Bài giảng Toán rời rạc - Chương 2: Đại số Boole cung cấp cho người học các kiến thức: Hàm Boole và biểu thức Boole, khai triển hàm Boole, mạch logic, tối thiểu hóa hàm Boole. Cuối mỗi phần đều có phần bài tập đề người học ôn tập và củng cố kiến thức.
TOÁN RỜI RẠC Chương 2: ĐẠI SỐ BOOLE GV: NGUYỄN LÊ MINH Bộ môn Công nghệ thông tin Nội dung Hàm Boole biểu thức Boole Khai triển hàm Boole Mạch Logic Tối thiểu hóa hàm Boole Đại số Boole Định nghĩa: Đại số Boole đưa phép toán quy tắc làm việc với tập {0,1} Trong mạch điện máy tính, dụng cụ điện tử quang học nghiên cứu cách dùng tập quy tắc đại số Boole Đại số Boole Các phép tốn thường dùng đại số Boole • Phần bù phần tử • Phép lấy tổng Bool (Ký hiệu + OR) 1+1=1, 1+0=1, 0+1=1, 0+0=0 • Phép lấy tích Bool (Kí hiệu AND) 1.1=1, 1.0=0, 0.1=0, 0.0=0 Đại số Boole Thứ tự thực pháp toán Boole • Lấy phần bù • Phép lấy tích • Phép lấy tổng • Ví dụ: Tìm giá trị phép tính sau (1.0) (0 1) Hàm Boole Định nghĩa: Hàm Boole thường biểu diễn cách dùng biểu thức tạo biến phép toán Boole Cho B = {0,1} Một ánh xạ f: 𝐵𝑛 → 𝐵 (𝑥1 , 𝑥2, … , 𝑥𝑛 ) → 𝑓(𝑥1 , 𝑥2, … , 𝑥𝑛 ) Gọi hàm Boole bậc n theo n biến 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 Hàm Boole Ví dụ: Hàm Boole biến f(x,y) với giá trị x=1, y=0 với khả cịn lại x y cho bảng sau x 0 y f(x,y) 0 1 1 Hàm Boole Ví dụ: Cử tri 𝑨𝟏 , 𝑨𝟐 , 𝑨𝟑 tham gia bỏ phiếu bầu cử có ứng cử viên D Các biến Boole tương ứng 𝒙𝟏 , 𝒙𝟐 , 𝒙𝟑 𝟏 𝒏ế𝒖 𝑨𝒋 𝒃ầ𝒖 𝒑𝒉𝒊ế𝒖 𝒄𝒉𝒐 𝑫 Với 𝒙𝒋 = 𝟎 𝒏ế𝒖 𝑨𝒋 𝒌𝒉ô𝒏𝒈 𝒃ầ𝒖 𝒑𝒉𝒊ế𝒖 𝒄𝒉𝒐 𝑫 (𝟏 ≤ 𝒋 ≤ 𝟑) Hàm Boole 𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝒇(𝒙𝟏 , 𝒙𝟐 , 𝒙𝟑 ) 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 Các đằng thức đại số Boole Tối thiểu hóa hàm Boole Tối thiểu hóa hàm Boole tìm dạng biểu thức Boole đơn giản hàm Boole • Phương pháp biển đổi đại số • Phương pháp bảng Karnaugh Phương pháp biến đổi đại số Phương pháp dựa luật, hay đẳng thức đại số Boole để tối thiểu hóa biến phép tốn biểu thức Boole Ví dụ: Tối thiểu hóa hàm Boole 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥𝑦𝑧 + 𝑥 𝑦𝑧 Thiết kế mạch tổ hợp f(x,y,z) mạch tổ hợp tối thiểu Phương pháp biến đổi đại số 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥𝑦𝑧 + 𝑥𝑦𝑧 = 𝑦 + 𝑦 𝑥𝑧 = 𝑥𝑧 = 𝑥𝑧 Phương pháp biến đổi đại số Ví dụ: Tối thiểu hóa hàm Boole 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥𝑦 + 𝑥𝑦 + 𝑥𝑦 Thiết kế mạch tổ hợp f(x,y,z) mạch tổ hợp tối thiểu Phương pháp biến đổi đại số Ví dụ: Tối thiểu hóa hàm Boole 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥𝑦 + 𝑥𝑦 + 𝑥𝑦 Thiết kế mạch tổ hợp f(x,y,z) mạch tổ hợp tối thiểu Phương pháp bảng Karnaugh • Do Karnaugh đề xuất năm 1953, dùng để tìm số hạng tổ hợp hàm Boole • Có bốn hội sơ cấp khác khai triển tổng tích hàm Boole có hai biến x y Một đồ Karnaugh hàm Boole hai biến gồm bốn vng, hình vng biểu diễn hội sơ cấp có mặt khai triển ghi số Các hình gọi kề hội sơ cấp mà chúng biểu diễn khác biến Phương pháp bảng Karnaugh Phương pháp bảng Karnaugh • Ví dụ: 𝑥𝑦 + 𝑥𝑦 • Dạng tối thiểu hóa 𝑓 x, y = y Phương pháp bảng Karnaugh • Ví dụ: 𝑥𝑦 + 𝑥𝑦 + 𝑥𝑦 Phương pháp bảng Karnaugh Bảng Karnaugh ba biến hình chữ nhật chia thành 3 Phương pháp bảng Karnaugh • Các khối ô kề tổ hợp lại thành tích biến • Các khối kề tổ hợp lại thành biến • Khối biểu diễn tích khơng có biến Phương pháp bảng Karnaugh • Ví dụ: 𝑥𝑦𝑧 + 𝑥𝑦𝑧 + 𝑥𝑦𝑧 + 𝑥𝑦𝑧 • 𝑥𝑧 + 𝑦𝑧 + 𝑥𝑦𝑧 Bài tập Bài 1: Tìm đối ngẫu biểu thức sau • 𝑥 𝑦 𝑧 + 𝑥 𝑦 𝑧 • 𝑥 𝑧 + 𝑥 + 𝑥 Bài 2: Khai triển tổng tích (tìm dạng chuẩn tắc đầy đủ) hàm Boole sau • 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥𝑦𝑧 + 𝑦𝑧 • 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥𝑦 + 𝑥𝑧 + 𝑦𝑧 • 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 = 𝑥𝑦𝑡 + 𝑥𝑧 + 𝑦𝑧𝑡 Bài tập Bài 3: Dùng phương pháp Karnaugh, tối thiểu hóa hàm Boole sau, vẽ mạch Logic trước sau tối thiểu Bài tập Bài 4: Tìm đầu mạch tổ hợp sau ... cách dùng biểu thức tạo biến phép toán Boole Cho B = {0,1} Một ánh xạ f: