Bài giảng toán rời rạc chương 4 lý thuyết đồ thị

Chương 4: LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ Chương 4.1 4.2 4.3 MỞ ĐẦU CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN ĐỒ THỊ EULER 4.4 ĐỒ THỊ HAMILTON 4.5 BÀI TỐN TÌM ĐƯỜNG ĐI NGẮN NHẤT 4.6 CÂY 4.I MỞ ĐẦU Bài toán cầu Konigsber Năm 1736 Euler, cha đẻ lý thuyết đồ thị, giải tốn hóc búa tiếng thời cầu Konigberg Thành phố Konigberg có hai hịn đảo nối với với bờ sông cầu hình vẽ Tìm đường qua tất cầu, cầu qua lần, sau quay nơi xuất phát 4.2 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 4.2.1 Đồ thị, đỉnh, cạnh, cung:  Đồ thị vô hướng G = (V, E) gồm tập V đỉnh tập E cạnh nh v w e Ví dụ: 4.2 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN  Đồ thị có hướng G = (V, E) gồm tập V đỉnh tập E cạnh có hướng gọi cung cung v w e Mỗi cạnh e liên kết với cặp đỉnh (v, w) có thứ tự Ví dụ: 4.2 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN  Cho đồ thị G = (V, E) Cạnh e  E liên kết đỉnh v w, ta nói e liên thuộc đỉnh v, w; đỉnh v w gọi kề  Cạnh song song:  Khuyên:  Đỉnh cô lập: 4.2 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN  Đồ thị hữu hạn: đồ thị có số cạnh (cung) hữu hạn  Đồ thị đơn: đồ thị khơng có khun khơng có cạnh song song  Đồ thị đầy đủ: đồ thị mà cặp đỉnh kề  Bậc đỉnh vV tổng số cạnh liên thuộc với nó, kí hiệu d(v) Mỗi khun tính cho bậc d(v) := Số cạnh + 2* Số khuyên 4.2 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN Đỉnh cô lập có bậc  Đỉnh treo: đỉnh có bậc Nửa bậc: Cho đồ thị có hướng G = (V, E) + Nửa bậc đỉnh vV, kí hiệu dr(v) số cung từ đỉnh v + Nửa bậc vào đỉnh vV, kí hiệu dv(v) số cung vào đỉnh v MỘT SỐ TÍNH CHẤT * Tính chất 1: Cho đồ thị G = (V, E) Khi đó: i Tổng bậc đỉnh đồ thị số chẵn d(v) = 2|E| ii Nếu G đồ thị có hướng thì: dv(v) = dr(v) = |E| * Tính chất 2: Cho đồ thị G(V, E) Khi số đỉnh bậc lẻ số chẵn Định lí Cho T đồ thị n đỉnh Các mệnh đề sau tương đương (i) T (ii) T khơng chứa chu trình có n-1 cạnh (iii) T liên thơng có n-1 cạnh (iv) T liên thông cạnh cầu (v) Hai đỉnh nối với đường (vi) T khơng chứa chu trình thêm cạnh nối hai đỉnh ta thu chu trình Ví dụ Cho đồ thị G rừng có t n đỉnh Tìm số cạnh G Đs: (n – t) cạnh 4.6.2 Cây m-phân Cây m-phân mà đỉnh có tối đa m có đỉnh có m Cây m-phân đầy đủ mà đỉnh có m Cây cân mà đỉnh có mức h hay h1, h chiều cao Định lí Nếu m-phân đầy đủ có i đỉnh có n = m.i + đỉnh Hệ  Cho T m-phân đầy đủ có i đỉnh trong, l đỉnh n đỉnh (n = i + l) Khi đó: a l = (m – 1)i + l 1 ml  b i  & n m 1 m 1 n 1 (m  1)n  c i  & l m m Ví dụ Cây ngũ phân đầy đủ với 100 đỉnh có đỉnh tất cả? Cây nhị phân đầy đủ với 1000 đỉnh có cạnh tất cả? Cây tam phân đầy đủ với 100 đỉnh có tất cả? Định lí Cho T m-phân có l chiều cao h Khi đó: l  mh Nếu T m-phân cân đầy đủ thì: h = ]logml[ Trong đó: ]x[ kí hiệu số nguyên nhỏ lớn x 4.6.3 Cây phủ Cho đồ thị G=(V,E) Cây T gọi phủ G, T đồ thị chứa tất đỉnh G a b c d e f g h G T1 Các T1, T2 phủ G T2 Định lí Đồ thị G = (V, E) có phủ  G liên thơng Các thuật tốn tìm phủ Duyệt theo chiều rộng Trong thuật giải ta ký hiệu S dãy đỉnh + Đầu vào Đồ thị G=(V,E) với đỉnh: v1, v2,…, + Đầu Cây phủ T kết luận đồ thị không liên thông + Các bước (1) Khởi tạo: Đặt S := {v1} T đồ thị gồm đỉnh v1 khơng có cạnh, v1 gốc (2) Thêm cạnh: Với xS theo thứ tự, thêm cạnh (x,y) đỉnh y vào T cho không tạo thành chu trình Nếu thêm sang bước (3) Nếu khơng thêm cạnh kết thúc Khi T chứa hết đỉnh đồ thị T phủ, ngược lại đồ thị không liên thông (3) Cập nhật S: Thay S (trong T) đỉnh S theo thứ tự Quay lại bước (2) Ví dụ Dùng thuật tốn duyệt theo chiều rộng tìm phủ với gốc a: a b c d e f g h G Duyệt theo chiều sâu + Đầu vào Đồ thị G=(V,E) với đỉnh v1, v2,…, + Đầu Cây phủ T kết luận đồ thị không liên thông + Các bước (1) Khởi tạo: Đặt w := v1 T đồ thị gồm đỉnh v1 khơng có cạnh, v1 gốc T Ký hiệu e số cạnh T Đặt e:=0 Sang bước (2) (2) Kiểm tra số cạnh:  Nếu e = n-1, kết thúc: T phủ  Nếu e < n-1, sang bước (3) Thêm cạnh: Chọn cạnh (w,vk) với số k nhỏ cho thêm cạnh (w,vk) đỉnh vk vào T không tạo thành chu trình - Nếu khơng tồn cạnh đến bước (4); - Ngược lại thêm cạnh (w,vk) đỉnh vk vào T, số cạnh e tăng lên 1, e:=e+1, đặt w:=vk quay lại bước (2) (4) Kiểm tra điều kiện kết thúc:  Nếu w = v1 , Kết thúc Đồ thị không liên thông  Nếu w  v1 sang bước (5) (5) Quay lui: Giả sử x cha w (trong T) đặt w := x Quay lại bước (3) Ví dụ Dùng thuật tốn duyệt theo chiều sâu tìm phủ với gốc a: a b c d e f g h G .. .Chương 4. 1 4. 2 4. 3 MỞ ĐẦU CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN ĐỒ THỊ EULER 4. 4 ĐỒ THỊ HAMILTON 4. 5 BÀI TỐN TÌM ĐƯỜNG ĐI NGẮN NHẤT 4. 6 CÂY 4. I MỞ ĐẦU Bài toán cầu Konigsber Năm 1736 Euler, cha đẻ lý thuyết đồ. .. dụ v1 e3 v4 e1 v2 e2 e9 e5 v5 e4 e8 v3 e7 e6 v6 a b d e c  Đồ thị liên thông đồ thị mà cặp đỉnh có đường nối chúng với  Đồ thị con: Cho đồ thị G = (V, E) Đồ thị G’ = (G’, E’) đồ thị G nếu:... đồ thị khơng liên thơng Ví dụ v1 v2 v3 v6 v4 v5 v7 Đồ thị liên thông có đỉnh bậc chẵn Ta có chu trình Euler sau (v6, v4, v7, v5, v1, v3, v4, v2, v1, v4, v5, v2, v3, v6) 4. 4 ĐỒ THỊ HAMINTON 4. 4.1