Bài giảng Toán rời rạc: Chương 4 - Nguyễn Anh Thi

Noäi dung Heä thöùc ñeä quy tuyeán tính vôùi heä soá haèng Nghieäm cuûa heä thöùc ñeä quy tuyeán tính thuaàn nhaát Nghieäm cuûa heä thöùc ñeä quy tuyeán tính khoâng thuaàn nhaát.. Noäi d[r]

(1)

Bài giảng mơn học Tốn Rời

Rạc Nguyễn Anh

Thi

Nội dung Hệ thức đệ quy tuyến tính với hệ số hằng Nghiệm hệ thức đệ quy tuyến tính thuần nhất Nghiệm hệ thức đệ quy tuyến tính khơng nhất

Nội dung

Bài giảng mơn học Tốn Rời Rạc

Nguyeãn Anh Thi

Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Tp Hồ Chí Minh

(2)

Thi

Nội dung Hệ thức đệ quy tuyến tính với hệ số hằng Nghiệm hệ thức đệ quy tuyến tính thuần nhất Nghiệm hệ thức đệ quy tuyến tính khơng nhất

Chương 4

(3)

Thi Nội dung

Hệ thức đệ quy tuyến tính với hệ số hằng Nghiệm hệ thức đệ quy tuyến tính thuần nhất Nghiệm hệ thức đệ quy tuyến tính khơng nhất

Nội dung

Hệ thức đệ quy tuyến tính với hệ số hằng Nghiệm hệ thức đệ quy tuyến tính nhất Nghiệm hệ thức đệ quy tuyến tính khơng nhất

Nội dung

Hệ thức đệ quy tuyến tính với hệ số hằng

(4)

Thi

Nội dung

Hệ thức đệ quy tuyến tính với hệ số hằng

Nghiệm hệ thức đệ quy tuyến tính thuần nhất Nghiệm hệ thức đệ quy tuyến tính khơng nhất

Hệ thức đệ quy tuyến tính với hệ số hằng

Định nghóa

Mộthệ thức đệ quy tuyến tính cấp k với hệ số hằnglà hệ thức có dạng

a0xn+a1xn−1+· · ·+akxn−k=fn

trong đó

• a0 6=0, a1,a2, ,aklà hệ số thực,

(5)

Bài giảng môn học Tốn Rời

Thi

Nội dung

Hệ thức đệ quy tuyến tính với hệ số hằng

Nghiệm hệ thức đệ quy tuyến tính nhất Nghiệm hệ thức đệ quy tuyến tính khơng nhất

Trường hợp dãyfn=0 với mọi n thì hệ thức trở thành

a0xn+a1xn−1+· · ·+akxn−k=0(∗)

và ta gọi(∗) là hệ thức đệ quy tuyến tính cấpkvới hệ số hằng.

Ví dụ

• 2xn+3xn−1+5xn−2=n2+1

• xn+2−xn+1+xn=0

(6)

Thi

Nội dung

Định nghóa

Mỗi dãy{xn} thỏa mãn hệ thức

a0xn+a1xn−1+· · ·+akxn−k=fn

được gọi mộtnghiệmcủa hệ thức đó.

Ta thấy nghiệm{xn} của hệ thức hoàn toàn xác

định bởikgiá trị ban đầux0,x1, ,xk−1.

Họ dãy số{xn=xn(C1,C2, ,Ck)}phụ thuộc vào khoï tham

sốC1,C2, ,Ck được gọi lànghiệm tổng quát nếu dãy

(7)

Thi

Noäi dung

Nội dung

Nghiệm hệ thức đệ quy tuyến tính nhất Nghiệm hệ thức đệ quy tuyến tính khơng nhất Vớikgiá trị ban đầuy0,y1, ,yk−1 tồn giá trị

củaktham sốC1,C2, ,Ck sao cho nghiệm{xn} tương ứng

thoûa

x0=y0,x1=y1, ,xk−1=yk−1

Khi nghiệmxn tương ứng gọi nghiệm riêng ứng với

điều kiện ban đầu.

Chú ý

Giải hệ thức đệ quy tìm nghiệm tổng quát nó. Nếu hệ thức đệ quy có kèm điều kiện ban đầu, ta phải tìm nghiệm thỏa mãn điều kiện ban đầu đó.

Ví dụ

• 2xn−3xn−1=0 có nghiệm tổng quát xn=C(32)n.

•



 xn−5xn−1+6xn−2 =0;

(8)

Rạc Nguyeãn Anh

Thi

Nội dung Hệ thức đệ quy tuyến tính với hệ số hằng

Nghiệm hệ thức đệ quy tuyến tính thuần nhất

Nghiệm hệ thức đệ quy tuyến tính khơng nhất

Nghiệm hệ thức đệ quy tuyến tính nhất

Định nghóa

Xét hệ thức đệ quy tuyến tính nhất a0xn+a1xn−1+· · ·+akxn−k=0

Phương trình đặc trưng của hệ thức phương trình bậc k định bởi

(9)

Thi

Nội dung

Nghiệm hệ thức đệ quy tuyến tính nhất

Nghiệm hệ thức đệ quy tuyến tính khơng nhất

• Với k=1, phương trình đặc trưng trở thành a0λ+a1=0, và có nghiệm là λ0=−a1

a0.Khi hệ thức đệ quy có

nghiệm tổng quát làxn=C.λn0.

• Với k=2, phương trình đặc trưng trở thành

a0λ2+a1λ+a2=0.

• Nếu phương trình đặc trưng có hai nghiệm thực phân biệt λ1, λ2 thì hệ thức đệ quy có nghiệm tổng quát là

xn=C1.λn1+C2.λn2.

• Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm kép thựcλ0 thì hệ

thức đệ quy có nghiệm tổng quát làxn= (C1+nC2).λn0.

(10)

Thi

Nội dung

Nghiệm hệ thức đệ quy tuyến tính nhất

Nghiệm hệ thức đệ quy tuyến tính khơng nhất

Ví dụ

Giải hệ thức đệ quy

xn−2xn−1=0

x0=5

Tìm nghiệm cuûa

 



xn=5xn−1−6xn−2;

x0=4;

x1=9.