1 . Định nghĩa 1.
Cho V là không gian véc tơ, ánh xạ f : VxV R (x,y) f(x,y)
Được gọi là dạng song tuyến tính nếu f tuyến tính theo từng biến x, y, nghĩa là :
f(ax1 + bx2, y) = af(x1, y) + bf(x2, y) với ∀a,b ∈R và x1, x2, y∈V. f(x,ay1 + by2) = af(x,y1) + bf(x,y2) với ∀a,b ∈R và ∀x1, x2, y∈V.
2 . Định nghĩa 2
Dạng song tuyến tính f(x,y) trên V được gọi là đối xứng nếu f(x,y) = f(y,x) với ∀x, y∈V
Trang 29
1 . Định nghĩa dạng toàn phương.
Giả sử f(x,y) là dạng song tuyến tính đối xứng trên không gian véc tơ V, thay y = x ánh xạ f(x, x) được gọi là dạng toàn phương trên V.
2 . Ma trận dạng toàn phương
a . Định nghĩa
Cho f(x,y) là một dạng song tuyến tính trên không gian véc tơ V, E={e1, e2, ..., en} là một cơ sở chính tắc của V.
Ma trận A= [aij]nxn , aij = f(ei, ej) được gọi là ma trận của dạng song tuyến tính f trong cơ sở E. Khi A là ma trận đối xứng (nghĩa là aij = aji) thì ij i , 1 ( , ) n a x xj i j f x x = =∑ gọi là dạng toàn phương trong cơ sở E của không gian véc tơ V và A là ma trận của dạng toàn phương trong cơ sở E.
b . Định lý
Mọi dạng toàn phương trong một cơ sở chính tắc có thể đưa về dạng chính tắc bằng cách :
− Tìm ma trận dạng toàn phương A (cho S la cơ sở chính tắc). − Tìm trị riêng ứng với A.
Dạng toàn phương đã cho sẽ có dạng chính tắc là :
2 2 2
1 1 2 2 ... n n
λ ξ λ ξ+ + +λ ξ
c . Ví dụ
Trên R2 cho f(x,x)=5x12 - 4x1x2 + 8x22 tìm dạng chính tắc trong cơ sở
S=(e1;e2)
Ma trận dạng toàn phương A : 5 22 8
Trị riêng ứng với A : giải hệ phương trình det(A - λI2)=0 J5 2λ 8 2λJ=0 >5 λ@. >8 λ@ 4 % 0⇒ λ1=4 và λ2=9.
Dạng chính tắc của dạng toàn phương đã cho là 4ξ 21+9ξ 22
V - BÀI TẬP CHƯƠNG V
1. Tìm giá trị riêng và và véc tơ riêng của ma trận A = 4 5 25 7 3
6 9 4.
2. Tìm giá trị riêng và và véc tơ riêng của ma trận A = 1 3 44 7 8
6 7 7
3. Tìm giá trị riêng và và véc tơ riêng của ma trận A = 2 3 50 1 2
1 0 1
4. Tìm giá trị riêng và và véc tơ riêng của ma trận A = 10 19 107 12 6
12 24 13.
5. Tìm giá trị riêng và và véc tơ riêng của ma trận A = 15 18 169 12 8
Trang 30 6. Tìm giá trị riêng và và véc tơ riêng của ma trận A = 2 1 5
6 6 14.
7. Cho Q = 2(x12 + x22 + x32 – x1x2 – x2x3 – x3x1), viết ma trận A của dạng toàn phương Q.
8. Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc x12 + 5x22 - 4x32 + 2x1x2 - 4x1x3
9. Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc 2x12 + 3x22 + 4x32 - 2x1x2 + 4x1x3 – 3x2x3.
10.Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc x12 + 2x22 + 5x32 + 2x1x2 + 4x2x3. 11.Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc x12 + 4x22 + x32 - 4x1x2 + 2x1x3.
12.Cho dạng toàn phương q(x;y;z)=2x3 – y2 + 6z2 – 4xy + 8xz – 2yz với ∀x, y, z ∈R. Lập ma trận của q trong cơ sở chính tắc.
13.Cho dạng song tuyến tính tên R2 xác định bởi : f(x,y)=2x1y1 - 3x1y2 + 5x2y1 + x2y2 với ∀(x=(x1; x2); y = (y1; y2))∈R2. Lập ma trận của f trong cơ sở chính tắc E={e1=(1;0); e2=(0;1)}.