Giải bài tập giáo trình Toán cao cấp Kinh tế Quốc dân, học phần Toán cao cấp, học phần Toán cho các nhà kinh tế 2.Tài liệu được viết nhằm giúp đỡ các bạn sinh viên các trường khối Kinh tế nói chung và sinh viên Kinh tế Quốc dẫn nói riêng, đang học môn Toán cao cấp bằng giáo trình của Đại học Kinh tế Quốc dân.Đặc biệt: Tài liệu được xem miễn phí 100%, nếu các bạn cảm thấy tài liệu hay và có ích hay chia sẻ với bạn bè và có thể CHỌN MUA tài liệu để ủng hộ, tạo động lực cho mình nhé. Chân thành cảm ơn các bạnMọi thắc mắc về lời giải, cũng như cần hỗ trợ về Toán cao cấp, Xác suất thống kê, Kinh tế lượng, Kinh tế vi mô, vĩ mô,… quý bạn đọc có thể liên hệ về fanpage Eureka Uni để được hỗ trợ giải đáp nhanh và sớm nhất nhéChúc các bạn học tốt
Uni √Eureka! Toán cao cấp cho nhà kinh tế Eureka! Uni Kênh học tập trực tuyến NGƯỜI VIẾT: HOÀNG BÁ MẠNH GIẢI BÀI TẬP GIÁO TRÌNH KINH TẾ QUỐC DÂN PHẦN GIẢI TÍCH NEU – Spring 2020 GIẢI BÀI TẬP GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP ĐẠI HỌC KINH TẾ QUỐC DÂN Tài liệu viết nhằm giúp đỡ bạn sinh viên trường khối Kinh tế nói chung sinh viên Kinh tế Quốc dẫn nói riêng, học mơn Tốn cao cấp giáo trình Đại học Kinh tế Quốc dân Đặc biệt: Tài liệu xem miễn phí 100%, bạn cảm thấy tài liệu hay có ích hay chia sẻ với bạn bè CHỌN MUA tài liệu để ủng hộ, tạo động lực cho Chân thành cảm ơn bạn! Mọi thắc mắc lời giải, cần hỗ trợ Toán cao cấp, Xác suất thống kê, Kinh tế lượng, Kinh tế vi mô, vĩ mơ,… q bạn đọc liên hệ fanpage Eureka Uni để hỗ trợ giải đáp nhanh sớm nhé! Chúc bạn học tốt! Kí tên: Hoàng Bá Mạnh MỤC LỤC CHƯƠNG 6: GIỚI HẠN – LIÊN TỤC CHƯƠNG 7: ĐẠO HÀM – VI PHÂN 12 CHƯƠNG 8: HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ 27 CHƯƠNG 9: CỰC TRỊ HÀM NHIỀU BIẾN 38 CHƯƠNG 10: TÍCH PHÂN 49 CHƯƠNG 11: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 64 1|Page Trang Eureka Uni https://www.fb.com/EurekaUni.No1 CHƯƠNG 6: GIỚI HẠN – LIÊN TỤC Bài f ( −4 ) = ( −4 ) + =17 (-4 < nên thay vào phía trên) f ( 4= ) 2=4 16 f ( 0= ) 2=0 Bài π π π ⇔ arcsin x = − arccos x ⇔ x = sin − arccos x ⇔ x = cos ( arccos x ) 2 2 π cos a (ví dụ sin30o = cos60o) ⇔ x= x (hiển nhiên) đoạn dùng sin − a = 2 π π π b) arctan x + arc cot x = ⇔ arctan x = − arc cot x ⇔ x = tan − arc cot x (*) 2 2 π cot x nên= = x ) ⇔ x x (hiển nhiên) Lại có tan − x = (*) ⇔ x cot ( arc cot 2 a) arcsin x + arccos x = Bài a) Điều kiện 2x − x ≥ ⇔ x ( − x ) ≥ ⇔ ≤ x ≤ => MXĐ: [0;2] x > b) Điều kiện x − > ⇔ x > ⇔ ⇒ MXĐ: ( −∞; −3) ∪ ( 3; +∞ ) x < −3 c) Điều kiện => MXĐ (1;2 ] x > x > x > d) Điều kiện log x > ⇔ x > 4= ⇔ ⇔x >4 x > = log log x > log x > 20 = => MXĐ (4;+∞) sin π x ≠ π x ≠ k π , k ∈ x ≠ k , k ∉ e) Điều kiện: ⇔ x ⇔ ⇔ ≥ x ∉ x x ≤ −1 ≤ ≤ 2 ≤ =>MXĐ: D = − \ − − = ( −∞;0 ) − ={−1, −2, −3, } x ≥ x ≥ x ≥ f) Điều kiện: ⇔ ⇔ ⇒ MXĐ: + \ + sin π x ≠ π x ≠ k π , k ∈ x ∉ Trong = + [0; +∞ ) + = {0,1,2,3, } Bài a) MGT y tập hợp tất gia trị y cho ≤ y = 2+x −x2 = 1 −x − ≤ ; 2 ∀x ∈ [ −1;2 ] Vậy, MGT: 0; 2 x x > 10 > b) Điều kiện: ⇔1 x ⇔ ≤ x ≤ 100 => MXĐ: [1;100] x 10 ≤ ≤ −1 ≤ lg ≤ 10 10 10 Groups Toán Cao Cấp Website Eureka! Uni Youtube Eureka! Uni https://www.fb.com/groups/toancaocap.neu https://eureka-uni.com https://www.youtube.com/c/EurekaUni 2|Page Trang Eureka Uni https://www.fb.com/EurekaUni.No1 x MGT y tập hợp giá trị y0 thỏa mãn y = arcsin lg ∀ x ∈ [1;100] 10 = ⇔ y arcsin u , ∀u ∈ [ −1;1] =>MGT: y ∈ [0;π ] (MGT arcsinx) Bài 1, nÕu x +T số hữu tỷ 1, x sè h÷u tû = = f (x ) 0, x +T số vô tỷ 0, x số vô tỷ f ( x +T ) ⇒ f ( x ) tuần hồn với chu kì T số hữu tỷ Bài 10 ∀ x , x ∈ X , x < x , f ( x ) đơn điệu tăng nên f ( x ) > f ( x ) ⇔ −f ( x ) < −f ( x ) ⇒ hàm số −f ( x ) đơn điệu giảm khoảng X Hoàn toàn tương tự cho trường hợp f ( x ) đơn điệu giảm X Bài 11 a) Giả sử f ( x ) , g ( x ) đơn điệu tăng khoảng X Xét ∀ x , x ∈ X , x < x , ta có: f ( x ) > f ( x ) f ( x ) > f ( x ) ⇒ f ( x ) + g ( x ) − f ( x ) + g ( x ) = f ( x ) − f ( x ) + g ( x ) − g ( x ) > Tức f ( x ) + g ( x ) hàm số đơn điệu tăng khoảng X Hoàn toàn tương tự cho trường hợp f ( x ) , g ( x ) đơn điệu giảm b) Giả sử f ( x ) > 0, g ( x ) > ∀ x ∈ X đơn điệu tăng khoảng X Xét ∀ x , x ∈ X , x < x , ta có: f ( x ) > f ( x ) f ( x ) > f ( x ) ⇒ f ( x ) g ( x ) > f ( x1 ) g ( x ) > f ( x1 ) g ( x1 ) Tức f ( x ) g ( x ) đơn điệu tăng X c) Tương tự Bài 12 a) f ( x ) , g ( x ) hai hàm chẵn, đó: b) f ( −x= ) f ( x ) , g ( −x=) g ( x ) ⇒ f ( −x ) + g ( −x=) f ( x ) + g ( x ) ⇒ f ( x ) + g ( x ) hàm chẵn c) f ( x ) , g ( x ) hai hàm lẻ, đó: f ( −x ) = −f ( x ) , g ( −x ) = − g ( x ) ⇒ f ( −x ) + g ( −x ) = − f ( x ) + g ( x ) ⇒ f ( x ) + g ( x ) hàm lẻ d) f ( x ) , g ( x ) hai hàm chẵn, đó: f ( −x= ) f ( x ) , g ( −x=) g ( x ) ⇒ f ( −x ) g ( −x=) f ( x ) g ( x ) ⇒ f ( x ) g ( x ) hàm chẵn −f ( x ) , g ( −x ) = − g ( x ) ⇒ f ( −x ) g ( −x ) = f (x ) g (x ) e) f ( x ) , g ( x ) hai hàm lẻ, đó: f ( −x ) = ⇒ f ( x ) + g ( x ) hàm chẵn Groups Toán Cao Cấp Website Eureka! Uni Youtube Eureka! Uni https://www.fb.com/groups/toancaocap.neu https://eureka-uni.com https://www.youtube.com/c/EurekaUni 3|Page Trang Eureka Uni f) f ( x ) hàm https://www.fb.com/EurekaUni.No1 g (x ) chẵn, lẻ, đó: f ( −x ) = f ( x ) , g ( −x ) = − g ( x ) ⇒ f ( −x ) g ( −x ) = −f ( x ) g ( x ) ⇒ f ( x ) g ( x ) hàm chẵn Bài 15 a) f ( x + 1) = x + 2x + − 5x − + = ( x + 1) − ( x + 1) + ⇒ f ( x ) = x − 5x + 2 1 1 1 b) f x + = x + 2.x + − = x + − ⇒ f ( x ) = x − x x x x 1 1 1 + 1+ ⇒ f (x ) = + + c) f =x + + x = x x 1 x 1 x x Bài 20 a) TC (Q = 1) = 13 − 5.12 + 20.1 + = 25 b) FC = TC ( ) = 37 VC =TC − FC =Q − 5Q + 20Q + Bài 21 TR −TC = 28Q − (Q − 5Q + 20Q + ) = π= −Q + 5Q + 8Q + a) TR = pQ = 28Q ⇒ TR = pQ = ( 380 − 2Q )Q = 380Q − 2Q b) Q = 190 − 0,5 p ⇔ p = 380 − 2Q −Q = π= TR −TC = 380Q − 2Q − (Q − 5Q + 20Q + ) = 3Q + 360Q + Bài 22 ∀ε > ta có: x n − < ε ⇔ 2n 4 4 −2 ⇔ n > − ⇒ n > − 2 ε ε n +2 n +2 ε 2n 4 Chọn n= ε − với ε > bé tùy ý ta ln có x n − < ε , n > n0 => n + hội tụ đến Bài 23 a) ∀ε > ta có n 2/3 2 2 n0 − −= < ε ⇔ 3n + > ⇔n> − Chọn = 3n + 3n + 3ε 9ε 9ε =>Với ε > bé tùy ý n > n0 ta ln có b) ∀ε > ta có n 5n + −0 = n n − < ε ⇒ lim = x →+∞ 3n + 3n + n 1 1 = < ε ⇔ n > Chọn n0 = 5n + 5n 5n 5ε 5ε n < =>Với ε > bé tùy ý n > n0 ta ln có n 5n + − < ε ⇒ lim x →+∞ n 5n + = Bài 24 a) Xét x n +32 − x n= sin ( n + 32 ) π − sin nπ= 32 32 π nπ π nπ cos + sin = sin − 32 32 nπ = sin 32 = 2x n Như vậy, với n số ε < x n < khoảng cách số hạng x n +32 x n > ε => tiêu chuẩn Cauchy không thỏa mãn => x n phân kỳ Groups Toán Cao Cấp Website Eureka! Uni Youtube Eureka! Uni https://www.fb.com/groups/toancaocap.neu https://eureka-uni.com https://www.youtube.com/c/EurekaUni 4|Page Trang Eureka Uni cos ( n + 1) ! b) Xét = x n +m − x n ( n + 1)( n + ) + + https://www.fb.com/EurekaUni.No1 cos ( n + m ) ! ≤ ( n + m )( n + m + 1) ( n + 1)( n + ) + + ( n + m )( n + m + 1) < m m m < ε ⇔ n > Chọn n0 = n ε ε Với ε > m ∈ , kể từ n > n0 ta ln có x n + m − x n < ε => x n hội tụ < sin ( n + 1) c) Xét x n += m − xn n +1 + sin ( n + m ) n +m ≤ n +1 + + n +m < 1 m + n < n < ε n 2 m m m ⇔ n > log Chọn n0 = log ε ε ε Với ε > m ∈ , kể từ n > n0 ta ln có x n + m − x n < ε => x n hội tụ ⇔ 2n > Bài 25 a) FV =+ (triệu đồng) (1 0,9% ) = b) PV = (triệu đồng) = (1 + 0,9%) Bài 26 Lưu ý này, khoản tiền 10 nghìn $ nhận lần sau năm, nhận hàng năm = NPV 10 = − (ngìn $) Nếu NPV > nên đầu tư (1 + 9%) Bài 27 Dùng đẳng thức (an-bn) 1 + 1 + 9% (1 + 9% ) NPV =750 × 1− + 9% ) ( + + − 3500 =750 × − 1 − 3500 = (1 + 9%) − + 9% Tất nhiên NPV > nên góp vốn Bài 28 NPV = 10 20 30 40 + + −= + 10% (1 + 10% ) (1 + 10% )3 (triệu đồng) NPV > có lợi Bài 29 Lưu ý, năm đầu chưa có tiền, dòng tiết xuất từ cuối năm thứ 2, kéo dài năm => hết năm thứ (Tương tự phải năm xây nhà, năm tìm người cho thuê nhận tiền hàng năm) = 2000 NPV (1 + 12% ) + (1 + 12%) + − 7500 = ($) , NPV > nên thực dự án (1 + 12%) Bài 31 Với hàm cos x : Chọn dãy điểm x 1k = k 2π x k= π + k 2π tiến ∞ k → ∞ , ta thấy: π lim cos ( x= lim cos ( k = 2π ) lim = 1 ≠ lim cos ( x k ) =lim cos + k 2π =lim =0 1k ) x k →∞ k →∞ k →∞ k →∞ 2 k →∞ x1 k →∞ Groups Toán Cao Cấp Website Eureka! Uni Youtube Eureka! Uni https://www.fb.com/groups/toancaocap.neu https://eureka-uni.com https://www.youtube.com/c/EurekaUni 5|Page Trang Eureka Uni https://www.fb.com/EurekaUni.No1 Vậy, không tồn lim cos x x →∞ Tương tự với hàm số lại Như tan x cot x chọn dãy x 1k= π + k π x k= π + kπ Bài 32 x + 3x + − 5x = 2x + − + + 15 = −4 −5 + 3x + 5x + 3+ + 3 3x + 5x + 3+0+0 x= lim x= x b) lim = lim = x →∞ 2x + x − x →∞ 2x + x − x →∞ 2+0−0 2 + − x x3 x3 a) lim x →−3 1 x + + 5x + x + x 5+0+0 x x = c) lim = lim = 4−0+0 x →∞ 4x − x + x →∞ 1 4− + x x d) lim ( x − ) = cos x →2 x x − 5x + ≤ ⇒ lim ( x − ) cos x →2 x x − 5x + = (quy tắc kẹp) Bài 33 ( x + ) ( x + 2x + ) x3 +8 x + 2x + 4 a) lim = lim = lim = − x →−2 x − 3x − 10 x →−2 x →− x −5 ( x + )( x − 5) b) lim 2x − nhân liên hợp x +1 x ( = bËc vµ ( ) x + 4x − − x + x − c) lim = x →∞ = lim x →∞ ) ( ) x +1 +1 ( 2x + 1) − 1 x + + = lim = x →0 x →0 ( x + 1) − 1 ( 2x + 1) + 2x + + 1 ( 2x + 1) + 2x + + lim ( x + 4x − 1) − ( x + x − 5) lim= x →∞ x + 4x − + x + x − 3x + 1 x + − + + − x x x x 2 = lim x →±∞ 3x + lim x + 4x − + x + x − x →∞ 4 ±3+ x = ± 1 1+ − + 1+ − x x x x m sè h¹ng x + x + + x − + + + ( x − 1) + x − + + x m − x + x + + x m − m d) lim lim lim = = n sè h¹ng x →1 x + x + + x n − n x →1 x →1 ( x − 1) + x − + + x n − x + x + + x n − + + + m ( ( ) ) ( ( + ( x + 1) + + x m −1 + + 1 + + + ( m − 1) = lim = = x →1 + x + + + x n −1 + + 1 + + + ( n − 1) ( ) ) ) ( ( m ( m − 1) m ( m − 1) = n ( n − 1) n ( n − 1) Bài 34 Groups Toán Cao Cấp Website Eureka! Uni Youtube Eureka! Uni https://www.fb.com/groups/toancaocap.neu https://eureka-uni.com https://www.youtube.com/c/EurekaUni ) ) 6|Page Trang Eureka Uni https://www.fb.com/EurekaUni.No1 sin 3x tan 3x sin 3x cos 2x 3x 3cos 2x lim lim= = = a) lim x →0 tan 2x x →0 sin 2x cos3x x →0 sin 2x cos3x 2x sin π ( x − 1) − sin (π x − π ) sin π x π −π b) lim lim = lim = = − x →1 x − x →1 x − x + x + x →1 π ( x − 1) ( )( ) ( x + x + 1) −2 sin 2x sin ( −x ) cos x − cos3x sin 2x sin x = lim = 4= lim c) lim 2 x →0 x →0 x →0 x x x x −2 sin.sin { chó ý: cos− cos = vµ sin ( −x ) = − sin x } sin 5x − sin 3x sin 4x cos x sin 4x d) lim = lim = lim= ( 8cos x ) → → x →0 x x sin x sin x 4x Bài 35 v (x ) lim u ( x ) x →a v (x ) = lim 1 + (u ( x ) − 1) x →a v ( x ) u ( x ) −1 = lim 1 + (u ( x ) − 1) u ( x )−1 x →a lim v ( x ) u ( x ) −1 x →a = lim 1 + (u ( x ) − 1) u ( x )−1 x →a = ek Câu 36 a) lim x →0 x cos x − 1) = lim ( x →0 cos x − x2 = lim x →0 − x2 = − 2 x − ⇒ lim ( cos x ) x = e x →0 x 3x − x + x2 −2x −2 lim lim = − = = x →∞ x →∞ − x 3x + x + x →∞ 1 − x 3x + x + x − 1 + x + x b) lim 3x − x + ⇒ lim x →∞ 3x + x + x2 1− x = e3 x2 c) lim ( cot x= ⇒ lim (1 + x ) = e cos2 x = )(1 + x − 1) xlim x →0 x →0 →∞ sin x cos π x cot π x = e −1 d) lim ( cot π x ) (1 + sin π x − 1) = lim sin π x = lim cos π x = −1 ⇒ lim (1 + sin π x ) x →1 x →1 x →1 sin π x x →1 2 cot x Câu 37 loga (1 + x ) ln (1 + x ) = lim a) lim= x →0 x → ln a x x ln a x x x −a ln ln + − ln + ln x − ln a a a a lim = b) lim = lim = lim = x →a x →a x − a x →a x →a x −a x −a x −a a a a a −1 e −1 e −1 c) = lim lim ln a ln a = lim = x →0 x x → → x x x ln a x x ln a Groups Toán Cao Cấp Website Eureka! Uni Youtube Eureka! Uni x ln a https://www.fb.com/groups/toancaocap.neu https://eureka-uni.com https://www.youtube.com/c/EurekaUni 7|Page Trang Eureka Uni (1 + x ) − = −1 e e = lim lim d) lim α α ln (1+ x ) x x →0 x x →0 x →0 https://www.fb.com/EurekaUni.No1 α ln (1+ x ) − α ln (1 + x ) = α α ln (1 + x ) x Bài 38 cos x − cos x − cos x − cos x lim = − x →0 sin x sin x sin x a) lim x →0 cos x − cos x − lim − x →0 2 sin x cos x + sin x cos x + cos x + 1 ( ) −2 sin x sin x cos x − 1 1 x −2 2 lim lim = lim = − = = − 2 x →0 sin x x → x → 0 3 sin x 12 x sin x 4.6 2 x +9 b) lim x →1 2x + tan3( x −1) x −1 x +9 = lim x →1 2x + sin3( x −1) 3( x −1) cos3( x −1) = 2= x c) 1 1 lim x ln ( x + 1) − ln x = lim x ln + = lim ln + = ln e = x →+∞ x →+∞ x →+∞ x x ln 1 + ( x − 1) log x ln x = = lim = lim lim d) x →1 x − x →1 ( x − 1) ln x →1 ( x − 1) ln ln e) ( ) lim sin x + − sin x =lim cos x →+∞ cos x +1 + x 2 x →+∞ ≤ lim sin x →+∞ ( x +1 + x sin x +1 − x x +1 − x = lim sin x →+∞ ) ( 0 = sin = x +1 + x ) ⇒ lim sin x + − sin x = (quy tắc kẹp) x →+∞ f) lim x →1/2 arcsin (1 − 2x ) 4x − = lim x →1/2 arcsin (1 − 2x ) (1 − 2x )( −1 − 2x ) = − Chú ý: lim x →0 sin x x arcsin x ⇒ lim = = x →0 x sin x cos x − cos x + cos x ( sin x + cos x − 1) x x g) lim = cot x ( sin x + cos x − 1) lim = lim x →0 x →0 x → sin x sin x x x x − sin sin cos x − = 1 − x = = lim + lim + lim → → x →0 x x 0 x x x 2 2 Groups Toán Cao Cấp Website Eureka! Uni Youtube Eureka! Uni = https://www.fb.com/groups/toancaocap.neu https://eureka-uni.com https://www.youtube.com/c/EurekaUni 8|Page Trang Eureka Uni https://www.fb.com/EurekaUni.No1 3x 3x sin ln − sin 2 3x 3x x x x 3 2 ln − sin −2 sin sin sin ln ( cos3x ) = lim lim = = lim h) lim = lim = x →0 ln ( cos 5x ) x →0 5x x →0 5x x →0 5x 25 25 5x x →0 5x sin sin sin ln − sin ln − sin 2 2 5x 5x −2 sin Bài 39 lim f ( x ) g ( x ) = lim f ( x ) lim g ( x ) = k lim f ( x ) = ∞ x →a x →a x →a x →a Bài 40 ax a) sin sin − cos ax lim lim = lim = x →0 x x →0 → sin x sin x ax ax x ax 2= o ( sin x ) ⇒ (1 − cos ax ) = sin x ax sin sin − cos ax lim b) lim lim = = = 2 2 x →0 x →0 x →0 a x a x ax 2 c) lim x →0 sin ax + sin bx ax ( ax sin ax sin bx = lim + x →0 ax ax ) ⇒ (1 − cos ax ) ~ a 2x 2 sin ax sin bx 2 x lim = + =1 + =1 bx a x →0 ax ⇒ sin ax + sin bx ~ ax ax −1 e x ln a − d) = lim lim = ⇒ (a x − 1) ~ x ln a x →0 x ln a x →0 x ln a ln (1 + ax ) = lim ln (1 + ax ) = lim ln (1 + ax ) ax = ln e = ⇒ ln (1 + ax ) ~ ax e) lim x →0 x →0 ax x →0 ax (1 + kx ) − = f) lim α x →0 kαx e α ln(1+ kx ) − ln (1 + kx ) lim = x →0 α ln (1 + kx ) kx ⇒ (1 + kx ) ~ k α x α ax α + a1x α +1 + + an x α + n a a α α +1 α +n α = lim + x + + n x n= ⇒ (ax + a1x + + an x ) ~ ax α x →0 x →0 ax a a g) lim Bài 41 α (x ) β (x ) = lim =1 x →a β ( x ) x →a γ ( x ) ⇒ lim α (x ) β (x ) = lim =0 x →a γ ( x ) x →a β ( x ) ⇒ lim a) lim b) lim α (x ) α (x ) β (x ) lim ⇒ α (x ) ~ γ (x ) = = x →a γ ( x ) x →a β ( x ) γ ( x ) α (x ) α (x ) β (x ) = = lim 1.0 = ⇒ α (x ) = o γ ( x ) x →a γ ( x ) x →a β ( x ) γ ( x ) Bài 42 ( 3x ) 2 9x ( 2x + 3x − x ) ~ 2x = 2 x x ln e − ~ ( x ln 5) b) −= a) − cos3x ~ Groups Toán Cao Cấp Website Eureka! Uni Youtube Eureka! Uni 9x − cos3x ⇒ lim = lim 2 = x →0 2x + 3x − x x →0 x https://www.fb.com/groups/toancaocap.neu https://eureka-uni.com https://www.youtube.com/c/EurekaUni 67 | P a g e Trang Eureka Uni https://www.fb.com/EurekaUni.No1 Tìm nghiệm riêng (*) dạng y = C ( x ) ln x , C(x) hàm x = y ′ C ′ ( x ) ln x + C ( x ) ln x x y′− 1 1 y= C ( x ) ln x = ⇒ C ′ ( x ) ln x + C ( x ) ln x − ⇒ C ′(x ) = x ln x x x x ln x x x ln x d ( ln x ) 1 ⇒ C (x ) = − ∫ x ln x dx = ∫ ln x = ln x − ln x ⇒ Một nghiệm riêng (*) là: y = − ln x ln x = − ln x + C ln x ⇒ NTQ (*) y = − ln x + C ln x Vậy, NTQ PTVP cho y = 1 3xe − x (* ) h) PTVP cho ⇒ y ′ + + y = x NTQ PTVP TTTN liên kết với (*)= y Ce 1 − 1+ dx x ∫ − x − ln x e −x x = Ce = C= C e −x x e −x Tìm nghiệm riêng (*) dạng y = C ( x ) , C(x) hàm x x x + 1) e − x ( e −x −xe − x − e − x e −x ′ ′ ′ y = C (x ) +C (x ) = C (x ) −C (x ) x x2 x x2 x + 1) e − x ( e −x e −x 1 −x y ′ + + = y 3xe ⇒ C ′ ( x ) −C (x ) + + C ( x ) = 3xe − x ⇒ C ′ ( x= ) 3x 2 x x x x x −x 3e ⇒ C (x ) = x ⇒ Một nghiệm riêng (*) = là: y x= x 2e − x x e −x −x y x e + C ⇒ NTQ (*) = x e −x Vậy, NTQ PTVP cho = y x 2e − x + C x Bài dx x x y Ce ∫ = Ce −3ln= a) NTQ PTVP TTTN liên kết với PTVP cho là= − Tìm nghiệm riêng PTVP cho dạng y = C C = x3 x C (x ) , C(x) hàm x x3 C ′ ( x ) x − 3x 2C ( x ) x6 C ′ ( x ) x − 3x 2C ( x ) C ( x ) y′+ y = ⇒ + = ⇒ C ′ ( x ) =2 ⇒ C ( x ) =2x x x x6 x x x 2x y = ⇒ Một nghiệm riêng PTVP cho là: = x x2 C y + ⇒ NTQ PTVP cho = x2 x3 y′ = Groups Toán Cao Cấp Website Eureka! Uni Youtube Eureka! Uni https://www.fb.com/groups/toancaocap.neu https://eureka-uni.com https://www.youtube.com/c/EurekaUni 68 | P a g e Trang Eureka Uni https://www.fb.com/EurekaUni.No1 y (1) = ⇔ + C = ⇔ C = −1 ⇒ Nghiệm riêng cần tìm = y x − x3 2 ∫ xdx b) NTQ PTVP TTTN liên kết với PTVP cho= y Ce = Ce x Dễ thấy y = − nghiệm riêng PTVP cho 2 ⇒ NTQ PTVP cho y =− + Ce x 1 1 y (0) = ⇔ − + C = ⇔ C = ⇒ Nghiệm riêng cần tìm y =− + e x 2 2 y c) PTVP cho ⇒ y ′ − = (* ) 2x x 1 ∫ 2x NTQ PTVP TTTN liên kết với (*)= y Ce= = Ce C x dx ln x Tìm nghiệm riêng (*) dạng y = C ( x ) x , C(x) hàm x y ′ C ′(x ) x + = y′− x C (x ) C (x ) x y 1 1 C (x ) − = ⇒ C ′(x ) x + = ⇒ C ′ ( x ) = ⇒ C ( x ) = ln x x 2x 2x x x x là: y = ⇒ Một nghiệm riêng (*) cho y = ⇒ NTQ (*) ln x ) x (= x ln x + C x y ( ) = 10 ⇔ ln + 2C = 10 ⇔ C = − ln ⇒ = y x ln x nghiệm riêng cần tìm x ln x + ( − ln ) x d) PTVP cho ⇒ y ′ − x (* ) y= ln x x NTQ PTVP TTTN liên kết với (*) là= y Ce ∫= Ce= C= x Cx dx Tìm nghiệm riêng (*) dạng y = C ( x ) x , C(x) hàm x = y ′ C ′(x ) x +C (x ) 1 y= ⇒ C ′(x ) x +C (x ) − C (x ) x = ⇒ C ′ ( x ) =⇒ C ( x ) = ln x x x x là: y (= ⇒ Một nghiệm riêng (*) cho = ln x ) x x ln x y′− y x ln x + Cx ⇒ NTQ (*)= y (1) =2 ⇔ C =2 ⇒ nghiệm riêng cần tìm = y x ln x + 2x Bài a) PTVP cho ⇒ dx 1 x + y ⇒ x ′ − x= y (*), ta xem x hàm số biến y: x = x ( y ) = dy y y dy ∫y ln y NTQ PTVP TTTN liên kết với (*) = x Ce= Ce= C= y Cy Dễ thấy (*) có nghiệm riêng x = y NTQ (*) = x y + Cy , NTQ PTVP cho Groups Toán Cao Cấp Website Eureka! Uni Youtube Eureka! Uni https://www.fb.com/groups/toancaocap.neu https://eureka-uni.com https://www.youtube.com/c/EurekaUni 69 | P a g e Trang Eureka Uni https://www.fb.com/EurekaUni.No1 Hoặc giải theo biến thiên số, tìm NTQ (*) dạng x = C ( y ) y ; C(y) hàm y b) PTVP cho ⇒ ( 2e y − x ) dy dx =1 ⇒ =2e y − x ⇒ x ′ + x =2e y (*), ta coi x = x ( y ) dx dy − ∫ dy NTQ PTVP TTTN liên kết với (*)= x Ce = Ce − y Dễ thấy (*) có nghiệm riêng x = e y NTQ (*) x= e y + Ce − y , NTQ PTVP cho Bài a) Do phương trình dạng đối xứng nên ta xét trường hợp: ′dy ⇒ dễ thấy thỏa mãn nghiệm + Nếu x hàm số y xét x + =0 ⇔ x =−1 ,= dx x= PTVP cho! + Nếu y hàm số x xét y =0 ⇒ dy =y ′dx =0 , dễ thấy thỏa mãn nghiệm PTVP cho! + Xét ⇒∫ x x +1 dx = x ≠ −1, y ≠ : PTVP 1 ∫ y dy ⇒ x − ln x += cho ⇒ x dx = dy x +1 y ln y + C ln y + C Vậy, tích phân tổng qt phương trình vi phân cho x − ln x += Ngồi ta có hai nghiệm x = −1, y = b) + Nếu x hàm số y xét x =0 ⇒ dx =x ′dy =0 ⇒ dễ thấy thỏa mãn nghiệm PTVP cho! + dx x ⇒ = Xét dy y +1 x ≠ 0: dx x ⇒∫ = ∫ dy y +1 PTVP cho ⇒ ln x= ln y + y + + ln C , C ≠ ⇒ x = y + y +1 +C Vậy, nghiệm tổng quát PTVP cho x = y + y + + C , ngồi ta nghiệm kì dị x = c) Bài với xuất y ′ hàm phải tìm y = y ( x ) PTVP cho ⇒ 2x y dy = 2−y2 dx + Xét − y =⇔ y= ± ⇒ dy = y ′dx = ⇒ dễ thấy y = ± nghiệm PTVP cho + Xét − y ≠ : PTVP cho ⇒ ydy dx ydy = (x ≠ 0) ⇒ ∫ = 2−y x 2−y2 ⇒ − ln − = y ln x + ln C , C ≠ Vậy, tích phân tổng quát PTVP cho ⇔ dx ∫x = x +C 2−y2 = x + C , ngồi nghiệm kì dị y = ± 2−y2 dy = ( y + 2y ) x dx y = Xét y + y =0 ⇔ ⇒ dy =y ′dx =0 , dễ thấy nghiệm PTVP cho y = −2 d) PTVP cho ⇒ Groups Toán Cao Cấp Website Eureka! Uni Youtube Eureka! Uni https://www.fb.com/groups/toancaocap.neu https://eureka-uni.com https://www.youtube.com/c/EurekaUni 70 | P a g e Trang Eureka Uni Xét y + y ≠ : PTVP cho ⇒ ⇒ https://www.fb.com/EurekaUni.No1 dy y + 2y = xdx ⇒ ∫ dy y + 2y = ∫ xdx x2 y x2 1 y − = + ⇒ = + C hay ln dy C ln = x +C ∫ y y +2 2 y +2 y +2 Vậy, tích phân tổng quát PTVP cho ln y = x + C , ngồi nghiệm y = 0, y = -2 y +2 dy = e y −1 dx y Xét e − = ⇔ y = ⇒ dy = y ′dx = , dễ thấy thỏa mãn nghiệm PTVP cho e) PTVP cho ⇒ + y ′ = e y ⇒ e − y dy Xét y ≠ : PTVP cho ⇒ y =dx ⇒ ∫ y =x + ln C , (C ≠ ) ⇒ ∫ =x + ln C e −1 e −1 1−e −y dy ⇒∫ d (1 − e − y ) 1−e −y dy = x + ln C ⇒ ln − e − y = x + ln C ⇒ − e − y = Ce x ⇒ − y = ln − Ce x ⇒ y = − ln − Ce x Với C = ta có nghiệm y = Vậy, nghiệm tổng quát PTVP cho y = − ln − Ce x , C ∈ f) PTVP cho dy = e x e y ⇒ −e − y dy = −e x dx ⇒ − ∫ e − y dy = − ∫ e x dx ⇒ e − y = −e x + C ⇒ y = − ln C − e x dx Vậy, nghiệm tổng quát PTVP cho y = − ln C − e x ⇒ Bài dy = −2xy dx ⇒ y =0, dy =0 ; dễ thấy thỏa mãn nghiệm PTVP cho Xét y = Xét y ≠ : PTVP cho dy 2x dy 2xdx 1 dx ⇒ − ∫= y ⇒ −= ⇒= ln x − + C ⇒ = 2 2 ∫ y x −1 y x −1 y ln x − + C a) PTVP cho ⇒ ( x − 1) Vậy, NTQ PTVP cho y = , ngồi có nghiệm kì dị y = ln x − + C cos x dy = 2−y sin x dx Xét − y =0 ⇔ y = ⇒ dy = y ′dx =0 , dễ thấy y = thỏa mãn nghiệm PTVP cho b) PTVP cho ⇒ Xét y ≠ : PTVP cho ⇒ − dy 2−y =− d (2 − y ) d ( cos x ) sin x dx ⇒ ∫ =∫ cos x 2−y cos x ⇒ ln = − y ln cos x + ln C , (C ≠ ) ⇒ − y = C cos x ⇒ − y = C cos x ⇒ y = − C cos x Với C = ta có nghiệm y = Vậy, NTQ PTVP cho y = − C cos x c) PTVP cho ⇒ x (1 + y ) dx = − y (1 + x ) dy ⇒ Groups Toán Cao Cấp Website Eureka! Uni Youtube Eureka! Uni 2x 2y 2x 2y dx = − dy ⇒ ∫ dx = −∫ dy 2 1+ x 1+ y 1+ x 1+ y https://www.fb.com/groups/toancaocap.neu https://eureka-uni.com https://www.youtube.com/c/EurekaUni 71 | P a g e Trang Eureka Uni https://www.fb.com/EurekaUni.No1 C ⇒ ln (1 + x ) =− ln (1 + y ) + ln C , (C ≠ ) ⇒ + x = 1+ y C Tích phân tổng quát PTVP cho + x = 1+ y C y (1) =1 ⇔ = ⇔ C =1 ⇒ tích phân riêng phải tìm + x = 2 1+ y Bài y ⇒ y = zx ⇒ y ′ = z + z ′x , thay vào PTVP cho, ta có x dx − 2z 1− z x − xz dz z − z + ′x ′x ⇒ dz = z + z= ⇒ z= −z ⇒x = x 2z − 2z + 1 − 2z − 2z x − 2xz dx a) Đặt z = dx dx d ( z − z + 1) 1) ln Cx , (C ≠ ) ∫ x ⇒ − ∫ 2z − 2z + 1= ∫ x ⇒ − ln ( 2z − 2z += ⇒ ln ( z − z + 1) = −2 ln Cx ⇒ z − z + =2 ⇒ z x − zx + x= C , (C > ) C x y Thay z = , ta tích phân tổng quát (TPTQ) PTVP cho y − 2xy + x = C , (C > ) x − 2z ⇒∫ = dz 2z − 2z + y ( 2x − y ) b) PTVP cho ⇒ y ′ = Đặt z = (*) 2x y ⇒ y = zx ⇒ y ′ = z + z ′x , thay vào (*), ta có x z + z ′x = zx ( 2x − z x ) 2x ⇒ z ′x = ln Cx , (C ≠ 0= = ⇒ ) ⇒z z Thay z = dz dz dx 1 2dz dx =− z2 ⇒− = ⇒ −2 ∫ = ∫ z 2−z2 −z ⇒x dx z x z x 2 ln Cx ( ) , (C ≠ ) y 2x y , (C > 0= , (C > ) nghiệm tổng quát PTVP cho = ⇒y , ta ) x ln Cx ln Cx x dy y = − (*) dx x y dy dz , thay vào (*), ta có Đặt z = ⇒ y = zx ⇒ =z + x x dx dx dz dz dz dx dz dx z +x = − 2z ⇒ x = − 3z ⇒ = ⇒∫ = ∫ ⇒ − ln − 3z = ln Cx , (C ≠ ) dx dx − 3z x − 3z x y y ln Cx , (C ≠ ) tích phân tổng quát PTVP cho Thay z = , ta − ln −= x x c) PTVP cho ⇒ dy x ( x + y ) (*) =2 dx y −x2 y dy dz Đặt z = ⇒ y = zx ⇒ , thay vào (*), ta có =z + x x dx dx dz x ( x + 2xz ) dz + 2z dz −z + 3z + z −1 dx z +x = ⇒ x = − z ⇒ x = ⇒ dz = 2 2 dx x z −x dx z − dx z −1 + 3z − z x d) PTVP cho ⇒ Groups Toán Cao Cấp Website Eureka! Uni Youtube Eureka! Uni https://www.fb.com/groups/toancaocap.neu https://eureka-uni.com https://www.youtube.com/c/EurekaUni 72 | P a g e Trang Eureka Uni ⇒∫ https://www.fb.com/EurekaUni.No1 d (1 + 3z − z ) z −1 dx ⇒ − = dz = ∫x ∫ + 3z − z + 3z − z Thay z = dx ∫x ⇒ − ln + 3z − = z ln Cx y y y3 , ta − ln + −= ln Cx (C ≠ ) tích phân tổng quát PTVP cho x x3 x y ⇒ y = zx ⇒ y ′ = z + z ′x , thay vào PTVP cho, ta có x x z − 4x zx dz z − 4z z − z +1 dx z − z +1 dx z + z ′x = x z dz dz = ∫ ⇒ = − ⇒ = ⇒ 2 2 2 ∫ 2x − 2x zx + z x dx − z + z z − 4z x z − 4z x 3z + B A ⇒ 2∫ 1 + dz = ln Cx (C ≠ ) ⇒ ∫ + + dz = ln Cx ⇒ z + A ln z + B ln z − = ln Cx z z − z − 4z y Thay z = , ta tích phân tổng quát (TPTQ) PTVP cho x y y y + A ln + B ln = − ln Cx , (C > ) x x x e) Đặt z = A, B bạn tìm phương pháp đồng thức dy y2 f) PTVP cho ⇒ (*) = dx xy − x y dy dz Đặt z = ⇒ y = zx ⇒ , thay vào (*), ta có =z + x x dx dx dz z 2x dz z2 dz z dx dx 1 1 z +x = ⇒ x = −z ⇒x = ⇒ − dz = ⇒ ∫ − dz = ∫ dx x zx − x dx z − dx z − z x x z ⇒ z − ln z = ln Cx , = (C ≠ ) z ln Cxz , (C ≠ ) y y , ta= ln Cy (C ≠ ) tích phân tổng quát PTVP cho x x 2xy dy g) PTVP cho ⇒ (*) = dx x + y y dy dz Đặt z = ⇒ y = zx ⇒ , thay vào (*), ta có =z + x x dx dx dz 2x zx dz 2z dz −z + z 1+ z dx 1+ z z +x =2 ⇒ x = − z ⇒ x = ⇒ dz = ⇒ ∫ z − z dz =ln Cx , (C ≠ dx x + z x dx + z dx 1+ z z −z3 x Thay z = I= 1+ z ∫ z − z dz = − 3z 4z ∫ z − z + − z z +C dz = ln z − z − ln − z + C = ln 1− z z z = ln Cx , (C ≠ ) ⇒ = Cx , (C ≠ ) 1− z 1− z y xy Thay z = , ta 2= Cx (C ≠ ) tích phân tổng quát PTVP cho x x −y2 dy y y h) PTVP cho ⇒ = + tan (*) dx x x y dy dz Đặt z = ⇒ y = zx ⇒ , thay vào (*), ta có =z + x x dx dx dz dz cos z dx cos z dx z +x = z + tan z ⇒ x = tan z ⇒ dz = ⇒ ∫ dz = ⇒ ln sin z = ln Cx , (C ≠ ) ∫ dx dx sin z x sin z x PTVP cho ⇒ ln Groups Toán Cao Cấp Website Eureka! Uni Youtube Eureka! Uni https://www.fb.com/groups/toancaocap.neu https://eureka-uni.com https://www.youtube.com/c/EurekaUni 73 | P a g e Trang Eureka Uni https://www.fb.com/EurekaUni.No1 ⇒ sin = z Cx , (C ≠ ) ⇒ = z arcsin (Cx ) Thay z = y y , ta = ≠ ) ⇒ y x arcsin (Cx ) , (C ≠ ) NTQ PTVP cho arcsin (Cx ) , (C= x x Bài 10 a) PTVP cho ⇒ (x − y ) −1 dy , ( ®iỊu kiƯn + x − y ≠ ) = − dx + (x − y ) 2z − dy dx = − + z dz z − dz 3z 1 Đặt z =− x y ⇒ 1+ 3dx ( z ≠ ) ⇒ = ⇒ = ⇒ + dz = 1 dz dy dx z dx z z + + = 1− dx dx 1 ⇒ ∫ + dz = 3∫ dx ⇒ z − ln z = 3x + C z Thay z= x − y , ta TPTQ PTVP cho x − y − ln x − y = 3x + C b) Tương tự ý a) Đặt z= x + y y ′ = cos z dz dz c) Đặt z= y − x ⇒ z ′ cos z − ⇒ = cos z − ⇒ ⇒= = dx ( cos z − ≠ ) y ′ −1 dx cos z − z ′ = dz −1 dz z z d = x + C ⇒ cot = x + C =x +C ⇒ ∫ ⇒∫ = x +C ⇒ ∫ z cos z − z 2 −2 sin sin 2 z = ⇒ ⇒ z 2arc cot ( x + C ) arccot ( x + C )= Thay z= y − x , ta có y − x = 2arccot ( x + C ) ⇒ y = x + 2arccot ( x + C d) Theo khn phép đặt = z 4x + y , nhiên, hàm ) NTQ PTVP cho u nên ta đặt sau (lấy cảm hứng từ phương pháp đổi biến để tính tích phân gặp n ax + b ): Đặt y ′ = z dz + z zdz 2+z + 2y ′ 2+ y′ ⇒ = = ⇒= ⇒ = dx , ( z ≠ −2 ) z z′ 4x + y − ⇒ = z′ = z dx z z +2 z 4x + y − ⇒∫ z dz = x + C ⇒ ∫ − dz = x + C ⇒ z − ln ( z + ) = x + C z +2 z +2 Thay z= 4x + y − , ( ta ) có TPTQ PTVP cho 4x + y − − ln + 4x + y − =x + C e) Tương tự, với này, thay đặt khn phép = z 8x + y , ta linh hoạt đặt: Đặt y ′ = z dz dz dz ⇒ z ′ = + 2z ⇒ = 4+z2 ⇒ = 2dx ⇒ ∫ = 2x + C dx 4+z 4+z2 z ′= + y ′ z = 8x + y + ⇒ ( z z ⇒ arctan = 2x + C ⇒ arctan = 4x + C ⇒ z = tan ( 4x + C 2 Groups Toán Cao Cấp Website Eureka! Uni Youtube Eureka! Uni ) ) https://www.fb.com/groups/toancaocap.neu https://eureka-uni.com https://www.youtube.com/c/EurekaUni 74 | P a g e Trang Eureka Uni https://www.fb.com/EurekaUni.No1 Thay z = 8x + y + , ta có 8x + y + =2 tan ( 4x + C ) ⇒ y =−4x − + tan ( x + C PTVP cho ) NTQ z 2z dz 4z + 4z + y ′ = f) Đặt z = x + y + ⇒ ⇒ = ⇒ dz = dx , ( 2z + ≠ ) 2z + ⇒ z ′ = + z + dx z + 2z + z ′= + y ′ 4z + 1 dz = x + C ⇒ 2z − ln 2z + = x + C ⇒ ∫2 − 2z + Thay z =x + y + , ta có 2x + y + − ln 2x + y + =x + C TPTQ PTVP cho ∫ 2z + dz = x + C Bài 11 (Thuộc phần giảm tải – Các bạn muốn nhận lời giải vui lòng liên hệ qua inbox) Bài 12 a) Xét y =0 ⇒ y ′ =0; y =0 ; dễ thấy y = thỏa mãn nghiệm PTVP cho y′ Xét y ≠ , PTVP cho ⇒ + 2x = 2x (*) y y 2y ′ y′ Đặt z = − ⇒ 3= − z ′ , thay lại (*) ta z ( x ) =2 ⇒ z ′ = y y y − z ′ + 2xz = −4x (**) 2x ⇒ z ′ − 4xz = Các bạn tự giải (**) theo biến thiên số, thu được: z= 2x + + Ce x 1 Thay z = ta TPTQ PTVP cho = 2x + + Ce x y y Ngồi ra, có nghiệm kì dị y = b) Xét y =0 ⇒ y ′ =0; y =0 ; dễ thấy y = thỏa mãn nghiệm PTVP cho y′ Xét y ≠ , PTVP cho ⇒ − = x (*) y y y′ y′ Đặt z = z (x ) = ⇒ z ′ = − 2⇒ 3= −z ′ , thay lại (*) ta y y y −z ′ − z = x ⇒ z ′ + z =−x (**) Các bạn tự giải (**) theo biến thiên số, thu được: z =−x + + Ce − x 1 Thay z = ta =−x + + Ce − x ⇒ y = NTQ PTVP cho − x + Ce − x y y Ngồi ra, nghiệm kì dị y = c) Xét y =0 ⇒ y ′ =0; y =0 ; dễ thấy y = thỏa mãn nghiệm PTVP cho y′ Xét y ≠ , PTVP cho ⇒ + = −x (*) y xy y′ y′ Đặt z = z (x ) = ⇒ z ′ = − 2⇒ 3= −z ′ , thay lại (*) ta y y y 1 −z ′ + z =−x ⇒ z ′ − z =x (**) x x Các bạn tự giải (**) theo biến thiên số, thu được: = z x + Cx Groups Toán Cao Cấp Website Eureka! Uni Youtube Eureka! Uni https://www.fb.com/groups/toancaocap.neu https://eureka-uni.com https://www.youtube.com/c/EurekaUni 75 | P a g e Trang Eureka Uni https://www.fb.com/EurekaUni.No1 1 Thay z = ta = x + Cx ⇒ y = NTQ PTVP cho y x + Cx y Ngoài ra, nghiệm kì dị y = d) Nhận thấy xuất y dạng đạo hàm ( y )′ = y ′y nên ta vận dụng linh hoạt sau: Đặt z = z ( x ) = y ⇒ z ′ = y ′y , thay vào PTVP cho, ta được: xz ′ − z + x =0 ⇒ z ′ − x z =−1 (*) −x ln x + Cx Các bạn tự giải (*) biến thiên số, thu được: z = −x ln x + Cx Thay z = y ta TPTQ PTVP cho y = e) Xét y =0 ⇒ y ′ =0; y =0 ; dễ thấy y = thỏa mãn nghiệm PTVP cho Xét y ≠ , PTVP cho ⇒ Đặt z = z ( x ) = y′ y y′ y ⇒ z′= 33 y − 9x y = x + x (*) ⇒ y′ y2 = z ′ , thay lại (*) ta z ′ − 9x z = x + x ⇒ z ′ − 27x z = 3x + 3x (**) 3 9x + 10 Các bạn tự giải (**) theo biến thiên số, thu được: z = − + Ce x 81 Thay z = y ta 3 3 9x + 10 9x + 10 y = − + Ce x ⇒ y = + Ce x NTQ PTVP − 81 81 cho Ngồi ra, ta có nghiệm y = f) Xét y =0 ⇒ dy =y ′dx =0; y =0 ; dễ thấy y = thỏa mãn nghiệm PTVP cho y′ 1 Xét y ≠ , PTVP cho ⇒ y ′ − y = −2 y ⇒ − = −2 (*) x y xy y′ y′ Đặt z = − 2⇒ = − z ′ , thay lại (*) ta z (x ) = ⇒ z ′ = y y y 1 −z ′ − z =−2 ⇒ z ′ + z =2 (**) x x x +C Các bạn tự giải (**) theo biến thiên số, thu được: z = x x +C x NTQ PTVP cho Thay z = ta được= ⇒= y y x x +C y Ngoài ra, ta có nghiệm y = Bài 13 a) M ( x , y ) =x + y ; N ( x , y ) =x + y ⇒ M y′ ≡ N x′ =1 nên PTVP cho PT VPTP y x2 x x2 y Φ ( x , y ) = ∫ ( x + y ) dx + ∫ ydy = + xy + y = + xy + y 2 0 0 x Vậy, TPTQ PTVP cho Groups Toán Cao Cấp Website Eureka! Uni Youtube Eureka! Uni x2 + xy + y = C https://www.fb.com/groups/toancaocap.neu https://eureka-uni.com https://www.youtube.com/c/EurekaUni 76 | P a g e Trang Eureka Uni https://www.fb.com/EurekaUni.No1 b) M ( x , y ) = x + y + 2x ; N ( x , y ) = 2xy ⇒ M y′ ≡ N x′ = y nên PTVP cho PT VPTP Φ (x , y ) = x y 0 y x3 x3 x + x + xy = + x + xy 0 ∫ ( x + 2x ) dx + 2x ∫ ydy = x3 Vậy, TPTQ PTVP cho + x + xy = C c) M ( x , y ) =− x 3xy + 2; N ( x , y ) = − ( 3x y − y ) ⇒ M y′ ≡ N x′ = −6xy nên PTVP cho PT VPTP y x4 2 x y x4 2 Φ (x , y ) = x − xy + dx + y dy = − x y + x =− x y + 2x + y 3 2 + y ∫0 ∫0 0 x ( ) x4 − x y + 2x + y = C d) M ( x , y ) =2x − y + 1; N ( x , y ) =2 y − x − ⇒ M y′ ≡ N x′ =−1 nên PTVP cho PT VPTP Vậy, TPTQ PTVP cho y x ( Φ ( x , y ) = ∫ ( 2x − y + 1) dx + ∫ ( y − 1) dy = x − xy + x 0 x ) +(y −y y ) =x − xy + x + y − y C Vậy, TPTQ PTVP cho x − xy + x + y − y = y x e) PTVP cho ⇒ x + (*) dx + y − dy = x +y x + y M (x , y ) = x+ y x2 + y y− ; N (x , y ) = x y Φ (x , y ) = ∫ x + x +y2 0 x x2 + y2 ⇒ M y′ ≡ N x′ = x2 − y2 (x + y ) nên PTVP (*) PT VPTP y x2 x x y2 y x2 x y2 dx + ydy = + arctan + = + arctan + − ∫1 y 2 y 2 Vậy, TPTQ PTVP cho x2 + y2 + arctan x C = y y − 3x 2x 6x f) M ( x , y ) = ⇒ M y′ ≡ N x′ = − nên PTVP cho PT VPTP ; N (x , y ) = 3 y Φ (x , y ) = x y y 2x ∫y dx + ∫ 1 y dy = y x2 x y x2 − = − +1 y3 y y3 y x2 Vậy, TPTQ PTVP cho − = C y y Bài 14 1 −1 Nhân ( xy ) vào hai vế PTVP cho ta được: y + dx + x − x y ′ Ta thấy y + ≡ x − xy y (*) dy = ′ −1 nên (*) PT VPTP, ( xy ) thừa số tích phân PTVP cho = x Bài 15 y ′ + p ( x ) y =q ( x ) ⇒ Groups Toán Cao Cấp Website Eureka! Uni Youtube Eureka! Uni dy + p ( x ) y − q ( x ) =0 ⇒ p ( x ) y − q ( x ) dx + dy =0 dx https://www.fb.com/groups/toancaocap.neu https://eureka-uni.com https://www.youtube.com/c/EurekaUni 77 | P a g e Trang Eureka Uni https://www.fb.com/EurekaUni.No1 M ′ − N x′ p ( x ) = p (x ) Đặt M = ( x , y ) p ( x ) y − q ( x ) , N ( x , y ) = ; ta có y = N Như vậy, ta giải PTVP tuyến tính tổng qt cách tìm thừa số tích phân phụ thuộc x Bài 16 (Giảm tải – Các bạn muốn nhận lời giải vui lòng liên hệ qua inbox) a) M = −2xy ⇒ x + y 2;N = dx M y′ − N x′ −2 ∫ 4y x = = − ⇒ Thừa số tích phân (TSTP) p= ( x ) e= −2xy N x x2 y2 y Nhân vào hai vế PTVP cho ta PTVP toàn phần + dx − dy = x x x y x x y2 y y y2 ⇒ w ( x , y ) =∫ dx − ∫ dy =ln x − =ln x − x x x x y2 C = x M ′ − N x′ + 2xy b) M =y (1 + xy ) ; N =−x ⇒ y = = ⇒ Thừa M y (1 + xy ) y TPTQ PTVP cho ln x − dy ∫y p= ( y ) e= −2 số tích phân (TSTP): y2 1 x Nhân vào hai vế PTVP cho ta PTVP toàn phần + x dx − dy = y y y x x x2 x x x2 1 ⇒w (x , y ) = + − = x dx dy + =+ ∫0 y ∫1 y 0 y x x2 C + = y TPTQ PTVP cho y x c) M = ; N =y − ln x ⇒ dy −2 ∫ M y′ − N x′ / x y = = ⇒ Thừa số tích phân (TSTP): p= y e = ( ) M y /x y y2 Nhân vào hai vế PTVP cho ta PTVP toàn phần ⇒ w ( x , y )= x y ln x TPTQ PTVP cho d) M = xy dx + y − ln x dy = y ln x x y y ln x y + = + − 2 y y ∫ xy dx + ∫ ydy = 1 y + y2 − M y′ − N x′ x x + 1; N = −1 ⇒ = y y M − ln x y C hay = + = C 2 y 1 x 1+ y y = − ⇒ Thừa số tích phân (TSTP) x y +1 y ∫ dy ln y y p (= y ) e= e= y (y > 0) Nhân vào hai vế PTVP cho ta PTVP toàn phần ( x + y ) dx + ( x − y ) dy = ⇒w (x , y ) = x y x2 x y2 y x2 y2 + xy − = + xy − + 2 0 ∫ ( x + y ) dx − ∫ ydy = Groups Toán Cao Cấp Website Eureka! Uni Youtube Eureka! Uni https://www.fb.com/groups/toancaocap.neu https://eureka-uni.com https://www.youtube.com/c/EurekaUni 78 | P a g e Trang Eureka Uni https://www.fb.com/EurekaUni.No1 TPTQ PTVP cho x + xy − M y′ − N x′ y 2 + x y2 = C hay + xy − = C 2 dx −2 ∫ 2 x = =− ⇒ Thừa số tích phân (TSTP) p= ( x ) e= x2 N x −x y Nhân vào hai vế PTVP cho ta PTVP toàn phần + dx − dy = x x e) M =x + y ; N =−x ⇒ ⇒w (x , y ) = y x y y y − dx ∫1 ∫0 x dy = x − x = x − − x x y y C = C hay x − = x x M ′ − N x′ 4xy − 2 f) M = 2xy − y ; N = y + x + y ⇒ y = = ⇒ Thừa số tích phân (TSTP) M y ( 2xy − 1) y TPTQ PTVP cho x − − −2 ∫ dy y p= ( y ) e= y2 1 x 1 Nhân vào hai vế PTVP cho ta PTVP toàn phần 2x − dx + + + dy = y y y y x y xx x 1 1 ⇒ w ( x , y ) = ∫ 2x − dx + ∫ + dy = x − + ( y − ln y ) = x − + y − ln y − y y y 0 y 0 1 TPTQ PTVP cho x − x x + y − ln y − = C hay x − + y − ln y = C y y Bài 17 dy y y = + cos (*) dx x x y dy dz Đặt z = ⇒ y = zx ⇒ =z + x x dx dx a) PTVP cho ⇒ (*) ⇒∫ ⇒ z +x dz dz dz dx = z + cos z ⇒ x = cos z ⇒ = ( cos z ≠ 0, x ≠ ) cos z dx dx x dz = ln Cx , (C ≠ ) cos z d ( sin z ) cos zdz sin z − dz Tính I = − ln +C ∫ cos z = ∫ cos2 z = ∫ − sin z = sin z + 1 sin z − =ln Cx (*) ⇒ − ln sin z + y sin − 1 y x Thay z = ta TPTQ PTVP cho − ln ln Cx = sin y + x x tan x b) PTVP cho ⇒ y ′ + y = (*) cos x cos x dx −∫ cos2 x NTQ PTVP TTTN liên kết với (*) y Ce = = Ce − tan x Tìm NTQ (*) dạng y = C ( x ) e − tan x , với C(x) hàm x Groups Toán Cao Cấp Website Eureka! Uni Youtube Eureka! Uni https://www.fb.com/groups/toancaocap.neu https://eureka-uni.com https://www.youtube.com/c/EurekaUni 79 | P a g e Trang Eureka Uni https://www.fb.com/EurekaUni.No1 = y ′ C ′ ( x ) e − tan x − C ( x ) e − tan x cos x tan x 1 tan x y′+ y = ⇒ C ′ ( x ) e − tan x − C ( x ) e − tan x + C ( x ) e − tan x = 2 cos x cos x cos x cos x cos x t = tan x tan x tan x tan x tan x e ⇒= tan x ) ⇒ C ′(x ) = C (x ) ∫ = e dx ∫ tan x e tan x d (= te t dt ∫ cos x cos x t t ⇒ C ( x ) = ( tõng phÇn ) = te − e + C = tan xe tan x − e tan x + C y ⇒= ( tan x e tan x ) x tan x − + Ce − tan x − e tan x + C e − tan= Nghiệm tổng quát PTVP cho = y tan x − + Ce − tan x c) PTVP cho ⇒ 2y dy ⇒∫ = 1+ y y dx y dx y x 1 dy = ⇒ ∫ dy = dy = dx ⇒∫ − 2 2 ∫ ∫ 1+ y 1+ y 1+ y x (1 + x ) x (1 + x ) x 1+ x C x2 2x 2 2 2 ∫ x − + x dx ⇒ ln + y = ln x − ln + x + ln C , (C ≠ ) ⇒ + y= + x ( Vậy, TPTQ PTVP cho 1= +y2 dy (1 − x ) ( y − 1) d) PTVP cho ⇒ =2 dx x ( y + 1) ) ( ) ( ) Cx (C > ) 1+ x Xét y = ⇒ y − = 0, dy = , dễ thấy y = nghiệm PTVP cho Xét y ≠ : PTVP cho ⇒ y +1 1− x y +1 1− x dy = dx ⇒ dy = ∫ y − ∫ x dx y −1 x2 x2 dy x dx y ln y ⇒ ∫ 1 + = − ⇒ + − = − − +C ∫ x x y −1 Vậy, TPTQ PTVP cho y + ln y − =− x − x2 + C , ngồi ra, ta có nghiệm y = dy xy + y e) PTVP cho ⇒ (*) = dx 2x + xy y dy dz , thay vào (*) cho, ta có Đặt z = ⇒ y = zx ⇒ =z + x x dx dx −z dz x zx + z x dz z + z dz dx dx 2 2 =2 ⇒x = −z ⇒x = ⇒ + dz = − ⇒ ∫ + dz = −∫ z +x dx 2x + x zx dx + z dx + z x x z z ⇒ z + ln z = − ln Cx , (C ≠ ) Thay z = y y y = − ln Cx NTQ PTVP cho , ta + ln x x x f) M ( x , y ) =2xy + xe −3x ; N ( x , y ) =x − cos y ⇒ M y′ ≡ N x′ =2x nên PTVP cho PT VPTP x ( Φ ( x , y ) =∫ 2xy + xe y −3x )dx − ∫ cos 5ydy =x y x x y 1 + ∫ xe −3x dx − sin y =x y − sin y − ∫ xd e −3x 0 5 30 x x x 1 −3x x −3x 1 = x y − sin y − xe + ∫ e dx = x y − sin y − xe −3x − e −3x 30 Groups Toán Cao Cấp Website Eureka! Uni Youtube Eureka! Uni https://www.fb.com/groups/toancaocap.neu https://eureka-uni.com https://www.youtube.com/c/EurekaUni ( ) 80 | P a g e Trang Eureka Uni https://www.fb.com/EurekaUni.No1 1 =+ x y − sin y − ( 3x + 1) e −3x 9 1 Vậy, TPTQ PTVP cho x y − sin y − ( 3x + 1) e −3x = C 2xy xy ′ nên PTVP cho PT VPTP − x ; N ( x , y= ) y ln ( x + e ) ⇒ M y′ ≡ N= x x +e x +e y x y xy 1 x2 x x, y ) ∫ dy y ln ( x + e ) − + y ln ( x + e ) Φ (= − x dx + ∫ y ln ( x + e= ) 0 x +e 2 0 g) M ( x , y= ) ( ) = y ln x + e − 2 x2 Vậy, TPTQ PTVP cho y ln ( x + e ) − x2 = C y y h) PTVP cho ⇒ y ′ = + + x x y dy dz Đặt z = ⇒ y = zx ⇒ , thay vào (*) cho, ta có =z + x x dx dx z +x dz = dx 1+ z + z ⇒ x dz = dx 1+ z ⇒ dz z +1 = dx dz ⇒∫ = x z +1 dx ∫x ⇒ ln z + z + = ln Cx , (C ≠ ) ⇒ z + z += Cx , (C ≠ ) Thay z = y y2 y , ta + + 1= Cx ⇒ y + x + y = Cx TPTQ PTVP cho x x2 x Groups Toán Cao Cấp Website Eureka! Uni Youtube Eureka! Uni https://www.fb.com/groups/toancaocap.neu https://eureka-uni.com https://www.youtube.com/c/EurekaUni 🔺🔺 KÊNH HỌC TẬP ONLINE FREE EUREKA! UNI: https://www.youtube.com/EurekaUni ▶ HỆ THỐNG GROUP THẢO LUẬN, HỎI ĐÁP CÁC MƠN HỌC: ✅ Group Tốn cao cấp: https://fb.com/groups/toancaocap.neu ✅ Group Xác suất thống kê: https://fb.com/groups/xacsuatneu ✅ Group Kinh tế lượng: https://fb.com/groups/kinhteluong.neu ✅ Group Kinh tế vi mô: https://fb.com/groups/microeconomics.neu ✅ Group Kinh tế vĩ mô: https://fb.com/groups/macroeconomics.neu 🔴🔴 Fanpage Eureka! Uni: https://fb.com/eurekauni.no1 🔷🔷 Website Eureka! Uni: https://eurekauni.wordpress.com ...GIẢI BÀI TẬP GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP ĐẠI HỌC KINH TẾ QUỐC DÂN Tài liệu viết nhằm giúp đỡ bạn sinh viên trường khối Kinh tế nói chung sinh viên Kinh tế Quốc dẫn nói riêng, học mơn Tốn cao cấp giáo. .. Bài 29 ′′ e x + 8e x y= y=′ e x + 4e x ′′′ e x + 16e x y= (tự thay nốt) Bài 30 y′ = −x y ′′ = x2 +4 (x +4 ) ⇒ d 2y = − (x x +4 ) dx Bài 31 2x ; y ′′ = − y′ = 1+ x 1+ x ( Groups Toán Cao Cấp... 2b a − bp Bài 52 Q = a − bp > ⇔ p < Bài 53 Hướng dẫn: a ; b (1) Tìm đường cầu: p = TR = 500 − 4Q ⇔ Q = 125 − 0,25 p Q (2) Tính co giãn → thay p = 300 giải thích ý nghĩa 51-b p Qs ′ = Bài 54 ε