EurekaUni Toán Cao Cấp NEU. Giải đề cuối kì K58>K61

Tổng hợp đề thi Toán cao cấp Kinh tế quốc dân (NEU) Tài liệu này bao gồm các đề thi cuối kì và giải chi tiết (hoặc hướng dẫn giải kèm đáp số) học phần Toán cao cấp cho các nhà kinh tế (phần giải tích, tên cũ là toán cao cấp 2) kể từ khóa 58 đến khóa 61. Mỗi ca có nhiều số đề khác nhau nhưng chung dạng câu hỏi nên chỉ lấy 1 đề làm đại diện. Tài liệu được xem miễn phí 100%, nếu các bạn có lòng ủng hộ hãy chọn mua nhé Cảm ơn các bạn.

Toán cao cấp cho nhà kinh tế Eureka! Uni SOẠN GIẢI: HOÀNG BÁ MẠNH Kênh học tập trực tuyến ĐỀ CUỐI KÌ K58→K61 GIẢI CHI TIẾT NEU – Spring 2020 MỤC LỤC ĐỀ CUỐI KÌ K61 1.1 Đề NT29_CLC_09/12/19_Ca 1.2 Đề LNT11_CLC_09/12/19 – Ca 1.3 Đề HVT14_CQ_10/12/19_Ca 1.4 Đề QTH17_CQ_10/12/19_Ca 1.5 Đề ALA50_CQ_10/12/19_Ca 11 1.6 Đề HBQ26_CQ_10/12/19_Ca 14 ĐỀ CUỐI KÌ K60 18 2.1 Đề CLC19605 18 2.2 Đề EUII417 20 2.3 Đề DPM04_Ca ngày 21 2.4 Đề NPV_Ca ngày 24 2.5 Đề TVH13_Ca ngày 26 2.6 Đề TTT21_Ca ngày 29 2.7 Đề VNC28_Ca ngày 31 2.8 Đề LNT08_Ca ngày 32 2.9 Đề HHT41_Ca ngày 34 2.10 ĐỀ CUỐI KÌ K59 39 3.1 Đề CLC1861814 (ca đề 4) 39 3.2 Đề CLC1861823 41 3.3 Đề CQ1961816 45 3.4 Đề CQ1961825 47 3.5 Đề CQ1961831 50 3.6 Đề CQ1961842 52 3.7 Đề CQ2061811 55 3.8 Đề CQ2061821 58 3.9 Đề CQ2061835 60 3.10 Đề 10 ALT43_Ca ngày 36 Đề 10 CQ2061842 63 ĐỀ CUỐI KÌ K58 66 4.1 Đề LQ02061711 66 4.2 Đề HV02061723 68 4.3 Đề HQ02061736 70 4.4 Đề ĐV02061744 71 4.5 Đề VQ03061713 73 4.6 Đề NV03061723 77 4.7 Đề TH03061735 78 4.8 Đề AQ03061743 82 XIN CHÀO CÁC BẠN Tại hạ, học không thay tên, học lại không đổi họ, cư dân mạng gọi LND9492 (a.k.a Hoàng Bá Mạnh) Liên tục nhận đăng kí lớp học Online (trên Google Meet, Microsoft Teams) học phần đại cương Toán cao cấp cho nhà kinh tế (giải tích), Lý thuyết xác suất Thống kê toán, Kinh tế lượng (Cơ / Nâng cao) Đăng kí Facebook: https://www.fb.com/lnd9492 Số điện thoại: 0986.960.312 Slogan Chưa nghĩ ra! CHÚC CÁC BẠN HỌC TỐT! -🔺 KÊNH HỌC TẬP ONLINE FREE EUREKA! UNI: https://www.youtube.com/EurekaUni ▶ HỆ THỐNG GROUP THẢO LUẬN, HỎI ĐÁP CÁC MƠN HỌC: ✅ Group Tốn cao cấp: https://fb.com/groups/toancaocap.neu ✅ Group Xác suất thống kê: https://fb.com/groups/xacsuatneu ✅ Group Kinh tế lượng: https://fb.com/groups/kinhteluong.neu ✅ Group Kinh tế vi mô: https://fb.com/groups/microeconomics.neu ✅ Group Kinh tế vĩ mô: https://fb.com/groups/macroeconomics.neu 🔴 Fanpage Eureka! Uni: https://fb.com/eurekauni.no1 🔷 Website Eureka! Uni: https://eurekauni.wordpress.com Page of 91 Trang Eureka Uni https://www.fb.com/EurekaUni.No1 ĐỀ CUỐI KÌ K61 1.1.Đề NT29_CLC_09/12/19_Ca lim (1 + sin 4x ) 8x Câu Tính giới hạn: x →0 Câu (Đề bị khuyết số màu đỏ, tự thêm vào) Một doanh nghiệp độc quyền có hàm cầu: Q = 100 − 0,5 p hàm chi phí cận biên: MC = Q − 14Q + 200 a) Tính hệ số co dãn cầu theo giá mức giá p = 20 nêu ý nghĩa kết nhận b) Tìm mức sản lượng Q để doanh nghiệp tối đa lợi nhuận Câu Một công ty sản xuất bán ô tô điện vừa giới thiệu mẫu ô tô điện biết hàm cung cận biên công ty mẫu có dạng: MS = S  ( p ) = 270 p ( 45 − p ) ;  p  45 S ( p ) lượng xe đặt hàng giá p (nghìn USD/chiếc) Tìm hàm cung S ( p ) biết công ty bán 3400 giá 44 (nghìn USD Câu Tìm điểm cực trị hàm số: w = −x − y − 2z − 2x − yz − 4z − Câu Một người tiêu dùng có hàm lợi ích U = 40x 0,5 y 0,5 Cho biết giá bán đơn vị hàng hóa thứ $25 giá bán đơn vị hàng hóa thứ hai $16 a) Tìm túi hàng để người tiêu dùng đạt mức lợi ích U = 4000 với chi phí tối thiểu b) Để lợi ích tăng thêm 1% chí phí tối thiểu thay đổi nào? Câu Giải phương trình vi phân: ( 4xy − x + 1) dx + ( 2x − y + 5)dy = Giải chi tiết Câu y = (1 + sin 4x ) 8x  ln y = 3ln (1 + sin 4x ) 8x 3ln (1 + sin 4x ) ( L ) 12 cos 4x = lim = x →0 x →0 (1 + sin 4x ) 8x lim ln y = lim x →0 3  lim (1 + sin 4x )8x = e x →0 Câu p p = −0,5 Q 100 − 0,5 p Ý nghĩa: Tại p = 20, giá tăng (%) lượng cầu giảm xấp xỉ 1/9 (%) b) Q = 100 − 0,5 p  p = 200 − 2Q  TR = pQ = ( 200 − 2Q )Q = 200Q − 2Q a) d = Q  ( p ) p = 20  d = −  = TR −TC   = MR − MC = ( 200 − 4Q ) − (Q − 14Q + 100 ) = −Q + 10Q =  Q = 10   = −2Q + 10    (10 ) = −10  Vậy, Q = 10 mức sản lượng cần tìm Nhóm Tốn cao cấp Website Eureka! Uni Youtube Eureka! Uni https://fb.com/groups/toancaocap.neu https://eureka-uni.com https://www.youtube.com/c/EurekaUni Page of 91 Trang Eureka Uni https://www.fb.com/EurekaUni.No1 Câu S ( p ) =  S  ( p ) dp =  = 12150  12150 270 p ( 45 − p ) dp ( 45 − p ) Lại có S ( 44 ) = 3400  dp =   − 270  dp ( 45 − p )   ( 45 − p ) 270 12150 − dp = + 270 ln ( 45 − p ) + C 45 − p ( 45 − p ) 12150 + C = 3400  C = −8750 45 − 44 Vậy, hàm cung phải tìm là: S ( p ) = 12150 + 270 ln ( 45 − p ) − 8750 45 − p Câu MXĐ: w x = −2x − = x = −1    y = w y = −2 y + 4z =    z = w z = −4z + y − =  = w yx  = 0;w xz  = w zx  = 0;w yz = w zy  = w x = −2;w y = −2;w z = −4;w xy 2  −2 0     H =  −2  có D1 = −2  ; D1 = −2  ; D = 16   −4    Vậy, ( x , y , z ) = ( −1,2,1) điểm cực trị w ( x , y , z ) Câu Tối thiểu chi phí tiêu dùng C = 25x + 16 y Điều kiện: Lợi ích mong muốn 40x 0,5 y 0,5 = 4000 Lagrange: L = 25x + 16 y +  ( 4000 − 40x 0,5 y 0,5 ) a) Mục tiêu:  5x 0,5 y 0,5 =  = Lx = 25 − 20 x −0,5 y 0,5 = y 0,5 5x 0,5 x = 80     0,5 −0,5 =  25x = 16 y   y = 125 L y = 16 − 20 x y   0,5 0,5  = 0,5 0,5  L = 4000 − 40x y = x y = 100  Tại ( x , y ,  ) = ( 80;125;1) , ta có: L11 = 10x −1,5 y 0,5  ; g1 = 20x −0,5 y 0,5  g = 20x 0,5 y −0,5  L22 = 10x 0,5 y −1,5  L12 = L21 = −10x −0,5 y −0,5  Nhóm Tốn cao cấp Website Eureka! Uni Youtube Eureka! Uni https://fb.com/groups/toancaocap.neu https://eureka-uni.com https://www.youtube.com/c/EurekaUni Page of 91 Trang Eureka Uni  g1 g2 https://www.fb.com/EurekaUni.No1 g1 g L11 L12 = g 1g L12 + g g 1L21 − g 22 L11 − g 12 L22  L21 L22 Vậy, ( x , y ) = ( 80;125) túi hàng cần tìm b) Hệ số co dãn chi phí tối thiểu (C ) theo lợi ích (U ) là: C = C U U  = U C C 4000 =1 4000 Vậy, để lợi ích tăng thêm 1% chi phí tối ưu cần phải tăng thêm 1% Tại U = 4000   = 1;C = 25.80 + 16.125 = 4000  C = Câu M = 4xy − x + 1; N = 2x − y + , M y = 4x  N x  phương trình vi phân cho phương trình vi phân tồn phần, với vế trái vi phân toàn phần hàm số:  y x w ( x , y ) =  ( −x + 1) dx +  ( 2x − y + 5) dy =  x −  x2  x  0 ( + 2x y − y + y Tích phân tổng qt phương trình vi phân cho là: x − x2 )0 y =x− x2 + 2x y − y + y + 2x y − y + y = C 1.2.Đề LNT11_CLC_09/12/19 – Ca 1−3x Câu Tính giới hạn:  2x +  lim  x →+ 2x +    Câu Khai triển Taylor hàm số f ( x ) = ( x − 1) e cos( x + ) lũy thừa bậc ( x −1) với phần dư Peano Câu Biết hàm cầu hàm cung loại sản phẩm là: Qd = −0,3 p + 40; Q s = 0,2 p − 10 a) Tính hệ số co dãn cầu cung theo giá mức giá p = 90 nêu ý nghĩa kết tính b) Tìm điểm cân thị trường thặng dư người tiêu dùng điểm cân Câu Tìm điểm cực trị hàm số: U = 14x + 12 y + 8z − 4xy − 12 yz − 6zx − 2x − y − 18z + 2019 Câu Một doanh nghiệp có hàm sản xuất Q = 7K 0,3L0,8 Cho biết giá thuê tư w K = $30 giá thuê lao động w L = $80 doanh nghiệp tiến hành sản xuất với chi phí cố định $11000 Hãy tìm mức sử dụng lao động tư để doanh nghiệp đạt sản lượng tối đa + Câu Tính tích phân suy rộng: I = dx  ( x + ) ln ( x + ) Câu Giải phương trình vi phân: xy  − y = −7x Giải chi tiết Nhóm Toán cao cấp Website Eureka! Uni Youtube Eureka! Uni https://fb.com/groups/toancaocap.neu https://eureka-uni.com https://www.youtube.com/c/EurekaUni Page of 91 Trang Eureka Uni https://www.fb.com/EurekaUni.No1 Câu 1−3x  2x +  y =   2x +   2x +   ln y = (1 − 3x ) ln    2x +  −4 (1 − 3x ) ( L ) −4  ln(1+u )~u 12  2x +   lim ln y = lim (1 − 3x ) ln  = lim (1 − 3x ) ln 1 + = lim = lim =6   x →+ x →+ x →+ x →+ x →+ 2x +  2x +   2x +  1−3x  2x +  lim  x →+ 2x +    = e6 Câu Đặt g ( x ) = e g (1) = e cos3 cos( x + ) , khai triển g ( x ) đến lũy thừa bậc ( x −1) , phần dư Peano g  ( x ) = − sin ( x + ) e cos( x + )  g  (1) = − sin 3.e cos3 g  ( x ) = − cos ( x + )e cos( x +2) + sin ( x + )e cos(x +2)  g  (1) = ( sin − cos3)e cos3 ( ) 2  g ( x ) = e cos3 − e cos3 ( x − 1) sin + e cos3 sin2 − cos3 ( x − 1) + o ( x − 1)    ( ) 3  f ( x ) = ( x − 1) g ( x ) = e cos3 ( x − 1) − e cos3 ( x − 1) sin3 + e cos3 sin2 − cos3 ( x − 1) + o ( x − 1)    Câu a)  d = dQd p p 0,3.90 27 p = 90  d = − = −0,3 =− dp Qd −0,3 p + 40 −0,3.90 + 40 13 Ý nghĩa: Tại p = 90, giá tăng 1% lượng cầu giảm xấp xỉ s = 27 % 13 dQ s p p 0,2.90 p = 90   s = = 0,2 = = 2,5 dp Q s 0,2 p − 10 0,2.90 − 10 Ý nghĩa: Tại p = 90, giá tăng 1% lượng cung tăng xấp xỉ 2,5% b) Qd = Q s  −0,3 p + 40 = 0,2 p − 10  0,5 p = 50  p = 100  Q = 10 Qd = −0,3 p + 40  p = 40 − Q 0,3 40 − Q 40Q − 0,5Q 10 500 CS =  dQ − 100.10 = − 1000 = 0,3 0,3 10 Câu MXĐ: U x = 28x − y − 6z − = 28x − y − 6z = x =    U y = 24 y − 4x − 12z − =  −4x + 24 y − 12z =   y =     −6x − 12 y + 16z = 18 z = U z = 16z − 12 y − 6x − 18 = Nhóm Tốn cao cấp Website Eureka! Uni Youtube Eureka! Uni https://fb.com/groups/toancaocap.neu https://eureka-uni.com https://www.youtube.com/c/EurekaUni Page of 91 Trang Eureka Uni https://www.fb.com/EurekaUni.No1  = −4;U yz  = U zy = −12;U xz = U zx − U x = 28;U y = 24;U z = 16;U xy = U yx 2  28 −4 −6     H =  −4 24 −12  có D1 = 28  0; D = 656  D = 5024   −6 −12 16    Vậy, (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1,2,3) điểm cực tiểu U, giá trị cực tiểu 𝑈𝑐𝑡 = 𝑈(1,2,3) = ⋯ Câu Mục tiêu: Tối đa sản lượng Q = 7K 0,3L0,8 Điều kiện: Nguồn lực hữu hạn 30K + 80L = 11000 = 7K 0,3L0,8 +  (11000 − 30K − 80L ) Lagrange:       0,7L0,8 0,7K 0,3  = =  0,7  L − 30 = K = 100 K = 2,1K 10 K 10L0,2    0,3 −0,2  L − 80 =  K = L  L = 100 L = 5,6 K 30K + 80L = 11000  = 0,07.1000,1   = 11000 − 30K − 80L =    −0,7 0,8 g1 = 30; g = 80; 30  30 11 80 21 11 = −1,47K −1,7 L0,8  0; 22 = −1,12K 0,3L−1,2  ; 12 = 21 = 1,68K −0,7 L−0,2  80 12 = 2400 12 + 2400 12 − 802 11 − 302 22 0 22 Vậy, ( K , L ) = (100,100 ) kết hợp đầu vào cần tìm Câu d  ln ( x + ) t 1 = =− = − 2  x + ) ln ( x + ) ln ( x + ) ln ( x + ) ln ln (t + ) ( t I (t ) =  t dx   1 lim I (t ) = lim  − −0 = = t →+ t →+ ln ln (t + )  ln ln  + Vậy, dx  ( x + ) ln ( x + ) = ln Câu xy  − y = −7x  y  − x y = −7x (*) dx ln( x ) Nghiệm tổng quát phương trình liên kết với (*) là: y = Ce  x = Ce = Cx 4 Nghiệm riêng (*) tìm dạng: y = C ( x ) x , C(x) hàm x Nhóm Tốn cao cấp Website Eureka! Uni Youtube Eureka! Uni https://fb.com/groups/toancaocap.neu https://eureka-uni.com https://www.youtube.com/c/EurekaUni Page of 91 Trang Eureka Uni https://www.fb.com/EurekaUni.No1 y 0 = C  ( x ) x + 4x 3C ( x ) y 0 − 4 y = −7x  C  ( x ) x + 4x 3C ( x ) − C ( x ) x = −7x  C  ( x ) x = −7x x x  C  (x ) = − x  C ( x ) = −7 dx 7 =  ta có nghiệm riêng: y = C ( x ) x = x = x 2x x 2x Vậy, nghiệm tổng quát phương trình vi phân cho là: y = x + Cx 1.3.Đề HVT14_CQ_10/12/19_Ca Câu Chứng minh hai vô bé sau tương đương x →  ( x ) = (1 + 5x ) −  ( x ) = 3x Câu Một nhà sản xuất độc quyền bán sản phẩm thị trường có hàm cầu ngược: p = 1800 − 8,5Q : c) Tính hệ số co dãn cầu theo giá mức giá p = 30 (làm tròn đến chữ số thập phân) giải thích ý nghĩa kết tìm d) Xác định mức sản lượng cho lợi nhuận tối đa, cho biết hàm chi phí cận biên MC = Q − 36Q + 250 Câu Tính đạo hàm hàm ẩn biến z = z ( x , y ) xác định phương trình: e xy + 2x yz + 5z = 2019 Câu Tìm điểm cực trị hàm số: f ( x , y , z ) = 26x + 3y + 2z − 8xy + 6xz − 2x + 16 y − 6z + 2019 Câu Một doanh nghiệp có hàm sản xuất Q = 5K 0,2 L0,6 Giá thuê tư w K = $20 , giá thuê lao động w L = $60 doanh nghiệp tiến hành sản xuất với ngân sách cố định $1200 Hãy cho biết doanh nghiệp sử dụng đơn vị tư đơn vị lao động thu sản lượng tối đa Câu Tính tích phân suy rộng: I =  ( 3x − )e 3x dx − Câu Giải phương trình vi phân:  y 5y +   x 2x  5y   dy =  dx +  x − x    Giải chi tiết Câu e u −1 ~u  (x ) + 5x ) − ln (1 + 5x ) ln (1 + 5x ) ( e ln(1+5x ) − ( ) lim = lim = lim = lim = lim =1 x →0  ( x ) x →0 x →0 x →0 x →0 5x 3x 3x 3x Hoặc người Lôpitan cho nhanh :v ( Vậy, x → (1 + 5x ) − 1 ~ 3x   Nhóm Tốn cao cấp Website Eureka! Uni Youtube Eureka! Uni ) https://fb.com/groups/toancaocap.neu https://eureka-uni.com https://www.youtube.com/c/EurekaUni Page of 91 Trang Eureka Uni https://www.fb.com/EurekaUni.No1 Câu 1800 − p 8,5 p p −p p = 30   d =  0,017 d = Q  ( p ) = − = Q 8,5 1800 − p 1800 − p 8,5 Ý nghĩa: Tại p = 30, giá tăng (%) lượng cầu giảm xấp xỉ 0,017 (%) d) TR = pQ = (1800 − 8,5Q )Q = 1800Q − 8,5Q c) p = 1800 − 8,5Q  Q =  = TR −TC   = MR − MC = (1800 − 17Q ) − (Q − 36Q + 250 ) = −Q + 19Q + 1550 = Q = 50   Q = 50 Q = − 30  lo¹i ( )    = −2Q + 19    ( 50 ) = −81  Vậy, Q = 50 mức sản lượng cần tìm Câu F ( x , y , z ) = e xy + 2x yz + 5z − 2019 z x = − F x ye xy + 4xyz =− F z 2x y + 25z z y = − F y xe xy + 2x z =− F z 2x y + 25z Câu MXĐ: f x = 52x − y + 6z − = x = −85 / 97     y = −372 / 97 f y = y − 8x + 16 =    z = 273 / 97 f z = z + x − = f x = 52; f y = 6; f z = 4; f xy = f yx = −8; f xz = f zx = 6; f yz = f zy = 2  52 −8     H =  −8  có D1 = 52  ; D = 248  ; D = 776   4    85 372 273  ; Vậy, ( x , y , z ) =  − ; − điểm cực tiểu f ( x , y , z ) 97 97   97 Câu Mục tiêu: Tối đa sản lượng đầu Điều kiện: Ngân sách hữu hạn Lagrange: Q = 5K 0,2 L0,6 20K + 60L = 1200 = 5K 0,2 L0,6 +  (1200 − 20K − 60L ) Nhóm Tốn cao cấp Website Eureka! Uni Youtube Eureka! Uni https://fb.com/groups/toancaocap.neu https://eureka-uni.com https://www.youtube.com/c/EurekaUni Page 74 of 91 Trang Eureka Uni https://www.fb.com/EurekaUni.No1 Câu ( Đặt y = + x x ) 5x ( ln 4x + x  ln y = ) 5x 4x ln + ln + x x 4x ln + ( L ) x ln ( L ) + x lim ln y = lim = lim = lim = lim = x →+ x →+ x →+ x →+ 5.4 x + 5x x →+ 5.4 x ln + 5x (L ) 4x ln ln ln = lim = lim = x x →+ 5.4 ln x →+ 5 ( ( Vậy, lim 4x + x x →+ ) x 5x =e ) (L ) ln =54 Câu f ( ) =  + t dt = f  ( x ) = + ( 3x ) = (1 + 9x ; )  f  (0 ) = 27 f  ( x ) = + 9x 2 ( ) − 27x + 9x  f  ( ) = −3 −7 27x 27  −3  4 + 18x   + 9x  f  ( ) = 2   f  ( x ) = .18x (1 + 9x ) − ( = ) ( ) Câu Qd = 700 − 10 p  3Q = 700 − 10 p  p = 70 − 0,3Q ; Q s = 10 p − 175 −  10 p − 175 = Q +  10 p − 175 = (Q + 5)  p = 17,5 + 0,1 (Q + 5) 2 Thị trường cân  70 − 0,3Q = 17,5 + 0,1(Q + 5)  70 − 0,3Q = 17,5 + 2,5 + Q + 0,1Q  0, 4Q + Q − 50 = Q = 10    Q * = 10  p * = 40 Q = − 25   10 ( ) ( Thặng dư tiêu dùng: CS =  70 − 0,3Q dQ − 10.40 = 70Q − 0,1Q )0 10 − 400 = 200 0,2 25  10  Thặng dư sản xuất: PS = 10.40 −  17,5 + 0,2 (Q + 5)  dQ = 400 − 17,5Q + Q + 5)  = (   3  0 10 ( ) Vậy, khai triển cần viết là: f ( x ) = 3x + x + o x Câu + t −x −x  xe dx = lim  xe dx = lim I (t ) t →+ Nhóm Tốn cao cấp Website Eureka! Uni Youtube Eureka! Uni t →+ https://fb.com/groups/toancaocap.neu https://eureka-uni.com https://www.youtube.com/c/EurekaUni Page 75 of 91 Trang Eureka Uni https://www.fb.com/EurekaUni.No1 t t I (t ) =  xe 2−x dx = −  xd (e 2−x ) = −xe 2−x t 0 t +  e −x dx = −te −t − e −x t = e − (t + 1)e 2−t t + (L ) lim I (t ) = lim e − (t + 1) e 2−t  = e − lim t −2 = e − lim t −2 = e − = e t →+ t →+ t →+ e t →+ e + Vậy,  xe −x dx = e Câu Đặt F ( x ; y ; z ) = 2x + y + 3z + xy − z − z y = − F y F 2y + x 4x + y =− ; z x = − x = − F z 6z − F z 6z −  2y + x  = −   z yx  6z − =− ( 6z − 1) − 6z x ( y + x )   =− x ( 6z − 1) 4x + y ( y + x ) ( 6z − 1)2 + ( y + x )( 4x + y ) 6z − =− ( 6z − 1) ( 6z − 1) ( 6z − 1) + Theo ta có: z =  3z − z − = 2 ( −2 ) + + 3z − − z − =  x = −2; y =     z = −  z = z  z   z  2  ( −2;1) = − Tức ta có z ( −2;1) =  z yx 52 + =− 5 Câu MXĐ: D = ( x ; y ; z )   : x  0, y  0, z  0, x + y + z  22 Điều kiện cần:  u x = x − 22 − x − y − z =  x = 110 − 5x − 5y − 5z 6x + 5y + 5z = 110 x = 10     =   y = 44 − 2x − y − 2z  2x + 3y + 2z = 44   y = u y = − y 22 − x − y − z  z = 66 − 3x − 3y − 3z 3x + 3y + 4z = 66 z =     =0 u z = − z 22 − x − y − z  =>ta có điểm dừng M (10;4;6 ) Điều kiện đủ: Nhóm Tốn cao cấp Website Eureka! Uni Youtube Eureka! Uni https://fb.com/groups/toancaocap.neu https://eureka-uni.com https://www.youtube.com/c/EurekaUni Page 76 of 91 Trang Eureka Uni u x = − x https://www.fb.com/EurekaUni.No1 − ( 22 − x − y − z ) ; u y2 = − y − ( 22 − x − y − z ) ; u z2 = − z − ( 22 − x − y − z )  = u yx  = u yz  = u zy  = u xz = u zx  = − u xy ( 22 − x − y − z ) Tại M (10;4;6 ) ta có: u x2 ( M ) = − 1 1 1 − = − ; u y2 ( M ) = − − = − ;u z2 ( M ) = − − = − 20 10 8 12  ( M ) = u yx  ( M ) = u yz  ( M ) = u zy  ( M ) = u xz  ( M ) = u zx  ( M ) = − u xy   − 10  H = −    −1   − − − 1 −   11 1 có D1 = −  0; D = 0  0; D3 = − 4 10 640 20  −  4 Vậy M (10;4;6 ) điểm cực trị u  17  Câu  = −90 + 30Q1 + 80Q2 − 5Q12 − 10Q22 ; p1 = p  −5Q1 + 10Q = 50 ; (Q1 ;Q ) =  ;  3  Câu y  = y + 2xy  y  − y = 2xy y =  y  =  thỏa mãn nghiệm y 0 y − = 2x ; y2 y Đặt z = y  z = − y y  = −z  , thay vào phương trình ta được: y y −z  − z = 2x  z  + z = −2x (* ) − dx Nghiệm tổng quát phương trình liên kết với (*) là: z = Ce  = Ce − x Tìm nghiệm tổng quát (*) dạng z = C ( x ) e − x với C ( x ) hàm x z  ( x ) = C  ( x ) e − x − C ( x ) e − x Thay vào (*) ta −x −x −x −x C  ( x ) e − C ( x ) e  + C ( x ) e = −2x  C  ( x ) e = −2x  C  ( x ) = −2xe x ( )  C ( x ) = −2  xe x dx = −2  xd e x = −2xe x +  e x dx = (1 − 2x ) e x + C  z = (1 − 2x ) e x + C  e − x = − 2x + C e − x Nhóm Tốn cao cấp Website Eureka! Uni Youtube Eureka! Uni https://fb.com/groups/toancaocap.neu https://eureka-uni.com https://www.youtube.com/c/EurekaUni được: Page 77 of 91 Trang Eureka Uni Thay z = https://www.fb.com/EurekaUni.No1 y ta y = − 2x + C e −x y = − 2x + C e − x Vậy, nghiệm tổng quát phương trình vi phân cho là: y = 1 − 2x + C e − x Ngoài ta có nghiệm kì dị y = 4.6.Đề NV03061723   − x sin2 x ; x  Câu Cho hàm số f ( x ) =  Xét tinh liên tục hàm số 𝑓(𝑥) điểm 𝑥 = 10  e ;x =0 ( ) Câu Tìm khoảng tăng, giảm cực trị hàm số sau: F ( x ) = Câu Tính tích phân sau:  ( x −2 4t − 5t + 8dt ) dx −x + x − Câu Cho biết hàm cầu sản phẩm doanh nghiệp độc quyền là: 𝑝 = 400 − 5𝑄 Và hàm chi phí cận biên mức sản lượng 𝑄 𝑀𝐶 = 3𝑄 − 20𝑄 + 200 Tính hệ số co giãn cầu theo giá mức giá 𝑝0 mà doanh nghiệp thu lợi nhuận tối đa nêu ý nghĩa kinh tế kết 𝑤 = 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (−𝑥 + 𝑦 − 3𝑧)4𝑦 Câu Viết biểu thức vi phân tồn phần hàm số: Câu Tìm cực trị hàm số sau: 𝑤 = −𝑥 − 𝑦 − 2𝑧 + 2𝑥 + 2𝑦𝑧 + 10 Câu Một người tiêu dùng có hàm lợi ích U = 90x13 x 22 Trong điều kiện giá bán đơn vị hàng hóa thứ 12$, giá bán đơn vị hàng hóa thứ hai 10$ ngân sách dành cho tiêu dùng 1680$ Hãy xác định cấu mua sắm để người tiêu dùng thu lợi ích tối đa Nếu ngân sách dành cho tiêu dùng tăng thêm 1% lợi ích tối đa thay đổi nào? Tại sao? Câu Giải phương trình vi phân sau: (𝑥 + 𝑦 + 2)𝑑𝑥 + 2𝑥𝑦 𝑑𝑦 = Hướng dẫn giải Câu f ( ) = e 10  lim f ( x ) = lim (1 − x ) sin x →0 x x →0 ( ) = lim − x ( − x ) x →0 ( −5x ) sin x = e −5 nên f ( x ) không liên tục x =0 Câu MXĐ: D =  x −2  f  ( x ) = 16 ( 4x − ) − ( 4x − ) +   4t − 5t + 8dt  =  x =   Điểm cực tiểu x = , khoảng giảm: ( −;1) , khoảng tăng: (1; + ) Câu Nhóm Tốn cao cấp Website Eureka! Uni Youtube Eureka! Uni https://fb.com/groups/toancaocap.neu https://eureka-uni.com https://www.youtube.com/c/EurekaUni Page 78 of 91 Trang Eureka Uni  dx −x + 4x − = lim+  t →1 t dx − x + 4x − d (x − 2) t − (x − 2) = lim+  t →1 https://www.fb.com/EurekaUni.No1 = lim+ − arcsin (t − ) = − arcsin ( −1) = t →1  Câu Q0 = 10  p = 350;  = −0,2 p −0,2.350 = = −7 80 − 0,2 p 80 − 0,2.350 Câu dw = w x dx +w y dy +w zdz = −8xy ( −x + y − 3z ) y −1 dx − 12 y ( −x + y − 3z ) y −1 dz +   8y 2 +  ln −x + y − 3z +  −x + y − 3z −x + y − 3z   ( ) ( ) 4y dy Câu Điểm cực đại ( x ; y ; z ) = (1;0;0 ) Giá trị cực đại; w (1;0;0 ) = 11 Câu Cần tìm ( x ; y ) để tối đa U điều kiện: 12x + 10 y = 1680 ( x1 ; x ) = ( 80;72 ) ;  = Hệ số co giãn lợi ích điểm cực đại U max theo ngân sách tiêu dùng m là:  = Theo ý nghĩa nhân tử Lagrange ta có: Ta có: m = 1680;  = 15 10 U max m m U max U max m =    =  m U max 15 15 1680 ; U = 2160 10   = = max 3 10 10 2160 102 Vậy, điểm tối ưu, ngân sách tiêu dùng tăng 1% lợi ích điểm cực đại tăng xấp xỉ % Câu dx ln x 29 23 23  2x Thừa số tích phân p ( x ) = e =e = x Tích phân tổng quát: x + x y + x = C 3 4.7.Đề TH03061735 Tại hội thao chào mừng tân sinh viên K58 NEU, nội dung hội thao đua thể lực kết hợp với trí tuệ nhằm cổ vũ cho phong trào rèn luyện thể thao nâng cao khả ứng dụng mơn Tốn vào thực tế cho sinh viên Trong câu câu thi bạn tham gia đua cách giải toán thực tế đặt hội thao Câu 1: (2,5 điểm) LÊN KẾ HOẠCH TRƯỚC CUỘC ĐUA Ban tổ chức công bố trước sơ đồ đường đua với điểm xuất phát A đích đến địa điểm D (Xem hình Nhóm Tốn cao cấp Website Eureka! Uni Youtube Eureka! Uni 10 km Đường C Sông https://fb.com/groups/toancaocap.neu y x https://eureka-uni.com https://www.youtube.com/c/EurekaUni B Rừng A D Page 79 of 91 Trang Eureka Uni https://www.fb.com/EurekaUni.No1 bên) Trong đó, giai đoạn đầu vận động viên phải chạy từ A, vượt qua rừng tới B bên bờ sơng, sau bơi từ B vượt sông sang điểm C bên bờ sông, từ C theo đường xe đạp tới D Biết khoảng cách từ A tới bờ sông 3,6 km, sông rộng 0,76 km với bờ đường thẳng song song Biết vận tốc chạy vận động viên rừng 10km/h, vận tốc bơi sông 8km/h, vận tốc đạp xe đường 31km/h a) Thiết lập thời gian T = T(x;y) để vận động viên từ A tới D theo x, y, với x, y giá trị gợi ý hình b) Tìm x, y (vị trí điểm B, C) để thời gian hồn thành đua Câu 2: (2,5 điểm) TÌM NÚT BẤM TRONG PHỊNG Khi vận động viên tới địa điểm đích D họ phải vào cặn phòng bị bao tường có hình dạng đường tròn với phương trình 𝑥 + 𝑦 = 38, biết nhiệt độ phòng có dạng 𝑇(𝑥, 𝑦) = 𝑥 + 𝑦 + 3𝑥𝑦 + 15𝑥 + 15𝑦 + 50 Để kết thúc đua vận động viên phải bấm vào nút để xác nhận “ĐÃ VỀ ĐÍCH”, nút khơng thể nhìn thấy mắt thường, lại biết chân tường nơi có nhiệt độ thấp Bạn xác định tọa độ nút bấm để giúp vận động viên kết thúc đua Câu 3: (1,25 điểm) Tìm khoảng tăng, giảm cực trị hàm số y = ( x − 5x + ) e −3x với f  (118) = , tính dw ( 5;3) với số gia riêng Câu 4: (1,25 điểm) Cho f (t ) hàm khả vi x = 0,15; y = 0,2 w = f ( 4x + 3xy − y ) + Câu 5: (1,25 điểm) Tính tích phân suy rộng I =  5x dx + 3x Câu 6: (1,25 điểm) Giải phương trình vi phân y 3dx + ( 7xy − ) dy = Hướng dẫn giải Câu a Từ hình vẽ ta có: AB = 3,62 + x ; BC = 0,762 + y ; CD = 10 − x − y Thời gian để vận động viên từ A → D là: T (x ; y ) = b AB + BC + CD 10 31 Điều kiện  x , y  10 = 0,762 + y 10 − x − y 3,6 + x + + 10 31 x    362 − =0 x= T x = x = 2 2   31 10 3,6 + x  31x = 10 3,6 + x   861     2 y 6,08 T  = 31y = 0,76 + y y = y = − =0  y 0,762 + y 31   897  Nhóm Tốn cao cấp Website Eureka! Uni Youtube Eureka! Uni 36 861 6,08 897 https://fb.com/groups/toancaocap.neu https://eureka-uni.com https://www.youtube.com/c/EurekaUni Page 80 of 91 Trang Eureka Uni https://www.fb.com/EurekaUni.No1 x 3,62 + x − a11 = T x = a22 = T y = 3,6 + x ( 10 3,6 + x 2 ) = ( ) ( 10 3,6 + x 0,762 0,762 + y 3,62 0,762 + y )  0; a12 = a21 = T xy = T yx = 0; 3,6 + x  0; D = a11a22 − (a12a21 ) = a12a21   36 6,08  ; Vậy ( x ; y ) =   điểm cực tiểu hàm thời gian nên chúng giá trị cần tìm  861 897  Câu Cần tìm ( x ; y ) để tối thiểu nhiệt độ T điều kiện x + y = 38 T ( x ; y ) = x + y + 3xy + 15x + 15y + 50 = 3xy + 15x + 15y + 88 Hàm Lagrange: L = 3xy + 15x + 15y + 88 +  ( 38 − x − y ) 3y + 15 3x + 15  3y + 15  (1)  = x = y  = x Lx = 3y + 15 − 2 x =    2 L y = 3x + 15 − 2 y =  6 y + 30 y = 6x + 30x  ( x − y ) + ( x − y ) = ( )  x + y = 38  2 2 ( 3) L = 38 − x − y =  x + y = 38   x − y = y = x  Từ (2) ta có: ( x − y )( x + y + 5) =   x + y + =  y = −x − Với y = x thay vào (3) ta được: 2x = 38  x = 19  x =  19  M (x ; y ) = ( ) 19; 19 ;  = ( ) 15 15 + ; M ( x ; y ) = − 19; − 19 ;  = − 2 19 2 19 Với y = −x − thay vào (3) ta được: x + ( x + 5) = 38  2x + 10x = 13  4x + 20x = 26  ( 2x + 5) = 51  x = 2 −5  51  −5 − 51 −5 + 51  15  M (x ; y ) =  ;  ;  = −  2 + 51    −5 + 51 −5 − 51  15 ;  ;  = + 2 51 −   M ( x ; y ) =  g = 2x ; g = y ; L11 = L22 = −2; L12 = L21 = H = 2x 2y 2x 2y −2 = (12xy + 12xy ) − −8 y − 8x = 24xy + 8 x + y = 24xy + 304 −2 Nhóm Tốn cao cấp Website Eureka! Uni Youtube Eureka! Uni ( ) ( ) https://fb.com/groups/toancaocap.neu https://eureka-uni.com https://www.youtube.com/c/EurekaUni Page 81 of 91 Trang Eureka Uni https://www.fb.com/EurekaUni.No1 Xét tại: 15 19   H   M điểm cực đại T ( x ; y ) 38 M : xy = 19  0;  = +  15 19  15 19  H = 24.19 + 304  −    M điểm cực đại 2 38 38   M : xy = 19  0;  = − M : xy = − 13 15 15  3  0;  = −   H = −156 + 304  −    M điểm cực tiểu 2 + 51  + 51  M : xy = − 13 15 15  3  0;  = +   H = −156 + 304  +    M điểm cực đại 2 51 − 51 −  2 Do M3 điểm cực tiểu T ( x ; y ) nên tọa độ NÚT BẤM  −5 − 51 −5 + 51  ;  2   ( x ; y ) =  Câu MXĐ: D = y  = ( 2x − 5) e −3x − ( x − 5x + ) e −3x = ( −3x + 17x − 23) e −3x  17 − 13 x = y  =  −3x + 17x − 23 =    17 + 13 x =  Bảng biến thiên: x 17 − 13 − f (x ) − 17 + 13 +  17 − 13 17 + 13  Từ bảng suy hàm số tăng  ;  , giảm  6   Hàm số có điểm cực đại xCD = + −   17 + 13  17 − 13  ; +   −;    6     17 + 13 17 − 13 , điểm cực tiểu xCT = 6 Câu   dw = w x dx +w y dy = f ( 4x + 3xy − y ) dx + f ( 4x + 3xy − y ) dy = x y ( ) ( ) ( ) = (8x + 3y ) f  4x + 3xy − y dx + 3x − 3y f  4x + 3xy − y dy  dw ( 5;3) = 49f  (118 ) dx − 12f  (118 ) dy Theo ta có: x = 0,15  dx = 0,15; y = 0,2  dy = 0,2; f  (118 ) = nên ta có: Nhóm Tốn cao cấp Website Eureka! Uni Youtube Eureka! Uni https://fb.com/groups/toancaocap.neu https://eureka-uni.com https://www.youtube.com/c/EurekaUni Page 82 of 91 Trang Eureka Uni https://www.fb.com/EurekaUni.No1 dw ( 5;3) = 49.3.0,15 − 12.3.0,2 = 14,85 Câu t I (t ) =  t dx 1  1 x t t =  − dx =  ln + ln  = ln  x ( 5x + 3)  x 5x +   5x +  5t + 3 t dx 5x + 3x = 1 3 I = lim I (t ) = lim  ln t →+ + Vậy, t →+  5x  1  1 1 1 + ln  = lim  ln + ln  = ln + ln = ln t →+ 5t + 3   5+3/t  t dx = ln + 3x Câu dy −2  M y − N x 21y − y 2 − ln ( y ) Đặt M = y ; N = 7xy − 2; = =  p (y ) =e y =e = M 7y y y Nhân y2 2 vào vế phương trình cho, ta phương trình vi phân tồn phần:   ydx +  7x −  dy = y   x y Ta có:  ( x ; y ) =  ydx −  2dy y = 7xy x + y = 7xy + − y y Vậy, tích phân tổng quát phương trình vi phân cho là: 7xy + y −2 =C 4.8.Đề AQ03061743 Câu Tính giới hạn 5x − x →0 6x + 5sin x + cos x − lim Câu Khai triển Maclaurin hàm số sau đến cấp với phần dư Peano: 𝑦 = (3𝑥 + 1) ln √4𝑥 +  x Câu Tìm khoảng tăng, giảm điểm cực trị hàm số y =    + Câu Tính tích phân suy rộng I = x − 5x + e t t + 3dt   2 dx 16x + ( )  xy 5x − y  ; ( x , y )  ( 0,0 ) Câu Tính đạo hàm riêng hàm số: f ( x , y ) =  3x + y  ; ( x , y ) = ( 0,0 )  Câu Một doanh nghiệp độc quyền sản xuất loại sản phẩm hai sở khác với hàm chi phí cận biên sau (𝑄𝑖 , 𝑀𝐶𝑖 tương ứng lượng sản phẩm sản xuất chi phí cận biên sở 𝑖, 𝑖 = 1,2) Nhóm Tốn cao cấp Website Eureka! Uni Youtube Eureka! Uni https://fb.com/groups/toancaocap.neu https://eureka-uni.com https://www.youtube.com/c/EurekaUni Page 83 of 91 Trang Eureka Uni https://www.fb.com/EurekaUni.No1 𝑀𝐶1 = + 0,1𝑄1 ; 𝑀𝐶2 = + 0,08𝑄2 Doanh nghiệp bán sản phẩm thị trường với hàm cầu 𝑝 = 16 − 0,05𝑄, (𝑄 = 𝑄1 + 𝑄2 ) Tìm tổng sản lượng để doanh nghiệp tối đa hóa lợi nhuận Câu Sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange tìm cực trị hàm số 𝑤 = 𝑥 0,3 𝑦 0,7 thỏa mãn điều kiện 3𝑥 + 5𝑦 = 600, (𝑥, 𝑦 > 0) Câu Giải phương trình vi phân: (𝑥 − 3𝑦 + 1)𝑑𝑥 + (2𝑥 − 6𝑦 + 1)𝑑𝑦 = Hướng dẫn giải Câu (L ) 5x − 5x ln ln = lim = x →0 6x + sin x + cos x − x →0 + 2sin x cos x − sin x lim Câu f ( x ) = ( 3x + 1) ln 4x + = (3x + 1) ln ( 4x + 1) f ( ) = ln1 = 0; f  ( x ) = ln ( 4x + 1) + f  ( x ) = 6x + = ln ( 4x + 1) +  f  (0) = ( 3x + 1) 4x + 4x + −  f  ( ) = 4x + ( 4x + 1)2 f  ( x ) = − 24 ( 4x + 1) + 16 ( 4x + 1)  f  ( ) = −8 ( )  f ( x ) = 2x + 2x − x + o x 3 Câu MXĐ: D = y  = ( 2x − ) e x − 5x + (x ) − 5x + + x − 5x +  e t t + 3dt  x=   2x − =   x=   x − 5x + x =  y =0      x = t  e t + dt =  x =    x − 5x + − e  + = x − 5x + =     ( ) (dùng định lý giá trị trung bình,  giá trị nằm cận) Dấu y  theo dấu ( 2x − 5) ( x − 5x + ) Bảng dấu y  x − y Nhóm Tốn cao cấp Website Eureka! Uni Youtube Eureka! Uni − + − − + https://fb.com/groups/toancaocap.neu https://eureka-uni.com https://www.youtube.com/c/EurekaUni Page 84 of 91 Trang Eureka Uni https://www.fb.com/EurekaUni.No1 5   5 Từ bảng suy hàm số tăng  1;  ( 4; + ) , giảm ( −;1)  ;4  2   2 Hàm số có điểm cực đại xCD = điểm cực tiểu xCT = 1; xCT = Câu t I (t ) =  = t dx x 16x + = t dx x 16 + =− 1 x2     t d  16 +   t x  x  =−  = − 16 +  18 x 9 16 + 16 + d x x − 16 + 9 t 5 9 1 lim I (t ) = lim  − 16 +  = − 16 + = t →+ t →+ 9 t  9  + Vậy x dx 16x + 2 = Câu 5x y − 2xy Xét x + y  , f ( x ; y ) = 3x + y 2 (15x f  (x ; y ) = y − y )( 3x + y ) − 6x ( 5x y − 2xy ) ( 3x x ( 5x f  (x ; y ) = + y2) − 6xy )( 3x + y ) − y ( 5x y − 2xy ) y ( 3x + y2) = = 15x y + 21x y − y ( 3x +y2) 15x − 23x y − 2xy ( 3x + y2) Tại x = y = ta có: f x ( 0;0 ) = lim x →0 f ( x ;0 ) − f ( 0;0 ) 0−0 = lim = lim = x → x →0 x −0 x f ( 0; y ) − f ( 0;0 ) 0−0 = lim = lim = y →0 y →0 y x →0 y −0 f y ( 0;0 ) = lim Vậy: Nhóm Tốn cao cấp Website Eureka! Uni Youtube Eureka! Uni https://fb.com/groups/toancaocap.neu https://eureka-uni.com https://www.youtube.com/c/EurekaUni Page 85 of 91 Trang Eureka Uni https://www.fb.com/EurekaUni.No1 15x y + 21x y − y ;x + y   f x ( x ; y ) =  3x + y  x = y =0  ( ) ; 15x − 23x y − 2xy ; x2 + y2   f y ( x ; y ) =  3x + y  ; x = y =0  ( ) Câu TR = (16 − 0,05Q )Q = 16Q − 0,05Q = 16 (Q1 + Q ) − 0,05 (Q1 + Q ) Điều kiện cần:  11 − 0,2Q1 − 0,1Q = Q = 30 TRQ − MC = 16 − 0,1(Q1 + Q ) − − 0,1Q1 =    12 − 0,1Q1 − 0,18Q = Q = 50  TRQ − MC = 16 − 0,1(Q1 + Q ) − − 0,08Q = Điều kiện đủ a11 = Q = −0,2  0; a22 = Q = −0,18;a12 = a21 = Q Q = −0,1  D = a11a22 − a12a21 = 0,026  2 2 Nên (Q1 ;Q ) = ( 30;50 ) điểm cực đại hàm lợi nhuận Tổng sản lượng cần tìm Q = Q1 + Q = 30 + 50 = 80 Câu hàm Lagrange: L = x 0,3 y 0,7 +  ( 600 − 3x − 5y ) Điều kiện cần:  y 0,7 7x 0,3  = =  x = 60 Lx = 0,3x y − 3 = 10x 0,7 50 y 0,3   0,7   0,3 −0,3   y = 84  M ( 60;84 ) ;  = 0,1 (1, ) L y = 0,7x y − 5 =  7x = 5y   3x + 5y = 600  0,7  = 0,1 (1, ) L = 600 − 3x − 5y =   −0,7 0,7 Điều kiện đủ: g1 = 3; g = 5; L11 = −0,21x −1,3 y 0,7  0; L22 = −0,21x 0,3 y −1,7  L12 = L21 = 0,21x −0,7 y −0,3  0 3 L11 L21 L12 = 15L12 + 15L21 − 25L11 − 9L22  nên M điểm cực đại w L22 Vậy, ( x ; y ) = ( 60;84 ) điểm cực đại w Giá trị cực đại w CD = w ( 60;84 ) = 600,3.840,7 Câu Nhóm Tốn cao cấp Website Eureka! Uni Youtube Eureka! Uni https://fb.com/groups/toancaocap.neu https://eureka-uni.com https://www.youtube.com/c/EurekaUni Page 86 of 91 Trang Eureka Uni https://www.fb.com/EurekaUni.No1 dy x − 3y + ( NÕu 2x − y +  ) ( x − 3y + 1)dx + ( 2x − y + 1)dy =  = − dx ( x − 3y ) + Đặt z +1 dy  dx = − 2z + dz 3z + dz 5z + 2z + z = x − 3y    = 1+  =  dz = dx dx 2z + dx 2z + 5z +  dz = − dy dx dx ( nÕu 5z +  ) ( 5z + ) − 2z + dz = x + C   −  dz = x + C  dz = x + C     5 5z +  5z + 5z +  z − ln 5z + = x + C 25 Thay z = x − 3y vào ta tích phân tổng quát phương trình vi phân cho là: ( x − 3y ) − ln 5x − 15y + = x + C 25 Nhóm Tốn cao cấp Website Eureka! Uni Youtube Eureka! Uni https://fb.com/groups/toancaocap.neu https://eureka-uni.com https://www.youtube.com/c/EurekaUni TRANG QUẢNG CÁO Tại hạ, học không thay tên, học lại không đổi họ, cư dân mạng gọi LND9492 (a.k.a Hoàng Bá Mạnh)! Liên tục nhận đăng kí lớp học Online (trên Google Meet, Microsoft Teams) học phần đại cương Toán cao cấp cho nhà kinh tế (giải tích), Lý thuyết xác suất Thống kê toán, Kinh tế lượng (Cơ / Nâng cao) Đăng kí Facebook: https://www.fb.com/lnd9492 Số điện thoại: 0986.960.312 Slogan Chưa nghĩ ra! CHÚC CÁC BẠN HỌC TỐT! 🔺 KÊNH HỌC TẬP ONLINE FREE EUREKA! UNI: https://www.youtube.com/EurekaUni ▶ HỆ THỐNG GROUP THẢO LUẬN, HỎI ĐÁP CÁC MƠN HỌC: ✅ Group Tốn cao cấp: https://fb.com/groups/toancaocap.neu ✅ Group Xác suất thống kê: https://fb.com/groups/xacsuatneu ✅ Group Kinh tế lượng: https://fb.com/groups/kinhteluong.neu ✅ Group Kinh tế vi mô: https://fb.com/groups/microeconomics.neu ✅ Group Kinh tế vĩ mô: https://fb.com/groups/macroeconomics.neu 🔴 Fanpage Eureka! Uni: https://fb.com/eurekauni.no1 🔷 Website Eureka! Uni: https://eurekauni.wordpress.com ... ĐỀ CUỐI KÌ K61 1.1 Đề NT29_CLC_09/12/19_Ca 1.2 Đề LNT11_CLC_09/12/19 – Ca 1.3 Đề HVT14_CQ_10/12/19_Ca 1.4 Đề QTH17_CQ_10/12/19_Ca 1.5 Đề. .. 11 1.6 Đề HBQ26_CQ_10/12/19_Ca 14 ĐỀ CUỐI KÌ K60 18 2.1 Đề CLC19605 18 2.2 Đề EUII417 20 2.3 Đề DPM04_Ca ngày 21 2.4 Đề NPV_Ca... 2.5 Đề TVH13_Ca ngày 26 2.6 Đề TTT21_Ca ngày 29 2.7 Đề VNC28_Ca ngày 31 2.8 Đề LNT08_Ca ngày 32 2.9 Đề HHT41_Ca ngày 34 2.10 ĐỀ CUỐI KÌ