Bài giảng toán kinh tế chương 4 nguyễn ngọc lam

MỘT SỐ ỨNG DỤNGQ S Quantity Supplied Lượng cung Q D Quantity Demanded Lượng cầu P Price Giá cả C Cost Chi phí TC Total Cost Tổng chi phí R Revenue Doanh thu TR Total Revenue Tổng doanh t

C4 ĐẠO HÀM – VI PHÂN

1 ĐẠO HÀM HÀM SỐ MỘT BIẾN

Định nghĩa: Cho y = f(x) xác định trong (a,b), x 0  (a,b)

Đạo hàm của f tại x 0 được định nghĩa và ký hiệu:

0

0 x

x

0

x x

) x ( f )

x (

f lim )

x ( '

Gọi x = x – x 0 : Số gia của x tại x 0

y = f(x 0 + x) – f(x 0 ): Số gia của y tại x 0

C4 ĐẠO HÀM – VI PHÂN

- Đạo hàm bên phải:

- Đạo hàm bên trái:

Định lý: f’(x 0 ) tồn tại <=> f’(x 0 + ) = f’(x 0 - )

x

) x (

f lim

) x ( '

0 x

f lim

) x ( '

0 x

Định lý: Nếu f có đạo hàm tại x 0 thì f liên tục tại x 0

Ví dụ: Xét đạo hàm và tính liên tục của f = |x| tại x 0 = 0

C4 ĐẠO HÀM – VI PHÂN

- f(x) có đạo hàm trên khoảng (a,b) nếu nó có đạo hàm

tại mọi điểm trong khoảng đó,

- f(x) có đạo hàm trên đoạn [a,b] nếu nó có đạo hàm tại

mọi điểm trong khoảng (a,b), có đạo hàm phải tại a và đạo hàm trái tại b

Ví dụ: Tìm đạo hàm của y = x 2 , y = sinx

Đạo hàm trên khoảng, đoạn:

u v

C4 ĐẠO HÀM – VI PHÂN

Đạo hàm của hàm số ngược:

Cho y = f(x) có đạo hàm tại x, f’(x) ≠ 0 và có hàm số

ngược

x = f -1 (y) thì:

Ví dụ, tìm đạo hàm của y = arcsinx

' x

' y

1

f

1 )

f (  

1)'

x(log a 

x

1)'

x(ln 

(sinx)’ = cosx(cosx)’ = -sinx

xcos

1)'

1)'

1)'

1)'

1)'

1)'

gxcot

dx

f

d

, dx

y d

Tương tự, đạo hàm của đạo hàm cấp (n-1) là đạo

n x

sin(

y x

sin

y   (n)   

Một vài công thức:

) 2

n x

cos(

y x

cos

y   (n)   

) k ( )

k n (

k n

) n (

v u

C )

uv ( trong đó u (0) = u, v (0) = v

C4 ĐẠO HÀM – VI PHÂN

2 VI PHÂN

Định nghĩa: Hàm số y = f(x) được gọi là khả vi tại x 0

nếu tồn tại A sao cho f = A.x + 0(x)

Biểu thức df = A.x được gọi là vi phân của f tại x 0

Vi phân của tổng, tích, thương:

d(u + v) = du + dv d(u.v) = vdu + udv

2

v

udv

vdu v

Định lý Lagrange: Nếu f là hàm số liên tục trên [a,b], khả

vi trong (a,b) thì tồn tại c  (a,b) sao cho

) c ( '

f a

b

) a ( f )

b (

C4 ĐẠO HÀM – VI PHÂN

Định lý Cauchy: Nếu f , g cùng liên tục trên [a,b], khả vi trong khoảng (a,b) và g’(x) ≠ 0, x  (a,b) thì tồn tại c  (a,b) sao cho

) c ( ' g

) c ( '

f )

a ( g )

b ( g

) a ( f )

b (

) 1 n

( n

0 0

) n (

2 0

0 0

0 0

) x x

( )!

1 n

(

) c (

f )

x x

(

! n

) x (

f

) x x

(

! 2

) x (

"

f )

x x

(

! 1

) x ( '

f )

x ( f )

x ( f

) 1 n (

)!

1 n

(

) c (

f )

x (

k 0 0

) k (

! k

) x (

f )

x (

P

Khi x 0 =0 thì công thức Taylor trở thành công thức

Maclaurin

1 n

) 1 n

( n

) n

( 2

x )!

1 n

(

) c (

f x

! n

) 0 (

f

x

! 2

) 0 (

"

f x

! 1

) 0 ( '

f )

0 ( f )

C4 ĐẠO HÀM – VI PHÂN

L’Hospital khử dựng vô định khi tìm giới hạn

Định lý: Giả sử f, g khả vi trong (a,b), g’(x) ≠ 0 với mọi x

 (a,b)

0 )

x ( g lim )

x ( f

lim

a x

x ( ' g

) x ( '

f lim )

x ( g

) x (

f lim

a x

x ( g lim )

x ( f

x ( f

lim

a x

a x

x ( f

lim

x x

• Qui tắc L’Hospital có thể áp dụng nhiều lần.

C4 ĐẠO HÀM – VI PHÂN

Ví dụ: Tìm các giới hạn sau (dạng 0/0)

x sin x

x

tgx lim

x sin

x lim 



x 1

arctgx 2

C4 ĐẠO HÀM – VI PHÂN

2 Dạng 0.,  - : Chuyển chúng về dạng 0/0, /.

Ví dụ:

x ln x

lim 5

0

x 

) 4 / x (

tg ) x 4

cos

1 (

lim

2 /

1 x

x

lim 



x ln 1

0 x

) gx (cot

lim





C4 ĐẠO HÀM – VI PHÂN

CỰC TRỊ

Định nghĩa: Hàm số f được gọi là đạt cực đại (cực tiểu) tại x 0 nếu tồn tại một lân cận của x 0 sao cho f(x)  f(x 0 ) (f(x)  f(x 0 )).

Chiều biến thiên của hàm số:

Định lý: Cho f khả vi trong (a,b):

1 Nếu f’(x) > 0 với mọi x  (a,b) thì f tăng.

C4 ĐẠO HÀM – VI PHÂN

Điều kiện cần của cực trị:

Định lý Fermat: Nếu hàm số đạt cực trị tại điểm x 0 và

có đạo hàm tại điểm đó thì f’(x 0 ) = 0.

Ví dụ: Xét đạo hàm tại x = 0: y = x 3 , y = |x|

Định nghĩa: Các điểm thoả một trong các điều kiện sau thì được gọi chung là điểm tới hạn của f:

a) Không tồn tại f’(x) b) f’(x) = 0

Định nghĩa: Các điểm thoả điều kiện sau f’(x) = 0 được gọi là điểm dừng của f.

C4 ĐẠO HÀM – VI PHÂN

Điều kiện đủ của cực trị:

Định lý 1: Giả sử f khả vi trong (a,b) chứa điểm x 0

a) Nếu x vượt qua x 0 mà f’(x) đổi dấu từ dương sang âm thì f(x) đạt cực đại tại x 0

b) Nếu x vượt qua x 0 mà f’(x) đổi dấu từ âm sang dương thì f(x) đạt cực tiểu tại x 0

c) Nếu x vượt qua x 0 mà f’(x) không đổi dấu thì f(x)

1 x

(

y  

C4 ĐẠO HÀM – VI PHÂN

GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT:

Cho f(x) xác định trên D:

• M được gọi là giá trị lớn nhất của y=f(x) trên tập D

nếu f(x) ≤ M với mọi xD và tồn tại x 0 D sao cho f(x 0 ) = M.

• M được gọi là giá trị nhỏ nhất của y=f(x) trên tập D

nếu f(x) ≥ m với mọi xD và tồn tại x 0 D sao cho f(x 0 ) = m.

C4 ĐẠO HÀM – VI PHÂN

Giá trị lớn nhất, bé nhất của hàm số trên [a,b]:

1 Tính f tại các điểm tới hạn trong [a,b] và f(a), f(b)

2 f max (f min ) là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) trong các giá trị tìm được.

Ví dụ: tìm f max ,f min của f(x) = x 3 – 3x 2 +1 trên [-1, 1]

MỘT SỐ ỨNG DỤNG

Q S Quantity Supplied Lượng cung

Q D Quantity Demanded Lượng cầu

P Price Giá cả

C Cost Chi phí

TC Total Cost Tổng chi phí

R Revenue Doanh thu

TR Total Revenue Tổng doanh thu

P r Profit Lợi nhuận

Ví dụ: Một quán bún bình dân,

MỘT SỐ ỨNG DỤNG

Ý nghĩa đạo hàm trong kinh tế:

• Sản lượng biên MQ: (Marginal quantity) Đo lường sự thay đổi của sản lượng khi tăng lao động hay vốn lên một đơn vị.

Ví dụ: Hãy tìm sản lượng biên của một doanh nghiệp và cho nhận xét khi L=100 cho bởi hàm sản xuất sau:

L 5

Q 

MỘT SỐ ỨNG DỤNG

• Hệ số co giãn: (Elasticity)

• L ượng thay đổi tuyệt đối: x

• Lượng thay đổi tương đối:

x

x



• Hệ số co dãn: Đo lường sự thay đổi tương đối của y

phụ thuộc vào sự thay đổi tương đối của x.

y

x x

y x

y y

x x

y

lim

0 x

MỘT SỐ ỨNG DỤNG

• Tối đa hóa lợi nhuận:

Hàm chi phí: TC = TC(x) Hàm cầu: x = Q D = f(P) Giả sử thị trường độc quyền:

) TC TR

(

d 0

dx d

MỘT SỐ ỨNG DỤNG

• Ví dụ: Một công ty độc quyền, phòng kinh doanh cung cấp thông tin:

Định phí: FC = 600 Biến phí: VC = 1/8 x 2 + 6x Hàm cầu: x = -8/7 P + 100 Hãy tìm sản lượng để doanh nghiệp đạt lợi nhuận tối đa.