Bài giảng toán rời rạc chương 2 quan hệ hai ngôi

c Ma trận biểu diễn quan hệ:j i ij bRakhi0 Rba khi 1m Sắp xếp các phần tử của A&B theo một trật tự nào đó lần lượt trên một hàng ngang & hàng dọc, khi đó:... 2.2 QUAN HỆ TƯƠNG ĐƯƠNGQuan

Chương 2

2.2 Quan hệ tương đương

2.3 Quan hệ thứ tự

2.1 Định nghĩa

QUAN HỆ HAI NGÔI

2.1 ĐỊNH NGHĨA

a) Tích đề-các:

 Tích đề-các của hai tập A&B là tập:

},

/),{(a b a A b B B

}/

),

,{(

Ví dụ:

Cho 2 tập: A = {1; 2; 3}, B = {a, b}

AB = {(1; a), (1; b), (2; a), (2; b), (3; a), (3; b)}BA = {(a; 1), (a; 2), (b; 1), (b; 2), (c; 1), (c; 2)}AA = A2 = {(1; 1), (1; 2), (1; 3), (2; 1), (2; 2), (2; 3), (3; 1), (3; 2), (3; 3)}

+ Nếu A = B ta nói R là quan hệ (hai ngôi) trên A.

 Quan hệ R trên tập A gọi là đối xứng nếu:

 a, b  A, aRb  bRa

 Quan hệ R trên tập A gọi là phản đối xứng nếu:

 a, b  A, aRb & bRa  a = b

 Quan hệ R trên tập A gọi là bắc cầu nếu:

 a, b, c  A, aRb & bRc  aRc

Ví dụ

Xét quan hệ hai ngôi R trên N như sau:

“ a, b  N, aRb  (a + b) là số chẵn”

Hãy kiểm tra các tính phản xạ, đối xứng, bắc cầu,

phản đối xứng của quan hệ R

2 Quan hệ đồng dư “mod n”: Trên tập số

nguyên z, định nghĩa quan hệ như sau:

a, b  z, aRb  (a – b) chia hết cho n

Ví dụ

1 Quan hệ “chia hết”: Trên tập N* định nghĩa

quan hệ sau:

m, n  N*, mRn  n chia hết cho m

c) Ma trận biểu diễn quan hệ:

j i

ij

bRakhi0

Rba

khi

1m

Sắp xếp các phần tử của A&B theo một trật tự nào

đó lần lượt trên một hàng ngang & hàng dọc, khi đó:

Ví dụ

Cho A = {1; 3; 7; 9}, B = {1; 21; 28}Xét quan hệ hai ngôi R giữa A&B sau:

aRb  “a là ước của b”

Một ma trận biểu diễn quan hệ trên:

0 1 1 1

0 0 0 1

28 21 1

9 7 3 1

R

M

2.2 QUAN HỆ TƯƠNG ĐƯƠNG

Quan hệ R gọi quan hệ tương đương nếu nó có tính phản xạ, đối xứng và bắc cầu

 Tính phản xạ:

aRan

0a)

(aZ,

bRa n

a) (b

n a) (b

n b) (a

aRb Z,

b a,

aRc n

c) (a

n c) b

b (a

n c)

(b

-n b) (a

bRc

aRb Z,

c b, a,

Lớp tương đương và phân hoạch

 Cho tập A Một phân hoạch của A:

S = {A1, A2, …, An, …/Ai  A}

Thỏa các điều kiện sau:

A A

A A

ii

j i

A A

i

n

j i

2 1



 Cho R là một quan hệ tương đương trên tập A

và xA Lớp tương đương chứa x là tập hợp các phần tử của A có quan hệ với x, kí hiệu:

A/aRx}

{a)

x(hay

Và

}/

S   là một phân hoạch của A.

 Ghi chú: Tập hợp các lớp tương đương S của A

gọi là tập thương của A

Ví dụ

Cho f(x) = x2 + 2x Trên tập số thực R, xét quan hệ tương đương R sau:

a, bR, aRb  f(a) = f(b)Xác định các lớp tương đương [0], [1],[2]?

[0] = {x/ xR0} = {x/ f(x) = f(0)}

= {x/ x2 + 2x = 0} = {0; -2}

[1] = {1; -3}, [2] = {2; -4}

HD

} ,

4 5

/ {

] 4 [

} ,

1 5

/ {

] 1 [

} ,

5 /

{ ] 0 [

Z k

k x

Z x

Z k

k x

Z x

Z k

k x

Z x

HD

2.3 QUAN HỆ THỨ TỰ

Quan hệ R gọi quan hệ thứ tự nếu nó có tính phản

xạ, phản đối xứng và bắc cầu

Ví dụ

Chứng tỏ các quan hệ sau là quan hệ thứ tự:

1 Trên tập số thực R, xét quan hệ “” thông thường:

a, b  R, aRb  a  b

2 Trên tập N*, xét quan hệ chia hết sau:

a, b N*, aRb  “b chia hết cho a”

HD

1 Ta kiểm tra các tính chất sau:

 Tính đối xứng:

a N*, a  a  aRa  R có tính phản xạ