BÀI GIẢNG : TOÁN CAO CẤP A1 HỆ ĐẠI HỌC GIẢNG VIÊN : THS. HUỲNH VĂN HIẾU

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CƠNG NGHIỆP THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN BÀI GIẢNG : TOÁN CAO CẤP A1 HỆ ĐẠI HỌC GIẢNG VIÊN : THS HUỲNH VĂN HIẾU NĂM HỌC 2015-2016 TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP TP.HCM 09/2015 TOÁN CAO CẤP A1 ĐẠI HỌC PHÂN PHỐI CHƯƠNG TRÌNH Số tiết: 45 Chương Hàm số biến số Chương Phép tính vi phân hàm biến số Chương Phép tính tích phân hàm biến số Chương Lý thuyết chuỗi Tài liệu tham khảo Nguyễn Phú Vinh – Giáo trình Tốn cao cấp A1 – C1 – ĐH Công nghiệp TP HCM Nguyễn Đình Trí – Tốn cao cấp (Tập 2) – NXB Giáo dục Đỗ Cơng Khanh – Tốn cao cấp (Tập 1, 4) – NXB ĐHQG TP.HCM Nguyễn Viết Đơng – Tốn cao cấp (Tập 1) – NXB Giáo dục Nguyễn Thừa Hợp – Giải tích (Tập 1) – NXB ĐHQG Hà Nội Giảng viên: ThS Huỳnh Văn Hiếu Tải Slide giảng Toán A1 Đại học Tailieuhvh.webnode.vn  Chương Hàm số biến số BÀI : GIỚI HẠN DÃY SỐ (THAM KHẢO) BÀI : GIỚI HẠN HÀM SỐ 2.1 Bổ túc hàm số 2.1.1 Định nghĩa hàm số Cho hai tập khác rỗng X , Y   Hàm số f (hoặc ánh xạ f ) từ X vào Y quy luật mà x  X xác định y  Y Khi đó:  Miền xác định (MXĐ) f , ký hiệu D f , tập X  Miền giá trị (MGT) f là: G  y  f (x ) x  X  KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN  TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP TP.HCM 09/2015  Chương Hàm số biến số  Nếu f (x1 )  f (x )  x1  x f đơn ánh  Nếu f (X )  Y f toàn ánh (hay tràn ánh)  Nếu f vừa đơn ánh vừa tồn ánh f song ánh VD Các hàm số: • f :    với y  f (x )  2x đơn ánh • f :   [0; ) với f (x )  x tồn ánh • f : (0; )   với f (x )  ln x song ánh  Hàm số y  f (x ) gọi hàm chẵn nếu: f (x )  f (x ), x  D f Đồ thị hàm số chẵn đối xứng qua trục tung  Chương Hàm số biến số  Hàm số y  f (x ) gọi hàm lẻ nếu: f (x )  f (x ), x  D f Đồ thị hàm số lẻ đối xứng qua gốc tọa độ 2.1.2 Hàm số hợp Cho hai hàm số f g thỏa điều kiện Gg  D f Khi đó, hàm số h(x )  (f  g )(x )  f [g(x )] gọi hàm số hợp f g Chú ý ( f  g )(x )  (g  f )(x ) VD Hàm số y  2(x  1)2  x  hàm hợp f (x )  2x  x g(x )  x   Chương Hàm số biến số 2.1.3 Hàm số ngược Hàm số g gọi hàm số ngược hàm số f nếu: x  g(y ), y  G f Ký hiệu là: g  f 1 VD Cho f (x )  2x thì: f 1(x )  log x , x  Nhận xét Đồ thị hàm số y  f 1 (x ) đối xứng với đồ thị hàm số y  f (x ) qua đường thẳng y  x KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP TP.HCM 09/2015  Chương Hàm số biến số 2.1.4 Hàm số lượng giác ngược a) Hàm số y = arcsin x • Hàm số y  sin x có hàm ngược    f 1 : [1; 1]   ;   2   x  y  arcsin x     ;   2   VD arcsin  ;  arcsin(1)   ;  arcsin   Chương Hàm số biến số b) Hàm số y = arccos x • Hàm số y  cos x có hàm ngược [0; ] f 1 : [ 1; 1]  [0;  ] x  y  arccos x  VD arccos  ; arccos(1)   ; arccos  1 2  ; arccos  Chú ý arcsin x  arccos x   , x  [1; 1]  Chương Hàm số biến số c) Hàm số y = arctan x    • Hàm số y  tan x có hàm ngược  ;   2     f 1 :    ;   2  x  y  arctan x VD arctan  ;  arctan(1)   ;  arctan  Quy ước arctan     , arctan    2 KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP TP.HCM 09/2015  Chương Hàm số biến số d) Hàm số y = arccot x • Hàm số y  cot x có hàm ngược (0; ) f 1 :   (0; ) x  y  arc cot x  ; 3 arc cot(1)  ;  arc cot  Quy ước arc cot()  0, arc cot()   VD arc cot   Chương Hàm số biến số 2.2 Giới hạn hàm số 2.2.1 Các định nghĩa  Định nghĩa Cho hàm f (x ) xác định (a; b ) Ta nói f (x ) có giới hạn L (hữu hạn) x tiến đến x  [a ; b ] với   cho trước, ta tìm số   cho  x  x   f (x )  L   Ký hiệu là: lim f (x )  L x x  Định nghĩa (định nghĩa theo dãy) Cho f (x ) xác định (a; b ) Ta nói f (x ) có giới hạn L (hữu hạn) x  x  [a ; b ] với dãy {x n } (a ; b ) \ {x } mà x n  x f (x n )  L  Chương Hàm số biến số  Định nghĩa (giới hạn vơ cùng) • Ta nói f (x ) có giới hạn L (hữu hạn) x   với   cho trước ta tìm số M  cho x  M f (x )  L   Ký hiệu là: lim f (x )  L x  • Ta nói f (x ) có giới hạn L (hữu hạn) x   với   cho trước ta tìm số m  cho x  m f (x )  L   Ký hiệu là: lim f (x )  L x  KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP TP.HCM 09/2015  Chương Hàm số biến số  Định nghĩa (giới hạn vơ cùng) • Ta nói f (x ) có giới hạn L   x  x với số M  lớn tùy ý, ta tìm số   cho  x  x   f (x )  M Ký hiệu là: lim f (x )   x x • Ta nói f (x ) có giới hạn L   x  x với số m  tùy ý, ta tìm số   cho  x  x   f (x )  m Ký hiệu là: lim f (x )   x x  Chương Hàm số biến số  Định nghĩa (giới hạn phía) • Nếu f (x ) có giới hạn L (L  ) x  x ( x hữu hạn) x  x ta nói f (x ) có giới hạn phải x Ký hiệu: lim f (x )  L lim f (x )  L x x 0 x x  • Nếu f (x ) có giới hạn L (L  ) x  x ( x hữu hạn) x  x ta nói f (x ) có giới hạn trái x Ký hiệu: lim f (x )  L lim f (x )  L x x 0 x x  Chú ý lim f (x )  L  lim f (x )  lim f (x )  L x x x x  x x  0  Chương Hàm số biến số 2.2.2 Tính chất Cho lim f (x )  a lim g(x )  b Khi đó: x x x x 1) lim [k f (x )]  k a (k  ) x x 2) lim [ f (x )  g(x )]  a  b x x f (x ) a  (b  0) x x x x g(x ) b 5) Nếu f (x )  g(x ), x  (x  ; x  ) a  b 6) Nếu f (x )  h(x )  g(x ), x  (x  ; x  ) lim f (x )  lim g(x )  L lim h(x )  L 3) lim [ f (x )g(x )]  ab ; x x 4) lim x x KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN x x TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP TP.HCM 09/2015  Chương Hàm số biến số Một số kết giới hạn cần nhớ 1) lim ( x ) sin (x ) tan (x )  lim   ( x )  (x ) (x ) ln x x  lim 0 x  x  x   x 2) Nếu   1,   lim 3) Nếu lim u(x )  a  0, lim v(x )  b thì: x x x x v (x ) lim [u(x )] x x  ab x  1 4) lim 1    lim 1  x x  e x   x 0 x    Chương Hàm số biến số Một số kết giới hạn cần nhớ 5) Xét L  lim an x n  an1x n 1   a x  b x m m  bm 1x m 1   b0 , ta có: an n  m ; bm b) L  n  m ; a) L  c) L   n  m  Chương Hàm số biến số 2.2.3 Một số ví dụ  3x  x 0 x VD Tìm giới hạn L  lim VD Tìm giới hạn L  lim x 0 KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN x    2x x TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP TP.HCM 09/2015  Chương Hàm số biến số   VD Tìm giới hạn L  lim  x  2x  x   x     VD Tìm giới hạn L  lim x   x  1  x    Chương Hàm số biến số tan  x , x   VD Cho hàm số f (x )    sin2 x    3x  , x   Tính f (1), lim f (x ) lim f (x ) x 1 x 1  Chương Hàm số biến số 2x  x 1  x  x   VD Tìm giới hạn L  lim   x    x   A L  ; B L  ; C L  1; D L  2x   3x 1  4x   BTT Tìm giới hạn L  lim   3 x   x    KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP TP.HCM 09/2015  Chương Hàm số biến số  x  x  2x 3  VD Tìm giới hạn L  lim   x    x   A L   ; B L  e ; C L  e ; D L  2x  3x   BTT Tìm giới hạn L  lim 1    x    2x  x   A L   ; B L  e ; C L  e ; D L   Chương Hàm số biến số  cos x x VD 8* Tìm giới hạn L  lim   x 0   cos 2x  A L   ; B L  e ; C L  e ; D L  ………………………………………  Chương Hàm số biến số §3 ĐẠI LƯỢNG VÔ CÙNG BÉ – VÔ CÙNG LỚN 3.1 Đại lượng vô bé a) Định nghĩa Hàm số (x ) gọi đại lượng vô bé (VCB) x  x lim (x )  (x vơ cùng) x x   VD (x )  tan3 sin  x VCB x  1 ; (x )  ln x VCB x   KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP TP.HCM 09/2015  Chương Hàm số biến số b) Tính chất VCB 1) Nếu (x ), (x ) VCB x  x (x )  (x ) (x ).(x ) VCB x  x 2) Nếu (x ) VCB (x ) bị chận lân cận x (x ).(x ) VCB x  x 3) lim f (x )  a  f (x )  a  (x ), (x ) x x VCB x  x  Chương Hàm số biến số c) So sánh VCB • Định nghĩa (x ) Cho (x ), (x ) VCB x  x , lim  k x x (x ) Khi đó: – Nếu k  , ta nói (x ) VCB cấp cao (x ), ký hiệu (x )  0((x )) – Nếu k   , ta nói (x ) VCB cấp thấp (x ) – Nếu  k   , ta nói (x ) (x ) VCB cấp – Đặc biệt, k  1, ta nói (x ) (x ) VCB tương đương, ký hiệu (x )  (x )  Chương Hàm số biến số VD •  cos x VCB cấp với x x  vì: x sin  cos x  lim  lim 2 x 0 x 0 x x      • sin2 3(x  1)  9(x  1)2 x  KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP TP.HCM 09/2015  Chương Lý thuyết chuỗi §1 Khái niệm chuỗi số §2 Chuỗi số dương §3 Chuỗi số có dấu tùy ý §4 Chuỗi hàm ……………………  Chương Lý thuyết chuỗi §1 KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ CHUỖI SỐ 1.1 Định nghĩa • Cho dãy số có vơ hạn số hạng u1, u2 , , un , Biểu thức u1  u2   un     un n 1 gọi chuỗi số • Các số u1, u2 , , un , số hạng un gọi số hạng tổng quát chuỗi số • Tổng n số hạng Sn  u1  u2   un gọi tổng riêng thứ n chuỗi số  Chương Lý thuyết chuỗi • Nếu dãy Sn  n  hội tụ đến số S hữu hạn ta nói  chuỗi số hội tụ có tổng S , ta ghi  un  S n 1 Ngược lại, ta nói chuỗi số phân kỳ KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN 66 TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP TP.HCM 09/2015  Chương Lý thuyết chuỗi  VD Xét hội tụ chuỗi nhân  aq n với a  n 1 Giải • q  : S n  na    chuỗi phân kỳ  qn  qn  aq 1q q aq Với q  S n   chuỗi hội tụ 1q • q  1: S n  u1 Với q  S n    chuỗi phân kỳ  Vậy  aqn1 hội tụ  q  n 1  Chương Lý thuyết chuỗi  VD Xét hội tụ chuỗi số  n(n  1) n 1   1  ln 1  n  VD Xét hội tụ chuỗi số n 1  VD Xét hội tụ chuỗi số  n 1 n  Chương Lý thuyết chuỗi 1.2 Điều kiện cần để chuỗi số hội tụ  • Nếu chuỗi  un n 1 hội tụ lim un  , n  ngược lại lim un  n    un phân kỳ n 1  VD Xét hội tụ chuỗi số n4  3n  n  n 1 KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN 67 TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP TP.HCM 09/2015  Chương Lý thuyết chuỗi  VD Xét hội tụ chuỗi số n5  n4  n 1 Giải Ta có: un  n5 n4      chuỗi phân kỳ  Chương Lý thuyết chuỗi 1.3 Tính chất • Nếu   n 1 n 1   un ,  hội tụ thì:    (un  )   un   n 1  • Nếu  un n 1  hội tụ thì: n 1   un n 1 n 1     un n 1 • Tính chất hội tụ hay phân kỳ chuỗi số không đổi ta thêm bớt hữu hạn số hạng ………………………………………………  Chương Lý thuyết chuỗi §2 CHUỖI SỐ DƯƠNG 2.1 Định nghĩa  •  un n 1 gọi chuỗi số dương un  0, n Khi un  0, n chuỗi số dương thực KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN 68 TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP TP.HCM 09/2015  Chương Lý thuyết chuỗi 2.2 Các định lý so sánh   n 1 n 1  un ,  thỏa: Định lý Cho hai chuỗi số dương  un  , n  n  • Nếu   hội tụ  un phân kỳ n 1  • Nếu  un hội tụ n 1  n 1  phân kỳ n 1  Chương Lý thuyết chuỗi  VD Xét hội tụ chuỗi số  n.2n n 1  VD Xét hội tụ chuỗi điều hòa n cách n 1  so sánh với  1  ln 1  n  n 1  Chương Lý thuyết chuỗi Định lý  Cho hai chuỗi số  un , n 1   thỏa: n 1 un   với n đủ lớn lim un n  v • Nếu k    un phân kỳ  n 1 • Nếu k     un n 1 • Nếu  k    k n   phân kỳ n 1  hội tụ   hội tụ n 1   n 1 n 1  un ,  tính chất KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN 69 TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP TP.HCM 09/2015  Chương Lý thuyết chuỗi  2n (n  1) n 1 n.3n 1  VD Xét hội tụ chuỗi số cách  n so sánh với      n 1    Chú ý  Chuỗi  n hội tụ   phân kỳ   n 1  Chương Lý thuyết chuỗi  VD Xét hội tụ chuỗi số n 1  n 1 2n   Chương Lý thuyết chuỗi 2.3 Các tiêu chuẩn hội tụ 2.3.1 Tiêu chuẩn D’Alembert  Cho chuỗi số dương  un lim n 1 un 1 n  • Nếu D  chuỗi hội tụ • Nếu D  chuỗi phân kỳ • Nếu D  chưa thể kết luận un  D n      n  n  n 1   VD Xét hội tụ chuỗi số  VD Xét hội tụ chuỗi số KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN 5n (n !)2  n 1 (2n )! 70 TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP TP.HCM 09/2015  Chương Lý thuyết chuỗi 2.3.2 Tiêu chuẩn Cauchy  Cho chuỗi số dương nu  un nlim n  C n 1 • Nếu C  chuỗi hội tụ • Nếu C  chuỗi phân kỳ • Nếu C  chưa thể kết luận n2 1 VD Xét hội tụ chuỗi số      n 1     Chương Lý thuyết chuỗi  VD Xét hội tụ chuỗi số nn  3n n 1 n Giải Ta có: n un     chuỗi phân kỳ  Chương Lý thuyết chuỗi 2.3.3 Tiêu chuẩn Tích phân Maclaurin – Cauchy Cho hàm số f (x ) liên tục, không âm giảm nửa khoảng [k ; ), k   Khi đó:   f (n) hội tụ  n k   f (x )dx hội tụ k  VD Xét hội tụ chuỗi số 3 n 1 KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN n2 71 TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP TP.HCM 09/2015  Chương Lý thuyết chuỗi  VD 10 Xét hội tụ chuỗi số  n ln3 n n 2 ………………………………………………  Chương Lý thuyết chuỗi §3 CHUỖI SỐ CÓ DẤU TÙY Ý 3.1 Chuỗi đan dấu  a) Định nghĩa Chuỗi số  (1)n un gọi n 1 chuỗi số đan dấu un  0, n  VD (1)n  2n  ,  (1)n 1 chuỗi đan dấu n 2n 1 n 1 n 1   Chương Lý thuyết chuỗi b) Định lý Leibnitz Nếu dãy {un }n giảm nghiêm ngặt un  chuỗi   (1)n un hội tụ Khi đó, ta gọi chuỗi Leibnitz n 1  VD Xét hội tụ chuỗi số (1)n n n 1 VD Xét hội tụ chuỗi số  (1)n KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN   2n  n 1 2n 1 72 TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP TP.HCM 09/2015  Chương Lý thuyết chuỗi  VD Xét hội tụ chuỗi số  n 2 (1)n n  (1)n  Chương Lý thuyết chuỗi 3.2 Chuỗi có dấu tùy ý a) Định nghĩa   un , un   gọi chuỗi có dấu tùy ý n 1   •  un gọi hội tụ tuyệt đối  un hội tụ • Chuỗi n 1  • n 1   un gọi bán hội tụ  un hội tụ n 1 n 1   un phân kỳ n 1  VD Chuỗi số (1)n bán hội tụ n 1 n   Chương Lý thuyết chuỗi b) Định lý  Nếu  un n 1  hội tụ chuỗi có dấu tùy ý  un hội tụ n 1 VD Xét hội tụ chuỗi số VD Xét hội tụ chuỗi số KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN  cos(n n ) n 1 n2   (1)n  (2)n 1 n 1 3n  73 TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP TP.HCM 09/2015  Chương Lý thuyết chuỗi §4 CHUỖI HÀM 4.1 Khái niệm chung chuỗi hàm 4.1.1 Các định nghĩa • Cho dãy hàm u1(x ), u2 (x ), , un (x ), xác định D   Tổng hình thức: u1(x )  u 2(x )   un (x )     un (x ) (1) n 1 gọi chuỗi hàm số hay chuỗi hàm D   • Nếu x  D , chuỗi số   un (x ) hội tụ (phân kỳ) n 1 x gọi điểm hội tụ (phân kỳ) chuỗi (1)  Chương Lý thuyết chuỗi • Tập hợp điểm hội tụ x chuỗi (1) gọi miền hội tụ chuỗi (1) • Chuỗi (1) gọi hội tụ tuyệt đối x  D  chuỗi  un (x ) hội tụ n 1 • Tổng S n (x )  u1(x )  u2 (x )   un (x ) gọi tổng riêng thứ n chuỗi (1) Trong miền hội tụ chuỗi (1), tổng Sn (x ) hội tụ hàm số f (x ) • Hàm f (x )  lim Sn (x ) xác định miền hội tụ n  chuỗi (1) gọi tổng chuỗi (1)  Chương Lý thuyết chuỗi  Ta viết là:  un (x )  f (x ) n 1 Khi đó, Rn (x )  f (x )  Sn (x ) gọi phần dư (1) x thuộc miền hội tụ lim Rn (x )  n   VD Tìm miền hội tụ chuỗi hàm  nenx n 1  VD Tìm miền hội tụ chuỗi hàm x 2n  n! n 1 KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN 74 TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP TP.HCM 09/2015  Chương Lý thuyết chuỗi 4.2 Chuỗi lũy thừa 4.2.1 Định nghĩa  Chuỗi hàm  an (x  x )n với an , x số n 0 gọi chuỗi lũy thừa Nhận xét • Nếu đặt x   x  x chuỗi lũy thừa có dạng   an x • Miền hội tụ n   an x n n 0 chứa x  nên khác rỗng n 0  Chương Lý thuyết chuỗi 4.2.2 Bổ đề Abel  Nếu chuỗi hàm  an x n hội tụ x    chuỗi n 0   hội tụ tuyệt đối điểm x    ;  • Hệ  Nếu chuỗi hàm  an x n phân kỳ x   phân kỳ n 0 x thỏa x    Chương Lý thuyết chuỗi 4.2.3 Bán kính hội tụ a) Định nghĩa • Số R  để   an x n hội tụ tuyệt đối (R; R) n 0 phân kỳ x : x  R gọi bán kính hội tụ • Khoảng (R; R) gọi khoảng hội tụ Nhận xét • Nếu chuỗi hội tụ x   R   • Nếu chuỗi phân kỳ x  R  KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN 75 TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP TP.HCM 09/2015  Chương Lý thuyết chuỗi b) Phương pháp tìm bán kính hội tụ a Nếu tồn lim n 1  r lim n an  r thì: n  a n  n  0, r     R   ,  r    r , r    Chương Lý thuyết chuỗi Tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa Bước Tìm bán kính hội tụ R , suy khoảng hội tụ chuỗi lũy thừa là: (R; R) Bước Xét hội tụ chuỗi số x  R Bước • Nếu chuỗi số phân kỳ x  R kết luận: miền hội tụ chuỗi hàm (R; R) • Nếu chuỗi số phân kỳ x  R hội tụ x  R kết luận: miền hội tụ chuỗi hàm [R; R) • Tương tự: miền hội tụ (R; R ], [R; R ]  Chương Lý thuyết chuỗi  VD Tìm miền hội tụ chuỗi hàm xn n n 1 VD Tìm miền hội tụ chuỗi hàm KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN  (x  1)n n 1 n 2n  76 09/2015 TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP TP.HCM  Chương Lý thuyết chuỗi n2  1 VD Tìm miền hội tụ chuỗi hàm  1   x n  n   n 1  VD Tìm miền hội tụ chuỗi hàm  3n (x  2)n n 0  Chương Lý thuyết chuỗi 4.3 Sơ lược chuỗi Fourier a) Chuỗi lượng giác  a Chuỗi hàm dạng:   (an cos nx  bn sin nx ) (*) n 1 gọi chuỗi lượng giác Nếu chuỗi (*) hội tụ [;  ] đến hàm số f (x ) hệ số a n , bn tính theo công thức: an  bn     f (x ) cos nx dx , n  0, 1, 2, (2);   f (x ) sin nx dx , n  1, 2,   (3)  Chương Lý thuyết chuỗi b) Định nghĩa chuỗi Fourier • Chuỗi lượng giác (*) có hệ số tính theo cơng thức (2), (3) gọi chuỗi Fourier hàm f (x ) Các hệ số an , bn gọi hệ số Fourier f (x ) • Mọi hàm f (x ) khả tích [;  ] tương ứng với chuỗi Fourier thơng thường ta viết:  a f (x )    (an cos nx  bn sin nx ) n 1 KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN 77 TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP TP.HCM 09/2015  Chương Lý thuyết chuỗi Jean Baptiste Joseph Fourier (1768 – 1830) Nhà Toán học Vật lý học Pháp  Chương Lý thuyết chuỗi VD Tìm chuỗi Fourier hàm số: 1,    x  f (x )    1,  x    Giải Do hàm f (x ) lẻ nên: f (x ).cos nx lẻ f (x ).sin nx chẵn Suy ra:  • an   f (x )cos nx dx  0, n      • bn  f (x )sin nx dx       f (x )sin nx dx  Chương Lý thuyết chuỗi     sin nx dx   n  (cos n   1)  0, n  2k  n  [1  (1) ]    , n  2k  n  (2k  1) Vậy f (x )   sin(2k  1)x  2k   k 0 KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN 78 TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP TP.HCM 09/2015  Chương Lý thuyết chuỗi VD Tìm chuỗi Fourier f (x )  x [;  ] Giải Do hàm f (x ) chẵn nên ta có:  • bn   f (x )sin nx dx  0, n  1, 2,    • a0  an  x dx         x dx   ,  0, n  2k  x cos nx dx      , n  k    n   cos(2k  1)x Vậy f (x )     k  (2k  1)2   Chương Lý thuyết chuỗi c) Khai triển Fourier hàm số  Định lý Dirichlet Nếu hàm số f (x ) tuần hoàn với chu kỳ 2 , đơn điệu khúc bị chặn [;  ] chuỗi Fourier hội tụ điểm [;  ] đến tổng là: f (x  )  f (x  )  Chương Lý thuyết chuỗi J.P.G Lejeune Dirichlet (1805 – 1859) Nhà Toán học Đức KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN 79 TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP TP.HCM 09/2015  Chương Lý thuyết chuỗi VD 10 Khai triển thành chuỗi Fourier hàm số: 0,   x  f (x )   x ,  x    Giải Hàm f (x ) thỏa mãn định lý Ta có:  • a0  1 f (x )dx      an        x dx  ,  0, n  2k  x cos nx dx    , n  2k   n  Chương Lý thuyết chuỗi   , n  2k  • bn   x sin nx dx   n   , n  2k    n Vậy: f (x )     cos(2k  1)x (1)k 1 sin kx      k  (2k  1)2 k k 1 NỘI DUNG KIỂM TRA CUỐI KÌ Khai triền Taylor-Maclaurin (dạng tường minh) Ứng dụng khai triển Taylor tìm đạo hàm cấp n Ứng dụng tích phân xác định (độ dài cung hàm tường minh tham số) Tính tích phân suy rộng loại 1,2 Xét hội tích phân suy rộng loại 1,2 Xét hội tụ theo tham số tích phân suy rộng loại 1,2 Xét hội tụ chuỗi dương Xét hội tụ chuỗi dương theo tham số Xét hội tụ chuỗi đan dấu Xét hội tụ chuỗi đan dấu theo tham số 10 Tìm bán kính hội tụ chuỗi hàm lũy thừa 11 Tìm miền hội tụ chuỗi hàm lũy thừa …………………………Hết………………………… KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN 80