Bài giảng toán rời rạc chương 1 cơ sở logic

Định nghĩaCông thức truy hồi của dãy s0, s1, s2, … là công thức xác định sn qua một hay nhiều số hạng đi trước của dãy.. Điều kiện ban đầu là các giá trị gán cho một số hữu hạn các phần

LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ 4

CƠ SỞ LOGIC 1

QUAN HỆ 2

MỘT SỐ BÀI TOÁN CƠ BẢN

3

TOÁN RỜI RẠC

ĐẠI SỐ BOOLE 5

2 tiết

2 tiết

8 tiết

12 tiết

6 tiết

Chương 1

Chương 1: CƠ SỞ LOGIC

Nguyên lý qui nạp toán học 1.2

Công thức truy hồi 1.3

1.1 Nguyên lí qui nạp toán học

Giả sử cần chứng minh mệnh đề có dạng:

“n  n o , P(n) ” đúng

Ta thực hiện theo các bước sau:

+ B1: Chứng minh P(no) đúng

+ B2: Giả sử P(k), no k đúng Ta chứng minh mệnh

đề P(k+1) cũng đúng.

Khi đó mệnh đề P(n) đúng với n  n o

Ví dụ

Dùng phương pháp qui nạp chứng minh:

1 ),

1

( )!

1 (

1 1

)!

1 (

! 3

2

!

2

1













n n

n a

b) n3 + 11n chia hết cho 6, n  1

HD a) Với n = 1:

2

1 )!

1 1 (

1 1

, 2

1









 VP VT

1

, )!

1 (

1 1

)!

1 (

! 3

2

! 2

1

















k k

k

 (1) đúng với n = 1 Giả sử:

1

, )!

2 (

1 1

)!

2 (

1 )!

1 (

! 3

2

! 2

1























k k

k k

k

Ta chứng minh (1) đúng với n = k+1, tức là cm:

)! 2 (

1 )!

1 (

1 1

)!

2 (

1 )!

1 (

! 3

2

! 2

1





























k

k k

k

k k

k vt

vp k

k

k

k





















)!

2 (

1 1

)!

2 (

) 1 2

( 1

Ta có:

Vậy:

1

, )!

1 (

1 1

)!

1 (

! 3

2

! 2

1

















n n

n

b) Đặt: P(n) = n3 + 11n

Với n = 1: P(1) = 1 3 + 11.1= 12 chia hết cho 6

Giả sử:

Ta chứng minh (1) đúng với n = k+1, tức là cm:

)) 1 (

11 )

1 ((

) 1 (k   k  3  k 

P

P(k) = (k 3 + k) chia hết cho 6

chia hết cho 6

) 1 (

12 )

1 (

3 )

11 (

11 11

1 3

3 )

1 (

3

2 3





























k P

k k k

k

k k

k k

k P

Ta có:

Vậy: (n3 + 11n) chia hết cho 6, n  1

chia hết cho 6

1 Định nghĩa

Công thức truy hồi của dãy s0, s1, s2, … là công thức xác định sn qua một hay nhiều số hạng đi trước của dãy

Điều kiện ban đầu là các giá trị gán cho một số

hữu hạn các phần tử đầu

1.3 CÔNG THỨC TRUY HỒI

b Dãy số Fibonacci được định nghĩa như sau:

f n = f n-1 + f n-2 , với n  2 & f 0 = f 1 = 1

(1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …)

c Sn = 6sn-1 – 11sn-2 + 6sn-3 với s0 = 2, s1 = 5, s2 = 15

Ví dụ 1:

a Công thức truy hồi của n!:

s n = n.s n-1 , với n  1 & s(0) = 1

2 Giải công thức truy hồi

Giải CTTH bằng pp lặp là thay thế liên tiếp công

thức truy hồi vào chính nó, mỗi lần thay bậc n giảm đi ít nhất một đơn vị, cho đến khi đạt giá trị ban đầu

Giải công thức truy hồi là tìm một công thức rõ

ràng cho sn mà không phải tính thông qua các phần tử trước nó

a Giải công thức truy hồi bằng phương pháp lặp:

Bài toán : Tháp Hà Nội

Có 3 cọc a, b, c Trên cọc a có n đĩa xếp chồng lên nhau sao cho đĩa nhỏ trên đĩa lớn

Cần chuyển chồng đĩa từ cọc a sang cọc c tuân thủ quy tắc: Mỗi lần chỉ chuyển được một đĩa, luôn đảm bảo đĩa nhỏ trên đĩa lớn, có thể sử dụng cọc b làm trung gian

Phương pháp di chuyển đĩa như sau:

 Chuyển n – 1 đĩa từ cọc a sang cọc b sử dụng cọc c làm trung gian

 Chuyển đĩa lớn nhất từ cọc a sang cọc c

 Chuyển n – 1 đĩa từ cọc b sang cọc c sử dụng cọc a làm trung gian

Đếm số lần di chuyển của n đĩa trên?

Công thức truy hồi tính số lần di chuyển đĩa:

S n = 2.s n-1 + 1, với n  2 & s 1 = 1

Trên mặt phẳng kẻ n đường thẳng sao cho không

có hai đường nào song song hay ba đường nào đồng quy

Hỏi mặt phẳng chia làm mấy phần?

Bài toán

Gọi số phần mặt phẳng chia bởi n đường thẳng là s(n) Giả sử đã kẻ (n-1) đường thẳng Bây giờ kẻ thêm đường thẳng thứ n thì số phần mặt phẳng mặt phẳng được thêm sẽ bằng số giao điểm cộng 1 (n – 1 + 1 = n) phần

Vậy ta có công thức truy hồi sau:

s(n) = s(n – 1) + n với n  2 & s(1) = 2

Giải công thức truy hồi trên bằng phương pháp lặp, ta có:

s(n) = 1 + n(n+1)/2

b Giải công thức truy hồi bằng phương trình

đặc trưng:

Định nghĩa

Một hệ thức truy hồi tuyến tính thuần nhất bậc k

hệ số hằng là hệ thức truy hồi có dạng:

sn = c1s1 + c2s2 + + cnsn , trong đó c1, c2, , ck là các số thực và ck  0

Điều kiện đầu là:

s0 = C0, s1 = C1, …, sn = Cn

(1)

Phương trình sau gọi là phương trình đặc trưng của

công thức truy hồi (1):

rk – c1rk-1 – c2rk-2 – … – ck = 0

Định lí 1

Giả sử phương trình đặc trưng:

rk  c1rk-1  c2rk-2   ck = 0

có k nghiệm phân biệt r1, r2, , rk Khi đó dãy {s n } là nghiệm của hệ thức truy hồi (1) nếu:

sn = 1r1n + 2r2n + + krkn, với n = 0, 1, 2, trong đó 1, 2, , k là các hằng số

Giải công thức truy hồi:

f n = f n-1 + f n-2 , với n  2 & f 0 = f 1 = 1

Ví dụ 2:

(dãy Fibonaci) Phương trình đặc trưng: r2 – r – 1 = 0

có 2 nghiệm phân biệt:

2

5

1 r

; 2

5

1

r1   2  

n 2

n

1 n

2

5 1

2

5

1











 



















 





Từ các giá trị ban đầu f0 = f1 = 1 thay vào (*)

ta có:

2

5 1

5

1 ,

2

5 1

5

1

1 1













































 

















 





n

n

2

5 1

2

5 1

5

1 f

Và: