BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP A1 Th.S NGUYỄN HÒANG ANH KHOA

BỘ CÔNG THƯƠNG TRƯỜNG CAO ĐẲNG CÔNG NGHIỆP HUẾ  BÀI GIẢNG TỐN CAO CẤP A1 Th.S NGUYỄN HỒNG ANH KHOA Huế, tháng 09 năm 2014 Th.S Nguyễn Hoàng Anh Khoa CHƯƠNG GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 1.1 Giới hạn dãy số 1.1.1 Ánh xạ, dãy số Cho X, Y hai tập khác rỗng quy tắc f đặt tương ứng phần tử x  X với phần tử y  Y gọi ánh xạ Ký hiệu f : X  Y, x  y  f (x) Hay f :X  Y x  y  f (x) Ánh xạ u : N*  R , n  u(n) gọi dãy số Để đơn giản ta ký hiệu un = u(n) Dãy số viết theo thứ tự tăng dần số n chẳng hạn: u1; u2; u3; ; un; Ký hiệu dãy số u (un)n N * gọn (un)n hay (un) 1.1.2 Giới hạn dãy số Định nghĩa Dãy số (un) gọi dần a (hay có giới hạn a)   > 0,  n0  N cho n>n0 |un – a| <  Kí hiệu: lim u n  a , limun = a hay un  a n  Một số giới hạn cần nhớ  limC = C (C số)  lim  = (với  > 0) n  limqn = (với |q| < 1) Định lí Giới hạn dãy số có Định lí Mọi dãy hội tụ bị chặn Định lí Nếu (an)n dãy tăng bị chặn hội tụ Nếu (an)n dãy giảm bị chặn hội tụ Định lí Cho (an)n (bn)n hai dãy hội tụ Khi đó, ta có: i) lim(an  bn) = liman  limbn ii) lim(anbn) = liman.limbn a lima n iii) Nếu limbn  lim n  b n lim b n iv) Nếu an ≤ bn với n > n0 liman ≤ limbn Hệ quả: Nếu an ≤ bn  cn liman = limcn = L limbn = L Th.S Nguyễn Hồng Anh Khoa 1.1.3 Giới hạn vơ hạn: Cho dãy số (an)n – Nếu với M > lớn tuỳ ý, tồn n0  N cho an > M  n > n0 ta nói dãy (an)n có giới hạn cộng vơ Ký hiệu: liman = +  hay an +  – Nếu với M > lớn tuỳ ý, tồn n0  N cho an < – M  n > n0 ta nói dãy (an)n có giới hạn trừ vơ Ký hiệu: liman = –  hay an –  Chú ý: limun =  lim  un 1.2 Giới hạn hàm số 1.2.1 Hàm số a Định nghĩa Cho X, Y tập khác rỗng R Ánh xạ f : X  Y, x  y = f(x) gọi hàm số x gọi biến độc lập y = f(x) gọi giá trị hàm f x X gọi tập xác định hàm f Quy ước Người ta thường viết gọn hàm số đẳng thức y = f(x) Tập xác định D tập giá trị x cho f(x) có nghĩa Tập giá trị T = f(D) = {f(x) | x  D} b Hàm số ngược Cho hàm số f : X  Y, x  y = f(x) Nếu y thuộc Y tồn x thuộc x cho f(x) = y Khi hám số g:YX y  x = g(y) gọi hàm số ngược hàm f, kí hiệu g = f –1 Chú ý: Nếu f có hàm ngược thì:  f(x) = y  f – 1(y) = x  f – 1(f(x)) = x f(f – 1(x))= x Định lí: Nếu f : D  T = f(D) đơn điệu D f có ánh xạ ngược f – : T  D c Các hàm số sơ cấp 1) Hàm lũy thừa y = x (  R*) 2) Hàm mũ y = ax (a > 0, a  1) 3) Hàm logarit y = logax (a > 0, a  1) 4) Các hàm lượng giác Th.S Nguyễn Hoàng Anh Khoa 5) Các hàm lượng giác ngược   a) Hàm số sin :  ;   [–1; 1] tăng nên có hàm số ngược  2 Ký hiệu y = arcsin x Vậy hàm    arcsin: [  1;1]    ;   2 x  y  arcsinx siny = x, gọi hàm ắc-sin b) Hàm số y = cos x Hàm ắc-cô-sin hàm arccos: [  1;1]   0;  x  y  arccosx cosy = x c) Hàm số y = tanx Hàm ắc-tang hàm    arctan: R    ;   2 x  y  arctan x tany = x d) Hàm số y = cotx Hàm ắc-cô-tang hàm arccot: R   0;  x  y  arccotx coty = x Ví dụ:  3  arcsin      arctan1     2 arccos      2 3 Th.S Nguyễn Hoàng Anh Khoa 1.2.2 Giới hạn hàm số a Định nghĩa Cho hàm số y = f(x) xác định lân cận x0 (có thể trừ điểm x0) Số L gọi giới hạn hàm số y = f(x) x dần tới x0 với dãy số (xn)n , xn  x0 cho limxn = x0 limf(xn) = L Khi đó, ta viết lim f (x)  L xx0 b Một số giới hạn cần nhớ lim C  C lim x  x xx0 lim arctan x   x  xx0  x sinx e 1 ln(1  x) 1 ; lim 1; lim 1 x 0 x 0 x 0 x x x c Tính chất Định lí 1: Giới hạn hàm số y = f(x) x  x0 (nếu có) Định lí 2: Nếu f(x)  g(x) x  U0 lim f (x)  L , lim g(x)  L' L  L' lim xx0 xx0 Định lí 3: (nguyên lý kẹp) Nếu h(x)  f(x)  g(x) x  U0 lim h(x)  lim g(x)  L lim f (x)  L xx0 x x xx0 Định lí 4: Giả sử lim f (x)  a ; lim g(x)  b Khi đó: xx0 xx0 i) lim  f (x)  g(x)  a  b xx0 ii) lim  f (x).g(x)  a.b xx0 f (x) a  x  x g(x) b iii) Nếu b  lim 1.2.3 vơ bé Định nghĩa Cho hàm số y = f(x) xác định lân cận x0 Hàm f gọi vô bé (VCB) x  x0 lim f (x)  xx0 Giả sử f(x) g(x) VCB x  x0, đó: f (x) – Nếu lim  ta nói f(x) VCB bậc cao so với g(x) hay g(x) x  x g(x) VCB bậc thấp so với f(x) x  x0 Kí hiệu f(x) = o(g(x)) f (x)  ta nói f(x) g(x) hai VCB tương đương xx0 – Nếu lim x  x g(x) ký hiệu f(x) ~ g(x) f (x)  A  R* ta nói f(x) g(x) hai VCB bậc xx0 – Nếu lim x  x g(x) Th.S Nguyễn Hoàng Anh Khoa 0 Ứng dụng VCB tương đương để khử dạng vô định   0 i) Nếu f(x) VCB xx0 f(x) + o(f(x)) ~ f(x) xx0 f (x) F(x)  lim ii) Nếu f(x) ~ F(x) g(x) ~ G(x) x  x0 lim x  x g(x) x  x G(x) 1.2.4 Vô lớn Định nghĩa Cho hàm số y = f(x) xác định lân cận x0 Hàm f gọi vô lơn (VCL) x  x0 lim | f (x) |  xx0 Giả sử f(x) g(x) VCL x  x0, đó: – Nếu lim xx0 f (x)   ta nói f(x) VCL bậc cao so với g(x) hay g(x) g(x) VCL bậc thấp so với f(x) x  x0 Kí hiệu f(x) >> g(x) – Nếu lim xx0 f (x)  ta nói f(x) g(x) hai VCL tương đương xx0 ký g(x) hiệu f(x) ~ g(x)  Ứng dụng VCL tương đương để khử dạng vô định    i) Nếu f(x) >> g(x) xx0 f(x) + g(x) ~ f(x) xx0 f (x) F(x) ii) Nếu f(x) ~ F(x) g(x) ~ G(x) x  x0 lim  lim x  x g(x) x  x G(x) Chú ý: Khi x  +∞ ta có: ax >> xn >> lnx với a > 1, n > 1.3 Hàm số liên tục 1.3.1 Định nghĩa f liên tục x0  lim f (x)  f (x ) xx0 f liên tục (a;b) liên tục điểm x  (a;b) f liên tục [a;b] liên tục (a;b) lim f (x)  f (a); lim f (x)  f (b) x a x b 1.3.2 Tính chất Định lí: Mọi hàm số sơ cấp liên khoảng xác định Định lí: Nếu f hàm liên tục [a; b] f nhận giá trị trung gian giá trị nhỏ giá trị lớn [a; b] Th.S Nguyễn Hoàng Anh Khoa Bài tập chương 1.1 Tính giới hạn dãy (un) biết a) lim (n  1) n  n  3n  10 1.2 Tính giới hạn: x2  x6 x 2 x2 1.3 Xét tính liên tục hàm số: 1  cosx ,x   x a) f (x)    ,x   a) A = lim u1  b)  u n 1   u n sinx  t anx x 0 x3 b) B = lim   x.sin , x  b) f (x)   x 0 ,x  Th.S Nguyễn Hoàng Anh Khoa CHƯƠNG PHÉP TÍNH VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN SỐ 2.1 Đạo hàm hàm biến 2.1.1 Định nghĩa đạo hàm Cho hàm số f(x) xác định khoảng (a; b) ta nói hàm số f(x) khả vi f (x)  f (x ) điểm x0  (a, b) tồn giới hạn lim  A xx0 x  x0 Số A nói gọi đạo hàm hàm số f(x) điểm x0 Ký hiệu f’(x0) Nếu hàm số f(x) khả vi điểm x (a, b) ta nói f(x) khả vi khoảng (a; b) Nhận xét: Nếu đặt  x = x – x0 biểu thức định nghĩa trở thành f (x  x)  f (x ) f '(x )  lim x 0 x 2.1.2 Các quy tắc tính đạo hàm a (u + v) = u + v b (u – v) = u – v c (uv) = uv + vu  u  uv  vu d    với v  v2 v e [f(u(x))]  = f (u(x)).u(x) 2.1.3 Đạo hàm hàm số ngược Định lí: Giả sử f: (a; b)  (c; d) song ánh liên tục, g = f 1 : (c; d)  (a; b) hàm số ngược nó, đặt y0 = f 1 (x0) Nếu f có đạo hàm y0  (a; b) f’(y0)  f 1 có đạo hàm x0 f 1 (x )  (a) f '(y ) y = arcsinx hàm số ngược x=siny, – y’(x) =  1 (hình 2) Hình Hình 5.2 Giới hạn hàm hai biến 5.2.1 Định nghĩa Ta nói dãy điểm {Mn(xn;yn)} dần tới điểm M0(x0;y0) khoảng cách M M n  (x n  x )2  (y n  y0 )2 dần n dần vơ Ta nói hàm số f(M) có giới hạn L M(x, y) dần tới M0 với dãy điểm {Mn(xn;yn)} (khác M ) thuộc lân cận M0 ta có lim f (x n ; y n )  L n  Khi ta viết lim (x.y)(x o ,yo ) f (x, y)  L hay lim f (x, y)  L xxo y y0 33 Th.S Nguyễn Hồng Anh Khoa 5.2.2 Ví dụ i) Tìm lim f (x; y) , với f(x,y) = (x,y)(0,0) xy x  y2 Hàm số f(x,y) xác định R2 \ {(0,0)} Giới hạn không tồn tại, dãy 1  1  {x n , y n } =  ,  , { x’ n , y’ n } =  ,  n n  n n  hội tụ tới điểm (0, 0) n   , dãy tương ứng giá trị hàm 1 n3  n   f(x n , y n ) = n  , f( x’ n , y’ n ) = 1  n2 n2 n4 hội tụ tới giá trị giới hạn khác xy ii) Tìm lim g(x, y) , với g(x,y) = (x,y)(0,0) x  y2 Hàm số g(x,y) xác định R2 \ {(0,0)} Vì x g(x, y)  x y Vậy y  y lim (x,y)(0,0) x x  y2  ,  (x, y)  (0,0) nên y 0 lim g(x, y) = (x,y)(0,0) 5.3 Đạo hàm vi phân hàm hai biến 5.3.1 Đạo hàm riêng Định nghĩa Cho hàm số z = f(x, y) xác định miền D; M0(x0;y0) điểm D Nếu cho y = y0, hàm số biến số z = f(x;y0) có đạo hàm x = x0, đạo hàm gọi đạo hàm riêng f x M0 ký hiệu f u f x' (x o , y o ) hay (x o , y o ) hay (x o , y o ) x x f f (x; y )  f (x ; y ) (x o , y o )  lim Vậy xx0 x x  x0 Tương tự vậy, ta có định nghĩa đạo hàm riêng f y tạiM0, ký hiệu f u (x o ; yo ) hay (x o ; yo ) f y' (x o ; y o ) hay y y f f (x ; y)  f (x ; y0 ) (x o , yo )  lim y  y0 y y  y0 34 Th.S Nguyễn Hoàng Anh Khoa 5.3.2 Vi phân Định nghĩa Cho hàm số z = f(x;y) xác định D mở, M0(x0;y0), M(x0+x;y0+y)  D Nếu biểu diễn số gia toàn phần z = f(x0+x;y0+y) – f(x0;y0) dạng z  A.x  B.y  x  y , A, B số phụ thuộc x0;y0, ,  dần tới M  M0 ta nói hàm số z khả vi M0, biểu thức A.x  B.y gọi vi phân toàn phần z = f(x, y) M0 ký hiệu dz(x0;y0) hay df(x0;y0) Hàm số z = f(x, y) gọi khả vi miền D khả vi điểm miền Định lí Nếu hàm số z = f(x, y) có đạo hàm riêng lân cận điểm M0(x0;y0) đạo hàm riêng liên tục M0(x0;y0) f(x,y) khả vi M0(x0;y0) ta có dz(x0;y0)=fx’(x0;y0)x + fx’(x0;y0)x Chú thích: Cũng hàm biến số, x, y biến độc lập dx =x, dy =y dz(x0;y0)=fx’(x0;y0)dx + fx’(x0;y0)dx 5.3.3 Đạo hàm cấp cao Định lí Schwarz Cho hàm số hai biến số z = f(x, y) Các đạo hàm riêng f x' , f y' đạo hàm riêng cấp Các đạo hàm riêng đạo hàm riêng cấp tồn gọi đạo hàm riêng cấp hai Ta có bốn đạo hàm riêng cấp hai ký hiệu sau:   f   f  f x"2 ( x, y )   x  x  x   f   f  f xy" ( x, y )   y  x  xy   f   f  f yx" ( x, y )   x  y  yx   f   f "     f y ( x, y ) y  y  y Các đạo hàm riêng đạo hàm riêng cấp hai, tồn tại, gọi đạo hàm riêng cấp ba, Định lí Schwarz Nếu lân cận điểm M0 hàm số z = f(x, y) có đạo hàm riêng f xy" , f yx" đạo hàm liên tục M0 f xy"  f yx" M0 5.3.4 Vi phân cấp cao Xét hàm số z = f(x, y) Vi phân toàn phần dz  f x' dx  f y' dy tồn tại, hàm số x, y Vi phân toàn phần dz tồn tại, gọi vi phân toàn phần cấp hai z ký hiệu d z Vậy: d z  d (dz )  d ( f x' dx  f y' dy ) Cứ tiếp tục người ta định nghĩa vi phân cấp cao d n z  d (d n1 z ) 35 Th.S Nguyễn Hoàng Anh Khoa 5.4 Cực trị 5.4.1 Định nghĩa Cho hàm số z = f(x, y) xác định miền D đó, M0 điểm D Ta nói f(x, y) đạt cực trị M0 với điểm M lân cận M0, khác M0, hiệu số f(M) – f(M0) có dấu khơng đổi Nếu f(M) – f(M0) > ta có cực tiểu, Nếu f(M) – f(M0) < ta có cực đại 5.4.2 Các Định lí Định lí Nếu hàm số z = f(x, y) đạt cực trị M0 f có đạo hàm riêng M0 đạo hàm riêng khơng, nghĩa fx’(M0) = fy’(M0) = Định lí Giả sử M0 ta có fx’(M0) = fy’(M0) = hàm số z = f(x, y) có đạo hàm riêng đến cấp liên tục lân cận M0 Đặt A = fxx”(M0); B = fxy”(M0); C=fyy”(M0); D = B2 – AC Khi đó: Nếu D < f(x, y) đạt cực trị M0 Hơn nữa, M0 cực tiểu A > 0, M0 cực đại A < Nếu D > M0 khơng phải cực trị Ví dụ Tìm cực trị hàm số z = x3 + 2y3 – 3x – 6y 5.5 Giá trị lớn nhất, bé hàm hai biến Bài toán: Tìm GTLN, NN hàm z = f(x;y) miền D đóng, bị chặn Phương pháp: Bước 1: Tìm điểm dừng phần D, tính giá trị f điểm dừng Bước 2: Tìm giá trị LN, NN biên D Bước 3: So sánh bước 1,  kết luận Ví dụ: Tìm GTLN, NN hàm f(x;y) = x2 + y2 – 2y miền D giới hạn hai đường y = x2 y = x + Bài tập chương 5.1 Tìm điểm cực đại, cực tiểu hàm số a) f(x;y) = x4 + y4 – 4xy + b) f(x;y) = 3x2y – 3x2 – 3y2 + c) f(x;y) = x2 + y2 – 2lnx – 18y, x>0,y>0 d) f(x;y) = x3 + y3 – 9xy 5.2 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm f(x, y) = x – 2y + miền đóng D giới hạn đường thẳng x = 0, y = 0, x + y = 5.3 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm f(x, y) = + xy – x – y miền đóng D giới hạn đường y = x2, y = 36 Th.S Nguyễn Hoàng Anh Khoa CHƯƠNG TÍCH PHÂN HAI LỚP 6.1 Định nghĩa 6.1.1 Bài tốn thể tích vật thể hình trụ Giả sử z = f(x, y) hàm số xác định, liên tục, khơng âm miền D đóng, bị chặn, có biên L mặt phẳng Oxy Hãy tính thể tích vật thể hình trụ giới hạn mặt phẳng Oxy, mặt z = f(x, y) mặt trụ có đường sinh song song với Oz tựa L Chia miền D cách tùy ý thành n mảnh nhỏ Gọi tên diện tích mảnh S1 , S2 , , Sn Lấy mảnh nhỏ làm đáy, dựng vật thể hình trụ mà mặt xung quanh có đường sinh song song với Oz phía giới hạn mặt z = f(x, y) Như vật thể hình trụ xét chia thành n vật thể hình trụ nhỏ Trong mãnh nhỏ Si , lấy điểm tùy ý M i ( xi , yi ) Tích f ( xi , yi ) Si thể tích hình trụ thẳng có đáy Si chiều cao f ( xi , yi ) , khác thể tích Vi vật thể hình trụ nhỏ thứ i mảnh Si có đường kính nhỏ, hàm số f(x, y) liên tục Vậy xem thể tích V vật thể hình trụ xấp xỉ n  f ( x , y )S Phép tính xấp xỉ xác n lớn i i i Si có đường i 1 kính nhỏ Do thể tích V vật thể hình trụ xét định nghĩa giới hạn, có, có tổng n   cho đường kính lớn đường kính di mảnh Si dần tới 0, giới hạn không phụ thuộc cách chia miền D thành mảnh nhỏ, cách chọn điểm M i Si Đường kính miền bị chặn khoảng cách lớn điểm biên miền 6.1.2 Định nghĩa tích phân hai lớp Cho hàm số f(x, y) xác định miền đóng, bị chặn D Chia miền D cách tùy ý thành n mảnh nhỏ Gọi mảnh diện tích chúng S1 , S , , S n Trong mảnh Si , lấy điểm tùy ý M i ( xi , yi ) Tổng n In =  f ( x , y )S i i i i 1 gọi tổng tích phân hàm số f(x, y) miền D Nếu n   cho max di  mà In dần tới giới hạn xác định I, không phụ thuộc vào cách chia miền D cách lấy điểm M i mảnh Si , giới hạn gọi tích phân hai lớp hàm số f(x, y) miền D ký hiệu (1)  f ( x, y )dS D D gọi miền lấy tích phân, f gọi hàm dấu tích phân, dS gọi yếu tố diện tích Nếu tích phân (1) tồn tại, ta nói hàm f(x, y) khả tích miền D 37 Th.S Nguyễn Hoàng Anh Khoa Người ta chứng minh hàm số f(x, y) liên tục miền bị chặn, đóng D khả tích miền Nếu f(x, y) liên tục, khơng âm ( x, y )  D tích phân hai lớp (1) thể tích vật thể hình trụ Vậy: V =  f ( x, y )dS D Nếu f(x, y)  1, ( x, y )  D tích phân hai lớp (1) diện tích S miền D  dS  S D Chú ý Vì tích phân kép khơng phụ thuộc cách chia miền D thành mảnh nhỏ nêu định nghĩa, ta chia D, hai họ đường thẳng song song với trục tọa độ Do dS = dxdy viết:  f ( x, y )dS =  f ( x, y )dxdy D D 6.1.3 Tính chất phân kép Tích phân kép có tính chất tương tự tích phân xác định sau đây, với giả thiết tích phân có mặt tính chất tồn 1)  [ f ( x, y )  g ( x, y )]dxdy   f ( x, y )dxdy   g ( x, y )dxdy D 2)  kf ( x, y )dxdy D D D = k  f ( x, y )dxdy (k số) D 3) Nếu miền D chia thành miền D1, D2 không dẫm lên  f ( x, y )dxdy =  f ( x, y )dxdy +  f ( x, y )dxdy D D1 D2 4) Nếu f(x, y)  g(x, y), ( x, y )  D  f ( x, y )dxdy D   g ( x, y)dxdy D 5)Nếu m  f(x, y)  M, ( x, y )  D , m M số, mS   f ( x, y )dxdy  MS, D S diện tích miền D 6)Nếu f(x, y) liên tục miền D đóng, bị chặn D có điểm ( x, y ) cho  f ( x, y )dxdy = f ( x, y) S, S diện tích miền D D 6.2 Cách tính tích phân hai lớp 6.2.1 Tích phân hai lớp  f ( x, y )dxdy , D hình chữ nhật D Miền lấy tích phân hình chữ nhật có cạnh song song với trục tọa độ Giả sử phải tính tích phân I =  f ( x, y )dxdy , D D hình chữ nhật xác định a  x  b, c  y  d, f(x, y) liên tục D Giả thiết thêm f(x, y)  0, ( x, y )  D Như nói tích phân I thể tích vật thể hình trụ có đáy miền D, mặt xung quanh mặt trụ có đường sinh 38 Th.S Nguyễn Hồng Anh Khoa song song với Oz, phía giới hạn mặt z = f(x, y) phần giải tích biến số, ta lại biết thể tích b (2) V =  S ( x)dx , a Trong S(x) diện tích thiết diện vng góc với trục Ox x   a, b vật thể Vì S(x) diện tích hình thang cong mà đáy đoạn  c, d  , cạnh cong có phương trình z = f(x, y), x xem số, nên d S(x) =  f ( x, y)dy c Theo giả thiết, hàm số f(x, y) liên tục miền hình chữ nhật D, nên S(x) hàm số liên tục x  a, b , S(x) khả tích  a, b Thế biểu thức S(x) vào (2), ta b d  f ( x, y )dxdy D =  [  f ( x, y )dy ]dx a c Cũng viết b (3)  f ( x, y )dxdy D d =  dx  f ( x, y )dy a c Dễ thấy công thức f(x, y) liên tục âm D Như việc tính tích phân kép đưa việc tính hai tích phân đơn liên tiếp; tính tích d phân đơn thứ  f ( x, y)dy , ta xem x số c Chú ý Thay tính thể tích V vật thể hình trụ nói cơng thức (2), ta dùng cơng thức d (2’) V =  S ( y )dy c S(y) diện tích thiết diện vng góc với trục Oy y  c, d  vật thể Ta công thức d (3’) b =  dy  f ( x, y )dx  f ( x, y )dxdy D c a Từ (3) (3’) ta có b (4) d d  dx  f ( x, y)dy a c b =  dy  f ( x, y )dx c a Đó cơng thức đổi thứ tự tích phân Chú ý Nếu f(x, y) = f1(x).f2(y) ta có b  f ( x) f D ( y )dxdy = d b  dx  f ( x) f ( y)dy a c = d  f ( x)dx. f a ( y )dy , c Vì lấy tích phân y, x xem không đổi 39 Th.S Nguyễn Hồng Anh Khoa Ví dụ dxdy  ( x  y ) , D hình vng xác định  x  2,  y  D 2 dy Nhưng ( x  y)2 Ta có I1 =  dx  2  x 1    I1 =     dx = ln x2 x 1 x   1 6.2.2 Tích phân hai lớp dy  ( x  y) 1  x 1 x  = ln  f ( x, y )dxdy , D miền D + Giả sử miền lấy tích phân D xác định a  x  b, y1(x)  y  y2(x), y1(x), y2(x) hàm số liên tục [a, b] Để tính  f ( x, y )dxdy , ta D lập luận dùng ký hiệu mục trước, ta b  f ( x, y )dxdy = D  S ( x)dx , S(x) diện tích hình thang cong mà đáy a đoạn [y1(x), y2(x)], cạnh cong có phương trình z = f(x, y), y2 ( x ) S(x) =  f ( x, y )dy y1 ( x ) Hàm số f(x, y) liên tục miền D, hàm số y1(x), y2(x) liên tục [a, b], hàm số S(x) liên tục [a, b], khả tích [a, b] Vì ta y2 ( x ) b (5)  f ( x, y )dxdy =  dx a D f ( x, y )dy  y1 ( x ) + Nếu miền D xác định c  y  d, x1(y)  x  x2(y), x1(y), x2(y) hàm số liên tục đoạn  c, d  ta có x2 ( y ) d (6)  f ( x, y )dxdy =  dy c D  f ( x, y )dx x1 ( y ) + Giả sử biên L miền D bị đường thẳng song song với hai trục tọa độ cắt nhiều hai điểm Dựng hình chữ nhật nhỏ có cạnh song song với trục tọa độ chứa miền D Giả sử hình chữ nhật xác định a  x  b, c  y  d Gọi M, N, P, Q giao điểm L với biên hình chữ nhật Các điểm M, P chia L thành hai cung MNP, MQP có phương trình theo thứ tự y = y1(x), y = y2(x) Các điểm N, Q chia L thành hai cung NMQ, NPQ có phương trình theo thứ tự x = x1(y), x = x2(y) Trong trường hợp tính  f ( x, y )dxdy công thức (5) công thức (6) So sánh hai kết quả, ta D b (7)  dx a y2 ( x )  y1 ( x ) d f ( x, y )dy =  dy c x2 ( y )  f ( x, y )dx x1 ( y ) Đó cơng thức đổi thứ tự tích phân 40 Th.S Nguyễn Hồng Anh Khoa Ví dụ Hãy xác định cận tích phân tính I =  f ( x, y )dxdy , D miền giới D ,y=x x Miền D xác định  x  2,  y  x, I = x hạn đường x = 2, y = x  dx  f ( x, y )dy 1x Nếu đổi thứ tự tích phân, ta phân chia D thành hai miền D1, D2; D1 xác định 1  y  1,  x  D2 xác định  y  2, y  x  Do y 2 I =  dy  f ( x, y )dx   dy  f ( x, y )dx y y Rõ ràng cách tính thứ đơn giản Từ ví dụ ta thấy tính tính tích phân hai lớp, cần chọn thứ tự tích phân cho cách tính đơn giản Ví dụ Tính I =  ( x  y )dxdy , D miền giới hạn đường y = x, y = x+1, D y = 1, y = Rõ ràng trường hợp nên lấy tích phân theo x trước Miền D xác định bất đẳng thức  y  3, y -  x  y Do y 3  x3  I =  dy  ( x  y )dx =  dy   y x    1 y 1 x y  y y ( y  1)4   12   12    x  y 1  y3  ( y  1)3  y ( y  1)  dy = =   y  3   = 14 6.3 Đổi biến số tích phân hai lớp 6.3.1 Cơng thức đổi biến số tích phân hai lớp Xét tích phân kép  f ( x, y )dxdy ,trong f(x, y) liên tục D D Thực phép đổi biến số: (8) x = x(u, v), y = y(u, v) Giả sử rằng: 1) x(u, v), y(u, v) hàm số liên tục có đạo hàm riêng liên tục miền đóng D’ mặt phẳng Ouv; 2) Các công thức (8) xác định song ánh từ miền D’ lên miền D mặt phẳng Oxy; 3) Định thức Jacobi D( x, y ) xu' I=  D(u , v) yu' xv'  miền D’ yv' Khi ta có cơng thức (9)  f ( x, y )dxdy =  f ( x(u, v), y (u, v)) J dudv D D' 41 Th.S Nguyễn Hồng Anh Khoa Chú ý Cơng thức (9) định thức J = số điểm D Thật vậy, giả sử J = điểm A D Gọi D0 miền trịn tâm A bán kính r nằm hồn tồn D Cơng thức (9) miền D - D0 Gọi D’, D’0 nghịch ảnh D, D0 qua ánh xạ (8) Ta có  fdxdy   fdxdy   fdxdy   f J dudv   fdxdy D D  Do D '  D 'o Do Do Vì f bị chặn D nên chọn r đủ bé để   ta có  fdxdy   Do Do lim r  D '  D 'o f J dudv   fdxdy D Nhưng (8) song ánh liên tục, f J bị chặn D’ nên r  J dudv  ,  f  ' Do D Vậy  fdxdy =  f '  D 'o f J dudv   f J dudv D' J dudv D' D Ví dụ x y Tính I = x y  e dxdy , D miền xác định x  0, y  0, x+y  D Thực phép đổi biến  x  (u  v)  x  y  u hay   x  y  v  y  (v  u )  D ( x, y ) Ta có I =  D(u , v)  Do I = u  e v dudv  D' 1 2 v u 1 v du e dv = (e  e 1 )  vdv  (e  e 1 )   v 6.3.2 Tính tích phân hai lớp hệ tọa độ cực Công thức liên hệ tọa độ Đề (x, y) tọa độ cực (r,  ) điểm x = r cos  , y = r sin  Nếu r > 0,   <  cơng thức xác định song ánh tọa độ Đề tọa độ cực Riêng điểm gốc tọa độ có r =  tùy ý Xem công thức phép đổi biến số, ta có I= D( x, y ) cos   D(u, v) sin  r sin  r0 r cos  trừ gốc O Do từ cơng thức (9) suy 42 Th.S Nguyễn Hoàng Anh Khoa (10) =  f ( x, y )dxdy  f (r cos  , r sin  )rdrd D' D Theo thích mục 3.1, công thức (10) trường hợp miền D chứa gốc O Nếu miền D xác định      , r1 ( )  r  r2 ( ) hình , ta r2 ( )  (11) =  d  f ( x, y )dxdy  D  f (r cos  , r sin  )rdr r1 ( ) Đó cơng thức tính tích phân hai lớp tọa độ cực Chú ý Cũng tính yếu tố diện tích dS hệ tọa độ cực sau Chia miền D thành mảnh nhỏ đường tròn đồng tâm r = h ( h không đổi) tia  =k (k không đổi) Xem mảnh nhỏ xấp xỉ hình chữ nhật có kích thước dr rd  , dS = rdrd  (hình 3.13) Chú ý Nếu gốc O nằm miền D tia xuất phát từ O cắt biên miền D điểm có bán kính vectơ r(  ) r ( ) 2 =  f ( x, y )dxdy  d  D f (r cos  , r sin  )rdr Ví dụ Tính I =  D dxdy  x2  y2 , D phần tư hình trịn đơn vị nằm góc phần tư thứ Chuyển sang tọa độ cực, biểu thức dấu tích phân viết D’ giới hạn hai đường r = 0, r = hai tia  = 0,  =  rdrd 1 r2 , miền Do  I =  d  0 Ví dụ Tính I = rdr 1 r     1 r2  (  1) x  y dxdy , D miền xác định x  y  y  , x  y   , x  0, D y  Hai đường x  y  y  , x  y  có phương trình tọa độ cực r = 2sin  , r = Chúng cắt điểm có tọa độ cực (1, định      ) Vậy miền D’ xác , 2sin   r  43 Th.S Nguyễn Hoàng Anh Khoa   1 r3 Do I =  d  r dx   2sin  6  d = 2sin     16   =  (1  8sin  )d    8 (1  cos2  ) sin  d  30     =  cos  36    cos3  8       3  16     3  BÀI TẬP CHƯƠNG  x Câu 1: Tính tích phân kép ydxdy , D miền giới hạn D đường y = x y = Câu 2: Tính tích phân kép  D y = x, y = x2 dxdy , D miền giới hạn đường y2 x = x Câu 3: Tính tích phân kép  xydxdy , D miền giới hạn đường D y =x, y = x+1, y = 1, y = Câu 4: Tính tích phân kép  ( x  y)dxdy , D miền giới hạn D đường y = x y = x Câu 5: Tính tích phân kép  ydxdy , D miền x2 + y2  x D 44 ... nghĩa sau: A ma trận cấp 1: A =  a11  det(A) = a11 a a  A ma trận cấp 2: A=  11 12  det(A) = a11 det ( M 11 ) – a12 det ( M 12 ) =  a21 a22  a11 a22  a12 a21 (Chú ý a11 a12 phần tử nằm hàng...  x 23 Th.S Nguyễn Hoàng Anh Khoa CHƯƠNG ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 4.1 Ma trận 4.1.1 Khái niệm ma trận a Định nghĩa Một bảng số có m hàng n cột dạng  a11 a12 a a 22 A =  21   a m1 a m2 a1n ... trận chéo cấp n ma trận vuông cấp n mà tất phần tử nằm ngồi đường chéo không Như D ma trận chéo cấp n D có dạng: d1 0 d D=    0 0     d n  24 Th.S Nguyễn Hoàng Anh Khoa iv)