Bài giảng Toán rời rạc: Chương 4 - Nguyễn Lê Minh

Bài giảng Toán rời rạc - Chương 4: Quan hệ cung cấp cho người học các kiến thức: Định nghĩa và tính chất, biểu diễn quan hệ, quan hệ tương đương – Đồng dư, quan hệ thứ tự - Biểu đồ Hass. Cuối mỗi phần đều có phần bài tập đề người học ôn tập và củng cố kiến thức.

TOÁN RỜI RẠC Chương 4: QUAN HỆ GV: NGUYỄN LÊ MINH Bộ môn Công nghệ thông tin Nội dung  Định nghĩa tính chất  Biểu diễn quan hệ  Quan hệ tương đương – Đồng dư  Quan hệ thứ tự - Biểu đồ Hass  Bài tập Định nghĩa Một quan hệ hai từ tập A đến tập B tập tích Descart R  A x B Được viết a R b thay cho (a, b)  R Quan hệ từ A đến gọi quan hệ A R = { (a1, b1), (a1, b3), (a3, b3) } Định nghĩa Ví dụ A = tập sinh viên; B = lớp học R = {(a, b) | sinh viên a học lớp b} Định nghĩa Ví dụ Cho A = {1, 2, 3, 4}, R = {(a, b) | a ước b} Khi R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 4), (3, 3), (4,4)} 4 Các tính chất quan hệ Định nghĩa Quan hệ R A gọi phản xạ nếu: a  A, a R a Ví dụ Trên tập A = {1, 2, 3, 4}, quan hệ: R1 = {(1,1), (1,2), (2,1), (2, 2), (3, 4), (4, 1), (4, 4)} không phản xạ (3, 3)  R1 R2 = {(1,1), (1,2), (1,4), (2, 2), (3, 3), (4, 1), (4, 4)} phản xạ (1,1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)  R2 Các tính chất quan hệ Quan hệ  Z phản xạ a  a với a Z Quan hệ > Z không phản xạ > Chú ý Quan hệ R tập A phản xạ chứa đường chéo A × A :  = {(a, a); a  A} 3 Các tính chất quan hệ Định nghĩa Quan hệ R A gọi đối xứng nếu: a  A b  A (a R b)  (b R a) Quan hệ R gọi phản xứng  a  A b  A (a R b)  (b R a)  (a = b) Ví dụ  Quan hệ R1 = {(1,1), (1,2), (2,1)} tập A = {1, 2, 3, 4} đối xứng Quan hệ  Z không đối xứng Tuy nhiên phản xứng (a  b)  (b  a)  (a = b)  Các tính chất quan hệ Chú ý Quan hệ R A đối xứng đối xứng qua đường chéo  A × A Quan hệ R phản xứng có phần tử nằm đường chéo đối xứng qua  A × A Các tính chất quan hệ 4 3 2 1 * * * Quan hệ thứ tự Ví dụ Quan hệ “ ” tập số ngun dương thứ tự tồn phần Ví dụ Quan hệ ước số “ | ”trên tập hợp số ngun dương khơng thứ tự tồn phần, số không so sánh Biểu đồ Hasse Mỗi poset biễu diễn đồ thị đặc biệt gọi biểu đồ Hasse Để định nghĩa biểu đồ Hasse cần khái niệm phần tử trội trội trực tiếp Định nghĩa Phần tử b poset (S,  ) gọi phần tử trội phần tử a S a  b Hoặc nói a trội b Phần tử b gọi trội trực tiếp a b trội a, không tồn trội c cho a  c  b, a  c  b Biểu đồ Hasse  Định nghĩa Biểu đồ Hasse poset (S,  ) đồ thị:  Mỗi phần tử S biễu diễn điểm mặt phẳng Nếu b trội trực tiếp a vẽ cung từ a đến b  b d a  b  d, a  c a e c Biểu đồ Hasse Ví dụ Biểu đồ Hasse poset ({1,2,3,4}, ) vẽ sau Chú ý : Không vẽ mũi tên với qui ước cung từ lên Biểu đồ Hasse Ví dụ: Biểu đồ Hasse P({a,b,c}) {a,b,c} {a,b} {a} {b,c} {a,c} {b}  {c} Phần tử tối đại phần tử tối tiểu Xét poset có biểu đồ Hasse đây:  Mỗi đỉnh màu đỏ tối đại  Mỗi đỉnh màu xanh tối tiểu  Khơng có cung xuất phát từ điểm tối đại  Không có cung kết thúc điểm tối tiểu Phần tử tối đại phần tử tối tiểu Chú ý Trong poset S hữu hạn, phần tử tối đại phần tử tối tiểu luôn tồn  Thật vậy, xuất phát từ điểm a0  S a1  a0, Nếu a0 không tối tiểu, tồn tiếp tục tìm phần tử tối tiểu a0 a1 a2 Phần tử tối đại phần tử tối tiểu Ví dụ Tìm phần tử tối đại, tối tiểu poset ({2, 4, 5, 10, 12, 20, 25}, | ) ? Giải Từ biểu đồ Hasse, thấy 12, 20, 25 phần tử tối đại, 2, phần tử tối tiểu Như phần tử tối đại, tối tiểu poset không 12 20 10 25 Chặn – Chặn Định nghĩa Cho (S,  ) poset A  S Phần tử chặn A phần tử x  S (có thể thuộc A khơng) cho  a  A, a  x Phần tử chặn A phần tử x  S cho  a  A, xa a c g b Ví dụ Phần tử chặn {g,j} a d e f h i j Tại b? Chặn – Chặn Định nghĩa Cho (S, ) poset A  S Chặn nhỏ A phần tử chặn x A cho chặn y A, ta có y  x Chặn lớn A phần tử chặn x A cho chặn y A, ta có y  x Chặn nhỏ : supA Chặn lớn nhất: infA Chặn – Chặn Ví dụ Chặn nhỏ {i,j} d Ví dụ Chặn chung lớn {a,b} gì? a c g b d e f h i j Chặn – Chặn Chặn nhỏ (nếu có) A = {a, b} đựơc ký hiệu ab Chặn lớn (nếu có) A = {a, b} đựoc ký hiệu ab a c g b Ví dụ i  j = d d e f h i j Ví dụ b  c = f Bao đóng quan hệ Giả sử P tập hợp số tính chất quan hệ, bao đóng P (P - closure) quan hệ R tập S quan hệ nhỏ có chứa tất cặp R thoả mãn tính chất P Bao đóng bắc cầu R+ R xác định sau : Nếu (a,b) thuộc R (a,b) thuộc R+ Nếu (a,b) thuộc R+ (b,c) thuộc R (a,c) thuộc R+ Khơng cịn thêm R+ Bao đóng quan hệ Bao đóng phản xạ bắc cầu R* R xác định sau : R* = R+ {(a, a) | a ∈ S} Ví dụ: Cho quan hệ R = {(1, 2), (2, 2), (2, 3)} tập hợp S = {1, 2, 3} Khi ta có : R+ = {(1, 2), (2, 2), (2, 3), (1, 3)} R* = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3), (3, 3)} Bài tập ... 3, 4} , quan hệ: R1 = {(1,1), (1,2), (2,1), (2, 2), (3, 4) , (4, 1), (4, 4) } khơng phản xạ (3, 3)  R1 R2 = {(1,1), (1,2), (1 ,4) , (2, 2), (3, 3), (4, 1), (4, 4) } phản xạ (1,1), (2, 2), (3, 3), (4, ... học lớp b} Định nghĩa Ví dụ Cho A = {1, 2, 3, 4} , R = {(a, b) | a ước b} Khi R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4) , (2, 2), (2, 4) , (3, 3), (4, 4)} 4 Các tính chất quan hệ Định nghĩa Quan hệ R A... 1; 2; 3; 4; 5; 6; 9; 11; 23; 24; 39} Xét quan hệ tương đương (mod 5), ta có: [0] = {0,5} = [5] [1] = {1,6,11} = [6] = [11] [2] = {2} [3] = {3,23} = [23] [4] = {4, 9, 24, 39} = [9] = [ 24] = [39]