Bài giảng toán rời rạc chương 3 nguyễn viết hưng, trần sơn hải

Tập hợp 09/13/16 of 63 Khái niệm • Định nghĩa: Một tập hợp sưu tập vật mà ta gọi phần tử tập hợp • Ký hiệu: – chữ in: A, B, C, , X, Y, Z, để tập hợp – chữ nhỏ: a, b, c, , x, y, z, để phần tử – ký hiệu x ∈ A để x phần tử tập hợp A – ký hiệu x ∉ A để x không phần tử tập hợp A 09/13/16 of 63 Biểu diễn tập hợp • Liệt kê – Các phần tử chọn tùy ý hai dấu {} – khơng có phần tử trùng – Các phần tử khơng có trật tự • Ví dụ: – A = {1, 2, 3, 4} – N = {0, 1, 2, 3, } – Z = {0, ±1, ±2, } 09/13/16 of 63 Biểu diễn tập hợp • Nêu tính chất đặc trưng: Tập hợp mơ tả sưu tập gồm tất phần tử x thỏa mãn tính chất đặc trưng p(x): • Ví dụ: – Tập hợp A = {x ∈ R | x2 – 4x + = 0} tập hợp A = {1, 3} – Tập hợp số hữu tỉ mô tả sau: 09/13/16 of 63 Tập hợp rỗng • • Tập hợp rỗng, ký hiệu ∅, tập hợp không chứa phần tử Ví dụ: – tập hợp A = {x ∈ R | x2 – 4x + = 0} – tập hợp B = {x ∈ Z | 2x – = 0} 09/13/16 of 63 Tập hợp tập hợp • A tập hợp B, – Ký hiệu A ⊂ B hay B ⊃ A – Nếu phần tử A phần tử B: – A ⊂ B ⇔ ∀x ∈ A, x ∈ B • A khơng chứa B: A⊄B hay 09/13/16 of 63 Tập hợp tập hợp • A B, – Ký hiệu A = B – Nếu A tập hợp B ngược lại – A = B ⇔ (A ⊂ B) (B ⊂ A) ⇔ (∀x ∈ A, x ∈ B) (∀x ∈ B, x ∈ A) • Ký hiệu A ≠ B để A không B 09/13/16 of 63 Tập hợp tập hợp • • X ⊆ Y ⇔ (∀x)( x ∈X → x ∈Y) Ví dụ: – A = {x ∈ R | x2 – 4x + = 0} – B = {x ∈ R | x(x –1)(x – 3) = 0} – C = {0; 1; 2}, D = {0; 1; 2; 3} A ⊂ B, B ≠ C, C ⊂ D ? B ⊄ A, D ⊄ C ? 09/13/16 of 63 Tập hợp tập hợp • Cho tập hợp X Tập hợp tất tập hợp X ký hiệu P(X) P(X) = {A | A ⊂ X} • Nếu tập hợp X có n phần tử tập hợp tất tập hợp P(X) X • Ví dụ: cho X= {a,b,c} có 2n phần tử P(X) = {∅; {a}; {b}; {c}; {a, b}; {b, c}; {a, c}; {a, b, c}} 09/13/16 of 63 TẬP CÁC TẬP CON Tìm tập tất tập X = {a, b, c} ? Tập phần tử : ∅ Tập phần tử : a → {a}, b → {b}, c → {c} Tập phần tử : a, b → {a, b}, a, c → {a, c}, b, c → {b, c} Tập phần tử : a, b, c → {a, b, c} Vậy 2X = {∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}} 09/13/16 10 of 63 Chỉnh hợp • Cho X tập hợp gồm n phần tử, r số nguyên dương nhỏ • Mỗi phép chọn r phần tử phân biệt X theo thứ tự cho ta • Nói cách khác, ta xem chỉnh hợp dãy hay gồm r n chỉnh hợp n chọn r phần tử phân biệt chọn từ n phần tử cho trước 09/13/16 49 of 63 Ví dụ • • • Cho tập hợp S = { 1, 2, 3} Dãy gồm phần tử 3, chỉnh hợp chọn Sự xếp phần tử thành dãy 3, 1, cho ta chỉnh hợp chọn 09/13/16 50 of 63 Chỉnh hợp • • Một chỉnh hợp n chọn n gọi hoán vị n phần tử Một hoán vị n phần tử cách xếp n phần tử theo thứ tự 09/13/16 51 of 63 Cơng thức chỉnh hợp • Số chỉnh hợp n chọn r là: n! A = A(n, r ) = (n − r )! = n(n − 1)(n − 2) (n − r + 1) r n Số trường hợp lấy người lớp gồm 10 người vào vị trí (có thứ tự) đại diện cho lớp 09/13/16 52 of 63 Tổ hợp • Cho X tập hợp gồm n phần tử, r số ngun khơng âm nhỏ n • Mỗi phép chọn r phần tử phân biệt X mà không phân biệt thứ tự trước sau cho ta tổ hợp n chọn r N • Nói cách khác, ta xem tổ hợp n chọn r tập hợp gồm r phần tử tập hợp có n phần tử 09/13/16 53 of 63 Tổ hợp Số tổ hợp n chọn r , với n r số nguyên thỏa ≤ r ≤ n, n n! r C ( n, r ) =  ÷ = C n = (n − r )!r ! r  • C(n,r) = C(n,n-r) (r