Noäi dung Heä thöùc ñeä quy tuyeán tính vôùi heä soá haèng Nghieäm cuûa heä thöùc ñeä quy tuyeán tính thuaàn nhaát Nghieäm cuûa heä thöùc ñeä quy tuyeán tính khoâng thuaàn nhaát.. Noäi d[r]
(1)Bài giảng mơn học Tốn Rời
Rạc Nguyễn Anh
Thi
Nội dung Hệ thức đệ quy tuyến tính với hệ số hằng Nghiệm hệ thức đệ quy tuyến tính thuần nhất Nghiệm hệ thức đệ quy tuyến tính khơng nhất
Nội dung
Bài giảng mơn học Tốn Rời Rạc
Nguyeãn Anh Thi
Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Tp Hồ Chí Minh
(2)Bài giảng mơn học Tốn Rời
Rạc Nguyễn Anh
Thi
Nội dung Hệ thức đệ quy tuyến tính với hệ số hằng Nghiệm hệ thức đệ quy tuyến tính thuần nhất Nghiệm hệ thức đệ quy tuyến tính khơng nhất
Chương 4
(3)Bài giảng mơn học Tốn Rời
Rạc Nguyễn Anh
Thi Nội dung
Hệ thức đệ quy tuyến tính với hệ số hằng Nghiệm hệ thức đệ quy tuyến tính thuần nhất Nghiệm hệ thức đệ quy tuyến tính khơng nhất
Nội dung
Hệ thức đệ quy tuyến tính với hệ số hằng Nghiệm hệ thức đệ quy tuyến tính nhất Nghiệm hệ thức đệ quy tuyến tính khơng nhất
Nội dung
Hệ thức đệ quy tuyến tính với hệ số hằng
(4)Bài giảng mơn học Tốn Rời
Rạc Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Hệ thức đệ quy tuyến tính với hệ số hằng
Nghiệm hệ thức đệ quy tuyến tính thuần nhất Nghiệm hệ thức đệ quy tuyến tính khơng nhất
Hệ thức đệ quy tuyến tính với hệ số hằng
Định nghóa
Mộthệ thức đệ quy tuyến tính cấp k với hệ số hằnglà hệ thức có dạng
a0xn+a1xn−1+· · ·+akxn−k=fn
trong đó
• a0 6=0, a1,a2, ,aklà hệ số thực,
(5)Bài giảng môn học Tốn Rời
Rạc Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Hệ thức đệ quy tuyến tính với hệ số hằng
Nghiệm hệ thức đệ quy tuyến tính thuần nhất Nghiệm hệ thức đệ quy tuyến tính khơng nhất
Nội dung
Hệ thức đệ quy tuyến tính với hệ số hằng
Nghiệm hệ thức đệ quy tuyến tính nhất Nghiệm hệ thức đệ quy tuyến tính khơng nhất
Trường hợp dãyfn=0 với mọi n thì hệ thức trở thành
a0xn+a1xn−1+· · ·+akxn−k=0(∗)
và ta gọi(∗) là hệ thức đệ quy tuyến tính cấpkvới hệ số hằng.
Ví dụ
• 2xn+3xn−1+5xn−2=n2+1
• xn+2−xn+1+xn=0
(6)Bài giảng mơn học Tốn Rời
Rạc Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Hệ thức đệ quy tuyến tính với hệ số hằng
Nghiệm hệ thức đệ quy tuyến tính thuần nhất Nghiệm hệ thức đệ quy tuyến tính khơng nhất
Định nghóa
Mỗi dãy{xn} thỏa mãn hệ thức
a0xn+a1xn−1+· · ·+akxn−k=fn
được gọi mộtnghiệmcủa hệ thức đó.
Ta thấy nghiệm{xn} của hệ thức hoàn toàn xác
định bởikgiá trị ban đầux0,x1, ,xk−1.
Họ dãy số{xn=xn(C1,C2, ,Ck)}phụ thuộc vào khoï tham
sốC1,C2, ,Ck được gọi lànghiệm tổng quát nếu dãy
(7)Bài giảng mơn học Tốn Rời
Rạc Nguyễn Anh
Thi
Noäi dung
Hệ thức đệ quy tuyến tính với hệ số hằng
Nghiệm hệ thức đệ quy tuyến tính thuần nhất Nghiệm hệ thức đệ quy tuyến tính khơng nhất
Nội dung
Hệ thức đệ quy tuyến tính với hệ số hằng
Nghiệm hệ thức đệ quy tuyến tính nhất Nghiệm hệ thức đệ quy tuyến tính khơng nhất Vớikgiá trị ban đầuy0,y1, ,yk−1 tồn giá trị
củaktham sốC1,C2, ,Ck sao cho nghiệm{xn} tương ứng
thoûa
x0=y0,x1=y1, ,xk−1=yk−1
Khi nghiệmxn tương ứng gọi nghiệm riêng ứng với
điều kiện ban đầu.
Chú ý
Giải hệ thức đệ quy tìm nghiệm tổng quát nó. Nếu hệ thức đệ quy có kèm điều kiện ban đầu, ta phải tìm nghiệm thỏa mãn điều kiện ban đầu đó.
Ví dụ
• 2xn−3xn−1=0 có nghiệm tổng quát xn=C(32)n.
•
xn−5xn−1+6xn−2 =0;
(8)Bài giảng mơn học Tốn Rời
Rạc Nguyeãn Anh
Thi
Nội dung Hệ thức đệ quy tuyến tính với hệ số hằng
Nghiệm hệ thức đệ quy tuyến tính thuần nhất
Nghiệm hệ thức đệ quy tuyến tính khơng nhất
Nghiệm hệ thức đệ quy tuyến tính nhất
Định nghóa
Xét hệ thức đệ quy tuyến tính nhất a0xn+a1xn−1+· · ·+akxn−k=0
Phương trình đặc trưng của hệ thức phương trình bậc k định bởi
(9)Bài giảng môn học Tốn Rời
Rạc Nguyễn Anh
Thi
Nội dung Hệ thức đệ quy tuyến tính với hệ số hằng
Nghiệm hệ thức đệ quy tuyến tính thuần nhất
Nghiệm hệ thức đệ quy tuyến tính khơng nhất
Nội dung
Hệ thức đệ quy tuyến tính với hệ số hằng
Nghiệm hệ thức đệ quy tuyến tính nhất
Nghiệm hệ thức đệ quy tuyến tính khơng nhất
• Với k=1, phương trình đặc trưng trở thành a0λ+a1=0, và có nghiệm là λ0=−a1
a0.Khi hệ thức đệ quy có
nghiệm tổng quát làxn=C.λn0.
• Với k=2, phương trình đặc trưng trở thành
a0λ2+a1λ+a2=0.
• Nếu phương trình đặc trưng có hai nghiệm thực phân biệt λ1, λ2 thì hệ thức đệ quy có nghiệm tổng quát là
xn=C1.λn1+C2.λn2.
• Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm kép thựcλ0 thì hệ
thức đệ quy có nghiệm tổng quát làxn= (C1+nC2).λn0.
(10)Bài giảng môn học Tốn Rời
Rạc Nguyễn Anh
Thi
Nội dung Hệ thức đệ quy tuyến tính với hệ số hằng
Nghiệm hệ thức đệ quy tuyến tính thuần nhất
Nghiệm hệ thức đệ quy tuyến tính khơng nhất
Nội dung
Hệ thức đệ quy tuyến tính với hệ số hằng
Nghiệm hệ thức đệ quy tuyến tính nhất
Nghiệm hệ thức đệ quy tuyến tính khơng nhất
Ví dụ
Giải hệ thức đệ quy
xn−2xn−1=0
x0=5
Tìm nghiệm cuûa
xn=5xn−1−6xn−2;
x0=4;
x1=9.