Bài giảng toán rời rạc chương 4 nguyễn viết hưng, trần sơn hải

Quan hệ Quan hệ ngơi • Cho tập hợp X khác rỗng • Một quan hệ ngơi X tập hợp R X2 • Cho phần tử x y X, ta nói x có quan hệ R với y (x,y) ∈ R, viết x R y x R y ⇔ (x,y) ∈ R • Khi x khơng có quan hệ R với y, ta viết: xRy Ví dụ • Trên tập hợp X = { 1,2,3,4} , xét quan hệ R định nghĩa bởi: R = { (1,1), (1,3), (2,2), (2,4), (3,1), (3,3), (4,2), (4,4)} • Trên tập hợp số nguyên Z ta định nghĩa quan hệ R sau: x R y x-y số chẳn (R = { (x,y) ∈ Z2 : x-y = 2k với k ∈ Z } ) • ∀x, y ∈ R, xRy ⇔ |x| = |y| • ∀x, y ∈ Q, xRy ⇔ x ≤ y • ∀x, y ∈ Z, xRy ⇔ a – b chia hết cho n x ≡ y (mod n) Quan hệ • Người ta cịn định nghĩa quan hệ (2 ngôi) tập hợp A tập hợp B tập hợp AxB • Tổng quát hơn, ta định nghĩa quan hệ tập hợp A1, A2, , An tập hợp A1 x A2 x x An Như vậy, R quan hệ tập A1, A2, , An phần tử R n (a1, a2, , an) với ∈ Ai (i=1, …, n) Xác định quan hệ • Liệt kê: liệt kê tất cặp hay phần tử có quan hệ R (tức thuộc R) • Nêu tính chất đặc trưng cho quan hệ R, tức tính chất hay tiêu chuẩn để xác định phần tử thuộc R hay khơng Các tính chất quan hệ ngơi • Giả sử R quan hệ tập hợp X • Ta nói quan hệ R có tính phản xạ (reflexive) x R x với x ∈ X • Ta nói quan hệ R có tính đối xứng (symmetric) x R y ⇒ y R x với x,y ∈ X • Ta nói quan hệ R có tính phản xứng (antisymmetric) (x R y y R x) ⇒ x = y với x,y ∈ X • Ta nói quan hệ R có tính truyền hay bắc cầu (transitive) (x R y y R z) ⇒ x R z với x,y,z ∈ X Ví dụ • Quan hệ ≤ tập hợp số thực • Trên tập hợp X = { 1,2,3,4} , xét quan hệ R định nghĩa bởi: R = { (1,1), (1,3), (2,2), (2,4), (3,1), (3,3), (4,2), (4,4)} • Trên tập hợp số nguyên Z ta định nghĩa quan hệ R sau: x R y x-y số chẳn Biểu diễn quan hệ dạng ma trận • Giả sử R quan hệ tập hợp hữu hạn A = { a1, a2, , am} tập hữu hạn B = { b1, b2, , bm} • Quan hệ R biểu diễn ma trận MR = [mij] gồm m dòng n cột (tức ma trận cấp mxn): – mij = (ai , bj) ∈ R – mij = (ai , bj) Ï R Quan hệ tương đương • Một quan hệ R tập hợp X gọi quan hệ tương đương thỏa tính chất: phản xạ, đối xứng, truyền Lớp tương đương tập hợp thương • Với phần tử x∈X, ta định nghĩa lớp tương đương chứa x, ký hiệu x, tập hợp tất phần tử (thuộc X) có quan hệ R với x x = { y ∈ X : yRx } • Tập hợp lớp tương đương quan hệ tương đương R X (là tập P(X)) gọi tập hợp thương (của quan hệ tương đương R X) Dàn • Cho (L, ≤ ) tập hợp có thứ tự Ta nói (L, ≤ ) dàn với a, b ∈ L, tập hợp { a,b} có chận lớn có chận nhỏ nhất; tức tồn sup(a,b) inf(a,b) • Ký hiệu a∨b a ∧ b để sup(a,b) inf(a,b) – a ∨ b = sup(a,b) – a ∧ b = inf(a,b) Ví dụ • Tập hợp có thứ tự tồn phần dàn, với a ∨ b = max(a,b) a ∧ b = min(a,b) • Trong dàn (L, ≤ ), phần tử sup(a,b) = a ∨ b đặc trưng tính chất sau: – a ≤ a ∨ b b ≤ a ∨ b – ∀ c∈ L : (a ≤ c b ≤ c) ⇒ (a ∨ b ≤ c) • Trong dàn (L, ≤ ), phần tử inf(a,b) = a ∧ b đặc trưng tính chất sau: – a ∧ b ≤ a a ∧ b ≤ b – ∀ c∈ L : (c ≤ a c ≤ b) ⇒ (c ≤ a ∧ b ) Ví dụ • Cho E tập hợp • Tập hợp (P(E), ⊆ ) dàn • Với A, B ∈ P(E), ta thấy A∪ B A∩ B chận nhỏ chận lớn theo thứ tự ⊆ A ∨ B = A∪ B A ∧ B = A∩ B Ví dụ • (N,| ) tập hợp có thứ tự (|: chia hết) • Với số tự nhiên a b: – chận nhỏ bội số chung nhỏ chúng – chận lớn ước số chung lớn chúng • Vậy (N,| ) dàn Ví dụ • Các tập hợp có thứ tự biểu diễn biểu đồ Hasse hình có phải dàn hay khơng: Dàn • Cho (L, ≤ ) dàn B tập hợp L • B dàn L với a,b ∈ B ta có a ∨ b ∈ B a ∧ b ∈ B Ví dụ • Xem dàn L có biểu đồ Hasse sau: Đồng cấu dàn • Cho (L, ≤ ) (M, ≤ ) dàn • Một ánh xạ f : L → M gọi đồng cấu dàn " x,y ∈ L : x ≤ y ⇒ f(x) ≤ f(y) • Trường hợp f có thêm tính chất song ánh ta nói f đẳng cấu dàn • f : L → M đẳng cấu dàn với x, y ∈ L: – f (x ∨ y) = f(x) ∨ f(y) – f (x ∧ y) = f(x) ∧ f(y) Ví dụ • Xem hai dàn L M có biểu đố Hasse: • Ánh xạ f : L → M định nghĩa : f(1) = b, f(2) = e, f(3) = c, f(4) = v đồng cấu dàn • Ánh xạ g : L → M định nghĩa : – g(1) = a, g(2) = b, g(3) = d, g(4) = v – đồng cấu dàn g(2) ∨ g(3) = b ∨ d = c, mà g(2∨3) = g(4) = v ≠ c Tính chất dàn • Với phần tử x, y, z thuộc dàn (L, ≤ ) ta có x ∨ x = x , x ∧ x = x (tính lũy đẳng) x ∨ y = y ∨ x , x ∧ y = y ∧ x (tính giao hốn) x ∨ (y ∨ z) = (x ∨ y) ∨ z (tính kết hợp) x ∧ (y ∧ z) = (x ∧ y) ∧ z x ≤ y ⇔ (x ∨ y = y) ⇔ (x ∧ y = x) x ∧ (x ∨ y) = x = x ∨ (x L y) Tính chất dàn • Với phần tử a, b, c, d thuộc dàn (L, ≤ ) ta có (a ≤ b) ⇒ (a ∨ c ≤ b ∨ c a ∧ c ≤ b ∧ c) (a ≤ b c ≤ d) ⇒ (a ∨ c ≤ b ∨ d a ∧ c ≤ b ∧ d) Tính chất dàn • Với phần tử x, y, z thuộc dàn (L, ≤ ) ta có : x ∧ (y ∨ z) ≥ (x ∧ y) ∨ (x ∧ z) x ∨ (y ∧ z) ≤ (x ∨ y) ∧ (x ∨ z) (x ≤ z) ⇒ x ∨(y ∧ z) ≤ (x ∨ y) ∧ z Tóm lại • Một quan hệ ngơi X tập hợp R X2 • Quan hệ tương đương: phản xạ, đối xứng truyền hay bắc cầu • Quan hệ thứ tự: phạn xạ, phản xứng bắc cầu • Cho (L, ≤ ) tập hợp có thứ tự Ta nói (L, ≤ ) dàn với a, b ∈ L, tập hợp { a,b} có chận lớn có chận nhỏ nhất; tức tồn sup(a,b) inf(a,b) Câu hỏi • Tập số tự nhiên N với quan hệ đồng dư có phải quan hệ tương đương hay khơng sao? • U12= {a∈N: a|12} với quan hệ R: xRy ⇔ x|y có phải tập thứ tự hay khơng sao? • Vẽ biều đồ Hasse tập hợp U12 • Cho biết tập hợp U12 có phải dàn khơng sao?