3

5.73

10

:

3 2

1

3 2

1

3 2

1

x x

x

x x

x

x x

8

93

10

5.73

10:

)

( 2

)

( 1

) 1

( 3

)

( 3

)

( 1

) 1

( 2

)

( 3

)

( 2

) 1

( 1

k k

k

k k

k

k k

k

x x

x

x x

x

x x

x

JacobiLặp

Ưu điểm Lặp Jacobi: Giải các hệ “thưa” (chứa rất nhiều số 0)

n

i j j

(k-0.9

910

3

5.73

10

:

3 2

1

3 2

1

3 2

1

x x

x

x x

x

x x

10

93

10

5.73

)

( 2

)

( 1 )

1

( 3

)

( 3

)

( 1 )

1 ( 2

)

( 3

)

( 2 )

1

( 1

k

k k

k

k k

k

k k

x

x x

x

x x

x

x x

Lặp Jacobi

10

93

10

5.73

) 1

( 2

) 1

( 1 )

1

( 3

)

( 3

) 1

( 1 )

1

( 2

)

( 3

)

( 2 )

1

( 1

k

k k

k

k k

k

k k

x

x x

x

x x

x

x x

Gauss

Seidel

LẶP GAUSS – SEIDEL: SƠ ĐỒ TÁCH MA TRẬN

2

910

3

5.73

10

) 1

( 3

) 1

( 2

) 1

( 1

)

( 3

) 1

( 2

) 1

( 1

)

( 3

)

( 2

) 1

( 1

k k

k

k k

k

k k

k

x x

x

x x

x

x x

2

910

3

5.73

10

3 2

1

3 2

1

3 2

1

x x

x

x x

x

x x

1



k k

Gauss - Seidel: Biết x (k)  Tính vế phải b (k)  Giải hệ ra x (k+1)

LẶP GAUSS – SEIDEL: VÍ DỤ TÁCH MA TRẬN

-Xét ví dụ lặp Gauss – Seidel, x (0) = [0, 0, 0] T Công thức lặp:

Phép lặp  Thay hệ Ax = b bằng giải liên tiếp nhiều hệ 

 k k

k k

k k

k

k k

k

b x

x x

x x

x

x x

2

910

3

5.73

10

) 1

( 3

) 1

( 2

) 1

( 1

)

( 3

) 1

( 2

) 1

( 1

)

( 3

)

( 2

) 1

( 1

x

2 b

1 0

k

x (k) -x (k-1) 

0.0

b x

TỔNG KẾT LẶP JACOBI & GAUSS – SEIDEL

2

910

3

5.73

10

3 2

1

3 2

1

3 2

1

x x

x

x x

x

x x

8

93

10

5.73

10

)

( 2

)

( 1

) 1

(

3

) ( 3

) ( 1

) 1 (

2

)

( 3

)

( 2

) 1

(

1

k k

k

k k

k

k k

k

x x

x

x x

x

x x

8

93

10

5.73

10

) 1

( 2

) 1

( 1

) 1

( 3

) ( 3

) 1 ( 1

) 1 ( 2

)

( 3

)

( 2

) 1

( 1

k k

k

k k

k

k k

k

x x

x

x x

x

x x

8

93

10

5.73

10

2 1

3

3 1

2

3 2

1

x x

x

x x

x

x x

x

2

2

2

y x

.4

2

2

2

y x

3

21

.4

109

57

9106

8

565

7

78

710

1.33

9.22

1.32:

.499

.6

989

.998.58

56

04.508

.7

2.71.87

10

:

'

A A

b x

x A

A

x





SỐ ĐIỀU KIỆN CỦA HỆ Ax = b

-•“Nhiễu” vế phải A(x + x) = b + b 

b

b x

A x

A x

A A

A A

A x

Hệ điều kiện xấu (ill – conditionned): (A) >> 1

9106

8

565

7

787

106

35

1710

1017

6841

610

4125

5

09.58003

1

A

PHƯƠNG PHÁP TÌM MA TRẬN NGƯỢC

t z

 Vẫn trong chế độ giải hệ phương trình, giải tiếp hệ A.c 2

= e 2 = [0 1] T (vectơ đơn vị thứ nhì)  Cột 2 của A -1

 Trường hợp ma trận cấp 3: Giải 3 hệ Ac 1 = e 1 , Ac 2 = e 2 , Ac 3

= e 3 với e 1 , e 2 , e 3 lần lượt là 3 vectơ đơn vị  Tìm được 3 vectơ nghiệm c 1 , c 2 , c 3 : 3 cột của ma trận ngược A –1 cần tìm