MA TRẬN
1 Đị nh ngh ĩ a ma tr ậ n : a Định nghĩa ma trận
Một bảng số chữ nhật có m hàng và n cột A
… gọi là một ma trận cỡ mxn a ij là phần tử nằm ở dòng i cột j
Ký hiệu : ma trận A có m hàng và n cột A=[aij]
Tập hợp các ma trận có m dòng n cột trên trường K ký hiệu là Mmxn(K) Trường K thường được xem là R hoặc C b Định nghĩa Ma trận vuông :
Ma trận vuông là loại ma trận có số hàng và số cột bằng nhau Cấp của ma trận vuông được xác định bởi số lượng hàng (hoặc cột) mà nó có.
Tập hợp các ma trận vuông kích thước n x n trên trường K được ký hiệu là Mn(K) Đối với ma trận A ∈ Mn(K), các phần tử a11, a22, …, ann được gọi là các phần tử chéo Đường thẳng chứa các phần tử này được gọi là đường chéo chính.
2 Các lo ạ i ma tr ậ n : a Ma trận tam giác trên
Ma trận A∈Mn(K) có aij=0 với i>j gọi là ma trận tam giác trên
0 0 6 là ma trận tam giác trên b Ma trận tam giác dưới
Ma trận A∈Mn(K) có aij=0 với i = V thì S được gọi là cơ sở của V
Khi S là cơ sở của V thì dimV=S=n b Mệnh đề
Cho không gian véc tơ V, dim(V)=n; S={α 1 ; α 2 ; ; α n }⊂V ta có :
− S là cơ sở của V S độc lập tuyến tính
Chú ý : Nếu S= {α1; α2} không tồn tại c∈R sao cho α 1 = cα 2 thì S độc lập tuyến tính c Định lý
Cho không gian véc tơ V, dim(V)=n; S={α 1 ; α 2 ; ; α n }⊂V
, ta có S độc lập tuyến tính Det(As)≠ 0 d Mệnh đề
Cho không gian véc tơ V, dim(V)=n; S={α1; α2; ; αn}⊂V Nếu S độc lập tuyến tính và S=k < n thì có thể bổ sung thêm n – k vectơ vào S để trở thành cơ sở của V
Cho W=< S > với S={α1; α2; ; αn}⊂V tìm cơ sở ω cho W b Cách tìm :
− Đưa ma trận As về dạng ma trận bậc thang
− Các dòng khác 0 tạo nên cơ sở cho W c Ví dụ:
Từ ma trận cuối, suy ra ω = [β1=(1; 1; 2; 4); β2=(0; -1; -3; -2)}là cơ sở của
W và dim(W) =2 (vì ma trận bậc thang có hai hàng khác 0)
V - HẠNG CỦA MỘT HỆ HỮU HẠN CÁC VÉC TƠ
1 H ệ con độ c l ậ p tuy ế n tính t ố i đạ i a Định nghĩa
Hệ S các véc tơ của không gian véc tơ V có một hệ con { v 1 , , v n } được gọi là độc lập tuyến tính tối đại nếu nó là một hệ độc lập tuyến tính Nếu thêm bất kỳ véc tơ nào từ S vào hệ con này, thì hệ sẽ trở thành phụ thuộc tuyến tính.
Nói riêng hệ { v 1, , v n } là hệ độc lập tuyến tính tối đại của V nếu hệ
{ v 1, , v n } độc lập và nếu thêm bất kỳ véc tơ khác của V ta có hệ mới là phụ thuộc b Tính chất
− Nếu S ' là hệ con độc lập tuyến tính tối đại của hệ S thì mọi véc tơ của
S là tổ hợp tuyến tính các véc tơ của S ' và cách biểu diễn thành tổ hợp tuyến tính là duy nhất
Giả sử {v1, , vn} là một hệ con độc lập tuyến tính trong một hệ hữu hạn S Trong trường hợp này, chúng ta có thể mở rộng hệ con này để tạo thành một hệ con độc lập tuyến tính tối đa của S, bao gồm cả các vector {v1, , vn}.
2 H ạ ng c ủ a m ộ t h ệ h ữ u h ạ n các véc t ơ a Định lý thế Steinitz :
Nếu hệ S có n véc tơ độc lập tuyến tính và mỗi véc tơ trong S là tổ hợp tuyến tính của các véc tơ trong hệ R với k véc tơ, thì điều kiện k phải nhỏ hơn hoặc bằng n.
Mọi hệ con độc lập tuyến tính tối đại của một hệ hữu hạn S các véc tơ trong không gian V đều có số phần tử bằng nhau Định nghĩa hạng của một hệ hữu hạn các véc tơ là số lượng véc tơ trong một hệ con độc lập tuyến tính tối đại của nó.
Số các véc tơ của một hệ con độc lập tuyến tính tối đại của hệ S được gọi là hạng (rank) của S , ký hiệu : r(S)
Qui ước hệ chỉ có véc tơ 0 có hạng là 0
1 Cho hệ {e1; a; b}={(1;0;0); (1;1;0); (1;1;1)} Chứng minh rằng hệ véc tơ đã cho độc lập tuyến tính
2 Trong R 2 , cho hệ {b; c} với b=(1;1), c={1;-1} và a= {7;-3} Hãy biểu diễn a thành tổ hợp tuyến tính của b và c
3 Cho a=(1;5;3), b={2;4;1} và c= {4;14;7} Chứng minh rằng {a; b; c} phụ thuộc tuyến tính
4 Trong R 3 , Cho a=(1;-2;3), b=(0;1;-3) Vectơ c=(2; -3;3) có phải là tổ hợp tuyến tính của {a; b}
6 Cho a=(2;3;5), b=(3;7;8); c=(1;-6;1) Biểu diễn x=(7; -2; 15) thành tổ hợp tuyến tính của {a; b; c}
7 Cho a=(4;1;2;0), b=(1;2;4;3), c=(2; 6;5;1) Tìm tổ hợp tuyến tính 5a – b + 3c
8 Cho a=(4;1;3;-2),b=(1;2;-3;2), c=(16; 9;1;-3) Tìm tổ hợp tuyến tính 3a+5b – c
9 Cho a=(1;3;2;4), b=(4;1;5;2), c=(2; 5;1;4) Tìm véc tơ X sao cho a+2b+3c+4X=0
10.Cho a=(4;-6;2), b=(6;-2;10), c=(2;-8;6) Hệ {a,b,c} độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính
11.Cho R 4 , a=(1;-1;2;0), b=(-1;0;1;1), c=(2;1;-1;2) Hệ {a,b,c} độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính
12.Trong R 3 , Cho a=(1;2;3), b=(0;2;3), c=(0;0;5) Chứng minh hệ {a; b; c} là 1 cơ sở của R 3
13.Trong R 3 , Cho a=(1;1;1), b=(1;1;2), c=(1;2;3) Chứng minh hệ {a; b; c} là 1 cơ sở của R 3
14.Trong R 3 , Cho a=(2;1;-1), b=(3;2;5), c=(1;-1;m) Tìm m để hệ (a; b; c) là một cơ sở của R 3
15.Chứng minh rằng a=(a1;a2); b=(b1;b2), hệ {a,b} độc lập tuyến tính ⇔a1b2=a2b1
16.Cho a=(1;5;0), b={2;1;0} và c= {3;2;0} Chứng minh rằng hệ {a; b; c} phụ thuộc tuyến tính
17.Chứng minh rằng trong không gian véc tơ V nếu {X1; X2} độc lập tuyến tính thì hệ {X1+ X2; X1- X2}cũng độc lập tuyến tính
18.Chứng minh rằng nếu {X1; X2; X3} độc lập tuyến tính thì hệ {X1- X2; X2- X3;
X3- X1;}cũng độc lập tuyến tính
19.Cho a=(2;5;1;3), b={10;1;5;10} và c= {4;1;-1;1} Tìm vectơ x biết 3(a + x) + 2(b + x) = 5(c + x)
20.Trong R 4 , Cho hệ L={a; b; c} với a=(1;2;-1;3), b=(2;1;2;4), c=(0;5;4;2) Tìm một cơ sở và số chiều của không gian con W sinh bởi hệ L
21.Trong R 4 , Cho hệ L={a; b; c; d} với a=(1; -1;0;-1), b=(1;0;-1;-2), c=(0;1;-1;-1); d = (1; 1;-2;-3) Tìm hạng của hệ L
22.Trong R 3 , Cho a=(1;0;-2), b=(-4;-1;5), c=(1;3;4) Tìm hạng của hệ {a; b; c}
DẠNG SONG TUYẾN – DẠNG TOÀN PHƯƠNG
1 Đị nh ngh ĩ a ánh x ạ tuy ế n tính Ánh xạ f từ không gian véc tơ V vào không gian W thoả mãn:
− Với mọi u, v ∈V, α ∈ R : f(αu) = αf (u) được gọi là ánh xạ tuyến tính từ V vào W
Nếu f : V → W là ánh xạ tuyến tính thì
− Với mọi u, v∈ V : f ( u − v ) = f ( u ) − f ( v ) b Định lý 2: Ánh xạ f : V → W là ánh xạ tuyến tính khi và chỉ khi với mọi u,v∈V α,β∈ R : f(αu + βv) = αf(u) + βf(v)
3 Các phép toán trên các ánh x ạ tuy ế n tính a Hom(V,W)
Cho hai không gian véc tơV W, Tập các ánh xạ tuyến tính từ V vào W được ký hiệu là Hom(V,W) hay L(V,W)
− Với f, g ∈ Hom(V,W), tương ứng V → W v f(v)+ g(v) là một ánh xạ tuyến tính, được ký hiệu f + g và gọi là tổng của f và g
− Tương tự, với k ∈ R, tương ứng V → W
V kf(v) là ánh xạ tuyến tính được ký hiệu là kf
Chúng ta đã xác định hai phép toán "+" và "⋅" trên tập các ánh xạ tuyến tính từ V vào W Với hai phép toán này, (Hom(V, W), +, ⋅) tạo thành một cấu trúc không gian véc tơ, và kích thước của Hom(V, W) được tính là dimHom(V, W) = dimV × dimW.
Giả sử f :V → V' và g :V’ →V” là hai ánh xạ tuyến tính thì ánh xạ hợp gf : V → V” cũng là một ánh xạ tuyến tính
Tập hợp các ánh xạ tuyến tính từ không gian véc tơ V, được ký hiệu là EndV, với hai phép toán cộng và nhân đã được định nghĩa, tạo thành một không gian véc tơ (EndV, +, ⋅).
4 Nhân và Ả nh c ủ a ánh x ạ tuy ế n tính a Định lý
Giả sử f : V → W là ánh xạ tuyến tính, khi đó:
− Nếu V 1 là không gian con của V thì f(V 1) là không gian con của
− Nếu W 1 là không gian con của W thì f −1 (W 1) là không gian con của V và dimW 1 ≤ dim f − 1 (W 1 ) b Định nghĩa
Imf = f(V) là hạt nhân và là ảnh của f , r(f ) = dim Im(f) là hạng của ánh xạ f c Định lý :
Với mọi ánh xạ tuyến tính f :V → W dimV = r(f) + dim Ker(f)
II - TRỊ RIÊNG, VECTƠ RIÊNG CỦA MA TRẬN A n
1 Đị nh ngh ĩ a tr ị riêng, véc t ơ riêng a Định nghĩa 1 :
Giả sử A∈Mn(R), số λ được gọi là trị riêng của A nếu phương trình Ax=λx (x∈R n ) có nghiệm x = (x1; x2; ; xn) khác 0
Khi đó x = (x1; x2; ; xn) gọi là véc tơ riêng ứng với trị riêng λ b Định nghĩa 2 :
Giả sử A∈Mn(R), thì phương trình det(A - λλλλI n )=0 được gọi là phương trình đăc trưng của A Đa thức det(A - λλλλI n ) gọi là đa thức đặc trưng của A
2 Tìm véc t ơ riêng c ủ a ma tr ậ n a Khái niệm :
Cho A∈Mn(R), véc tơ riêng ứng với trị riêng λ là nghiệm ≠ 0 của phương trình (A- λλλλI n ) x= φφφφ
Tìm trị riêng, véc tơ riêng ứng với trị riêng tìm được của A= 3 21 0
Phương trình đặc trưng của A là det(A - λλλλI 2 )=0 J3 λ 2
Tìm véc tơ riêng ứng với các trị riêng
! & % 00⇒(x 1 ; x2)=(-t; t) với 0≠t∈R Vậy vectơ riêng của A ứng với λλλλ = 1 là những vectơ có dạng x=(-t; t)
! & % 00⇒(x 1 ; x2)=(t;-2t) với 0≠t∈R Vậy vectơ riêng của A ứng với λλλλ = 1 là những vectơ có dạng x= (t;-2t)
Cho V là không gian véc tơ, ánh xạ f : VxV R
(x,y) f(x,y) Được gọi là dạng song tuyến tính nếu f tuyến tính theo từng biến x, y, nghĩa là : f(ax1 + bx2, y) = af(x1, y) + bf(x2, y) với ∀a,b ∈R và x1, x2, y∈V f(x,ay1 + by2) = af(x,y1) + bf(x,y2) với ∀a,b ∈R và ∀x1, x2, y∈V
Dạng song tuyến tính f(x,y) trên V được gọi là đối xứng nếu f(x,y) = f(y,x) với ∀x, y∈V
1 Đị nh ngh ĩ a d ạ ng toàn ph ươ ng
Giả sử f(x,y) là dạng song tuyến tính đối xứng trên không gian véc tơ V, thay y = x ánh xạ f(x, x) được gọi là dạng toàn phương trên V
2 Ma tr ậ n d ạ ng toàn ph ươ ng a Định nghĩa
Cho f(x,y) là một dạng song tuyến tính trên không gian véc tơ V, E={e1, e2, , en} là một cơ sở chính tắc của V
Ma trận A= [aij]nxn , aij = f(ei, ej) được gọi là ma trận của dạng song tuyến tính f trong cơ sở E
Khi A là ma trận đối xứng (nghĩa là aij = aji) thì ij i
= ∑ gọi là dạng toàn phương trong cơ sở E của không gian véc tơ V và A là ma trận của dạng toàn phương trong cơ sở E b Định lý
Mọi dạng toàn phương trong một cơ sở chính tắc có thể đưa về dạng chính tắc bằng cách :
− Tìm ma trận dạng toàn phương A (cho S la cơ sở chính tắc)
− Tìm trị riêng ứng với A
Dạng toàn phương đã cho sẽ có dạng chính tắc là :
Trên R 2 cho f(x,x)=5x1 2 - 4x1x2 + 8x2 2 tìm dạng chính tắc trong cơ sở S=(e1;e2)
Ma trận dạng toàn phương A : 5 22 8
Trị riêng ứng với A : giải hệ phương trình det(A - λI 2 )=0
Dạng chính tắc của dạng toàn phương đã cho là 4 ξ 2 1 + 9 ξ 2 2
1 Tìm giá trị riêng và và véc tơ riêng của ma trận A = 4 5 2
2 Tìm giá trị riêng và và véc tơ riêng của ma trận A = 1 3 4
3 Tìm giá trị riêng và và véc tơ riêng của ma trận A = 2 3 5
4 Tìm giá trị riêng và và véc tơ riêng của ma trận A = 7 12 6
5 Tìm giá trị riêng và và véc tơ riêng của ma trận A = 15 18 16