Tổng hợp công thức Toán cao cấp, toán cho các nhà kinh tế, đại học kinh tế quốc dânFile được xem miễn phí 100%, nếu các bạn thấy hay, có ích và muốn ủng hộ thì chọn mua giúp mình nhé. Hoặc liên hệ 0986960312 facebook Hoàng Bá Mạnh để được giảm giá 25% nha. Cảm ơn các bạn đã quan tâm.
Toán cao c p cho nhà kinh t Eureka! Uni NG I VI T: HOÀNG BÁ M NH Kênh h c t p tr c n T NG H P CÁC CƠNG TH C TỐN CAO C P NEU – Spring 2020 T NG H P CÔNG TH C TOÁN CAO C P I H C KINH T QU C DÂN Tài li u đ c vi t nh m giúp đ b n sinh viên tr ng kh i Kinh t nói chung sinh viên Kinh t Qu c d n nói riêng, h c mơn Tốn cao c p b ng giáo trình c a i h c Kinh t Qu c dân c bi t: Tài li u đ c xem mi n phí 100%, n u b n c m th y tài li u hay có ích hay chia s v i b n bè có th CH N MUA tài li u đ ng h , t o đ ng l c cho Chân thành c m n b n! Liên h 0986.960.312 ho c facebook Hoàng Bá M nh đ đ c gi m 25% giá bán nha! M i th c m c v l i gi i, c ng nh c n h tr v Toán cao c p, Xác su t th ng kê, Kinh t l ng, Kinh t vi mô, v mô,… quý b n đ c có th liên h v fanpage Eureka Uni đ đ c h tr gi i đáp nhanh s m nh t nhé! Chúc b n h c t t! Kí tên: Hồng Bá M nh M CL C CH NG HÀM S : GI I H N – LIÊN T C 1.1 Các d ng hàm s c p c b n – Mi n xác đ nh & Công th c bi n đ i 1.2 Hàm h p - Hàm l y th a m – Hàm c n – Hàm n 1.3 Hàm s Phân tích kinh t 1.4 Gi i h n hàm s t i m gi i h n m t phía 1.5 Gi i h n xác đ nh c b n (gi i h n c a hàm s c p s b n) 1.6 Gi i h n vô đ nh c b n 1.7 Tính gi i h n – Nhân liên h p 1.8 Tính gi i h n – s d ng Vơ bé t 1.9 Tính gi i h n – Quy t c k p ng đ ng 1.10 Tính gi i h n – Quy t c Lôpitan (L’Hospital’s Rule) 1.11 Tính gi i h n – D ng 1∞ ph 1.12 Hàm s liên t c – i u ki n liên t c CH NG 7: ng pháp Logarit hóa O HÀM – VI PHÂN 2.1 Công th c đ nh ngh a – o hàm m t phía 2.2 B ng đ o hàm 2.3 Quy t c tính đ o hàm o hàm c a hàm h p 2.4 o hàm c a hàm l y th a m & Hàm c n 2.5 Vi phân công th c tính x p x 2.6 o hàm vi phân c p cao 2.7 Công th c Taylor & Maclaurin 2.8 ng d ng đ o hàm: Kh o sát hàm s (t ng / gi m, c c tr ) 10 2.9 ng d ng vi phân: Giá tr c n biên H s co giãn 10 2.10 ng d ng c c tr : Bài toán t i u 11 CH NG 8: HÀM S NHI U BI N S 12 3.1 Công th c nh ngh a đ o hàm riêng c p 1, đ o hàm c p 12 3.2 Công th c o hàm riêng c a hàm h p 12 3.3 Công th c o hàm riêng c a hàm n 12 3.4 Hàm thu n nh t – Công th c Euler 12 3.5 Công th c Vi phân tồn ph n - 3.6 Phân tích Kinh t - Hàm thu n nh t Hi u qu s n xu t theo quy mô 13 3.7 Phân tích Kinh t - Các giá tr c n biên 13 3.8 Phân tích Kinh t - 3.9 Phân tích Kinh t - H s co dãn riêng 14 ng d ng tính x p x 13 ng m c t l thay c n th biên 14 CH NG 9: C C TR HÀM NHI U BI N 15 4.1 Tính đ nh th c 15 4.2 Quy trình gi i c c tr t (khơng u ki n) 15 4.3 Quy trình gi i c c tr Lagrange (c c tr ràng bu c) – Ý ngh a nhân t Lagrange 16 4.4 Phân tích Kinh t - C c tr t 17 4.5 Phân tích Kinh t - C c tr Lagrange 18 CH NG 10: TÍCH PHÂN 20 5.1 Nguyên hàm Tích phân b t đ nh 20 5.2 B ng nguyên hàm c b n 20 5.3 Tính tích phân – Tính b t bi n c a bi u th c vi phân 20 5.4 Tính tích phân – D ng phân th c: 5.5 Tính tích phân – D ng l 5.6 Tính tích phân – D ng c n th c: Các công th c bi n đ i 22 5.7 Tính tích phân – Cơng th c tích phân t ng ph n 22 5.8 Tích phân xác đ nh – Các công th c: thay c n, đ o c n, chèn c n 22 5.9 Tích phân xác đ nh – ng nh t th c t s 20 ng giác: Các công th c bi n đ i 21 nh lý giá tr trung bình 22 5.10 Tích phân xác đ nh – Các cơng th c Phân tích Kinh t 22 5.11 Tích phân suy r ng – Các b CH NG 11 PH c x lý 23 NG TRÌNH VI PHÂN 24 6.1 C p – Nghi m t ng quát & Tích phân t ng quát 24 6.2 C p – Ph ng trình vi phân tồn ph n 24 6.3 C p – Ph ng trình phân ly bi n (tách bi n) 24 6.4 C p – Các phép đ t n đ a v phân ly bi n 24 6.5 C p – Ph ng trình n tính thu n nh t & Cơng th c nghi m t ng quát 24 6.6 C p – Ph ng trình n tính t ng quát & Công th c nghi m t ng quát 24 6.7 C p – Ph ng trình Bernoulli 25 1|Page Trang Eureka Uni CH https://www.fb.com/EurekaUni.No1 NG HÀM S : GI I H N – LIÊN T C 1.1.Các d ng hàm s c p c b n – Mi n xác đ nh & Công th c bi n đ i MX Hàm Công th c c n nh = = (0; + ) = = = =( 0< ( ) = ) = log = ln ln = ln = ln log log 0< (0; + ) ln ln + ln ln ln = ln( ) = ln sin + cos = sin( ) = sin sin( + ) = sin = cos sin = sin cos cos sin = + cos sin + sin = sin 2 + sin sin = cos sin 2 ) sin( ± = sin cos ± sin cos sin sin sin cos + cos = cos( ) = cos cos( + ) = cos Groups Toán Cao C p Website Eureka! Uni Youtube Eureka! Uni https://www.fb.com/groups/toancaocap.neu https://eureka-uni.com https://www.youtube.com/c/EurekaUni 2|Page Trang Eureka Uni https://www.fb.com/EurekaUni.No1 cos = sin cos = cos sin + cos cos = + cos cos + cos = cos 2 + cos cos = sin sin 2 cos( ± ) = cos cos sin sin sin cos tan( ) = tan tan ± tan tan( ± ) = tan tan tan \ tan cot + \{ = cos = sin tan cot( ) = cot cot } = sin(arcsin ) = [ 1; 1] arcsin arcsin + arccos = cos(arccos ) = arccos [ 1; 1] arcsin + arccos = arctan arccot 1.2.Hàm h p - Hàm l y th a m – Hàm c n – Hàm n Hàm h p Hàm l y th a m Hàm c n Hàm c n h p = ( ); = ( ) = = ( ), = ( ) ( ) = = ( ) = ( ) ( ) = ( ) Hàm n = ( ) Hàm n = ( , ) Groups Toán Cao C p Website Eureka! Uni Youtube Eureka! Uni = n ph n ph ng trình ( , ) = ng trình ( , , ) = https://www.fb.com/groups/toancaocap.neu https://eureka-uni.com https://www.youtube.com/c/EurekaUni 3|Page Trang Eureka Uni https://www.fb.com/EurekaUni.No1 1.3.Hàm s Phân tích kinh t 1.3.1 Ph n hàm bi n = ( ) Hàm c u = ( ) hàm c u ng c = ( ) Hàm cung = ( ) hàm cung ng c = ( ) Hàm s n xu t = s đ n v lao đ ng Hàm t ng doanh thu Ti n thu v bán / s n xu t Hàm t ng chi phí T ng ti n b s n xu t s n ph m s n ph m Hàm chi phí bi n đ i Hàm chi phí c đ nh = Hàm l i nhu n S n ph m c n biên c a lao đ ng t ng thêm ph n t ng đ n v Doanh thu c n biên Ph n doanh thu t ng thêm bán / s n xu t Chi phí c n biên Ph n chi phí t ng thêm s n xu t Tính cho đ n v s n l = Doanh thu trung bình = Chi phí trung bình Tính cho đ n v = Chí phí bi n đ i trung bình Tính cho đ n v = Chi phí c đ nh trung bình Tính cho đ n v ng 1.3.2 Ph n hàm nhi u bi n ( , ) Hàm s n xu t dài h n s đ n v v n (t b n) S n ph m c n biên c a lao đ ng = S n ph m c n biên c a t b n = = Hàm chi phí s n xu t = Groups Toán Cao C p Website Eureka! Uni Youtube Eureka! Uni ng đ ng s n l giá thuê t b n, lao đ ng , ( , )= ng + bi u di n k t h p ( , ) cho m c s n l ng https://www.fb.com/groups/toancaocap.neu https://eureka-uni.com https://www.youtube.com/c/EurekaUni 4|Page Trang Eureka Uni = + ng ngân sách ng đ ng chi phí) (đ ( , ) https://www.fb.com/EurekaUni.No1 = : ngân sách s n xu t , l nl Hàm l i ích tiêu dùng t s đ n v hàng hóa A, B L i ích c n biên c a hàng hóa A = L i ích c n biên c a hàng hóa B = = Chi phí tiêu dùng , ( , )= = ng bàng quan = ng ngân sách ng đ ng chi phí) (đ + giá hàng hóa A, B bi u di n túi hàng ( , ) cho m c l i ích + = : thu nh p cho tiêu dùng Hàm t ng doanh thu = + Hàm t ng chi phí ( Hàm l i nhu n = , + , ) 1.4.Gi i h n hàm s t i m gi i h n m t phía lim f ( x ) t n t i nh t b ng x → x0 ⇔ lim− f ( x ) = lim+ f ( x ) = L x → x0 x → x0 bao g m: (1) r tg n (2) bao g m: (1) r tg n (2) < bao g m: (1) r tg n (2) > 1.5.Gi i h n xác đ nh c b n (gi i h n c a hàm s c p s b n) Hàm MX Công gi i h n c n nh lim+ xα = ; x →0 >0 (0; + ) lim x −α = +∞ ; x → 0+ lim e x = ; x →−∞ lim e − x = +∞ ; >1 log >1 sin Groups Toán Cao C p Website Eureka! Uni Youtube Eureka! Uni x →−∞ (0; + ) lim ln x = −∞ ; x → 0+ lim xα = +∞ x →+∞ lim x −α = x →+∞ lim e x = +∞ x →+∞ lim e − x = x →+∞ lim ln x = +∞ x →+∞ Không t n t i gi i h n https://www.fb.com/groups/toancaocap.neu https://eureka-uni.com https://www.youtube.com/c/EurekaUni 5|Page Trang Eureka Uni https://www.fb.com/EurekaUni.No1 ( lim sin x ,… không t n t i) cos x →∞ \ tan \{ cot + } arcsin [ 1; 1] arccos [ 1; 1] lim arcsin x = ± x →±1 lim arccos x = π ; π lim arccos x = x →−1 x →1 lim arctan x = ± arctan x →±∞ lim arccot x = π ; arccot π lim arccot x = x →−∞ x →+∞ 1.6.Gi i h n vô đ nh c b n D ng vô đ nh: Kéo theo D ng g c D ng hàm h p D ng tan x arcsin x = ; lim =1 x →0 x →0 x x sin x lim =1 x →0 x lim sin u =1 u lim tan u arcsin u = ; lim =1 x → u u u →0 lim u →0 D ng lim (1 + u ) u = e ln (1 + x ) x lim =1 1 x →0 lim 1 + = e x x →∞ x ex −1 =1 lim lim (1 + x ) x = e x →0 x x →0 u →0 lim u →0 ln (1 + u ) =1 u eu − u →0 u lim 1.7.Tính gi i h n – Nhân liên h p ( ) ( ):( )( + ) = ( ) ( ):( )( u −3 v= ( ) ( u −w − + lim u ( x )= ⇔ u ( x ) đ Groups Toán Cao C p Website Eureka! Uni Youtube Eureka! Uni ng s làm m t c n b c , l p ph )= ng làm m t c n b c ) v − w : thêm b t đ nhân liên h p t ng ph n 1.8.Tính gi i h n – s d ng Vô bé t x → x0 + , bình ph ng đ ng c g i vô bé https://www.fb.com/groups/toancaocap.neu https://eureka-uni.com https://www.youtube.com/c/EurekaUni 6|Page Trang Eureka Uni u ( x) = u ( x ) ( ) g i t x → x0 v ( x ) ng đ lim https://www.fb.com/EurekaUni.No1 ng nhau, kí hi u ( )~ ( ) u ( x) u ( x) v i ( )~ = lim x → x0 v ( x ) x → x0 v ( x ) ( ) ( )~ ( ) Áp d ng tính gi i h n lim Các c p vơ bé t ng đ Nhóm ng th ng dùng D ng g c, L ng giác L ng giác ng c sin ~ ; tan ~ ; arcsin ~ (1 cos )~ sin ~ ; tan ~ ; arcsin ~ (1 cos )~ Loga ln(1 + ) ~ ln(1 + ) ~ M ( ( L y th a ( 1)~ )~ + + D ng hàm h p, ( 1)~ )~ + + Chú ý o Hãy ch c ch n bi u th c ( ) b n mu n thay VCB, t c ( ) o Vi t bi u th c v d ng (công th c) tr i m i thay đ tránh sai sót o Xét d ng VCB, c n xét t phép tốn ngồi vào o Ch nên áp d ng t ng đ ng cho bi u th c d ng nhân, đ tránh nh m l n 1.9.Tính gi i h n – Quy t c k p Tích c a m t vơ bé v i m t hàm b ch n, có gi i h n b ng 0, c th : N u: lim f ( x ) = g ( x ) ≤ M lim f ( x ) g ( x ) = x → x0 1.10 x → x0 Tính gi i h n – Quy t c Lôpitan (L’Hospital’s Rule) lim x → x0 f ( x) f ′( x) = lim g ( x ) x → x0 g ′ ( x ) dùng v i d ng , Chú ý ( ) o Thêm kí hi u ( ) ho c ( ) vào d u b ng, nh = , đ d nh n bi t o o hàm xong c n thay vào bi u th c xem h t vô đ nh ch a? o N u c n, có th k t h p VCB t 1.11 Tính gi i h n – D ng 1∞ ph ng đ ng đ đ o hàm cho đ n gi n ng pháp Logarit hóa 1.11.1 D ng L = lim f ( x ) x → x0 g( x) (1 ) e quy t c lim u ( x ) Bi n đ i s d ng tr c ti p lim (1 + u ) u = u →0 x → x0 Groups Toán Cao C p Website Eureka! Uni Youtube Eureka! Uni v( x ) ( = lim u ( x ) x → x0 ) lim v ( x ) x→ x0 https://www.fb.com/groups/toancaocap.neu https://eureka-uni.com https://www.youtube.com/c/EurekaUni 12 | P a g e Trang Eureka Uni CH NG 8: HÀM S https://www.fb.com/EurekaUni.No1 NHI U BI N S 3.1.Công th c nh ngh a đ o hàm riêng c p 1, đ o hàm c p 3.1.1 C p = ( , ) xác đ nh , xét ( , ) f x′ ( x0 , y0 ) = lim x → x0 f ( x, y0 ) − f ( x0 , y0 ) x − x0 o hàm riêng theo bi n Kí hi u khác w′x ( x0 , y0 ) ; t i( , f x′ ( x0 , y0 ) = lim x → x0 ) f ( x, y0 ) − f ( x0 , y0 ) x − x0 o hàm riêng theo bi n ∂w ( x0 , y0 ) ∂x w′y ( x0 , y0 ) ; t i( , ) ∂w ( x0 , y0 ) ∂y 3.1.2 C p o hàm riêng c p theo , t i m ( , f x′′2 ( x0 , y0 ) = lim x → x0 f x′ ( x, y0 ) − f x′ ( x0 , y0 ) x − x0 Các đ o hàm h n h p (chéo) c p t i ( , f xy′′ ( x0 , y0 ) = lim y → y0 f x′ ( x0 , y ) − f x′ ( x0 , y0 ) y − y0 w′′x2 = Các kí hi u khác ∂2w ∂x w′′y = ) kí hi u xác đ nh l n l t là: f y′ ( x0 , y ) − f y′ ( x0 , y0 ) f y′′2 ( x0 , y0 ) = lim y − y0 y → y0 ) là: f yx′′ ( x0 , y0 ) = lim f y′ ( x, y0 ) − f x′ ( x0 , y0 ) x − x0 x → x0 ∂2w ∂y w′′xy = ∂2w ∂x∂y w′′yx = ∂2w ∂y∂x 3.2.Công th c o hàm riêng c a hàm h p 3.2.1 D ng ( ); = ( , ) f ( u ) ′ x = u ′x f ′ ( u ) ∂f ∂u df = × ∂x ∂x du f ( u ) ′ y = u ′y f ′ ( u ) ∂f ∂u df = × ∂y ∂y du 3.2.2 D ng ( , ); = ( , ); = ( , ) f ( u , v )= ′ x u ′y fu′ + v′y f v′ f ( u , v )= ′ x u′x fu′ + v′x f v′ 3.3.Công th c o hàm riêng c a hàm n 3.3.1 D ng = ( ) n ph ng trình ( , ) = F′ y′′ = ( y′ )′ y′ = − x ′ Fy Tính ( ) b ng cách thay = ph ng trình xác đ nh, ta đ ( , )= c th a mãn, ( ) Gi i ta thu đ c nh t giá tr c a 3.3.2 D ng = ( , ) n ph ng trình ( , , ) = F′ F′ z ′y = − y z ′x = − x Fz′ Fz′ 3.4.Hàm thu n nh t – Công th c Euler Groups Toán Cao C p Website Eureka! Uni Youtube Eureka! Uni https://www.fb.com/groups/toancaocap.neu https://eureka-uni.com https://www.youtube.com/c/EurekaUni 13 | P a g e Trang Eureka Uni https://www.fb.com/EurekaUni.No1 3.4.1 Hàm thu n nh t b c ( , ) hàm thu n nh t b c n u t n t i s > th a mãn ( , ) = ( , ) Ví d : ( , ) = ln ln hàm thu n nh t b c = v i m i > ta ln có: ( , ) = ln( ) ln( ) = ln ln = ( , ) = 3.4.2 Công th c Euler ( , )= ( , ) l y đ o hàm hai v theo , ta đ c: ( , Thay = ta đ )+ ( , ( , ) c công th c Euler ( , )+ 3.5.Cơng th c Vi phân tồn ph n - 3.5.1 Vi phân toàn ph n = ( , ) = = ( , , ) + + = ng d ng tính x p x ( , ) ( , )= ( , ) ng d ng tính x p x = 3.5.2 )= ( , ) + + + + ( , )= ( , ) + ( , ) ( , )+ ( , ) + ; + ) 3.6.Phân tích Kinh t - Hàm thu n nh t Hi u qu s n xu t theo quy mô ( = ( , ) Hàm s n xu t dài h n Sau t ng quy mô lên > l n, s n l ng t ng ng = ( , ) Doanh nghi p g i có hi u qu s n xu t: o T ng theo quy mô > o Không đ i theo quy mô = o Gi m theo quy mô < 3.7.Phân tích Kinh t - Các giá tr c n biên 3.7.1 Ng i s n xu t = ( , ) S n ph m c n biên theo lao đ ng Ý ngh a: không đ i, = đ n v lao đ ng S n ph m c n biên theo t b n Ý ngh a: không đ i, đ nv s nl ng đ nv s nl ng = đ n v lao đ ng T ng quát h n, ta có thay đ i tồn ph n c a = c , thay đ i là: + 3.7.2 Ng i tiêu dùng = ( , ) L i ích c n biên c a hàng hóa th nh t Ý ngh a: Groups Toán Cao C p Website Eureka! Uni Youtube Eureka! Uni không đ i, 1đ nv = đ n v l i ích https://www.fb.com/groups/toancaocap.neu https://eureka-uni.com https://www.youtube.com/c/EurekaUni 14 | P a g e Trang Eureka Uni L i ích c n biên c a hàng hóa th hai khơng đ i, Ý ngh a: 3.8.Phân tích Kinh t 3.8.1 Ng i s n xu t = 1đ nv đ n v l i ích ng m c t l thay c n th biên ng đ ng s n l ( , )= ng dL MPPK MRTS− = = dK MPPL T l thay th k thu t c n biên 3.8.2 Ng https://www.fb.com/EurekaUni.No1 i tiêu dùng ng đ ng l i ích ( , )= dy MU x MRS = − = dx MU y T l thay th c n biên 3.9.Phân tích Kinh t - H s co dãn riêng 3.9.1 Công th c chung v i hàm = ( , ) ε= x ∂z x × ∂x z khơng đ i, 1% thay đ i x p x | | % ε= y ∂z y × ∂y z khơng đ i, 1% thay đ i x p x % 3.9.2 M t s co giãn riêng có th g p Hàm s n xu t = ( , ) εK = ∂Q K K × = MPPK × Q ∂K Q εL = ∂Q L L × = MPPL × ∂L Q Q D ng Cobb-Douglas = Q AK α Lβ , ( < A;0 < α , β < 1) có co giãn đ u vào khơng đ i εK = α Hàm l i ích = ( , ) x U Hàm c u theo thu nh p giá = ε x MU x × εp = Groups Toán Cao C p Website Eureka! Uni Youtube Eureka! Uni εL = β ∂Qd p × ∂p Qd = ε y MU y × y U = ( , ) εY = ∂Qd Y × ∂Y Qd https://www.fb.com/groups/toancaocap.neu https://eureka-uni.com https://www.youtube.com/c/EurekaUni 15 | P a g e Trang Eureka Uni CH https://www.fb.com/EurekaUni.No1 NG 9: C C TR HÀM NHI U BI N 4.1.Tính đ nh th c Tính đ nh th c c p D2 = a11 a12 = a11a22 − a12a21 (hi u tích chéo) a21 a22 Vi t thêm c t u tiên Tính đ nh th c c p a11 a12 a13 D = a21 a22 a23 a31 a32 a33 = (a11.a22.a33 + a12.a23.a31 + a13.a21.a32) – (a31.a22.a13 + a32.a23.a11 + a33.a21.a12) Tích chéo d u+ Tích chéo xanh d u - Ho c tính theo ph ng pháp khai tri n -Theo m t dòng đó, ví d theo dòng a22 a23 a23 a22 1+ a21 1+ a21 + a12 ( −1) + a13 ( −1) a32 a33 a31 a33 a31 a32 D = a11 ( −1) 1+1 -Theo m t c t đó, ví d theo c t D = a11 ( −1) 1+1 Ph a22 a23 a13 a13 +1 a12 3+1 a12 + a21 ( −1) + a31 ( −1) a32 a33 a32 a33 a22 a23 ng pháp khai tri n có th dùng cho c đ nh th c c p tr lên! 4.2.Quy trình gi i c c tr t (không u ki n) 4.2.1 Hàm hai bi n = ( , ) B c 1: MX B c 2: i u ki n c n =0 =0 B = = ( , ) (có th có nhi u nghi m, xét đ i di n) c 3: i u ki n đ D u ′′x2 u ′′y − u ′′xy u ′′yx xét t i m d ng Tính u ′′x2 = D > u ′′x2 > m c c ti u c a D > u ′′x2 < m c c đ i c a Groups Toán Cao C p Website Eureka! Uni Youtube Eureka! Uni ( , ), n u: https://www.fb.com/groups/toancaocap.neu https://eureka-uni.com https://www.youtube.com/c/EurekaUni 16 | P a g e Trang Eureka Uni không ph i m c c tr c a D 0, > 0, >0 m c c ti u c a < 0, > 0, 0 m c c đ i c a v i u ki n ( , ) = | |0>0 H iv t ng (đ n v c a ) ∂Qm B B × =λ × Qm ∂B Qm t ng t ng 1% đ nv s nl t ng x p x ng % (2) T i thi u hóa chi phí s n xu t c a doanh nghi p Bài cho Yêu c u Tìm ( , ) đ t i thi u chi phí s n xu t = ( , ) , m c s n l ng n đ nh t ng đ n v / ho c 1% thay đ i? X lý ′ ′′ Kí hi u: = QK f= f L′= ; QKK f K′′= f L′′2= ; QKL f KL ; QLL K ; QL B c Hàm m c tiêu B c Tìm ( , ) t h ph Thu đ B c = ( , = + u ki n ( , ) = ng trình u ki n c n , ) c Ki m tra u ki n đ = ( , = = ( , )= , ) hàm c u Hick >0 H iv Groups Toán Cao C p Website Eureka! Uni Youtube Eureka! Uni https://www.fb.com/groups/toancaocap.neu https://eureka-uni.com https://www.youtube.com/c/EurekaUni 19 | P a g e Trang Eureka Uni o λ= o= ε ∂Cm ∂Q0 t ng đ n v s n l ∂Cm Q0 × ∂Q0 Cm (3) T i đa l i ích ng t ng 1% https://www.fb.com/EurekaUni.No1 t ng ng t ng x p x đ n v chi phí % i tiêu dùng Bài cho = ( , , Yêu c u ) ) đ t i đa l i ích tiêu dùng Tìm ( , t ng đ n v / ho c 1% ngân sách tiêu dùng thay đ i? X lý ′ ′ ′′ ;U 22 U= ′′ ;U12 U x′′1x2 Kí hi = u: U1 U= U= U= x1 ; U x2 ; U11 x2 x2 B c Hàm m c tiêu ( , B c Tìm ( , Thu đ c = ) u ki n ) t h ph ( , = = ng trình u ki n c n ) , + B c Ki m tra u ki n đ o λ= ∂U m ∂m o ε= = ( , , = + = ) hàm c u Marshall >0 H iv t ng (đ n v c a ∂U m m m λ× × = ∂m U m Um t ng ) t ng 1% đ n v l i ích t ng x p x % (4) T i thi u hóa chi phí tiêu dùng Bài cho = ( , Yêu c u ) m c l i ích c đ nh , ) đ t i thi u chi phí tiêu dùng Tìm ( , t ng đ n v / ho c 1% thay đ i? X lý ′ ′ ′′ ;U 22 U= ′′ ;U12 U x′′1x2 Kí hi = u: U1 U= U= U= x1 ; U x2 ; U11 x2 x2 B c Hàm m c tiêu B c Tìm ( , ) t h ph Thu đ c = ( , = , u ki n ( , + ng trình u ki n c n ) B c Ki m tra u ki n đ λ= ∂Cm ∂U = ( , , = ( , )= = )= ) hàm c u Hick >0 H iv o o= ε ∂Cm U × ∂U Cm Groups Toán Cao C p Website Eureka! Uni Youtube Eureka! Uni t ng đ n v l i ích t ng 1% t ng t ng x p x đ n v chi phí % https://www.fb.com/groups/toancaocap.neu https://eureka-uni.com https://www.youtube.com/c/EurekaUni 20 | P a g e Trang Eureka Uni CH https://www.fb.com/EurekaUni.No1 NG 10: TÍCH PHÂN 5.1.Nguyên hàm Tích phân b t đ nh ( )= ( ) ( )đ c g i m t nguyên hàm c a ( ) ( )+ v i s th c b t kì, c ng nguyên hàm c a ( ) đ ) dx ∫ f ( x= c g i h nguyên hàm hay nguyên hàm t ng quát c a ( ) F ( x ) + C g i tích phân b t đ nh c a ( ) vi phân c a bi n s bi u th c d ( ) ( ) hàm d i d u tích phân i d u tích phân (c ng vi phân c a nguyên hàm ( )) 5.2.B ng nguyên hàm c b n ∫ dx= x + C α = ∫ x dx α +1 x +C α +1 m a dx ∫= x dx ∫ x= x a +C ln a ∫ e dx= ln x + C dx ∫ ax + b= ln ax + b + C a 1 x arctan + C a a dx ∫ += x ∫ ∫ arctan x + C x x +b ex + C = dx arcsin x + C − x2 x m = x n có th đ a v d ng đ x lý n bi u th c dx ∫ a= +x ∫ x = dx arcsin + C a a2 − x2 dx= ln x + x + b + C v i − = cos + x ∫ sin xdx C ln + cos x ∫ tan− xdx = C xdx ∫ cos = sin x + C 10 = xdx ∫ cot ln sin x + C 11 5.3.Tính tích phân – Tính b t bi n c a bi u th c vi phân = = ( + )= 5.4.Tính tích phân – D ng phân th c: Groups Toán Cao C p Website Eureka! Uni Youtube Eureka! Uni ( ) = [ ( )] = ( ) ng nh t th c t s https://www.fb.com/groups/toancaocap.neu https://eureka-uni.com https://www.youtube.com/c/EurekaUni 21 | P a g e Trang Eureka Uni I1 = ∫ https://www.fb.com/EurekaUni.No1 dx ax + bx + c Xét s nghi m c a đa th c d im u dx = I1 ∫ + o nghi= m a ( x − x1 )( x − x2 ) o vô nghi m a x + b1 I ∫+ 21 dx = = ax + bx + c P ( x) = = I ∫ +n dx ax + bx + c I4 = x − x1 ln a ( x1 − x2 ) x − x2 dx = = I1 ∫ + a ( x − x0 ) + aM ∫ ax a x+b ∫ P ( x ) dx ∫ ax + bx + c dx n−2 A dx +∫ dx ∫ ∫ ( dx = dx + e ax + e ) ( ax + bx + c ) , , I1 = ∫ sin m x cos n dx x − x0 arctan a M M C ( ) đa th c b c 2ax + b M dx N ∫ dx ax + bx + c + bx + c 5.5.Tính tích phân – D ng l C v i Bx + C dx + bx + C tìm theo đ ng nh t th c ng giác: Các công th c bi n đ i , o C sin , cos đ u m ch n dùng sin a = o Còn l i, đ t I2 = ∫ − cos 2a + cos 2a cos a = đ h v b c1 2 = sin n u m l = cos n u m l , l u ý: sin = + tan x cos x ch n đ t = tan , l u ý: o l đ t = sin , l u ý: sin I3 = ∫ dx sin m x I4 = ∫ dx a cos x + b sin x + c I5 = ∫ =1 dx cos m x o o + cos , xét t t = tan , lúc dx = + cos =1 ng t nh trên, nh ng đ t: = cot = cos 2t 1− t2 ; ; sin x = dt = x cos 2 1+ t 1+ t2 1+ t m cos x + n sin x + p dx a cos x + b sin x + c Groups Toán Cao C p Website Eureka! Uni Youtube Eureka! Uni https://www.fb.com/groups/toancaocap.neu https://eureka-uni.com https://www.youtube.com/c/EurekaUni 22 | P a g e Trang Eureka Uni o Tách thành: https://www.fb.com/EurekaUni.No1 m cos x + m sin x + p A ( −a sin x + b cos x ) + B ( a cos x + b sin x + c ) + C = a cos x + b sin x + c a cos x + b sin x + c o Tìm , , b ng cách dùng đ ng nh t th c 5.6.Tính tích phân – D ng c n th c: Các công th c bi n đ i ax + b đ t = D ng a2 − x2 đ t = sin ; D ng a2 + x2 đ t = tan ; D ng x2 − a2 đ t = D ng D ng n I =∫ ax + bx + c + + , dx 0 bi n đ i v cơng th c (7) 5.7.Tính tích phân – Cơng th c tích phân t ng ph n = t t = { ( ), ln , ln( ={ , , sin ) , ln( + )} } , cos 5.8.Tích phân xác đ nh – Các công th c: thay c n, đ o c n, chèn c n ( ) = ( ) ( ) = ( ) = = ( ) ( ) v i ( )= ( ) ( ) ( ) + 5.9.Tích phân xác đ nh – ∫ f ( x ) dx= ( b − a ) f (ε ) b a v i ( ) xác đ nh ( ) nh lý giá tr trung bình n m gi a 5.10 Tích phân xác đ nh – Các cơng th c Phân tích Kinh t 5.10.1 Tìm m t s nguyên hàm kinh t TR ( Q ) = ∫ MR ( Q ) dQ TR ( ) = ho c dùng ( )= ( ) TC ( Q ) = ∫ MC ( Q ) dQ TC ( ) = FC ho c dùng ( )= ( ) Q ( L ) = ∫ MPPL dL Q(L = 0= ) Groups Toán Cao C p Website Eureka! Uni Youtube Eureka! Uni + https://www.fb.com/groups/toancaocap.neu https://eureka-uni.com https://www.youtube.com/c/EurekaUni 23 | P a g e Trang Eureka Uni https://www.fb.com/EurekaUni.No1 5.10.2 Tính th ng d tiêu dùng, th ng d s n xu t Th ng d tiêu dùng = CS −∫ D −1 ( Q ) dQ Q0 Trong đó: Th ng d s n xu t : giá l , = = PS p0Q0 − ∫ S −1 ( Q ) dQ Q0 p0Q0 ng cân b ng ( ) ( ): đ = = ( ) ( ): đ = Tích phân suy r ng – Các b 5.11 D ng suy r ng ∫ +∞ ∫ b ∫ +∞ theo (đ ng c u ng ng cung d ng rút theo (đ ng cung ng c Tính: B t →+∞ f ( x ) dx I ( t ) = ∫ f ( x ) dx t →−∞ f ( x ) dx I ( t ) = ∫ f ( x ) dx t →+∞ N u t a b t t −t c Tính: lim I ( t ) lim I ( t ) lim I ( t ) = L h u h n ⇒ tích phân suy r ng h i t lim I ( t ) = ∞ ho c khơng t n t i ⇒ tích phân suy r ng phân kì t →+∞ t →+∞ Groups Toán Cao C p Website Eureka! Uni Youtube Eureka! Uni c) lim I ( t ) I ( t ) = ∫ f ( x ) dx −∞ c) c x lý f ( x ) dx a −∞ B ng c u d ng rút https://www.fb.com/groups/toancaocap.neu https://eureka-uni.com https://www.youtube.com/c/EurekaUni 24 | P a g e Trang Eureka Uni CH NG 11 PH https://www.fb.com/EurekaUni.No1 NG TRÌNH VI PHÂN 6.1.C p – Nghi m t ng quát & Tích phân t ng quát ( , , , Gi i ph )=0 , ph ng trình vi phân = bi n đ i + tính tích phân nghi m t ng quát o = ( ) ( , )= o ta có th coi o 6.2.C p – Ph ( , ) + ( , ) (rút đ c k t qu : c bi n n theo bi n kia) = ( ) đ gi i d ng hàm n) ( hàm, bi n) = (*) ng trình vi phân tồn ph n, v trái (*) vi phân toàn ph n c a hàm c xác đ nh b i công th c: ( , )= ( , ) 6.3.C p – Ph ( , ) + ) tùy ch n MX c a ( ) thu đ ng trình vi phân tồn ph n ( , ) đ ( , ng, c p tích phân t ng quát (Nghi m t n t i (*) ph s ng trình vi phân th ( , = ) + ( , ) ( , ) cho tính tích phân thu n ti n nh t ( , ) ng trình phân ly bi n (tách bi n) = ( ) L y tích phân tích phân v tính tích phân b t đ nh thu đ c k t qu 6.4.C p – Các phép đ t n đ a v phân ly bi n = ( , ) t v i ( , )= = = = Thay l i ph ng trình ta đ + 6.5.C p – Ph c ph 1, = + ng trình tách bi n: = ( ) = + ( ) ng trình n tính thu n nh t & Công th c nghi m t ng quát + ( ) = (1) ( ) = 6.6.C p – Ph ( ) nghi m t ng quát c a ph ng tình (1) ng trình n tính t ng qt & Cơng th c nghi m t ng quát + ( ) = ( ) (2) = + ( ) nghi m t ng quát c a ph ( )= ( ) nghi m t ng quát c a thu n nh t liên k t v i (2) nghi m riêng, tìm theo ph Groups Tốn Cao C p Website Eureka! Uni Youtube Eureka! Uni ng trình (2), đó: ng pháp bi n thiên h ng s , = ( ) ( ) https://www.fb.com/groups/toancaocap.neu https://eureka-uni.com https://www.youtube.com/c/EurekaUni 25 | P a g e Trang Eureka Uni https://www.fb.com/EurekaUni.No1 (v i ( ) bi u th c ch a bi n , thay đ i theo , khơng h ng s n a) Ho c áp d ng công th c nghi m t ng quát sau đ gi i = 6.7.C p – Ph × ( ) ( ) ng trình Bernoulli + ( ) = Xét ( ) ( ) (3) = chia hai v cho đ đ a (3) v d ng n tính t ng quát b ng cách đ t: = ( )= Sau thu đ c ph ng trình theo ph Cu i cùng, thay = ph ng trình (3) Groups Tốn Cao C p Website Eureka! Uni Youtube Eureka! Uni = (1 ) ng trình n tính t ng qt v i bi n + (1 Gi i ph ; ) ( ) = (1 ) ( ) ng pháp bi n thiên h ng s , thu đ vào k t qu trên, ta đ c = ( ) c nghi m t ng quát / tích phân t ng quát c a https://www.fb.com/groups/toancaocap.neu https://eureka-uni.com https://www.youtube.com/c/EurekaUni TRANG QU NG CÁO T i h , h c không thay tên, h c l i không đ i h , c dân m ng g i LND9492 (a.k.a Hoàng Bá M nh)! Liên t c nh n đ ng kí l p h c Online (trên Google Meet, Microsoft Teams) h c ph n đ i c ng nh Toán cao c p cho nhà kinh t (gi i tích), Lý thuy t xác su t Th ng kê toán, Kinh t l ng (C b n / Nâng cao) ng kí Facebook: https://www.fb.com/lnd9492 S n tho i: 0986.960.312 Slogan Ch a ngh ra! -KÊNH H C T P ONLINE FREE EUREKA! UNI: https://www.youtube.com/EurekaUni H TH NG GROUP TH O LU N H I ĐÁP CÁC MƠN H C Group Tốn cao c p https://fb.com/groups/toancaocap.neu Group Xác su t th ng kê https://fb.com/groups/xacsuatneu Group Kinh t l ng https://fb.com/groups/kinhteluong.neu Group Kinh t vi mô: https://fb.com/groups/microeconomics.neu Group Kinh t vĩ mô: https://fb.com/groups/macroeconomics.neu Fanpage c a Eureka Uni https://fb.com/eurekauni.no1 Website Eureka Uni https://eurekauni.wordpress.com ... TỐN CAO C P I H C KINH T QU C DÂN Tài li u đ c vi t nh m giúp đ b n sinh viên tr ng kh i Kinh t nói chung sinh viên Kinh t Qu c d n nói riêng, h c mơn Tốn cao c p b ng giáo trình c a i h c Kinh. .. Google Meet, Microsoft Teams) h c ph n đ i c ng nh Toán cao c p cho nhà kinh t (gi i tích), Lý thuy t xác su t Th ng kê toán, Kinh t l ng (C b n / Nâng cao) ng kí Facebook: https://www.fb.com/lnd9492... MÔN H C Group Toán cao c p https://fb.com/groups/toancaocap.neu Group Xác su t th ng kê https://fb.com/groups/xacsuatneu Group Kinh t l ng https://fb.com/groups/kinhteluong.neu Group Kinh t vi mô: