Bài giảng Toán rời rạc: Chương 1 - Nguyễn Lê Minh

Bài giảng Toán rời rạc - Chương 1: Cơ sở logic cung cấp cho người học các kiến thức: Mệnh đề, dạng mệnh đề, suy luận, qui tắc suy diễn, vị từ, lượng từ. Đây là một tài liệu hữu ích dành cho các bạn sinh viên đang theo học chuyên ngành Tự nhiên và những ai quan tâm dùng làm tài liệu học tập vầ nghiên cứu.

TOÁN RỜI RẠC Chương 1: CƠ SỞ LOGIC GV: NGUYỄN LÊ MINH Bộ môn Công nghệ thông tin CƠ SỞ LOGIC  Mệnh đề  Dạng mệnh đề  Suy luận  Qui tắc suy diễn  Vị từ, lượng từ Mệnh đề Định nghĩa: Mệnh đề khẳng định có giá trị chân lý xác định, sai Câu hỏi, câu cảm thán, mệnh lệnh… không mệnh đề Ví dụ: - Đại học CNTT trực thuộc ĐHQG TP.HCM - 1+7 =8 - Hôm em đẹp quá! (không mệnh đề) - Hôm ngày thứ mấy? (không mệnh đề) Mệnh đề  Ký hiệu: người ta dùng ký hiệu P, Q, R… để mệnh đề  Chân trị mệnh đề: Một mệnh đề sai, đồng thời vừa vừa sai Khi mệnh đề P ta nói P có chân trị đúng, ngược lại ta nói P có chân trị sai  Chân trị chân trị sai ký hiệu 1(hay Đ,T) 0(hay S,F) Mệnh đề Phân loại: gồm loại  Mệnh đề phức hợp: mệnh đề xây dựng từ mệnh đề khác nhờ liên kết liên từ (và, hay, khi,…) trạng từ “không”  Mệnh đề sơ cấp (nguyên thủy): Là mệnh đề xây dựng từ mệnh đề khác thông qua liên từ trạng từ “không” Mệnh đề Ví dụ: - khơng số ngun tố - số nguyên tố - Nếu 3>4 trời mưa - An xem phim hay An học - Vấn đề cần xem xét cẩn thận -x+1=2 -x+y=z Mệnh đề Các phép tốn: có phép toán Phép phủ định: phủ định mệnh đề P ký hiệu P hay 𝑃 (đọc “không” P hay “phủ định của” P) 𝑷 𝑷 Bảng chân trị : Ví dụ: - số nguyên tố Phủ định: không số nguyên tố - 15 > Phủ định: 15 ≤ Mệnh đề Phép hội (nối liền, giao): hai mệnh đề P, Q kí hiệu P  Q (đọc “P Q”), mệnh đề xác định : P  Q P Q đồng thời P Q PQ Bảng chân trị 0 0 Ví dụ: 0 1 P: “Hôm chủ nhật” Q: “Hôm trời mưa” P  Q: “ Hôm chủ nhật trời mưa” Mệnh đề Phép tuyển (nối rời, hợp): hai mệnh đề P, Q kí hiệu P  Q (đọc “P hay Q”), mệnh đề xác định bởi: P  Q sai P Q đồng thời sai P Q PQ Bảng chân trị 0 0 1 Ví dụ: 1 1 - Hùng đọc báo - Hùng xem tivi - PQ : “Hùng đọc báo xem tivi” Mệnh đề Phép kéo theo: Mệnh đề P kéo theo Q hai mệnh đề P Q, kí hiệu P  Q (đọc “P kéo theo Q” hay “Nếu P Q” hay “P điều kiện đủ Q” hay “Q điều kiện cần P”) mệnh đề xác định bởi: P  Q sai P mà Q sai P Q PQ Bảng chân trị 0 1 0 Ví dụ 1 1 - e >4 kéo theo 5>6 - Nếu hơm trời nắng chúng tơi học 10 Bài tập Ví dụ: Chứng minh suy luận sau, nêu ví dụ dẫn chứng (p  q)(r  s) rt t (p  s) p  (q  r) ps tp s r  t pq r  s pr q  s pr s  r st t  u u p Bài tập Gọi P, Q mệnh đề: P: “Hùng thích bóng đá” Q: “Hùng ghét nấu ăn” Viết lại mệnh đề sau dạng hình thức, sử dụng phép nối • Hùng khơng thích bóng đá lẫn nấu ăn • Hùng thích bóng đá ghét nấu ăn • Hùng thích bóng đá hay Hùng vừa thích nấu ăn vừa ghét bóng đá • Hùng thích bóng đá nấu ăn hay Hùng ghét bóng đá thích nấu ăn Bài tập Cho biết suy luận suy luận đúng, quy tắc suy diễn sử dụng: • Điều kiện đủ để đội tuyển bóng đá Việt Nam thắng trận đối thủ đừng gỡ lại vào phút cuối • Mà đội tuyển Việt Nam thắng trận • Vậy đối thủ đội tuyển Việt Nam không gỡ lại vào phút cuối Bài tập Bài tập Cho biết suy luận suy luận đúng, quy tắc suy diễn sử dụng: • Nếu An siêng học An xếp loại giỏi • Mà An khơng xếp loại giỏi • Vậy An khơng siêng học Bài tập Cho biết suy luận suy luận đúng, quy tắc suy diễn sử dụng: • Nếu Hùng thi đỗ đại học Hùng thưởng xe máy • Nếu thưởng xe máy Hùng Vũng Tàu • Do thi đỗ đại học Hùng Vũng Tàu Vị từ - Lượng từ Định nghĩa: Vị từ khẳng định p(x,y, ), x,y biến thuộc tập hợp A, B, cho trước cho: - Bản thân p(x,y, ) mệnh đề - Nếu thay x,y, thành giá trị cụ thể p(x,y, ) mệnh đề Ví dụ: - p(n) = “n +1 số nguyên tố” - q(x,y) = “x + y = 1” Vị từ - Lượng từ Các phép toán vị từ Cho trước vị từ p(x), q(x) theo biến xA Khi ấy, ta có phép tốn tương ứng mệnh đề:  Phủ định: p(x)  Phép nối liền (hội, giao): p(x)  q(x)  Phép nối rời (tuyển, hợp): p(x)  q(x)  Phép kéo theo: p(x)  q(x)  Phép kéo theo hai chiều: p(x)  q(x) 29 Vị từ - Lượng từ Cho p(x) vị từ theo biến xác định A Các mệnh đề lượng từ hóa p(x) định nghĩa sau: - Mệnh đề “Với x thuộc A, p(x) ”, kí hiệu: “x  A, p(x)” mđ p(a) với giá trị a  A  đgl lượng từ phổ dụng - Mệnh đề “Tồn (có một) x thuộc A, p(x)” kí hiệu “x  A, p(x)” mệnh đề có giá trị x= a’ A cho mệnh đề p(a’)  đgl lượng từ tồn Vị từ - Lượng từ Cho p(x, y) vị từ theo hai biến x, y xác định AB Ta định nghĩa mệnh đề lượng từ hóa p(x, y) sau: “xA,yB, p(x, y)”  “xA, (yB, p(x, y))” “xA, yB, p(x, y)”  “xA, (yB, p(x, y))” “xA, yB, p(x, y)”  “xA, (yB, p(x, y))” “xA, yB, p(x, y)”  “xA, (yB, p(x, y))” Vị từ - Lượng từ Ví dụ: Các mệnh đề sau hay sai? - “x  R, x + x +  ” x - “x  R, + x +  ” - “x  R, y  R, 2x + y < 1” - “x  R, y  R, 2x + y < 1” - “x  R, y  R, x + 2y < 1” - “x  R, y  R, x + 2y < 1” Vị từ - Lượng từ Định lý Cho p(x, y) vị từ theo hai biến x, y xác định AB Khi đó: “xA, yB, p(x, y)”  “yB, xA, p(x, y)” “xA, yB, p(x, y)”  “yB, xA, p(x, y)” “xA, yB, p(x, y)”  “yB, xA, p(x, y)” Phủ định mệnh đề lượng từ hóa vị từ p(x,y, ) có cách: thay  thành , thay  thành , p(x,y, ) thành  p(x,y, ) Vị từ - Lượng từ Với vị từ theo biến ta có :  x  A , p ( x)  x  A , p ( x) x  A , p ( x)   x  A , p ( x) Với vị từ theo biến  x  A ,  y  B , p ( x, y )   x  A ,  y  B , p ( x, y )  x  A ,  y  B , p ( x, y )   x  A ,  y  B , p ( x, y )  x  A ,  y  B , p ( x, y )   x  A ,  y  B , p ( x, y )  x  A ,  y  B , p ( x, y )   x  A ,  y  B , p ( x, y ) Vị từ - Lượng từ Ví dụ phủ định mệnh đề sau - “x  A, 2x +  0” - “ > 0,  > 0, xR, x – a