toán cao cấp a2 GIẢI BÀI TẬP TOÁN CAO CẤP A2 HUFI

HƢỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TOÁN CAO CẤP A2 CHƢƠNG MA TRẬN – ĐỊNH THỨC Có thể nhân ma trận theo định nghĩa sau Định nghĩa 1.1.8 Cho A (cij )m ma trận C cij p (aij )m n (bij )n B p Tích hai ma trận A B , kí hiệu AB, xác định ai1b1j 2b2 j ainbnj , i 1, m, j 1, p Cách xác định cij hình dung sơ đồ b1 j cij ai1 ain b2 j , bnj 1.1 Thực phép toán ma trận sau đây: a) c) 3 4 1 1.2 Cho A 1 ,B 1.3 Cho f (x ) 1.4 Cho A 2x 3x a ,B 1, g(x ) 1 3 2 d) 2 2 Tính (3A)(2BT ), AB, BC , ABC , 2 2 b) 4A x2 ,C 3C 1 I 2x 3, A a Tính An , B 2011 a Tính f (A), g(A) 1.5 Cho A ma trận vuông cấp 100 mà phần tử dịng thứ i i Tìm phần tử dòng cột ma trận A2 1.6 Cho A ma trận vuông cấp 10, phần tử dịng thứ i 2i Tìm phần tử dịng cột ma trận A2 1.7 Tính định thức sau đây: b) a) 2 d) 4 4 3 2 m a e) b c a b c b c a c) 1 , 2 c b a 1 f) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 GIẢI a) 2.2 1.3 Chú ý : Để tính định thức cấp ta dùng quy tắc Sarrus sau: Viết cột cột vào tiếp sau cột định thức Khi đó, A tổng tích đường chéo trừ tổng tích đường chéo phụ a11 a12 a13 a11 a12 a21 a22 a23 a21 a22 a31 a32 a33 a31 a32 Các đường chéo phụ Các đường chéo Theo quy tắc Sarrus ta A (a11a22a33 a12a23a31 (a31a22a13 b) 2 m c) 1 2 2.2.m 0.3.1 1.1.2 d) 4 2.2.3 a32a23a11 1.2.( 3) 3.1.0 a13a21a32 ) a33a21a12 ) m 14 (dùng quy tắc Sarus) 4 3 14 2 23 33 4 43 4 (3.1.3 4.2.1 (2.1.3 (2.4.3 1.2.4) 3.2.1 3.1.1 (1.1.1 4.2.4) 4.2.3) 2.2.3 (4.1.1 (4.4.1 3.4.4) 2.2.2 2.1.2 (2.4.2 3.1.4 4.1.4) (4.4.4 36 12 176 160 3.3.4) 3.3.3) 1.1.2 2.3.3) (khai triển theo dòng 1) e) a b c a c b b b a c c a c b 0b a c a 0 a4 a c b ab a(b 2a a 2b a c a c 2a c 2a a a3) b bb b a c c b(b 2c 2a 2bc b 2c a c cb b c c a a 2c) c(a 2b c 2b c 2b ) 1 1 1 d2 d2 d1 d f) 1 1 d 1 1 d 1 1 d3 d1 d4 d1 d5 d1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1.8 Giải phương trình sau đây: 0 x c) 1 x 1 a) e) 0 x 0 x 1 x 1 1 b) 2x x 0 0 1 d) 1 1 0 1 2 Giải: a) 0 3 1 2 Dùng quy tắc Sarus khai triển định thức trên, ta 1 1 0 1 (1 )2 (2 ) (1 ) (1 )(2 0.2.3 3.1.0 3.(1 )3 1.2.(1 10) ) 1, ) 5, 11 (1 )( 2 d) 0 1 1 0 0 0 1 1 1 d3 1 d3 d4 (1 ) 0 0 0 1 (1 )3 (2 ) (1 ) (1 )2 (2 1 )3 (1 ) )2 (1 (1 )2 11 1 1 (1 1 (2 )(1 ) (2 ) ) (1 )( 2) 5 1.9 Tìm hạng ma trận sau đây: a) A 2 2 b) B (2 )0.0 c) C 10 2 15 1 1 d) D 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Cách giải: Đưa ma trận bậc thang Số hàng khác ma trận bậc thang hạng ma trận cần tìm Chú ý: Nếu ma trân A vuông cấp n, ma trận số Khi det(A) khác khơng hạng A n d) D 1 1 1 1 1 d1 d1 d1 d1 r (D ) d1 d1 d1 d1 1 1 1 1 1 1 1 1 / 2d2 / 2d3 / 2d4 / 2d5 d2 d3 d4 d5 d2 d3 d4 d5 d1 d1 d1 d1 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 1.10 Biện luận theo m hạng ma trận sau đây: a) E c) A m 10 12 12 19 m 10 24 13 m 4 m m b) F m 1 10 d) B m 4 m m Giải B 4 5 m m d2 d2 2d1 d3 d3 3d1 d4 d4 5d1 3 d3 d3 d2 m 12 d4 d4 3d2 m 20 3 0 m 0 m 11 Suy hạng B 1.11 Cho A A 1, B 1 1 ,B 2 2 2 Tìm ma trận nghịch đảo (nếu có) hai phương pháp học Cách 1: Dùng định thức Cách 2: Viết cạnh ma trận A ma trận đơn vị cấp với A Dùng phép biến đổi sơ cấp dòng đưa A ma trận đơn vị, ma trận đơn vị I trở thành ma trân A-1 Giải: 1 0  d  d  2d1   1 0   d  d  3d 3 2 0  d3  d3  2d 0 0 3 0 0 1 d1  d1  d3 0 2 1 d3  d3 0 0 1 d  d +5d3 3 Suy A 1 3 3 [ 3 1.12 Giải phương trình ma trận sau: a) X b) 5 6 X 14 16 10 c) 2 X 10 10 d) 2 2 X e) 1 1 X 1 1 1 7 1 0 1 1 Giải: 10 0 0 3 3 3 1   x   x x   t 2   3 0  x1  x2  x3   4     x4    x3   x1   x3   t , t  2 x1 3  2x  x  x      x4  2 x1  x4  2t     Do ,  Kerf   x     4    : x   t ,  t ,  t , 2t  , t    1,  ,  , 2  3 3      + Cơ sở tắc R4 E  e1  (1,0,0,0);e2  (0,1,0,0); e3  (0,0,1,0), e4  (0,0,0,1) Do đó, Im f  f (e1 ), f (e2 ), f (e3 ), f (e4 ) Từ định nghĩa f, ta suy f (e1 )  (1,2,0); f (e2 )  (1,0,2); f (e3 )  (1,0,1); f (e4 )  (0,1, 1) Tìm hạng hệ vectơ : 1  1  1  0 0 1  1     d  d  d1 0 2  d3  d3  d 0  d3  d3  d1 0 2  d  2d  d3 0     1 0 1 0 0 1  0 2 d  3d  d3  0 3   1 0 Suy hạng cua rma trận nên số chiều Imf Im f  f (e1 ), f (e2 ), f (e3 ), f (e4 )  1, 2,0  ,  0, 2,  ,  0,03 b) f : 3 xác định f (x, y, z ) (x ; x y 41 4z ; x 2y 8z ) 2 0 0  3  0 c) f : d) f : 3 3 xác định f (x, y, z ) (x xác định f (x, y, z ) y (x z, x y, y 3y z, x z, x y ) z) Các câu b, c, d giải tƣơng tự nhƣ câu a 4.4 Xác định ánh xạ tuyến tính f : a) f (3,1) (2,12), f (1,1) b) f ( 3,1) 2 biết (0, 2) (2,1), f (1, 1) (4, 2), f (5, 1) ( 4, 2) Cách 1: Dùng Định lý 4.1.3 Định lí 4.1.3 (xác định ánh xạ tuyến tính) Cho U không gian vectơ n chiều {x1, x 2, , xn } sở tùy ý nó, V khơng gian vectơ y1, y2, , yn hệ vectơ tùy ý V Khi đó, tồn ánh xạ tuyến tính f :U V thỏa mãn f (xi ) Nếu x x 1 x yi , i n n x , (1) f (x ) 1 y 2 2 1, n (*) y y n n Chú ý: Nếu dùng cách phải giải hệ phương trình tuyến tính (1) tìm  i với vế phải chữ số tổng quát Có thể giải cách khác gọn sau: f : - Từ (*) ta tìm ảnh f (ei )  vi  - x   x1 , x2 , , xn   n m n  m , i  1, n, với ei sở tắc n n n i 1 i 1 i 1  x   xi ei  f ( x)   xi f (ei )   xi vi 42 n , Cách 2: Có thể tìm ánh xạ tuyến tính f : n  B  u1, u2 , , un  n m biến sở vec tơ thành vec tơ vi  f (ui ), i  1, n m sau: Bƣớc 1: Tìm ma trận A Giả sử ui  (ui1, ui , , uin ), i  1, n tọa độ ui sở tắc ei , i  1, , n n Khi đó, A  (uij )n Bƣớc 2: Tìm ma trận B Giả sử vi  (vi1, vi , , vin ), i  1, n tọa độ vi sở tắc Bƣớc 3:  f j , j  1, ,m m Khi đó, B  (vij )nm  f ( x)    x  A1B Giải: a) Cách 2: B1: Ta có hệ vectơ u1   2,1 , u2  1,1 sở 3 1 nên ma trận A    1 1  12  B2: Ta có ma trận B    0  B3: Suy 1 3 1  12   f ( x)    x  A B   f ( x)    x1, x2      , x   x1, x2   1     1 5   x1, x2     ( x1  x2 ,5x1  3x )     1 Vậy f ( x1, x2 )   x1  x2 ,5x1  3x  Câu b: f ( 3,1) (2,1), f (1, 1) (4, 2), f (5, 1) ( 4, 2) B1: Ta có hệ vectơ u1   3,1 , u2   1,1 sở  3 1 A   1 1 43 nên ma trận 2 1 B2: Ta có ma trận B    4 2 B3: Suy 1  3 1  11  f ( x)    x  A B   f ( x)    x1, x2      , x   x1, x2    1     1 /      x1, x2    x  x , x + x2    2  5 /   1 Vậy   f ( x1, x2 )   x1  x2 , x1 + x  2   Suy f (5, 1) (0, 0) Nhưng theo đề f (5, 1) thỏa đề ( 4,2) Mâu thuẫn Vậy khơng có ánh xạ tuyến tính f 4.5 Xác định ánh xạ tuyến tính f : a) f (1, 2, 3) (1, 0), f (1, 0,10) biết (0,1), f (2, 3, 5) (15, 4) Giải: Cách 1: Ta có định thức hệ vectơ u1= (1,2,3), u2 = (1,0,10), u3 =(2,3,5) khác nên hệ vec tơ B sơ R3 Cơ sở khơng sở tắc nên muốn biểu diễn vectơ x =(x1, x2, x3)  tổ hợp tuyến tính vectơ thuộc sở theo sở, ta phải giải hệ phương trình tuyến tính     x3  x1  x2       2  x1  1   x   x1 , x2 , x3    u1   u2   u3  3  x2     x1  x2  x3 3    5  x   x2     Vậy tọa độ x sở cho 44  x B    x3  x1  x2  , 2 1 x  x1  x2  x3 ,  3  f ( x)  1 x  x3  x1  x2  f (u1 )   x1  x2  x3  f (u2 )  f (u3 )  2  1 x  x3  x1  x2  (1,0)   x1  x2  x3  (0,1)  (15, 4)  2 15 1  1  f ( x1 , x2 , x3 )    x3  x1  x2   x3 , x1  x2  x3  x2   2 33      x1  x2  x3 , x1  x2  x3    b) f (1, 0, 3) f (2, 1, 0) (1, 2), f (1, 0,1) (0,1), f (2, 3,1) (1, 4), (5, 4) HD: Làm tương tự câu a 4.6 Xác định ánh xạ tuyến tính f : a) f (1, 2, 3) ( 1, 0,1), f ( 1,1,1) 3 biết (0,1, 0), f (1, 3, 4) (1, 0, 2) Giải: Từ f (1,2, 3) ( 1, 0,1) Từ f ( 1,1,1) Từ f (1, 3, 4) (0,1, 0) (1, 0,2) f e1 2e2 f( e1 e2 f(e1 3e2 3e3 e3 ) 4e3 ) f (e1) f (e2 ) f (e1) f (e1) f (e2 ) f (e2 ) f (e2 ) f (e3 ) (0,1, 0) f (e4 ) (1, 0,2) Suy  f (e1 )  f (e2 )  f (e2 )  (1,0,1)  y1   f (e1 )  f (e2 )  f (e3 )  (0,1,0)  y2  f (e )  f (e )  f (e )  (1,0, 2)  y  Giải hệ này: Lập ma trận mở rộng 45 ( 1, 0,1) y1 y2 y3  y1  1 y1  1 y1    d  d  d1     y1  y2  d3  3d  d 0 y1  y2  A | B   1 1 y2    d3  d3  d1  y3  0 1 y3  y1  0 1 y3  y1  y2        Do ta hệ phương trình tương đương  f (e1 )  f (e2 )  f (e3 )  y1  f (e1 )   y1  y2  y3    y1  y2   f (e2 )  5 y1  y2  y3 3 f (e2 )  f (e3 )   f (e )  f (e )  y  y  y  y3  y1  y2 3   Nếu x   x1 , x2 , x3   x  x1e1  x2e2  x3e3  f ( x)  x1 f (e1 )  x2 f (e2 )  x3 f (e3 ) Vậy f ( x)  x1   y1  y2  y3   x2  5 y1  y2  y3   x3  y1  y2  y3   x1 (4, 1, 8)  x2 (9, 1,3)  x3 (7,1, 2)  f ( x1 , x2 , x3 )  (4x1  9x  7x ,  x1  x2  x3 , 8x1  3x  2x ) b) f (1, 2, 1) f (1, 3, 3) ( 1,1,1), f ( 1, 2,1) (0,1, 0), f (1, 3, 2) (1, 0, 2), ( 1, 0, 2) c) f (3, 2, 3) ( 1, 3,1), f ( 1, 4,1) (2,1, 0) HD: Làm tƣơng tự 4.5 câu a 4.7 Trong cho sở ( ) : u1 (1, 0, 0), u2 ( ) : v1 (1, 1, 0), v2 ánh xạ tuyến tính f : (0,1,1), u3 (1, 0,1); (0,1, 1), u3 , với f (ui ) (1, 0,1) vi , i a) Tìm cơng thức f 46 1, Giải: B1: Ta có hệ vectơ u1  1,0,0  , u2   0,1,1 , u3  (1,01) sở nên 1 0  ma trận A  0 1  1  1 1  B2: Ta có ma trận B  0 1   1 0  B3: Suy 1 1 0  1 1  1  f ( x)    x  A B   f ( x)    x1, x2 , x3  0 1  0 1 , x   x1, x2 , x3   1  1 0  1 1    x1, x2 , x3  0 1  ( x1,  x1  x ,  x )   0  Vậy f ( x1, x2 , x3 )   x1,  x1  x3, x  b) Tìm ma trận sau [ f ]E 3 ,E , [f ] , , [f ] , , [f ] , , (với E sở tắc ) Cách giải: Định nghĩa 4.1.2 Cho U V không gian vectơ sở U , B {v1, , vm } sở V f : U a11v1 a21v1 a12v2 a22v2 an1v1 an 2v2 Khi ma trận 47 a1mvm , a2mvm , {u1, , un } V ánh xạ tuyến tính Giả sử f (ui ) biểu thị tuyến tính qua sở {v1, , vm } sau: f (u1 ) f (u2 ) f (un ) , B anmvm a11 a12 a21 a22 an1 an a1m a2m anm gọi ma trận f cặp sở B, B kí hiệu [ f ]B,B Đặc biệt, f phép biến đổi tuyến tính V ma trận f cặp sở B, B gọi ma trận f sở B Lúc [ f ]B,B viết gọn [ f ]B Nếu f phép biến đổi tuyến tính n , ma trận f với cặp sở tắc En  e1 , e2 , , en  gọi ma trận tắc f ký hiệu f En Với cách xây dựng ma trận [ f ]B,B trên, ta thiết lập mối quan hệ tọa độ [x ]B tọa độ [ f (x )]B sau [ f (x )]B [ f ]B,B [x ]B Nhận xét: Cho ánh xạ tuyến tính f : f (x1, x ) (x1 2x 2, x1 xác định x 2, x ), Tìm ma trận f cặp sở tắc {(1, 0), (0,1)}, E3 Giải : Kí hiệu E2 tắc và {(1, 0, 0), (0,1, 0), (0, 0,1)} sở Khi [ f ]E 1 ,E Ta thấy rằng, ma trận ánh xạ tuyến tính cặp sở tắc có dịng (1 2), (1 1), (0 1) trùng với hệ số x1, x biểu thức vectơ f(x1, x2 ) (x1 2x2, x1 x2, x2 ) Với nhận xét ta viết nhanh ma trận ánh xạ tuyến tính cặp sở tắc n mà khơng thiết phải tính toán theo định nghĩa 48 + f : Theo nhận xét f ( x1, x2 , x3 )   x1,  x1  x3 , x  , nên E ,E f + [f ] 1 E ,E 0 1 : Ta có , ( ) : u1 (1, 0, 0), u2 ( ) : v1 (1, 1, 0), v2 (0,1,1), u3 (1, 0,1); (0,1, 1), u3 (1, 0,1) Ta có f (u1 )  a11v1  a12v2  a13v3  a11 (1, 1,0)  a12 (0,1, 1)  a13 (1,01)  (1, 1,0) a11  a13  a11     a11  a12  1  a12  a  a   a13   12 13 f (u2 )  a21v1  a22v2  a23v3  a11 (1, 1,0)  a12 (0,1, 1)  a13 (1,01)  (0,1, 1) a21  a23  a21     a21  a22   a22  a  a  1 a  23  23  22 f (u3 )  a31v1  a32v2  a33v3  a31 (1, 1,0)  a32 (0,1, 1)  a33 (1,01)  (0,1, 1) a31  a33  a31  1/    a31  a32   a32  1/ a  a  1 a  1/  32 33  33 Vậy [f ] + [f ] , [ f ] , , 1/ 1/ 0 1/ : Là tương tự câu 49 4.8 Trong không gian P3[x ], cho ánh xạ f xác định f [p(x )] p(x cho trước h ), h a) Chứng minh f ánh xạ tuyến tính b) Tìm ma trận f sở {1, x, x 2, x 3} 4.9 Trong không gian P3[x ], cho ánh xạ f xác định f [p(x )] p (x ) a) Chứng minh f ánh xạ tuyến tính b) Tìm ma trận f sở {1, x, x 2, x 3} 4.10 Cho ánh xạ tuyến tính f : f (x, y, z ) (x y xác định z, 2x 3y z, 3x 5y z ) a) Tìm sở số chiều ker f b) Tìm sở số chiều Im f HD: Làm tƣơng tự 4.3 4.11 Cho ánh xạ tuyến tính f : f (1;1;1) 3 (1;2;1), f (1;1;2) xác định (2;1; 1), f (1;2;1) (5; 4; 1) a) Xác định ánh xạ tuyến tính f b) Tìm sở số chiều ker f c) Tìm sở số chiều Im f Câu a, b, c: Làm tương tự 4.3 4.12 Cho V không gian vectơ với hai sở E e1 e1 2e2, e2 2e1 {e1, e2}, E 3e2 f ánh xạ tuyến tính có [ f ]E 50 {e1 , e2 }, Tìm [ f ]E Giải : f ánh xạ tuyến tính có [ f ]E [ f (x )]E , nên [ f ]E [x ]E [x ]E Ma trận chuyển từ sở E sang sở E’ 1 1  1 2  3 2 P  E  E    P  E  E        2 3  3  2  Ta có  x E  P  E  E   x E   x E  P  E  E   1 3 2  x  E  x E  2  Thay x f(x) công thức chuyển sở trên, ta 1 1    1   f ( x)E  P  E  E    f( x)E       2   x E      1      3 40    f ( x ) E   x       E  8 67   x E  3    2    Vậy [ f ]E 4.13 Cho ánh xạ f : f (x1, x2, x ) Đặt W 3 40 67 xác định ( 2x1 x2 2x 3, 4x1 3x2 2x 3, 5x1 x2 5x ) (1,1,1), (1, 2,1) a) Chứng minh f (W ) W Giải: W (1,1,1), (1,2,1) x :x (1,1,1) 51 (1,2,1) , , Suy f ( x)  f  (1,1,1)   (1, 2,1)    f (1,1,1)   f (1, 2,1)   (1,9,1)   (2,12, 2) Ta có (1,9,1)  W, hệ phương trình x(1,1,1)+y(1,2,1)= (1,9,1) có nghiệm x=-7 y=8 Tương tự, (2,12,2)  W, hệ phương trình x(1,1,1)+y(1,2,1)= (2,12,2) có nghiệm x= -8, y=10 Suy f ( x)  W Vậy f (W ) W b) Gọi g :W W xác định g(x ) W Tìm ma trận g sở f (x ), x {(1,1,1), (1, 2,1)} Giải: Tìm ma trận g sở B {(1,1,1), (1,2,1)} W (giải câu trên) 4.14 Nếu ánh xạ tuyến tính f đơn ánh, tồn ánh, song ánh gọi đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu Chứng minh a) Nếu f đơn cấu ker f b) Ánh xạ f : 3 {0} , xác định f (x, y, z ) (y z, x Giải: a) Lý thuyết b) Rõ ràng f ánh xạ tuyến tính (SV tự chứng minh) f vừa đơn ánh, vừa toàn ánh Do đó, f đẳng cấu HƢỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ Chƣơng 4.1 a) c) 52 z, x y ) đẳng cấu 4.2 a) d) f) 4.3 a) ker f  (3, 1, 4, 6) , Im f  b) ker f  (0, 4, 1), Im f  (1, 1, 1),(0, 1, 2) c) ker f  (1, 1, 2), Im f  (1, 1, 1),(0, 2, 1) d) ker f  (1, 1, 1), Im f  (1, 0, 1),(0, 1, 1) 4.4 a) f (x, y) (x y,5x 3y) b) khơng tồn ánh xạ tuyến tính thỏa mãn yêu cầu đề 4.5 a) f (x, y, z )  (30x  10y  3z, 9x  3y  z ) b) không tồn ánh xạ tuyến tính thỏa yêu cầu đề 4.6 a) f (x, y, z )  (2x  9y  7z, x  y  z, x  3y  2z ) b) khơng tồn ánh xạ tuyến tính thỏa u cầu đề c) không tồn ánh xạ tuyến tính thỏa mãn yêu cầu đề 4.7 a) f (x, y, z )  (x, x  z, 2y  z ) 53 b) [ f ]E ,E f ],  0 1 0  0         1  , f ],    , f ],   1  ,  2   2  0 1        0     1   2    4.8 1  0 b)   0  h3   2h 3h  3h   0   h h2 0 0 0 4.9 0  b)   0  0  0 3  0  4.10   a) Cơ sở ker f : (2, 1, 1) , dim ker f    b) Cơ sở Im f : (1, 2, 3),(0, 1, 2) , dim Im f  4.11 a) f (x, y, z )  (4x  4y  z, x  2y  z, 5x  2y  2z )   b) Cơ sở ker f : (2, 1, 4) , dim ker f    c) Cơ sở Im f : (1, 1, 2),(0, 1, 1) , dim Im f  54 3 4 4.12 [ f ]E    8 5    7 8  4.13 b) [g ]     10    -HẾT………………………… 55 ... 3z 2t 4x y 3z 2t f) 16x 9y z 3t x 4y 7t 7z Giải : Có thể bấm máy tính(chỉ lện bấm chụp kết quả) giải trực tiếp : 2x1 d) 3x1 x1 x 2x 2x 6x x 7x 3 2 2 Giải trực tiếp : Ma trận hệ số A    1... trở thành ma trân A-1 Giải: 1 0  d  d  2d1   1 0   d  d  3d 3 2 0  d3  d3  2d 0 0 3 0 0 1 d1  d1  d3 0 2 1 d3  d3 0 0 1 d  d +5d3 3 Suy A 1 3 3 [ 3 1.12 Giải phương trình ma... 3 2m m 3 m m m 2 m c) m m Giải: m a) 2m m 1 m d3 3 det m m 0 d3 m d1 m m 0 m m 1 3(m Suy ma trận khả nghịch m  1, 2 11 1)(m 2) CHƢƠNG HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 2.1 Giải hệ phương trình tuyến