BÀI GIẢNG TOÁN KINH TẾ. Th.S. NGUYỄN HOÀNG ANH KHOA

BỘ CÔNG THƯƠNG TRƯỜNG CAO ĐẲNG CÔNG NGHIỆP HUẾ  BÀI GIẢNG TỐN KINH TẾ Th.S NGUYỄN HỒNG ANH KHOA Huế, tháng 08 năm 2015 Th.s Nguyễn Hoàng Anh Khoa MỤC LỤC Chương 1: Tổng quan toán kinh tế 1.1 Đối tượng nghiên cứu môn học 1.2 Cơ sở giải tích lồi Chương 2: Quy hoạch tuyến tính 2.1 Mơ hình tốn quy hoạch tuyến tính 2.2 Bài toán quy hoạch tuyến tính tổng quát 2.3 Bài tốn quy hoạch tuyến tính dạng tắc 2.4 Phương pháp đơn hình Bài tập chương 10 Chương Bài toán vận tải 3.1 Các khái niệm 11 3.2 Phương pháp tìm phương án cực biên ban đầu 12 3.3 Phương pháp vị giải toán vận tải 13 3.4 Một số dạng toán vận tải 13 Bài tập chương 14 Chương Mơ hình toán tối ưu mạng 4.1 Một số khái niệm 15 4.2 Mạng liên thông ngắn 15 4.3 Bài toán đường ngắn 16 4.4 Phương pháp sơ đồ lưới (Mạng Pert) 17 Bài tập chương 20 Tài liệu tham khảo 21 Th.s Nguyễn Hồng Anh Khoa CHƯƠNG TỔNG QUAN VỀ TỐN KINH TẾ 1.1 Đối tượng nghiên cứu môn học 1.1.1 Khái quát tối ưu hóa Trong hoạt động thực tiễn, trình quản lý, điều hành hệ thống kinh tế - xã hội … mong muốn đạt kết tốt theo tiêu chuẩn định Mỗi vấn đề khác thực tế dẫn đến toán tối ưu khác Để giải tốn đó, loạt lý thuyết tốn học đời để dặt sở lý luận, đề phương pháp tìm lời giải, tính khả thi tốn thực tế … Từ hình thành lớp phương pháp tốn học giúp ta tìm lời giải tốt toán thực tế, gọi phương pháp tối ưu Lớp phương pháp tối ưu bao gồm nhiều lý thuyết toán học khác nhau, tiêu biểu là: Quy hoạch toán học, lý thuyết đồ thị, lý thuyết trò chơi … Trong quy hoạch tốn học, tiêu biểu có Quy hoạch tuyến tính, Quy hoạch phi tuyến, Quy hoạch nguyên … Trong lý thuyết đồ thị, tiêu biểu có Bài tốn tối ưu mạng, sơ đồ Pert, toán luồng … Trong lý thuyết trị chơi, tiêu biểu có Lý thuyết lựa chọn định, Bài tốn trị chơi chiến lược … 1.1.2 Nội dung nghiên cứu môn học Chương trình học phần “Tốn kinh tế” với tín ta nghiên cứu nội dung: - Quy hoạch tuyến - Bài toán vận tải - Bài toán tối ưu mạng Sơ đồ Pert 1.2 Cơ sở giải tích lồi 1.2.1 Khơng gian Rn Kí hiệu Rn = { x = (x1 ; x2 ;…; xn) | xi  R, i = 1,2, ,n } KGVT Rn Với x = (x1 ; x2 ;…; xn); y = (y1 ; y2 ;…; yn)  Rn k  R Ta có phép tốn : Cộng x + y = (x1 + y1 ; x2 + y2 ;…; xn + yn) Nhân số kx = (kx1 ; kx2 ;…; kxn) Tích vơ hướng = x1y2 + x2y2 +…+ xnyn 1.2.2 Đường thẳng, đoạn thẳng, siêu phẳng a) Đường thẳng, đoạn thẳng Rn Cho a, b  Rn Ta gọi đường thẳng qua a, b tập điểm x  Rn có dạng: x = (1 – k) a + k.b với k  R Đoạn a, b kí hiệu [a,b] tập điểm x  Rn có dạng: x = (1 – k) a + k.b với k  [0;1] Th.s Nguyễn Hoàng Anh Khoa b) Siêu phẳng Rn Siêu phẳng tập x = (x1; x2; ;xn) thỏa mãn phương trình bậc dạng: a1x1 + a2x2 +…+ anxn = c 1.2.3 Tập lồi, đa diện lồi Tập D  Rn gọi tập lồi với a, b  Rn ta có [a,b]  D Ví dụ: a) Chứng minh giao tập lồi tập lồi b) Chứng minh tập D = {(x1; x2; ;xn) | a1x1 + a2x2 +…+ anxn ≤ c} Nhận xét: Tập nghiệm hệ bất phương trình dạng: a11 x1  a12 x   a1n x n  b1 a x  a x   a x  b  21 22 2n n   a m1 x1  a m2 x   a mn x n  b m tập lồi Hơn nữa, bị chặn gọi đa diện lồi 1.2.4 Điểm cực biên Cho D tập lồi, x  D Điểm x gọi điểm cực biên x điểm đoạn [a,b]  D Điểm cực biên đa diện lồi gọi đỉnh Ví dụ: Kí hiệu D = {(x;y)  R2 | x – y ≥ 0; x + y ≥ 0; 2x + y ≤ 3} a) Biểu diễn D mặt phẳng Oxy b) Chứng minh D đa diện lồi, xác định điểm cực biên D Th.s Nguyễn Hoàng Anh Khoa CHƯƠNG QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 2.1 Một số tình kinh tế mơ hình tốn quy hoạch tuyến tính 2.1.1 Bài tốn sản xuất: Một xí nghiệp sản xuất n loại sản phẩm, ký hiệu S1, S2,…, Sn từ m loại nguyên liệu khác nhau, ký hiệu N1, N2…Nm Biết aij, khối lượng nguyên liệu loại Ni tiêu hao đơn vị sản phẩm loại Sj; bi khối lượng ngun liệu loại Ni mà xí nghiệp huy động ; cj lợi nhuận thu sản xuất bán đơn vị sản phẩm loại Sj, i = 1,…,m ; j = 1,2,…,n Giả sử xí nghiệp sản xuất tiêu thụ sản phẩm khơng hạn chế Hãy tìm số đơn vị sản phẩm loại mà phạm vi số nguyên liệu huy động được, xí nghiệp có lợi nhuận tối đa Lập mơ hình : Đặt xj số đơn vị sản phẩm loại Sj mà xí nghiệp sản xuất j=,2, ,n Ta có mơ hình tốn: n Z   c j x j  max j1 n  a ij x j  bi , i  1,2, ,m  j1  x  0, j  1,2, ,n  j 2.1.2 Bài toán lập kế hoạch vốn đầu tư cho sản xuất Cần đầu tư vốn vào m xí nghiệp để sản xuất n loại sản phẩm Qua phân tích, người ta biết đầu tư đơn vị tiền vào xí ngiệp i (i =1,2, ,m) năm sản xuất bij đơn vị sản phẩm loại j (j =1,2, ,n ) Tống số nguyên liệu công năm cung cấp A C Hãy lập kế hoạch sản xuất cho sản xuất Bj đơn vị sản phẩm loại j mà vốn đàu tư Biết mức hao phí nguyên liệu lao động (giờ công) sản xuất đơn vị sản phẩm j xí nghiệp i bij cij Lập mơ hình: Đặt xi đơn vị tiền đầu tư vào xí nghiệp i (i = 1,2, ,n) Ta có mơ hình toán: n Z   x j  j1   bij x i  b j  i1 m n  a ij bij  A ,i  1,2, ,m; j  1,2, ,n  i1 j1 m n  cij bij  C  i1 j1 x   j n Th.s Nguyễn Hoàng Anh Khoa 2.2 Bài tốn quy hoạch tuyến tính dạng tổng qt 2.2.1 Bài tốn Tìm (max) n Z =  c jx j = c1x1+ c1x1+ + cnxn j1 với ràng buộc n  a ij x j (, , ) bi , i  1,2, ,m  j1  x (, ) , j  1,2 ,n  j cj, aij, bi số thực cho trước 2.2.2 Các ký hiệu khái niệm  Hàm Z gọi hàm mục tiêu  Một vectơ x thoả mãn ràng buộc gọi phương án  Tập hợp X gồm phương án gọi tập phương án  Phương án x*  X hàm mục tiêu Z đạt giá trị nhỏ (lớn nhất) gọi phương án tối ưu 2.2.3 Giải toán QHTT hai biến phương pháp hình học Bài tốn: Z = c1x1 + c2x2  min(max) với ràng buộc ci1x1 + ci2x2 (≤; ≥) bi , i=1,2, ,m x1,2 (≤; ≥) Phương pháp: Bước 1: Biểu diễn tập phương án X mặt phẳng tọa độ Bước 2: Biểu diễn hàm mục tiêu mặt phẳng tọa độ với Z số thực Bước 3: Cho Z biến thiên khoảng có phần chung với X, từ xác định Zmin(max) phương án tối ưu x* để Z nhận giá trị min(max) Ví dụ: Giải toán Z = x1 + x2   x1  2x   2x1  x  x ; x   2.2.4 Một số tính chất tốn QHTT Tính chất 1: Tập phương án toán QHTT tập lồi Tính chất 2: Nếu tốn QHTT có phương án tối ưu có phương án tối ưu điểm cực biên tập phương án (gọi tắc phương án cực biên) Th.s Nguyễn Hồng Anh Khoa 2.3 Bài tốn quy hoạch tuyến tính dạng tắc 2.3.1 Bài tốn QHTT dạng tắc Là tốn dạng: Tìm (max) n Z =  c jx j = c1x1+ c1x1+ + cnxn j1 với ràng buộc n  a ij x j  bi , i  1,2, ,m  j1  x j  0, j  1,2 ,n  cj, aij, bi số thực cho trước bi ≥ Viết dạng ma trận Z   c, x   min(max) Ax  B  x  Trong  x1   b1   a11 a12 a1n      a  a a x 21 22 2n  ; x    ;B   b  A              a m1 a m2 a mn   xn   bm  2.3.2 Chuyển đổi toán QHTT: Bài toán QHTT dạng tổng quát đưa dạng tắc cách thêm vào số ẩn phụ 2.3.3 Hệ liên kết phương án Cho x = (x1 ; x2 ;…; xn) phương án tốn QHTT dạng tắc Khi đó, ta có: x1A1 + x2 A2 + … + xnAn = b  a1k   a11 a12 a1n  a  a  a a 21 22 2n 2k  cột thứ k ma trận A    đó, A k            a m1 a m2 a mn   a mk  Hệ {Ak | xk > 0} gọi hệ liên kết phương án x Định lí: Giả sử x = (x1 ; x2 ;…; xn) phương án khác không tốn QHTT dạng tắc Khi đó, x phương án cực biên hệ liên kết x độc lập tuyến tính Th.s Nguyễn Hồng Anh Khoa Ví dụ: Xét tốn Z  4x1  x  x  2x1  x  x    x1  x  4x    x j  0, j  1,3 Chứng minh x = (7/3;1/3;0) phương án cực biên 2.4 Phương pháp đơn hình Trong mục ta xét tốn QHTT dạng tắc Z   c, x   Ax  B  x  A cỡ mxn rankA = m ≤ n Giả sử x0 = (x10; x20; …; xm0; 0; …;0) với xi0 >0, i =1,2, ,m phương án cực biên Khi đó, A1,A2, , Am hệ liên kết hay x10A1 + x20A2 + …+ xm0Am = B Với Aj tìm Xj = (x1j; x2j; …; xmj) cho x1jA1 + x2jA2 + …+ xmjAm = Aj Đặt j = c1x1j + c2x2j + …+ cmxmj – cj 2.4.1 Các định lí Định lý 1:(Dấu hiệu tối ưu) Nếu j ≤ 0, j x0 phương án tối ưu, ngược lại Định lý 2: Nếu tồn j > xkj ≤ với k =1,2, ,m, tốn Quy hoạch tuyến tính dạng tắc khơng có phương án tối ưu Định lí 3: x  x Nếu tồn k, s cho max  j :  j  0   k  i : xik    s   s  xik  xsk Xét sở cách thay As Ak Khi đó, phương án X ứng với sở phương án tốt phương án X0 Ví dụ: Xét toán f ( x)  x1  x2  x3   x1  x2  x4     x2  x3  x4   x  0, j  1,2,3,4  j Chứng minh x = (6;0;8;0) phương án cực biên không phương án tối ưu Áp dụng định lí tìm phương án tốt hơn, kiểm xem phương án có phải phương án tối ưu khơng? Th.s Nguyễn Hồng Anh Khoa 2.4.2 Bài tốn QHTT dạng tắc có sẵn ma trận đơn vị Xét toán f ( x)   c, x   Ax  b  x  Trong đó, b > A có sẵn ma trận đơn vị cấp m Khơng tính tổng qt giả sử m cột đầu A1, A2, ,Am Lúc đó, phương án cực biên x bước lặp là: x0 = (b1,b2, ,bm, 0, ,0) hệ liên kết A1, A2, ,Am Hơn nữa, Xj = (a1j; a2j; …; amj) Để thuận tiện ta xếp liệu lên bảng sau (gọi bảng đơn hình) c1 c2 cm cm+1 cn Cơ sở H.số P.án X1 X2 … Xm Xm+1 … Xn A1 c1 b1 a1m+1 a1n A2 c2 b2 a2m+1 a2n : : : : : : : : Am cm bm 0 amm+1 amn f(x0) 0 m+1 n Áp dụng định lí 1,2,3 ta có thuật tốn đơn hình Bước 1: Tính j , j = 1,2, ,n Nếu j ≤ với j = 1,2, ,n x0 phương án tối ưu Nếu tồn j > xkj ≤ với k =1,2, ,m, tốn khơng có phương án tối ưu Bước 2: Xác định k,s cho x  x max  j :  j  0   k  i : xik    s   s  xik  xsk Bước 3: Thay As Ak Tìm phương án Xj ứng với hệ liên kết  x ij i  j x  sk ' Phương pháp: x ij   Quay bước x  x  x ik sj  ij x sk Ví dụ: Giải tốn f (x)  x1  x  2x  2x  x   x1  x  x  x  x  x  x   4x  2x  3x  x    x j  0, j  1,6  Th.s Nguyễn Hồng Anh Khoa Giải: Vì [A1,A2,A6] ma trận đơn vị Ta có bảng đơn hình -1 -2 -1 CS HS PA X1 X2 X3 X4 X5 X6  A1 1 -1 A2 -1 1 A6 0 4,5 0 -1 -1 A4 -2 1 -1 A2 -1 -1 -1 2 A6 -2 1 -2 -3 A4 -2 0,6 1,4 0,2 A2 -1 -0,2 -1,8 0 -0,4 A5 -1 -0,4 0,4 0,2 -9 -1,6 -3,4 0 -0,2 Vậy phương án tối ưu là: x1 = 0; x2 = 2; x3 = 0; x4 = 2; x5 =1; x6 = fmin = – 2.4.3 Bài tốn QHTT dạng tắc khơng có sẵn ma trận đơn vị Xét bai toán f ( x)   c, x  Ax  b (*) x0 A khơng có ma trận đơn vị Xét toán M f ( x)  Mxn1  Mxn2   Mxnm  Bx  b (M ) x0 B = [A|I] cỡ mx(n+m), M số lớn Định lí 4: Nếu x0 = (x10;x20; ;xn0) phương án tối ưu tốn (*) x=(x10;x20; ;xn0;0; ;0) phương án tối ưu toán M ngược lại Chú ý:  j  0,  j  j   jM   j     j  0,  j   j  0,  j  j   jM   j     j  0,  j   k   j  k ;  j k   k M   k   j   j M   j    k   j  k   j Th.s Nguyễn Hoàng Anh Khoa BÀI TẬP CHƯƠNG Câu Một xí nghiệp có máy A, B dùng để sản xuất loại sản phẩm Định mức thời gian (đơn vị: giờ) cho đơn vị sản phẩm máy quỹ thời gian (đơn vị: giờ) máy cho bảng sau: SP Định mức thời gian cho đơn vị sản phầm Quỹ thời gian SP1 SP2 SP3 MÁY A 120 B Giá SP (đv 1000 đ) 40 30 35 90 Hãy lập mơ hình tốn học cho tốn: Tìm phương án sản xuất cho tổng thu nhập lớn mà đảm bảo an toàn cho máy Câu Hai địa phương Ninh Bình Hưng Yên cung cấp Khoai với khối lượng 200 300 cho địa phương tiêu thụ Khoai Hải Phòng, Nghệ An Nam Định với yêu cầu tương ứng 170 tấn, 200 130 cước phí vận chuyển (nghìn/ tấn) cho bảng sau: Nơi tiêu thụ Hải Phịng Ngệ An Nam Định Ninh Bình 20 12 25 Hưng n 12 24 14 Hãy lập mơ hình tốn học cho tốn: Tìm kế hoạch vận chuyển cho tổng chi phí nhỏ Câu Giải tốn quy hoạch tuyến tính sau phương pháp đơn hình: a) f (x)  x1  x  2x  2x  x  b) f (x)  2x1  x  3x  x   x1  x  x  x  x  x  x   2x  4x  3x  x    x  0, j  1,  j  x4   x1  2x  x  x  4x     x  x  2x    x j  0, j  1; 2; 3;  c) f (x)  3x1  5x  2x  x  d) f (x)  2x1  x  x  2x  2x   x1  2x  x  x  x    2x   x1   x j  0, j  1; 2; 3;  1 2x1  x  x  x x  x4    2   x1  x  x j  0, j  1; 2; 3;  10 Th.s Nguyễn Hoàng Anh Khoa Chương BÀI TOÁN VẬN TẢI 3.1 Các khái niệm 3.1.1 Bài tốn vận tải a Bài tốn Có m địa điểm A1,A2, ,Am sản xuất loại hàng với lượng hàng a1,a2, ,an Có n địa điểm B1,B2, ,Bn tiêu thụ loại hàng với lượng hàng b1,b2, ,bn Hàng đơn vị hàng vận chuyển từ Ai đến Bj với cước phí cij Gọi xij lượng hàng vận chuyển từ Ai đến Bj Xác định xij , i=1,2,…,m ; j =1,2, ,n để tổng cước phí vận chuyển nhỏ (hàng vận chuyển hết hàng nhu cầu) b Mơ hình tốn vận tải m n Z   cij xij  (1) i 1 j 1 x  i  1, m  (2) x  bj  j  1, n  (3) n j 1 m i 1 ij ij xij  (4) Bài toán vận tải toán QHTT gồm m+n ràng buộc mn biến số Một ma trận X gồm số thực xij không âm thỏa mãn m+n ràng buộc gọi phương án vận tải Một phương án vận tải cho tổng chi phí vận tải thấp gọi phương án vận tải tối ưu (hay nói gọn phương án tối ưu) c Dạng bảng toán vận tải Thu b1 b2 … bj … bn Phát c11 c12 c1j c1n a1 x11 x12 x1j x1n c21 c22 c2j c2n a2 x21 x22 x2j x2n : : : : : ci1 ci2 xi1 : am cij xi2 : : cm1 cm2 xm1 xij xin : xm2 cin : cmj xmj cmn xmn 11 Th.s Nguyễn Hoàng Anh Khoa 3.1.2 Bài toán cân thu phát Bài toán vận tải cân thu phát toán vận tải có tổng lượng hàng thu tổng lượng hàng phát m n  a  b i 1 i j 1 j Chú ý: Với điều kiện cân thu phát toán vận tải trở thành toán QHTT dạng chuẩn m n Z   cij xij  (1) i 1 j 1 n x j 1 ij m x i 1 ij  i  1, m  (2)  bj  j  1, n  (3) xij  (4) Nhận xét: rankA = m + n – Định lí: Bài tốn vận tải cân thu phát ln có phương án tối ưu 3.2 Phương pháp tìm phương án cực biên ban đầu Trong mục ta xét toán vận tải cân thu phát + Ta gọi đường tập hợp ô bảng cho hai liên tiếp nằm dịng hay cột Một đường khép kín gọi chu trình X X X X ( Đường đi) X X X X X X X X ( Chu trình ) + Giả sử x = (x11,x12, ,x1n, x21,x22, ,x2n, , xm1,xm2, ,xmn) phương án tốn vận tải, xịj > ô (i,j) gọi ô chọn Định lí: Phương án x phương án cực biên toán vận tải tập ô chọn tương ứng với khơng chứa chu trình 3.2.1 Phương pháp góc Tây-Bắc Chúng ta ưu tiên phân phối lượng hàng nhiều vào góc Tây Bắc Nếu nơi đủ hàng ta xóa cột chứa nơi nhận đó; nơi phát hết hàng ta xóa dịng chứa nơi phát 12 Th.s Nguyễn Hồng Anh Khoa 3.2.2 Phương pháp cước phí cực tiểu Chọn cij có giá trị nhỏ bảng chi phí vận chuyển Tính điền vào có giá trị xij = (ai, bj) Sau đó, ta khơng xét hàng cột có dự trữ hết hay nhu cầu thoả mãn Nếu = bj khơng xét đồng thời cột Bj lẫn hàng Ai Từ phần cịn lại bảng ta lại chọn có giá trị nhỏ trình phân phối tiếp tục thoả mãn nhu cầu điểm tiêu thụ Ví dụ: Tìm phương án cực biên toán vận tải cho bảng 35 25 45 30 1 75 3.3 Phương pháp vị giải toán vận tải Định lí: Giả sử x = (x11,x12, ,x1n, x21,x22, ,x2n, , xm1,xm2, ,xmn) phương án cực biên tốn vận tải Tính  ij = u i + v j – c ij với  ij = ô chọn ký hiệu E (số ô chọn E m + n – 1) - Nếu  ij  với (i,j) x phương án tối ưu - Ngược lại, + Giả sử  ij có giá trị lớn nhất, đặt E:=E U (i,j) + Gọi G chu trình qua ô (i,j), tiến hành đánh dấu “+”, “-“ liên tiếp ô (i,j) đánh dấu “+” Kí hiệu G+ tập có dấu “+” G- có dấu “-“  xij  a (i, j )  G   + Giả sử min{xij |(i,j)G-} = xst xij   xij  a (i, j )  G  đặt E’:=E\(s,t)  (i, j )  G  xij Khi đó, phương án x’ = (x’ij) phương án cực biên tốt phương án x Các bước giải toán vận tải Bước 1: Thành lập phương án cực biên ban đầu, số ô chọn m+n-1, có chọn khơng Bước 2: Xác định ui vj Tính  ij Nếu  ij  với (i,j) x phương án tối ưu Ngược lại, chuyển sang bước Bước 3: Xây dựng phương án định lí Quay bước 3.4 Một số dạng toán vận tải + Với tốn vận tải có cấm, ta xem cấm bình thường cước phí M lớn giải bình thường + Với tốn vận tải khơng cần thu phát, ta thêm vào trạm thu trạm phát giả với cước phí giải bình thường 13 Th.s Nguyễn Hoàng Anh Khoa BÀI TẬP CHƯƠNG Câu 1: Giải toán vận tải sau: Thu Phát 10 15 10 12 3 Câu 2: Giải toán vận tải sau: Thu Phát 2 4 10 Câu 3: Giải toán vận tải sau: Thu Phát 10 12 15 10 15 10 Câu 4: Giải toán vận tải sau: Thu Phát 10 12 Câu 5: Giải toán vận tải sau: Thu Phát 20 10 20 30 15 25 3 14 Th.s Nguyễn Hoàng Anh Khoa Chương BÀI TOÁN TỐI ƯU TRÊN MẠNG 4.1 Một số khái niệm 4.1.1 Đồ thị, đồ thị có hướng Đồ thị: (Graph) cặp tập hợp, ký hiệu G = (X,A), X = {x1;x2;…;xn} tập điểm (đỉnh, nút), A tập nhánh (cạnh, cung) nối tất phần điểm đồ thị lại với Nhánh nối liền đỉnh i j, ký hiệu (i;j) Nhánh định hướng: Một nhánh định hướng (ký hiệu mũi tên) gọi cung Đồ thị có hướng: Đồ thị G = (X,A) A tập hợp cung gọi đồ thị định hướng (có hướng) 4.1.2 Biễu diễn đồ thị dạng ma trận Xét đồ thị G = (X,A) Ma trận liên hệ trực tiếp đồ thị ký hiệu A = [aij] xác định sau: 1, G cócung (i, j) a ij   0,G khơng cócung (i, j) 4.2 Mạng liên thơng ngắn 4.2.1 Bài tốn Cho đồ thị vô hướng G = (X,A) cạnh đồ thị có gắn số khơng âm, gọi độ dài cạnh (độ dài cạnh (i,j) ký hiệu cij) Hãy tìm (đường nối tất đỉnh) đồ thị cho tổng độ dài cạnh nhỏ 4.2.2 Ý nghĩa toán Nếu coi đỉnh đồ thị trạm thông tin, trạm xăng … nên đặt đường dây, hệ thống cáp, ống dẫn xăng dầu … để tiết kiệm chi phí nhất? 4.2.3 Thuật tốn Prim Ký hiệu T tập đỉnh cạnh (cần xác định T) Bước 1: Giải sử ckl = min{cij| (i,j)  A} T:= {(k,l)} Bước 2: Kiểm tra T mạng liên thông Kết luận T Ngược lại, sang bước Bước 3: Tìm cst = {cij với xi  T xj T} T:=T{(s,t)} Quay Bước Ví dụ : Tìm mạng liên thơng ngắn tính độ dài sơ đồ mạng 2 5 15 Th.s Nguyễn Hoàng Anh Khoa Giải Bước : min(cij) = c12 = T := {(1,2)} Bước : min{c13 = 7; c14 = 5; c24 = ;c25 = 7} = c24 = T := {(1,2) ;(2,4)} Bước : min{c13 = 7; c25 = ; c43 =3 ; c45 = ; c46 = 5; c47 = 8} = c43 = T := {(1,2) ;(2,4) ;(4,3)} Bước : min{ c25 = ; c45 = ; c46 = ; c47 = ; c36 = 6} = c45 = T := {(1,2) ;(2,4) ;(4,3) ;(4 ;5)} Bước : min{c46 = ; c47 = ; c36 = ; c57 = 3} = c57 = T := {(1,2) ;(2,4) ;(4,3) ;(4 ;5) ;(5 ;7)} Bước : min{ c46 = 5; c36 = ; c76 = 4} = c76 = T := {(1,2) ;(2,4) ;(4,3) ;(4 ;5) ;(5 ;7) ; (7 ,6)} Vậy độ dài l(T) = + + 3+ + + = 21 4.3 Bài toán đường ngắn 4.3.1 Bài toán Cho đồ thị G = (X,A), nhánh A ta gắn số không âm, biểu thị độ dài nhánh (nhánh (i,j) ký hiệu cij) Trên X lấy xs gọi đỉnh xuất phát (nguồn) đỉnh xt gọi đỉnh kết thúc (đích) Vấn đề đặt là: Hãy tìm đường ngắn từ đỉnh xs đến đỉnh xt (cung (i,j) phép từ xi đến xj) 4.3.2 Ý nghĩa toán Trong thực tê, việc di chuyển từ A đến B thông qua mạng lưới giao thông có sẵn chuyện thường gặp (các cung tương ứng đường chiều) Vần đề đặt chọn đường ngắn để đảm bảo việc tiết kiệm nhiên liệu, thời gian … 4.3.3 Thuật toán Difkatra Bước 1: L(xi) := +∞ (khi i ≠ s) (nhãn tạm thời) L(xs) := 0+ (xs gán nhãn cố định 0+) xp:=xs Bước 2: Kiểm tra xp = xt kết luận L(xt) = L(xp) Ngược lại sang bước Bước 3: Thay đổi nhãn tạm thời đỉnh xi G(xp) (các đỉnh có gốc xp) L(xi) := min{L(xi); L(xp) + cpi} Tìm xj cho L(xj) = min{L(xi) với L(xi) nhãn tạm thời} L(xj):= L(xj)+ (gán nhãn cố định cho xj) xp:=xj Quay bước 16 Th.s Nguyễn Hoàng Anh Khoa Ví dụ: Xét sơ đồ mạng 2 5 Bằng thuật toán Difkatra tìm đường ngắn từ x1 đến x7 Giải Đỉnh x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 Vòng 0+ +∞ +∞ +∞ +∞ +∞ +∞ Vòng 2+ +∞ +∞ +∞ Vòng 5+ 2+8 +∞ +∞ Vòng 5+3+ 2+8 5+5 5+8 Vòng 10 8+1+ 13 Vòng 10+ 9+2 Vòng 11+ Vậy đường ngắn x1 -> x4 -> x3 -> x6 -> x7 Tổng độ dài + + + = 11 4.4 Phương pháp sơ đồ mạng lưới (Mạng Pert) 4.4.1 Sơ đồ mạng Pert Mạng Pert đồ thị định hướng với hai yếu tố công việc kiện C ông việc biểu thị cạnh có hướng (cung ) S ự kiện biểu thị đỉnh, đỉnh có kết thúc số công việc bắt đầu số cơng việc Trình tự lập sơ đồ mạng  Liệt kê tất công việc: công việc phải liệt kê theo quy trình cơng nghệ, theo thứ tự thời gian trước sau Nên lập theo bảng  Xác định thời gian thực công việc  Lập sơ đồ Quy tắc lập sơ đồ mạng  Quy tắc sơ đồ lập từ trái sang phải 17 Th.s Nguyễn Hoàng Anh Khoa  Quy tắc cơng việc khỏi kiện cơng việc vào hoàn thành  Quy tắc sơ đồ mạng thường không theo tỉ lệ  Quy tắc tên kiện không trùng lắp  Quy tắc sơ đồ khơng có vịng kín  Quy tắc sơ đồ khơng có đường cụt Các đỉnh Đỉnh xuất phát (khởi công) đánh số 1, đỉnh lại đánh số nguyên liên tiếp , đỉnh có cạnh mà khơng có cạnh vào đánh trước Các cung Thời gian dự trữ công việc 4.4.2 Đường găng (gant) Sơ đồ Pert cho ta đánh giá thông tin: a) Thời gian sớm để hồn thành cơng việc Là thời gian sớm để hồn thành cơng việc mà khơng ảnh hưởng đến yêu cầu kỹ thuật Thời gian sớm để hồn thành cơng việc đỉnh j ký hiệu tjs Ta có t1s = s = max{(ti s + tij ) | (i,j)  Nj} Trong đó, Nj tập hợp cung có đỉnh j tij thời gian hồn thành cơng việc hai đỉnh i j tj b) Thời gian muộn để hồn thành cơng việc Là thời gian muộn để hồn thành cơng việc mà khơng ảnh hưởng đến tiến độ cơng trình (kéo dài thời gian hồn thành cơng trình) Thời gian muộn để hồn thành cơng việc đỉnh j ký hiệu tim Ta có tnm t im = tns = {(tjm - tij ) | (i,j)  Gi} Trong đó, Gi tập hợp cung có gốc đỉnh i 18 Th.s Nguyễn Hoàng Anh Khoa tij thời gian hồn thành cơng việc hai đỉnh i j c) Tính thời gian trữ đỉnh, ký hiệu di Là thời gian dự trữ mốc thời gian cơng trình, thời gian cho phép trễ mà không ảnh hưởng đến tiến độ cơng trình d i = t im - t is d) Tính thời gian trữ cơng việc cạnh , ký hiệu dij Là thời gian cho phép trễ công việc mà không ảnh hưởng đến tiến độ cơng trình dij = tjm - tis – tij e) Công việc gant (găng) Công việc (i,j) gọi cơng việc gant có dij = f) Đường gant Đường gant đường từ điểm khởi đầu đến điểm kết thúc qua cơng việc gant Ví dụ: Để thực cơng trình ta phải thực cơng việc sau: Công việc Yêu cầu Thời gian A B C D sau A E sau B F sau A G sau C,D,E H sau F,G K sau C,D,E a) Lập sơ đồ mạng b) Xác định thời gian dự trữ công việc c) Xác định đường gant Giải s t1 = t m = t6 s = t2s = max{3}=3 t5m = min{18-3} = 15 t3s = max {4}=4 t4m = min{15-6 ;18-7} = t4s = max {3+4 ;3 ;4+5}=9 t3m = min{9 - 5} = t5s = max {3+6 ;9+6}=15 t2m = min{9 - 2} = t6s = max {15+3 ;9+7}=18 t1m = min{7-3 ; 9-3 ; 4-4} = 19 Th.s Nguyễn Hoàng Anh Khoa 44 44 44 A3 0 15 D2 0 H3 K7 B4 15 G6 C6 F6 44 18 18 E5 4 BÀI TẬP CHƯƠNG Câu : Xét sơ đồ mạng 2 5 a) Bằng thuật tốn Prim tìm mạng liên thơng ngắn tính độ dài b) Bằng thuật tốn Difkatra tìm đường ngắn từ x1 đến x7 Câu 2: Cho sơ đồ mạng 6 5 Hãy tìm thời gian sớm thời gian muộn để hồn thành cơng việc đỉnh, xác định thời gian dự trữ đỉnh cung 20 Th.s Nguyễn Hoàng Anh Khoa TÀI LIỆU THAM KHẢO PGS.TS Nguyễn Quang Dong- Ngô Văn Thứ - PGS.TS Hồng Đình Tuấn Giáo trình “Mơ hình tốn kinh tế” Nhà xuất Thống kê 2006 Bùi Minh Trí Toán kinh tế Nhà xuất Bách khoa Hà Nội 2011 PGS.TS Nguyễn Quảng - TS Nguyễn Thượng Thái Toán kinh tế Hà nội 2007 21 ... 15 4.3 Bài toán đường ngắn 16 4.4 Phương pháp sơ đồ lưới (Mạng Pert) 17 Bài tập chương 20 Tài liệu tham khảo 21 Th.s Nguyễn Hoàng Anh Khoa CHƯƠNG...   2   x1  x  x j  0, j  1; 2; 3;  10 Th.s Nguyễn Hồng Anh Khoa Chương BÀI TỐN VẬN TẢI 3.1 Các khái niệm 3.1.1 Bài toán vận tải a Bài tốn Có m địa điểm A1,A2, ,Am sản xuất loại hàng... giải bình thường 13 Th.s Nguyễn Hồng Anh Khoa BÀI TẬP CHƯƠNG Câu 1: Giải toán vận tải sau: Thu Phát 10 15 10 12 3 Câu 2: Giải toán vận tải sau: Thu Phát 2 4 10 Câu 3: Giải toán vận tải sau: Thu