Eureka.Uni Tổng hợp công thức toán cao cấp đại học kinh tế quốc dân

Tổng hợp công thức Toán cao cấp, toán cho các nhà kinh tế, đại học kinh tế quốc dânFile được xem miễn phí 100%, nếu các bạn thấy hay, có ích và muốn ủng hộ thì chọn mua giúp mình nhé. Hoặc liên hệ 0986960312 facebook Hoàng Bá Mạnh để được giảm giá 25% nha. Cảm ơn các bạn đã quan tâm.

Toán cao c p cho nhà kinh t Eureka! Uni NG I VI T: HOÀNG BÁ M NH Kênh h c t p tr c n T NG H P CÁC CƠNG TH C TỐN CAO C P NEU – Spring 2020 T NG H P CÔNG TH C TOÁN CAO C P I H C KINH T QU C DÂN Tài li u đ c vi t nh m giúp đ b n sinh viên tr ng kh i Kinh t nói chung sinh viên Kinh t Qu c d n nói riêng, h c mơn Tốn cao c p b ng giáo trình c a i h c Kinh t Qu c dân c bi t: Tài li u đ c xem mi n phí 100%, n u b n c m th y tài li u hay có ích hay chia s v i b n bè có th CH N MUA tài li u đ ng h , t o đ ng l c cho Chân thành c m n b n! Liên h 0986.960.312 ho c facebook Hoàng Bá M nh đ đ c gi m 25% giá bán nha! M i th c m c v l i gi i, c ng nh c n h tr v Toán cao c p, Xác su t th ng kê, Kinh t l ng, Kinh t vi mô, v mô,… quý b n đ c có th liên h v fanpage Eureka Uni đ đ c h tr gi i đáp nhanh s m nh t nhé! Chúc b n h c t t! Kí tên: Hồng Bá M nh M CL C CH NG HÀM S : GI I H N – LIÊN T C 1.1 Các d ng hàm s c p c b n – Mi n xác đ nh & Công th c bi n đ i 1.2 Hàm h p - Hàm l y th a m – Hàm c n – Hàm n 1.3 Hàm s Phân tích kinh t 1.4 Gi i h n hàm s t i m gi i h n m t phía 1.5 Gi i h n xác đ nh c b n (gi i h n c a hàm s c p s b n) 1.6 Gi i h n vô đ nh c b n 1.7 Tính gi i h n – Nhân liên h p 1.8 Tính gi i h n – s d ng Vơ bé t 1.9 Tính gi i h n – Quy t c k p ng đ ng 1.10 Tính gi i h n – Quy t c Lôpitan (L’Hospital’s Rule) 1.11 Tính gi i h n – D ng 1∞ ph 1.12 Hàm s liên t c – i u ki n liên t c CH NG 7: ng pháp Logarit hóa O HÀM – VI PHÂN 2.1 Công th c đ nh ngh a – o hàm m t phía 2.2 B ng đ o hàm 2.3 Quy t c tính đ o hàm o hàm c a hàm h p 2.4 o hàm c a hàm l y th a m & Hàm c n 2.5 Vi phân công th c tính x p x 2.6 o hàm vi phân c p cao 2.7 Công th c Taylor & Maclaurin 2.8 ng d ng đ o hàm: Kh o sát hàm s (t ng / gi m, c c tr ) 10 2.9 ng d ng vi phân: Giá tr c n biên H s co giãn 10 2.10 ng d ng c c tr : Bài toán t i u 11 CH NG 8: HÀM S NHI U BI N S 12 3.1 Công th c nh ngh a đ o hàm riêng c p 1, đ o hàm c p 12 3.2 Công th c o hàm riêng c a hàm h p 12 3.3 Công th c o hàm riêng c a hàm n 12 3.4 Hàm thu n nh t – Công th c Euler 12 3.5 Công th c Vi phân tồn ph n - 3.6 Phân tích Kinh t - Hàm thu n nh t Hi u qu s n xu t theo quy mô 13 3.7 Phân tích Kinh t - Các giá tr c n biên 13 3.8 Phân tích Kinh t - 3.9 Phân tích Kinh t - H s co dãn riêng 14 ng d ng tính x p x 13 ng m c t l thay c n th biên 14 CH NG 9: C C TR HÀM NHI U BI N 15 4.1 Tính đ nh th c 15 4.2 Quy trình gi i c c tr t (khơng u ki n) 15 4.3 Quy trình gi i c c tr Lagrange (c c tr ràng bu c) – Ý ngh a nhân t Lagrange 16 4.4 Phân tích Kinh t - C c tr t 17 4.5 Phân tích Kinh t - C c tr Lagrange 18 CH NG 10: TÍCH PHÂN 20 5.1 Nguyên hàm Tích phân b t đ nh 20 5.2 B ng nguyên hàm c b n 20 5.3 Tính tích phân – Tính b t bi n c a bi u th c vi phân 20 5.4 Tính tích phân – D ng phân th c: 5.5 Tính tích phân – D ng l 5.6 Tính tích phân – D ng c n th c: Các công th c bi n đ i 22 5.7 Tính tích phân – Cơng th c tích phân t ng ph n 22 5.8 Tích phân xác đ nh – Các công th c: thay c n, đ o c n, chèn c n 22 5.9 Tích phân xác đ nh – ng nh t th c t s 20 ng giác: Các công th c bi n đ i 21 nh lý giá tr trung bình 22 5.10 Tích phân xác đ nh – Các cơng th c Phân tích Kinh t 22 5.11 Tích phân suy r ng – Các b CH NG 11 PH c x lý 23 NG TRÌNH VI PHÂN 24 6.1 C p – Nghi m t ng quát & Tích phân t ng quát 24 6.2 C p – Ph ng trình vi phân tồn ph n 24 6.3 C p – Ph ng trình phân ly bi n (tách bi n) 24 6.4 C p – Các phép đ t n đ a v phân ly bi n 24 6.5 C p – Ph ng trình n tính thu n nh t & Cơng th c nghi m t ng quát 24 6.6 C p – Ph ng trình n tính t ng quát & Công th c nghi m t ng quát 24 6.7 C p – Ph ng trình Bernoulli 25 1|Page Trang Eureka Uni CH https://www.fb.com/EurekaUni.No1 NG HÀM S : GI I H N – LIÊN T C 1.1.Các d ng hàm s c p c b n – Mi n xác đ nh & Công th c bi n đ i MX Hàm Công th c c n nh = = (0; + ) = = = =( 0< ( ) = ) = log = ln ln = ln = ln log log 0< (0; + ) ln ln + ln ln ln = ln( ) = ln sin + cos = sin( ) = sin sin( + ) = sin = cos sin = sin cos cos sin = + cos sin + sin = sin 2 + sin sin = cos sin 2 ) sin( ± = sin cos ± sin cos sin sin sin cos + cos = cos( ) = cos cos( + ) = cos Groups Toán Cao C p Website Eureka! Uni Youtube Eureka! Uni https://www.fb.com/groups/toancaocap.neu https://eureka-uni.com https://www.youtube.com/c/EurekaUni 2|Page Trang Eureka Uni https://www.fb.com/EurekaUni.No1 cos = sin cos = cos sin + cos cos = + cos cos + cos = cos 2 + cos cos = sin sin 2 cos( ± ) = cos cos sin sin sin cos tan( ) = tan tan ± tan tan( ± ) = tan tan tan \ tan cot + \{ = cos = sin tan cot( ) = cot cot } = sin(arcsin ) = [ 1; 1] arcsin arcsin + arccos = cos(arccos ) = arccos [ 1; 1] arcsin + arccos = arctan arccot 1.2.Hàm h p - Hàm l y th a m – Hàm c n – Hàm n Hàm h p Hàm l y th a m Hàm c n Hàm c n h p = ( ); = ( ) = = ( ), = ( ) ( ) = = ( ) = ( ) ( ) = ( ) Hàm n = ( ) Hàm n = ( , ) Groups Toán Cao C p Website Eureka! Uni Youtube Eureka! Uni = n ph n ph ng trình ( , ) = ng trình ( , , ) = https://www.fb.com/groups/toancaocap.neu https://eureka-uni.com https://www.youtube.com/c/EurekaUni 3|Page Trang Eureka Uni https://www.fb.com/EurekaUni.No1 1.3.Hàm s Phân tích kinh t 1.3.1 Ph n hàm bi n = ( ) Hàm c u = ( ) hàm c u ng c = ( ) Hàm cung = ( ) hàm cung ng c = ( ) Hàm s n xu t = s đ n v lao đ ng Hàm t ng doanh thu Ti n thu v bán / s n xu t Hàm t ng chi phí T ng ti n b s n xu t s n ph m s n ph m Hàm chi phí bi n đ i Hàm chi phí c đ nh = Hàm l i nhu n S n ph m c n biên c a lao đ ng t ng thêm ph n t ng đ n v Doanh thu c n biên Ph n doanh thu t ng thêm bán / s n xu t Chi phí c n biên Ph n chi phí t ng thêm s n xu t Tính cho đ n v s n l = Doanh thu trung bình = Chi phí trung bình Tính cho đ n v = Chí phí bi n đ i trung bình Tính cho đ n v = Chi phí c đ nh trung bình Tính cho đ n v ng 1.3.2 Ph n hàm nhi u bi n ( , ) Hàm s n xu t dài h n s đ n v v n (t b n) S n ph m c n biên c a lao đ ng = S n ph m c n biên c a t b n = = Hàm chi phí s n xu t = Groups Toán Cao C p Website Eureka! Uni Youtube Eureka! Uni ng đ ng s n l giá thuê t b n, lao đ ng , ( , )= ng + bi u di n k t h p ( , ) cho m c s n l ng https://www.fb.com/groups/toancaocap.neu https://eureka-uni.com https://www.youtube.com/c/EurekaUni 4|Page Trang Eureka Uni = + ng ngân sách ng đ ng chi phí) (đ ( , ) https://www.fb.com/EurekaUni.No1 = : ngân sách s n xu t , l nl Hàm l i ích tiêu dùng t s đ n v hàng hóa A, B L i ích c n biên c a hàng hóa A = L i ích c n biên c a hàng hóa B = = Chi phí tiêu dùng , ( , )= = ng bàng quan = ng ngân sách ng đ ng chi phí) (đ + giá hàng hóa A, B bi u di n túi hàng ( , ) cho m c l i ích + = : thu nh p cho tiêu dùng Hàm t ng doanh thu = + Hàm t ng chi phí ( Hàm l i nhu n = , + , ) 1.4.Gi i h n hàm s t i m gi i h n m t phía lim f ( x ) t n t i nh t b ng x → x0 ⇔ lim− f ( x ) = lim+ f ( x ) = L x → x0 x → x0 bao g m: (1) r tg n (2) bao g m: (1) r tg n (2) < bao g m: (1) r tg n (2) > 1.5.Gi i h n xác đ nh c b n (gi i h n c a hàm s c p s b n) Hàm MX Công gi i h n c n nh lim+ xα = ; x →0 >0 (0; + ) lim x −α = +∞ ; x → 0+ lim e x = ; x →−∞ lim e − x = +∞ ; >1 log >1 sin Groups Toán Cao C p Website Eureka! Uni Youtube Eureka! Uni x →−∞ (0; + ) lim ln x = −∞ ; x → 0+ lim xα = +∞ x →+∞ lim x −α = x →+∞ lim e x = +∞ x →+∞ lim e − x = x →+∞ lim ln x = +∞ x →+∞ Không t n t i gi i h n https://www.fb.com/groups/toancaocap.neu https://eureka-uni.com https://www.youtube.com/c/EurekaUni 5|Page Trang Eureka Uni https://www.fb.com/EurekaUni.No1 ( lim sin x ,… không t n t i) cos x →∞ \ tan \{ cot + } arcsin [ 1; 1] arccos [ 1; 1] lim arcsin x = ± x →±1 lim arccos x = π ; π lim arccos x = x →−1 x →1 lim arctan x = ± arctan x →±∞ lim arccot x = π ; arccot π lim arccot x = x →−∞ x →+∞ 1.6.Gi i h n vô đ nh c b n D ng vô đ nh: Kéo theo D ng g c D ng hàm h p D ng tan x arcsin x = ; lim =1 x →0 x →0 x x sin x lim =1 x →0 x lim sin u =1 u lim tan u arcsin u = ; lim =1 x → u u u →0 lim u →0 D ng lim (1 + u ) u = e ln (1 + x ) x lim =1  1 x →0 lim 1 +  = e x x →∞  x ex −1 =1 lim lim (1 + x ) x = e x →0 x x →0 u →0 lim u →0 ln (1 + u ) =1 u eu − u →0 u lim 1.7.Tính gi i h n – Nhân liên h p ( ) ( ):( )( + ) = ( ) ( ):( )( u −3 v= ( ) ( u −w − + lim u ( x )= ⇔ u ( x ) đ Groups Toán Cao C p Website Eureka! Uni Youtube Eureka! Uni ng s làm m t c n b c , l p ph )= ng làm m t c n b c ) v − w : thêm b t đ nhân liên h p t ng ph n 1.8.Tính gi i h n – s d ng Vô bé t x → x0 + , bình ph ng đ ng c g i vô bé https://www.fb.com/groups/toancaocap.neu https://eureka-uni.com https://www.youtube.com/c/EurekaUni 6|Page Trang Eureka Uni u ( x) = u ( x ) ( ) g i t x → x0 v ( x ) ng đ lim https://www.fb.com/EurekaUni.No1 ng nhau, kí hi u ( )~ ( ) u ( x) u ( x) v i ( )~ = lim x → x0 v ( x ) x → x0 v ( x ) ( ) ( )~ ( ) Áp d ng tính gi i h n lim Các c p vơ bé t ng đ Nhóm ng th ng dùng D ng g c, L ng giác L ng giác ng c sin ~ ; tan ~ ; arcsin ~ (1 cos )~ sin ~ ; tan ~ ; arcsin ~ (1 cos )~ Loga ln(1 + ) ~ ln(1 + ) ~ M ( ( L y th a ( 1)~ )~ + + D ng hàm h p, ( 1)~ )~ + + Chú ý o Hãy ch c ch n bi u th c ( ) b n mu n thay VCB, t c ( ) o Vi t bi u th c v d ng (công th c) tr i m i thay đ tránh sai sót o Xét d ng VCB, c n xét t phép tốn ngồi vào o Ch nên áp d ng t ng đ ng cho bi u th c d ng nhân, đ tránh nh m l n 1.9.Tính gi i h n – Quy t c k p Tích c a m t vơ bé v i m t hàm b ch n, có gi i h n b ng 0, c th : N u: lim f ( x ) = g ( x ) ≤ M lim f ( x ) g ( x ) = x → x0 1.10 x → x0 Tính gi i h n – Quy t c Lôpitan (L’Hospital’s Rule) lim x → x0 f ( x) f ′( x) = lim g ( x ) x → x0 g ′ ( x ) dùng v i d ng , Chú ý ( ) o Thêm kí hi u ( ) ho c ( ) vào d u b ng, nh = , đ d nh n bi t o o hàm xong c n thay vào bi u th c xem h t vô đ nh ch a? o N u c n, có th k t h p VCB t 1.11 Tính gi i h n – D ng 1∞ ph ng đ ng đ đ o hàm cho đ n gi n ng pháp Logarit hóa 1.11.1 D ng L = lim  f ( x )  x → x0 g( x) (1 ) e quy t c lim u ( x )  Bi n đ i s d ng tr c ti p lim (1 + u ) u = u →0 x → x0 Groups Toán Cao C p Website Eureka! Uni Youtube Eureka! Uni v( x ) ( = lim u ( x ) x → x0 ) lim v ( x ) x→ x0 https://www.fb.com/groups/toancaocap.neu https://eureka-uni.com https://www.youtube.com/c/EurekaUni 12 | P a g e Trang Eureka Uni CH NG 8: HÀM S https://www.fb.com/EurekaUni.No1 NHI U BI N S 3.1.Công th c nh ngh a đ o hàm riêng c p 1, đ o hàm c p 3.1.1 C p = ( , ) xác đ nh , xét ( , ) f x′ ( x0 , y0 ) = lim x → x0 f ( x, y0 ) − f ( x0 , y0 ) x − x0 o hàm riêng theo bi n Kí hi u khác w′x ( x0 , y0 ) ; t i( , f x′ ( x0 , y0 ) = lim x → x0 ) f ( x, y0 ) − f ( x0 , y0 ) x − x0 o hàm riêng theo bi n ∂w ( x0 , y0 ) ∂x w′y ( x0 , y0 ) ; t i( , ) ∂w ( x0 , y0 ) ∂y 3.1.2 C p o hàm riêng c p theo , t i m ( , f x′′2 ( x0 , y0 ) = lim x → x0 f x′ ( x, y0 ) − f x′ ( x0 , y0 ) x − x0 Các đ o hàm h n h p (chéo) c p t i ( , f xy′′ ( x0 , y0 ) = lim y → y0 f x′ ( x0 , y ) − f x′ ( x0 , y0 ) y − y0 w′′x2 = Các kí hi u khác ∂2w ∂x w′′y = ) kí hi u xác đ nh l n l t là: f y′ ( x0 , y ) − f y′ ( x0 , y0 ) f y′′2 ( x0 , y0 ) = lim y − y0 y → y0 ) là: f yx′′ ( x0 , y0 ) = lim f y′ ( x, y0 ) − f x′ ( x0 , y0 ) x − x0 x → x0 ∂2w ∂y w′′xy = ∂2w ∂x∂y w′′yx = ∂2w ∂y∂x 3.2.Công th c o hàm riêng c a hàm h p 3.2.1 D ng ( ); = ( , )  f ( u ) ′ x = u ′x f ′ ( u ) ∂f ∂u df = × ∂x ∂x du  f ( u ) ′ y = u ′y f ′ ( u ) ∂f ∂u df = × ∂y ∂y du 3.2.2 D ng ( , ); = ( , ); = ( , )  f ( u , v )= ′ x u ′y fu′ + v′y f v′  f ( u , v )= ′ x u′x fu′ + v′x f v′ 3.3.Công th c o hàm riêng c a hàm n 3.3.1 D ng = ( ) n ph ng trình ( , ) = F′ y′′ = ( y′ )′ y′ = − x ′ Fy Tính ( ) b ng cách thay = ph ng trình xác đ nh, ta đ ( , )= c th a mãn, ( ) Gi i ta thu đ c nh t giá tr c a 3.3.2 D ng = ( , ) n ph ng trình ( , , ) = F′ F′ z ′y = − y z ′x = − x Fz′ Fz′ 3.4.Hàm thu n nh t – Công th c Euler Groups Toán Cao C p Website Eureka! Uni Youtube Eureka! Uni https://www.fb.com/groups/toancaocap.neu https://eureka-uni.com https://www.youtube.com/c/EurekaUni 13 | P a g e Trang Eureka Uni https://www.fb.com/EurekaUni.No1 3.4.1 Hàm thu n nh t b c ( , ) hàm thu n nh t b c n u t n t i s > th a mãn ( , ) = ( , ) Ví d : ( , ) = ln ln hàm thu n nh t b c = v i m i > ta ln có: ( , ) = ln( ) ln( ) = ln ln = ( , ) = 3.4.2 Công th c Euler ( , )= ( , ) l y đ o hàm hai v theo , ta đ c: ( , Thay = ta đ )+ ( , ( , ) c công th c Euler ( , )+ 3.5.Cơng th c Vi phân tồn ph n - 3.5.1 Vi phân toàn ph n = ( , ) = = ( , , ) + + = ng d ng tính x p x ( , ) ( , )= ( , ) ng d ng tính x p x = 3.5.2 )= ( , ) + + + + ( , )= ( , ) + ( , ) ( , )+ ( , ) + ; + ) 3.6.Phân tích Kinh t - Hàm thu n nh t Hi u qu s n xu t theo quy mô ( = ( , ) Hàm s n xu t dài h n Sau t ng quy mô lên > l n, s n l ng t ng ng = ( , ) Doanh nghi p g i có hi u qu s n xu t: o T ng theo quy mô > o Không đ i theo quy mô = o Gi m theo quy mô < 3.7.Phân tích Kinh t - Các giá tr c n biên 3.7.1 Ng i s n xu t = ( , ) S n ph m c n biên theo lao đ ng Ý ngh a: không đ i, = đ n v lao đ ng S n ph m c n biên theo t b n Ý ngh a: không đ i, đ nv s nl ng đ nv s nl ng = đ n v lao đ ng T ng quát h n, ta có thay đ i tồn ph n c a = c , thay đ i là: + 3.7.2 Ng i tiêu dùng = ( , ) L i ích c n biên c a hàng hóa th nh t Ý ngh a: Groups Toán Cao C p Website Eureka! Uni Youtube Eureka! Uni không đ i, 1đ nv = đ n v l i ích https://www.fb.com/groups/toancaocap.neu https://eureka-uni.com https://www.youtube.com/c/EurekaUni 14 | P a g e Trang Eureka Uni L i ích c n biên c a hàng hóa th hai khơng đ i, Ý ngh a: 3.8.Phân tích Kinh t 3.8.1 Ng i s n xu t = 1đ nv đ n v l i ích ng m c t l thay c n th biên ng đ ng s n l ( , )= ng dL MPPK MRTS− = = dK MPPL T l thay th k thu t c n biên 3.8.2 Ng https://www.fb.com/EurekaUni.No1 i tiêu dùng ng đ ng l i ích ( , )= dy MU x MRS = − = dx MU y T l thay th c n biên 3.9.Phân tích Kinh t - H s co dãn riêng 3.9.1 Công th c chung v i hàm = ( , ) ε= x ∂z x × ∂x z khơng đ i, 1% thay đ i x p x | | % ε= y ∂z y × ∂y z khơng đ i, 1% thay đ i x p x % 3.9.2 M t s co giãn riêng có th g p Hàm s n xu t = ( , ) εK = ∂Q K K × = MPPK × Q ∂K Q εL = ∂Q L L × = MPPL × ∂L Q Q D ng Cobb-Douglas = Q AK α Lβ , ( < A;0 < α , β < 1) có co giãn đ u vào khơng đ i εK = α Hàm l i ích = ( , ) x U Hàm c u theo thu nh p giá = ε x MU x × εp = Groups Toán Cao C p Website Eureka! Uni Youtube Eureka! Uni εL = β ∂Qd p × ∂p Qd = ε y MU y × y U = ( , ) εY = ∂Qd Y × ∂Y Qd https://www.fb.com/groups/toancaocap.neu https://eureka-uni.com https://www.youtube.com/c/EurekaUni 15 | P a g e Trang Eureka Uni CH https://www.fb.com/EurekaUni.No1 NG 9: C C TR HÀM NHI U BI N 4.1.Tính đ nh th c Tính đ nh th c c p D2 = a11 a12 = a11a22 − a12a21 (hi u tích chéo) a21 a22 Vi t thêm c t u tiên Tính đ nh th c c p a11 a12 a13 D = a21 a22 a23 a31 a32 a33 = (a11.a22.a33 + a12.a23.a31 + a13.a21.a32) – (a31.a22.a13 + a32.a23.a11 + a33.a21.a12) Tích chéo d u+ Tích chéo xanh d u - Ho c tính theo ph ng pháp khai tri n -Theo m t dòng đó, ví d theo dòng a22 a23 a23 a22 1+ a21 1+ a21 + a12 ( −1) + a13 ( −1) a32 a33 a31 a33 a31 a32 D = a11 ( −1) 1+1 -Theo m t c t đó, ví d theo c t D = a11 ( −1) 1+1 Ph a22 a23 a13 a13 +1 a12 3+1 a12 + a21 ( −1) + a31 ( −1) a32 a33 a32 a33 a22 a23 ng pháp khai tri n có th dùng cho c đ nh th c c p tr lên! 4.2.Quy trình gi i c c tr t (không u ki n) 4.2.1 Hàm hai bi n = ( , ) B c 1: MX B c 2: i u ki n c n =0 =0 B = = ( , ) (có th có nhi u nghi m, xét đ i di n) c 3: i u ki n đ D u ′′x2 u ′′y − u ′′xy u ′′yx xét t i m d ng Tính u ′′x2 = D > u ′′x2 > m c c ti u c a D > u ′′x2 < m c c đ i c a Groups Toán Cao C p Website Eureka! Uni Youtube Eureka! Uni ( , ), n u: https://www.fb.com/groups/toancaocap.neu https://eureka-uni.com https://www.youtube.com/c/EurekaUni 16 | P a g e Trang Eureka Uni không ph i m c c tr c a D 0, > 0, >0 m c c ti u c a < 0, > 0, 0 m c c đ i c a v i u ki n ( , ) = | |0>0 H iv t ng (đ n v c a ) ∂Qm B B × =λ × Qm ∂B Qm t ng t ng 1% đ nv s nl t ng x p x ng % (2) T i thi u hóa chi phí s n xu t c a doanh nghi p Bài cho Yêu c u Tìm ( , ) đ t i thi u chi phí s n xu t = ( , ) , m c s n l ng n đ nh t ng đ n v / ho c 1% thay đ i? X lý ′ ′′ Kí hi u: = QK f= f L′= ; QKK f K′′= f L′′2= ; QKL f KL ; QLL K ; QL B c Hàm m c tiêu B c Tìm ( , ) t h ph Thu đ B c = ( , = + u ki n ( , ) = ng trình u ki n c n , ) c Ki m tra u ki n đ = ( , = = ( , )= , ) hàm c u Hick >0 H iv Groups Toán Cao C p Website Eureka! Uni Youtube Eureka! Uni https://www.fb.com/groups/toancaocap.neu https://eureka-uni.com https://www.youtube.com/c/EurekaUni 19 | P a g e Trang Eureka Uni o λ= o= ε ∂Cm ∂Q0 t ng đ n v s n l ∂Cm Q0 × ∂Q0 Cm (3) T i đa l i ích ng t ng 1% https://www.fb.com/EurekaUni.No1 t ng ng t ng x p x đ n v chi phí % i tiêu dùng Bài cho = ( , , Yêu c u ) ) đ t i đa l i ích tiêu dùng Tìm ( , t ng đ n v / ho c 1% ngân sách tiêu dùng thay đ i? X lý ′ ′ ′′ ;U 22 U= ′′ ;U12 U x′′1x2 Kí hi = u: U1 U= U= U= x1 ; U x2 ; U11 x2 x2 B c Hàm m c tiêu ( , B c Tìm ( , Thu đ c = ) u ki n ) t h ph ( , = = ng trình u ki n c n ) , + B c Ki m tra u ki n đ o λ= ∂U m ∂m o ε= = ( , , = + = ) hàm c u Marshall >0 H iv t ng (đ n v c a ∂U m m m λ× × = ∂m U m Um t ng ) t ng 1% đ n v l i ích t ng x p x % (4) T i thi u hóa chi phí tiêu dùng Bài cho = ( , Yêu c u ) m c l i ích c đ nh , ) đ t i thi u chi phí tiêu dùng Tìm ( , t ng đ n v / ho c 1% thay đ i? X lý ′ ′ ′′ ;U 22 U= ′′ ;U12 U x′′1x2 Kí hi = u: U1 U= U= U= x1 ; U x2 ; U11 x2 x2 B c Hàm m c tiêu B c Tìm ( , ) t h ph Thu đ c = ( , = , u ki n ( , + ng trình u ki n c n ) B c Ki m tra u ki n đ λ= ∂Cm ∂U = ( , , = ( , )= = )= ) hàm c u Hick >0 H iv o o= ε ∂Cm U × ∂U Cm Groups Toán Cao C p Website Eureka! Uni Youtube Eureka! Uni t ng đ n v l i ích t ng 1% t ng t ng x p x đ n v chi phí % https://www.fb.com/groups/toancaocap.neu https://eureka-uni.com https://www.youtube.com/c/EurekaUni 20 | P a g e Trang Eureka Uni CH https://www.fb.com/EurekaUni.No1 NG 10: TÍCH PHÂN 5.1.Nguyên hàm Tích phân b t đ nh ( )= ( ) ( )đ c g i m t nguyên hàm c a ( ) ( )+ v i s th c b t kì, c ng nguyên hàm c a ( ) đ ) dx ∫ f ( x= c g i h nguyên hàm hay nguyên hàm t ng quát c a ( ) F ( x ) + C g i tích phân b t đ nh c a ( ) vi phân c a bi n s bi u th c d ( ) ( ) hàm d i d u tích phân i d u tích phân (c ng vi phân c a nguyên hàm ( )) 5.2.B ng nguyên hàm c b n ∫ dx= x + C α = ∫ x dx α +1 x +C α +1 m a dx ∫= x dx ∫ x= x a +C ln a ∫ e dx= ln x + C dx ∫ ax + b= ln ax + b + C a 1 x arctan + C a a dx ∫ += x ∫ ∫ arctan x + C x x +b ex + C = dx arcsin x + C − x2 x m = x n có th đ a v d ng đ x lý n bi u th c dx ∫ a= +x ∫ x = dx arcsin + C a a2 − x2 dx= ln x + x + b + C v i − = cos + x ∫ sin xdx C ln + cos x ∫ tan− xdx = C xdx ∫ cos = sin x + C 10 = xdx ∫ cot ln sin x + C 11 5.3.Tính tích phân – Tính b t bi n c a bi u th c vi phân = = ( + )= 5.4.Tính tích phân – D ng phân th c: Groups Toán Cao C p Website Eureka! Uni Youtube Eureka! Uni ( ) = [ ( )] = ( ) ng nh t th c t s https://www.fb.com/groups/toancaocap.neu https://eureka-uni.com https://www.youtube.com/c/EurekaUni 21 | P a g e Trang Eureka Uni I1 = ∫ https://www.fb.com/EurekaUni.No1 dx ax + bx + c Xét s nghi m c a đa th c d im u dx = I1 ∫ + o nghi= m a ( x − x1 )( x − x2 ) o vô nghi m a x + b1 I ∫+ 21 dx = = ax + bx + c P ( x) = = I ∫ +n dx ax + bx + c I4 = x − x1 ln a ( x1 − x2 ) x − x2 dx = = I1 ∫ + a ( x − x0 ) + aM ∫ ax a x+b ∫ P ( x ) dx ∫ ax + bx + c dx n−2 A dx +∫ dx ∫ ∫ ( dx = dx + e ax + e ) ( ax + bx + c ) , , I1 = ∫ sin m x cos n dx x − x0 arctan a M M C ( ) đa th c b c 2ax + b M dx N ∫ dx ax + bx + c + bx + c 5.5.Tính tích phân – D ng l C v i Bx + C dx + bx + C tìm theo đ ng nh t th c ng giác: Các công th c bi n đ i , o C sin , cos đ u m ch n dùng sin a = o Còn l i, đ t I2 = ∫ − cos 2a + cos 2a cos a = đ h v b c1 2 = sin n u m l = cos n u m l , l u ý: sin = + tan x cos x ch n đ t = tan , l u ý: o l đ t = sin , l u ý: sin I3 = ∫ dx sin m x I4 = ∫ dx a cos x + b sin x + c I5 = ∫ =1 dx cos m x o o + cos , xét t t = tan , lúc dx = + cos =1 ng t nh trên, nh ng đ t: = cot = cos 2t 1− t2 ; ; sin x = dt = x cos 2 1+ t 1+ t2 1+ t m cos x + n sin x + p dx a cos x + b sin x + c Groups Toán Cao C p Website Eureka! Uni Youtube Eureka! Uni https://www.fb.com/groups/toancaocap.neu https://eureka-uni.com https://www.youtube.com/c/EurekaUni 22 | P a g e Trang Eureka Uni o Tách thành: https://www.fb.com/EurekaUni.No1 m cos x + m sin x + p A ( −a sin x + b cos x ) + B ( a cos x + b sin x + c ) + C = a cos x + b sin x + c a cos x + b sin x + c o Tìm , , b ng cách dùng đ ng nh t th c 5.6.Tính tích phân – D ng c n th c: Các công th c bi n đ i ax + b đ t = D ng a2 − x2 đ t = sin ; D ng a2 + x2 đ t = tan ; D ng x2 − a2 đ t = D ng D ng n I =∫ ax + bx + c + + , dx 0 bi n đ i v cơng th c (7) 5.7.Tính tích phân – Cơng th c tích phân t ng ph n = t t = { ( ), ln , ln( ={ , , sin ) , ln( + )} } , cos 5.8.Tích phân xác đ nh – Các công th c: thay c n, đ o c n, chèn c n ( ) = ( ) ( ) = ( ) = = ( ) ( ) v i ( )= ( ) ( ) ( ) + 5.9.Tích phân xác đ nh – ∫ f ( x ) dx= ( b − a ) f (ε ) b a v i ( ) xác đ nh ( ) nh lý giá tr trung bình n m gi a 5.10 Tích phân xác đ nh – Các cơng th c Phân tích Kinh t 5.10.1 Tìm m t s nguyên hàm kinh t TR ( Q ) = ∫ MR ( Q ) dQ TR ( ) = ho c dùng ( )= ( ) TC ( Q ) = ∫ MC ( Q ) dQ TC ( ) = FC ho c dùng ( )= ( ) Q ( L ) = ∫ MPPL dL Q(L = 0= ) Groups Toán Cao C p Website Eureka! Uni Youtube Eureka! Uni + https://www.fb.com/groups/toancaocap.neu https://eureka-uni.com https://www.youtube.com/c/EurekaUni 23 | P a g e Trang Eureka Uni https://www.fb.com/EurekaUni.No1 5.10.2 Tính th ng d tiêu dùng, th ng d s n xu t Th ng d tiêu dùng = CS −∫ D −1 ( Q ) dQ Q0 Trong đó: Th ng d s n xu t : giá l , = = PS p0Q0 − ∫ S −1 ( Q ) dQ Q0 p0Q0 ng cân b ng ( ) ( ): đ = = ( ) ( ): đ = Tích phân suy r ng – Các b 5.11 D ng suy r ng ∫ +∞ ∫ b ∫ +∞ theo (đ ng c u ng ng cung d ng rút theo (đ ng cung ng c Tính: B t →+∞ f ( x ) dx I ( t ) = ∫ f ( x ) dx t →−∞ f ( x ) dx I ( t ) = ∫ f ( x ) dx t →+∞ N u t a b t t −t c Tính: lim I ( t ) lim I ( t ) lim I ( t ) = L h u h n ⇒ tích phân suy r ng h i t lim I ( t ) = ∞ ho c khơng t n t i ⇒ tích phân suy r ng phân kì t →+∞ t →+∞ Groups Toán Cao C p Website Eureka! Uni Youtube Eureka! Uni c) lim I ( t ) I ( t ) = ∫ f ( x ) dx −∞ c) c x lý f ( x ) dx a −∞ B ng c u d ng rút https://www.fb.com/groups/toancaocap.neu https://eureka-uni.com https://www.youtube.com/c/EurekaUni 24 | P a g e Trang Eureka Uni CH NG 11 PH https://www.fb.com/EurekaUni.No1 NG TRÌNH VI PHÂN 6.1.C p – Nghi m t ng quát & Tích phân t ng quát ( , , , Gi i ph )=0 , ph ng trình vi phân = bi n đ i + tính tích phân nghi m t ng quát o = ( ) ( , )= o ta có th coi o 6.2.C p – Ph ( , ) + ( , ) (rút đ c k t qu : c bi n n theo bi n kia) = ( ) đ gi i d ng hàm n) ( hàm, bi n) = (*) ng trình vi phân tồn ph n, v trái (*) vi phân toàn ph n c a hàm c xác đ nh b i công th c: ( , )= ( , ) 6.3.C p – Ph ( , ) + ) tùy ch n MX c a ( ) thu đ ng trình vi phân tồn ph n ( , ) đ ( , ng, c p tích phân t ng quát (Nghi m t n t i (*) ph s ng trình vi phân th ( , = ) + ( , ) ( , ) cho tính tích phân thu n ti n nh t ( , ) ng trình phân ly bi n (tách bi n) = ( ) L y tích phân tích phân v tính tích phân b t đ nh thu đ c k t qu 6.4.C p – Các phép đ t n đ a v phân ly bi n = ( , ) t v i ( , )= = = = Thay l i ph ng trình ta đ + 6.5.C p – Ph c ph 1, = + ng trình tách bi n: = ( ) = + ( ) ng trình n tính thu n nh t & Công th c nghi m t ng quát + ( ) = (1) ( ) = 6.6.C p – Ph ( ) nghi m t ng quát c a ph ng tình (1) ng trình n tính t ng qt & Cơng th c nghi m t ng quát + ( ) = ( ) (2) = + ( ) nghi m t ng quát c a ph ( )= ( ) nghi m t ng quát c a thu n nh t liên k t v i (2) nghi m riêng, tìm theo ph Groups Tốn Cao C p Website Eureka! Uni Youtube Eureka! Uni ng trình (2), đó: ng pháp bi n thiên h ng s , = ( ) ( ) https://www.fb.com/groups/toancaocap.neu https://eureka-uni.com https://www.youtube.com/c/EurekaUni 25 | P a g e Trang Eureka Uni https://www.fb.com/EurekaUni.No1 (v i ( ) bi u th c ch a bi n , thay đ i theo , khơng h ng s n a) Ho c áp d ng công th c nghi m t ng quát sau đ gi i = 6.7.C p – Ph × ( ) ( ) ng trình Bernoulli + ( ) = Xét ( ) ( ) (3) = chia hai v cho đ đ a (3) v d ng n tính t ng quát b ng cách đ t: = ( )= Sau thu đ c ph ng trình theo ph Cu i cùng, thay = ph ng trình (3) Groups Tốn Cao C p Website Eureka! Uni Youtube Eureka! Uni = (1 ) ng trình n tính t ng qt v i bi n + (1 Gi i ph ; ) ( ) = (1 ) ( ) ng pháp bi n thiên h ng s , thu đ vào k t qu trên, ta đ c = ( ) c nghi m t ng quát / tích phân t ng quát c a https://www.fb.com/groups/toancaocap.neu https://eureka-uni.com https://www.youtube.com/c/EurekaUni TRANG QU NG CÁO T i h , h c không thay tên, h c l i không đ i h , c dân m ng g i LND9492 (a.k.a Hoàng Bá M nh)! Liên t c nh n đ ng kí l p h c Online (trên Google Meet, Microsoft Teams) h c ph n đ i c ng nh Toán cao c p cho nhà kinh t (gi i tích), Lý thuy t xác su t Th ng kê toán, Kinh t l ng (C b n / Nâng cao) ng kí Facebook: https://www.fb.com/lnd9492 S n tho i: 0986.960.312 Slogan Ch a ngh ra! -KÊNH H C T P ONLINE FREE EUREKA! UNI: https://www.youtube.com/EurekaUni H TH NG GROUP TH O LU N H I ĐÁP CÁC MƠN H C Group Tốn cao c p https://fb.com/groups/toancaocap.neu Group Xác su t th ng kê https://fb.com/groups/xacsuatneu Group Kinh t l ng https://fb.com/groups/kinhteluong.neu Group Kinh t vi mô: https://fb.com/groups/microeconomics.neu Group Kinh t vĩ mô: https://fb.com/groups/macroeconomics.neu Fanpage c a Eureka Uni https://fb.com/eurekauni.no1 Website Eureka Uni https://eurekauni.wordpress.com ... TỐN CAO C P I H C KINH T QU C DÂN Tài li u đ c vi t nh m giúp đ b n sinh viên tr ng kh i Kinh t nói chung sinh viên Kinh t Qu c d n nói riêng, h c mơn Tốn cao c p b ng giáo trình c a i h c Kinh. .. Google Meet, Microsoft Teams) h c ph n đ i c ng nh Toán cao c p cho nhà kinh t (gi i tích), Lý thuy t xác su t Th ng kê toán, Kinh t l ng (C b n / Nâng cao) ng kí Facebook: https://www.fb.com/lnd9492... MÔN H C Group Toán cao c p https://fb.com/groups/toancaocap.neu Group Xác su t th ng kê https://fb.com/groups/xacsuatneu Group Kinh t l ng https://fb.com/groups/kinhteluong.neu Group Kinh t vi mô: