1 . Định nghĩa ánh xạ tuyến tính
Ánh xạ f từ không gian véc tơV vào không gian W thoả mãn: − Với mọi u, v ∈V : f(u + v) = f(u) + f(v).
− Với mọi u, v ∈V, α∈ R : f(αu) = αf (u).
được gọi là ánh xạ tuyến tính từV vào W .
2 . Tính chất a . Định lý 1: Nếu f : V →W là ánh xạ tuyến tính thì − f ( 0)= 0 − Với mọi v∈V : f ( − v ) = − f ( v ) − Với mọi u,v∈ V : f ( u − v ) = f ( u ) − f ( v ) b . Định lý 2:
Ánh xạ f : V → W là ánh xạ tuyến tính khi và chỉ khi với mọi u,v∈V
α,β∈ R : f(αu + βv) = αf(u) + βf(v)
3 . Các phép toán trên các ánh xạ tuyến tính
a . Hom(V,W)
Cho hai không gian véc tơV W, . Tập các ánh xạ tuyến tính từ V vào W
được ký hiệu là Hom(V,W) hay L(V,W).
− Với f, g ∈ Hom(V,W), tương ứng V → W v f(v)+ g(v) là một ánh xạ tuyến tính, được ký hiệu f + g và gọi là tổng của f và g . − Tương tự, với k ∈ R, tương ứng V→ W V kf(v) là ánh xạ tuyến tính được ký hiệu là kf .
Vậy ta đã xác định hai phép toán "+,⋅" trên tập các ánh xạ tuyến tính từV
vào W . Với hai phép toán này thì (Hom(V,W),+,⋅ ) có cấu trúc không gian véc tơ
và dimHom(V,W) = dimV . dimW b . EndV
Giả sử f :V →V' và g :V’ →V” là hai ánh xạ tuyến tính thì ánh xạ hợp
gf : V →V” cũng là một ánh xạ tuyến tính.
Tập các ánh xạ tuyến tính từ VV, ký hiệu EndV, với hai phép toán cộng nhân đã định nghiã ở trên thì (EndV ,+,⋅) còn là một không gian véc tơ.
4 . Nhân và Ảnh của ánh xạ tuyến tính
a . Định lý
Giả sử f : V →W là ánh xạ tuyến tính, khi đó:
− Nếu V1 là không gian con của V thì f(V1) là không gian con của
W và dim f(V1) ≤ dimV1.
− Nếu W1 là không gian con của W thì f−1(W1) là không gian con của V và dimW1≤ dim f − 1(W1).
Trang 28
Imf = f(V) là hạt nhân và là ảnh của f , r(f ) = dim Im(f) là hạng của ánh xạ f .
c . Định lý :
Với mọi ánh xạ tuyến tính f :V → W dimV = r(f) + dim Ker(f)
II - TRỊ RIÊNG, VECTƠ RIÊNG CỦA MA TRẬN An
1 . Định nghĩa trị riêng, véc tơ riêng.
a . Định nghĩa 1 :
Giả sử A∈Mn(R), số λ được gọi là trị riêng của A nếu phương trình Ax=λx (x∈Rn) có nghiệm x = (x1; x2;...; xn) khác 0.
Khi đó x = (x1; x2;...; xn) gọi là véc tơ riêng ứng với trị riêng λ.
b . Định nghĩa 2 :
Giả sử A∈Mn(R), thì phương trình det(A - λλλλIn)=0được gọi là phương trình
đăc trưng của A.
Đa thức det(A - λλλλIn) gọi là đa thức đặc trưng của A.
2 . Tìm véc tơ riêng của ma trận
a . Khái niệm :
Cho A∈Mn(R), véc tơ riêng ứng với trị riêng λ là nghiệm ≠ 0 của phương trình (A- λλλλIn) x= φφφφ.
Ví dụ
Tìm trị riêng, véc tơ riêng ứng với trị riêng tìm được của A= 3 21 0
Tìm trị riêng của A= 3 21 0 Phương trình đặc trưng của A là det(A - λλλλI2)=0 J3 1λ 2λJ=0 λ2 - 3λ + 2=0 ⇒ λλλλ= 1 và λλλλ= 2. Tìm véc tơ riêng ứng với các trị riêng Với λλλλ= 1 ta giải hệ (A-I2)x=φφφφ⇔⇔⇔⇔ 21 1 2 !!: & % 00⇒(x1; x2)=(-t; t) với 0≠t∈R. Vậy vectơ riêng của A ứng với λλλλ= 1 là những vectơ có dạng x=(-t; t)
Với λλλλ = 2 ta giải hệ (A-2I2)x=φφφφ ⇔⇔⇔⇔ 11 2 2 !!:
& % 00⇒(x1; x2)=(t;-2t) với 0≠t∈R. Vậy vectơ riêng của A ứng với λλλλ= 1 là những vectơ có dạng x= (t;-2t)
III - DẠNG SONG TUYẾN
1 . Định nghĩa 1.
Cho V là không gian véc tơ, ánh xạ f : VxV R (x,y) f(x,y)
Được gọi là dạng song tuyến tính nếu f tuyến tính theo từng biến x, y, nghĩa là :
f(ax1 + bx2, y) = af(x1, y) + bf(x2, y) với ∀a,b ∈R và x1, x2, y∈V. f(x,ay1 + by2) = af(x,y1) + bf(x,y2) với ∀a,b ∈R và ∀x1, x2, y∈V.
2 . Định nghĩa 2
Dạng song tuyến tính f(x,y) trên V được gọi là đối xứng nếu f(x,y) = f(y,x) với ∀x, y∈V
Trang 29
1 . Định nghĩa dạng toàn phương.
Giả sử f(x,y) là dạng song tuyến tính đối xứng trên không gian véc tơ V, thay y = x ánh xạ f(x, x) được gọi là dạng toàn phương trên V.
2 . Ma trận dạng toàn phương
a . Định nghĩa
Cho f(x,y) là một dạng song tuyến tính trên không gian véc tơ V, E={e1, e2, ..., en} là một cơ sở chính tắc của V.
Ma trận A= [aij]nxn , aij = f(ei, ej) được gọi là ma trận của dạng song tuyến tính f trong cơ sở E. Khi A là ma trận đối xứng (nghĩa là aij = aji) thì ij i , 1 ( , ) n a x xj i j f x x = =∑ gọi là dạng toàn phương trong cơ sở E của không gian véc tơ V và A là ma trận của dạng toàn phương trong cơ sở E.
b . Định lý
Mọi dạng toàn phương trong một cơ sở chính tắc có thể đưa về dạng chính tắc bằng cách :
− Tìm ma trận dạng toàn phương A (cho S la cơ sở chính tắc). − Tìm trị riêng ứng với A.
Dạng toàn phương đã cho sẽ có dạng chính tắc là :
2 2 2
1 1 2 2 ... n n
λ ξ λ ξ+ + +λ ξ
c . Ví dụ
Trên R2 cho f(x,x)=5x12 - 4x1x2 + 8x22 tìm dạng chính tắc trong cơ sở
S=(e1;e2)
Ma trận dạng toàn phương A : 5 22 8
Trị riêng ứng với A : giải hệ phương trình det(A - λI2)=0 J5 2λ 8 2λJ=0 >5 λ@. >8 λ@ 4 % 0⇒ λ1=4 và λ2=9.
Dạng chính tắc của dạng toàn phương đã cho là 4ξ 21+9ξ 22
V - BÀI TẬP CHƯƠNG V
1. Tìm giá trị riêng và và véc tơ riêng của ma trận A = 4 5 25 7 3
6 9 4.
2. Tìm giá trị riêng và và véc tơ riêng của ma trận A = 1 3 44 7 8
6 7 7
3. Tìm giá trị riêng và và véc tơ riêng của ma trận A = 2 3 50 1 2
1 0 1
4. Tìm giá trị riêng và và véc tơ riêng của ma trận A = 10 19 107 12 6
12 24 13.
5. Tìm giá trị riêng và và véc tơ riêng của ma trận A = 15 18 169 12 8
Trang 30 6. Tìm giá trị riêng và và véc tơ riêng của ma trận A = 2 1 5
6 6 14.
7. Cho Q = 2(x12 + x22 + x32 – x1x2 – x2x3 – x3x1), viết ma trận A của dạng toàn phương Q.
8. Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc x12 + 5x22 - 4x32 + 2x1x2 - 4x1x3
9. Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc 2x12 + 3x22 + 4x32 - 2x1x2 + 4x1x3 – 3x2x3.
10.Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc x12 + 2x22 + 5x32 + 2x1x2 + 4x2x3. 11.Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc x12 + 4x22 + x32 - 4x1x2 + 2x1x3.
12.Cho dạng toàn phương q(x;y;z)=2x3 – y2 + 6z2 – 4xy + 8xz – 2yz với ∀x, y, z ∈R. Lập ma trận của q trong cơ sở chính tắc.
13.Cho dạng song tuyến tính tên R2 xác định bởi : f(x,y)=2x1y1 - 3x1y2 + 5x2y1 + x2y2 với ∀(x=(x1; x2); y = (y1; y2))∈R2. Lập ma trận của f trong cơ sở chính tắc E={e1=(1;0); e2=(0;1)}.