Bài giảng toán rời rạc chương 1 cơ sở logic

LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ 4 CƠ SỞ LOGIC 1 QUAN HỆ 2 MỘT SỐ BÀI TOÁN CƠ BẢN 3 TOÁN RỜI RẠC ĐẠI SỐ BOOLE 5 2 tiết 2 tiết 8 tiết 12 tiết 6 tiết Chương Chương 1 1 Chương Chương 1 1: CƠ SỞ LOGIC Nguyên lý qui nạp toán học 1.2 Công thức truy hồi 1.3 1.1 Mệnh đề 1.1 Nguyên lí qui nạp toán học Giả sử cần chứng minh mệnh đề có dạng: “  n  n o , P(n) ” đúng Ta thực hiện theo các bước sau: + B1: Chứng minh P(n o ) đúng + B2: Giả sử P(k), n o  k đúng. Ta chứng minh mệnh đề P(k+1) cũng đúng. Khi đó mệnh đề P(n) đúng với  n  n o Ví dụ Dùng phương pháp qui nạp chứng minh: 1),1( )!1( 1 1 )!1( !3 2 !2 1 )      n nn n a b) n 3 + 11n chia hết cho 6, n  1 HD a) Với n = 1: 2 1 )!11( 1 1, 2 1    VPVT 1, )!1( 1 1 )!1( !3 2 !2 1      k kk k  (1) đúng với n = 1 Giả sử: 1, )!2( 1 1 )!2( 1 )!1( !3 2 !2 1         k kk k k k Ta chứng minh (1) đúng với n = k+1, tức là cm: )!2( 1 )!1( 1 1 )!2( 1 )!1( !3 2 !2 1           k k kk k k k vt vp kk kk         )!2( 1 1 )!2( )12( 1 Ta có: Vậy: 1, )!1( 1 1 )!1( !3 2 !2 1      n nn n b) Đặt: P(n) = n 3 + 11n Với n = 1: P(1) = 1 3 + 11.1= 12 chia hết cho 6 Giả sử: Ta chứng minh (1) đúng với n = k+1, tức là cm: ))1(11)1(()1( 3  kkkP P(k) = (k 3 + k) chia hết cho 6 chia hết cho 6 )1( 12)1(3)11( 1111133)1( 3 23    kP kkkk kkkkkP Ta có: Vậy: (n 3 + 11n) chia hết cho 6, n  1 chia hết cho 6 1. 1. Đ Đ ị ị nh nh ngh ngh ĩ ĩ a a Công thức truy hồi của dãy s 0 , s 1 , s 2 , … là công thức xác định s n qua một hay nhiều số hạng đi trước của dãy. Điều kiện ban đầu là các giá trị gán cho một số hữu hạn các phần tử đầu. 1.3 CÔNG THỨC TRUY HỒI [...]... Giải công thức truy hồi: fn = fn -1 + fn-2 , với n  2 & f0 = f1 = 1 (dãy Fibonaci) Phương trình đặc trưng: r2 – r – 1 = 0 có 2 nghiệm phân biệt: 1 5 1 5 r1  ; r2  2 n 2 n 1 5  1 5    2   Vậy f n  1   2   2      (*) Từ các giá trị ban đầu f0 = f1 = 1 thay vào (*) ta có: 1 1 5 1 1 5 1  , 1   5 2 5 2 Và:   1  5  n 1  1  5  n 1  1       fn   2   5 ...Ví dụ 1: a Công thức truy hồi của n!: sn = n.sn -1, với n  1 & s(0) = 1 b Dãy số Fibonacci được định nghĩa như sau: fn = fn -1 + fn-2 , với n  2 & f0 = f1 = 1 (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 , …) c Sn = 6sn -1 – 11 sn-2 + 6sn-3 với s0 = 2, s1 = 5, s2 = 15 2 Giải công thức truy hồi Giải công thức truy hồi là tìm một công thức rõ ràng cho... Điều kiện đầu là: s0 = C0, s1 = C1, …, sn = Cn Phương trình sau gọi là phương trình đặc trưng của công thức truy hồi (1) : rk – c1rk -1 – c2rk-2 – … – ck = 0 Định lí 1 Giả sử phương trình đặc trưng: rk  c1rk -1  c2rk-2   ck = 0 có k nghiệm phân biệt r1, r2, , rk Khi đó dãy {sn} là nghiệm của hệ thức truy hồi (1) nếu: sn = 1r1n + 2r2n + + krkn, với n = 0, 1, 2, trong đó 1, 2, , k là các hằng số... giao điểm cộng 1 (n – 1 + 1 = n) phần Vậy ta có công thức truy hồi sau: s(n) = s(n – 1) + n với n  2 & s (1) = 2 Giải công thức truy hồi trên bằng phương pháp lặp, ta có: s(n) = 1 + n(n +1) /2 b Giải công thức truy hồi bằng phương trình đặc trưng: Định nghĩa Một hệ thức truy hồi tuyến tính thuần nhất bậc k hệ số hằng là hệ thức truy hồi có dạng: sn = c1s1 + c2s2 + + cnsn , (1) trong đó c1, c2, , ck là... Chuyển n – 1 đĩa từ cọc b sang cọc c sử dụng cọc a làm trung gian Đếm số lần di chuyển của n đĩa trên? Công thức truy hồi tính số lần di chuyển đĩa: Sn = 2.sn -1 + 1, với n  2 & s1 = 1 Bài toán Trên mặt phẳng kẻ n đường thẳng sao cho không có hai đường nào song song hay ba đường nào đồng quy Hỏi mặt phẳng chia làm mấy phần? Giải Gọi số phần mặt phẳng chia bởi n đường thẳng là s(n) Giả sử đã kẻ (n -1) đường... đơn vị, cho đến khi đạt giá trị ban đầu Bài toán : Tháp Hà Nội Có 3 cọc a, b, c Trên cọc a có n đĩa xếp chồng lên nhau sao cho đĩa nhỏ trên đĩa lớn Cần chuyển chồng đĩa từ cọc a sang cọc c tuân thủ quy tắc: Mỗi lần chỉ chuyển được một đĩa, luôn đảm bảo đĩa nhỏ trên đĩa lớn, có thể sử dụng cọc b làm trung gian Phương pháp di chuyển đĩa như sau:  Chuyển n – 1 đĩa từ cọc a sang cọc b sử dụng cọc c làm . THỊ 4 CƠ SỞ LOGIC 1 QUAN HỆ 2 MỘT SỐ BÀI TOÁN CƠ BẢN 3 TOÁN RỜI RẠC ĐẠI SỐ BOOLE 5 2 tiết 2 tiết 8 tiết 12 tiết 6 tiết Chương Chương 1 1 Chương Chương 1 1: CƠ SỞ LOGIC Nguyên lý qui nạp toán. n  1 HD a) Với n = 1: 2 1 ) !11 ( 1 1, 2 1    VPVT 1, ) !1( 1 1 ) !1( !3 2 !2 1      k kk k  (1) đúng với n = 1 Giả sử: 1, )!2( 1 1 )!2( 1 ) !1( !3 2 !2 1        . minh (1) đúng với n = k +1, tức là cm: )!2( 1 ) !1( 1 1 )!2( 1 ) !1( !3 2 !2 1           k k kk k k k vt vp kk kk         )!2( 1 1 )!2( )12 ( 1 Ta có: Vậy: 1, ) !1( 1 1 ) !1(