tổng hợp công thức toán luyện thi đại học

tổng hợp công thức toán luyện thi đại học với nội dung đầy đủ tất cả các công thức cần thiết

PHÙNG VĂN TỐN - ĐHBKHN (Chun tốn luyện thi CĐ – ĐH – Thi lên lớp 10 Địa chỉ: Bắc Lãm - Phú Lương - Hà Đông - Hà Nội) -*** www.luyenthi24h.com C«ng thøc TO¸N (THCS – THPT – LUYỆN THI CĐ – ĐH) z c M (a, b, c ) o a x b y (Chỉnh sửa lần thứ 3) Họ tên: ………………………………………………… Trường: ………………………………………………… Lớp: ………………………………………………… LỜI NÓI ĐẦU Với kinh nghiệm 10 năm chuyên luyện thi Cao Đẳng – Đại Học cho nhiều hệ học sinh, thấy đa số em học sinh cần có sổ tay để tra cứu tổng hợp lại kiến thức mơn Tốn Tài liệu tơi biên soạn với mong muốn tổng hợp toàn lượng kiến mơn tốn thức từ lớp đến lớp 12 dùng kì thi tuyển sinh Đại Học Bộ Giáo Dục Đào Tạo Mặc dù cố gắng, tài liệu tránh khỏi thiếu sót Tơi bổ sung thường xun đưa lên địa www.luyenthi24h.com (Trong mục tài liệu tự biên soạn) Tại đưa lên nhiều tài liệu ôn thi đề thi thử trường THPT khác, giúp cho bạn học sinh thuận lợi tham khảo Bạn đọc muốn tìm nơi luyện thi tốt, lớp học sinh, liên lạc với theo địa đây: Tác giả: Phùng Văn Toán - ĐHBKHN Địa Chỉ: Bắc Lãm, Phú Lương, Hà Đông, HN Điện thoại: 0985.62.99.66 Email: luyenthi24h@gmail.com Website: www.luyenthi24h.com Bắc Lãm, Ngày… Tháng… Năm… MỤC LỤC STT LỚP TRANG ĐẠI SỐ Giá trị tuyệt đối Tính chất hai tỉ số Hằng đẳng thức đẳng thức đáng nhớ Căn bậc hai Tam thức bậc hai 10 Hệ phương trình bậc 10 Phương trình – bất phương trình 10 Bất đẳng thức 10 Cấp số cộng – cấp số nhân 11 10 Công thức lượng giác 11 11 Tổ hợp – nhị thức Niutơn 11 12 Giới hạn hàm số 11 13 Khảo sát vẽ đồ thị hàm số 12 14 Đạo hàm 11 15 Nguyên hàm 12 16 Mũ – logarith 12 17 Số phức 12 HÌNH HỌC Cơng thức tam giác 8+9 Phương pháp tọa độ mặt phẳng 10 Hình học khơng gian 11 Phương pháp tọa độ không gian 12 CÁC CƠNG THỨC KHÁC Cơng thức tính chu vi, diện tích Các tập hợp số Biên soạn: Phùng Văn Toán – 0985.62.99.66 – www.luyenthi24h.com SỐ HỌC VÀ ĐẠI SỐ 1) GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI  x x  x    x x  x  x2 | x | 0, x  R x  a | x | a    x  a Với a  ta có | x | a   a  x  a 2) TÍNH CHẤT CỦA HAI TỈ SỐ BẰNG NHAU Nếu a c  b d  ma  nc a c a  c a  c  b  d  b  d  b  d   mb  nd   a c ab ab ad  bc,  ,   ba cd b b  3) HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ (a  b)2  a  2ab  b (a  b)2  a  2ab  b a  b2  (a  b)(a  b) (a  b)3  a  3a 2b  3ab  b3 (a  b)3  a3  3a 2b  3ab  b3 a3  b3  (a  b)(a  ab  b ) a3  b3  (a  b)(a  ab  b ) Các đằng thức mở rộng (a  b)4  a  4a3b  6a 2b  4ab3  b (a  b)4  a  4a3b  6a 2b  4ab3  b4 (a  b  c)2  a  b  c  2ab  2bc  2ca a n   (a  1)(a n1  a n2   a  1) a n  bn  (a  b)(a n 1  a n 2b   abn 2  b n1 ) 4) CĂN BẬC HAI A có nghĩa  A  A2  A A  0, A Chú ý quan trọng: A2 B | A | B với B  A  AB  A B  B  A  A A   B B B  A  AB   A  B  B  A  A A   B B B  Biên soạn: Phùng Văn Toán – 0985.62.99.66 – www.luyenthi24h.com 5) TAM THỨC BẬC HAI 1) Nghiệm phương trình bậc hai ax  bx  c  (a  0) Đặt   b  4ac  Nếu   phương trình vơ nghiệm b  Nếu   phương trình có nghiệm kép x   2a b   2a c Đặc biệt: Nếu a  b  c  phương trình có hai nghiệm x1  1, x2  a c Nếu a  b  c  phương trình có hai nghiệm x1  1, x2   a 2) Định lí Vi-ét Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình ax  bx  c  (a  0) ta có b c S  x1  x2   P  x1 x2  a a Một số trường hợp áp dụng Vi-ét  Nếu   phương trình có hai nghiệm phân biệt x1,2  x12  x2  ( x1  x2 )2  x1 x2  S  P x13  x2  ( x1  x2 )( x12  x1 x2  x2 )  ( x1  x2 )  ( x1  x2 )  x1 x2   S ( S  3P )   x14  x2  ( x12  x2 )2  2( x1 x2 )   ( x1  x2 )  x1 x2   2( x1 x2 )  ( S  P)  P   1 x1  x2 S    x1 x2 x1 x2 P 1 x12  x2 S  P S  2   2 x12 x2 ( x1 x2 ) P P | x1  x2 | ( x1  x2 )  ( x1  x2 )  x1 x2  S  P 3) Dấu nghiệm Phương trình bậc hai: ax  bx  c  ( a  ) có hai nghiệm phân biệt:   Cùng dấu   Trái dấu  P  x1 x2  P  x1 x2   0     Hai nghiệm dương   S  x1  x2  Hai nghiệm âm   S  x1  x2   P  x x   P  x x    4) Dấu tam thức bậc hai f ( x)  ax  bx  c (a  0)  Nếu   f ( x) dấu với hệ số a, x  Nếu   f ( x) dấu với hệ số a, x   b 2a Biên soạn: Phùng Văn Toán – 0985.62.99.66 – www.luyenthi24h.com  Nếu   , gọi hai nghiệm x1 , x2 ( x1  x2 ) f ( x) dấu với hệ số a x  (; x1 )  ( x2 ; ) f ( x) trái dấu với hệ số a x  ( x1; x2 ) Từ suy a  a  f ( x)  0, x   f ( x)  0, x       a  f ( x)  0, x     a  f ( x)  0, x     5) So sánh nghiệm phương trình bậc hai Cho tam thức bậc hai ax  bx  c  (a  0) hai số    x1    x2  af ( )      x1  x2     af ( )  S   2       x1  x2   af ( )  S   2  af ( )  x1      x2   af (  )   af ( )  x1    x2     af (  )   af ( )    x1    x2     af (  )  0  af ( )      x1  x2     af (  )     S     6) HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT  a x  b1 y  c1 Cho hệ phương trình bậc hai ẩn  a2 x  b2 y  c2 a b c b D  1  a1b2  a2b1 Dx  1  c1b2  c2b1 a2 b2 c2 b2 Nếu D  hệ có nghiệm x  Dy  a1 c1 a2 c2  a1c2  a2c1 D Dx , y y D D Nếu D  + Nếu Dx  Dy  hệ vơ nghiệm + Nếu Dx  Dy  hệ có vơ số nghiệm Biên soạn: Phùng Văn Toán – 0985.62.99.66 – www.luyenthi24h.com 7) PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH 1) Phương trình chứa B  AB A  B  A   A  B   B   AB  2) Bất phương trình chứa A  A  B  B   A  B2  A  A  B B   A  B2  A   B  A  B  A  B   B   A   B  A  B  A  B   B   B 0 A  B  A  B 3) Phương trình có dấu giá trị tuyệt đối B  A  B  A  B A B A  B 4) Bất phương trình có dấu giá trị tuyệt đối B  AB  B  A  B B  AB  B  A  B B   B  A  B     A  B     A   B  B   B  A  B    A  B   A   B  A  B  A2  B 5) Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối A  B  A  B2 6) Bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối A  B  A  B2 A  A B  A  B A  B  A  B2 A  A B  A  B Biên soạn: Phùng Văn Toán – 0985.62.99.66 – www.luyenthi24h.com 7) Các bất phương trình khác A0 B0 A.B     A  0, B    A  0, B  B   A 1   0  A  B  A B A  B   8) BẤT ĐẲNG THỨC 1) Bất đẳng thức Cosi (AM-GM) Cho x, y  x  y  xy Dấu “=” xảy  x  y Mở rộng: Cho x1 , x2 , , xn  x1  x2   xn  n n x1 x2 xn Dấu “=” xảy  x1  x2   xn 2) Bất đẳng thức Bunhiacopski Cho số thực a1 , a2 b1 , b2 Ta có  a1b1  a2b2  2   a12  a2  b12  b22  a1 a2  b1 b2 Mở rộng: Cho hai số thực  a1, a2 , , an   b1 , b2 , , bn  , gồm n số Dấu “=” xảy   a1b1  a2b2   anbn  Dấu “=” xảy  2   a12  a2   an  b12  b22   bn2  a1 a2 a    n b1 b2 bn 3) Bất đẳng thức Trêbưsep (Chebyshev) Cho hai dãy a1  a2   an b1  b2   bn n( a1b1  a2b2   anbn )  (a1  a2   an )(b1  b2   bn )  a1  a2   an Dấu “=” xảy   b1  b2   bn Nếu a1  a2   an b1  b2   bn bất đẳng thức đổi chiều 4) Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối | x|| y| | x  y| | x|| y| | x|| y| | x  y| | x|| y| Biên soạn: Phùng Văn Toán – 0985.62.99.66 – www.luyenthi24h.com 9) CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN Định nghĩa (un ) csc, công sai d un1  un  d Số hạng thứ n (un ) csn, công bội q un 1  un q un  u1  d ( n  1) u u un  n 1 n1 Sn  u1  u2   un số hạng liên tiếp Tổng n số hạng đầu un  u1.q n1 un  u n1.un 1 Sn  u1  u2   un n(u1  un )  qn  u1 1 q n[2u1  (n  1) d ]   Tổng số dãy số có quy luật n( n  1) n( n  1)(2n  1)     n  12  22   n  n( n  1)(n  2)  n( n  1)  1.2  2.3   n( n  1)  13  23   n3       10) TỔ HỢP – NHỊ THỨC NIUTƠN Số hoán vị Số chỉnh hợp Số tổ hợp Tính chất tổ hợp Pn  n!  1.2.3 n n! Ank  ( n  k )! n! Ak Cnk   n k !( n  k )! Pk n  Cnk  Cn k  Cnk11  Cnk1 n Nhị thức Niutơn n ( a  b)  nk bk k 0 n 1 n  C a  C a b   Cnk a nk b k   Cnn1abn 1  Cnnb n n 12) n k n C a GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ  Các phép toán giới hạn Cho f(x) g(x) hai hàm số có giới hạn x  x0 Khi lim  f ( x)  g ( x)  lim f ( x)  lim g ( x) x x0 x x0 x x0 lim  f ( x) g ( x)   lim f ( x ) lim g ( x ) x x0 x x0 x x0 Biên soạn: Phùng Văn Toán – 0985.62.99.66 – www.luyenthi24h.com lim f ( x) x x0 f ( x) lim  x x0 g ( x ) lim g ( x)  lim g( x)  0 x  x0 x x0 lim  f ( x)  x x0 g ( x) lim g ( x ) x  x0   lim f ( x)   x  x0     Một số giới hạn sin x ex  lim 1 lim 1 x 0 x 0 x x x  1 lim 1    e x  x   Tính liên tục hàm số Cho hàm số y  f ( x ) xác định khoảng ( a; b ) Hàm số f gọi liên tục điểm x0  (a; b) lim  lim  f ( x0 )  x x0 x  x0 Hàm số f gọi liên tục khoảng ( a; b) liên tục điểm khoảng Biên soạn: Phùng Văn Tốn – 0985.62.99.66 – www.luyenthi24h.com 3) Tính chất đường tam giác A G trọng tâm tam giác ABC GM  GA GM  AM AG  AM G B M D, E chân đường phân giác tam giác ABC DB AB  DC AC EB AB  EC AC E C A B D C 4) Một số định nghĩa Trọng tâm: giao điểm ba đường trung tuyến tam giác Trực tâm: giao điểm ba đường cao tam giác Tâm đường tròn nội tiếp: giao điểm ba đường phân giác tam giác Tâm đường tròn ngoại tiếp: giao điểm ba đường trung trực tam giác Nếu tam giác vng tâm đường trịn ngoại tiếp trung điểm cạnh huyền 20 Biên soạn: Phùng Văn Toán – 0985.62.99.66 – www.luyenthi24h.com 2) PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG 1) Hệ tọa độ mặt phẳng   i (1;0) j (0;1)   i  j 1  i j  2) Vecto  y  j O  i x  Cho hai vecto a  (a1 ; a2 ) b  (b1; b2 )  Định nghĩa  Tính chất Độ dài vecto Tổng, hiệu hai vecto Nhân với số thực k Hai vecto   a phương b Tích vơ hướng hai vecto Góc hai vecto  Ứng dụng Hai vecto vng góc A, B, C thẳng hàng ABCD hình bình hành Diện tích tam giác ABC     a  (a1; a2 )  a  a1 i  a2 j  a  a12  a2   a  b  ( a1  b1; a2  b2 )  k a  (ka1 ; ka2 )   a  b a  b  1  a2  b2   k  R cho a  kb  a1b2  a2b1      a.b  a b cos a, b  a1b1  a2b2    a.b a1b1  a2b2 cos a, b     a b a12  a2 b12  b22        a  b  a.b    AB phương    AB  DC yB  y A S ABC  yC  y A     AC  AB  k AC xB  x A xC  xA 3) Tọa độ điểm Cho hai điểm A( x A ; y A ) B( xB ; yB )  Định nghĩa  Tính chất   Tọa độ AB Độ dài đoạn AB     A( xA ; y A )  OA  x A i  y A j   AB  ( xB  x A ; y B  y A )   AB  AB  ( xB  xA )  ( yB  y A ) 21 Biên soạn: Phùng Văn Toán – 0985.62.99.66 – www.luyenthi24h.com  x  xB y A  y B  I A ;     x  xB  xC y A  y B  yC  G A ;  3      x  kxB y A  kyB  MA  k MB  M  A ;  1 k   1 k Trung điểm I AB Tọa độ tâm ABC M chia AB theo tỉ số k 4) Phương trình đường thẳng  Định nghĩa   Vecto n( a; b)  có giá vng góc với đường thẳng  vecto pháp tuyến    Vecto u (a; b)  có giá song song với đường thẳng  vecto phương    Phương trình tổng quát đường thẳng  qua điểm M ( x0 ; y0 ) có VTPT n( a; b)  : a ( x  x0 )  b ( y  y0 )  Phương trình tổng quát đường thẳng ax  by  c  (với a  b  )   Phương trình tham số đường thẳng  qua điểm M ( x0 ; y0 ) có VTCP u (a; b)  x  x0  at :  y  y0  bt   Phương trình tắc đường thẳng  qua điểm M ( x0 ; y0 ) có VTCP u ( a; b) x  x0 y  y0 :  (với ab  ) a b Nếu a  b  đường thẳng khơng có phương trình tắc  Phương trình đoạn chắn: Đường thẳng  qua hai điểm A( a;0) , B (0; b) x y  :   (với ab  ) a b  Các trường hợp đặc biệt PT tổng quát PT Chính tắc Trục Ox y0  / /Ox : y  m Trục Oy x0  / /Oy : x  n xt  y  x t : y  m x   y t x  n : yt  Vị trí tương đối hai đường thẳng Cho hai đường thẳng 1 : a1 x  b1 y  c1   : a2 x  b2 y  c2  Tọa độ giao điểm 1  nghiệm hệ phương trình  a1 x  b1 y  c1    a2 x  b2 y  c2  Từ đó: 22 Biên soạn: Phùng Văn Toán – 0985.62.99.66 – www.luyenthi24h.com 1 cắt  1 / /  1   Đặc biệt: Nếu a2 , b2 , - 1 cắt  - 1 / /  - 1    hệ có nghiệm  hệ có vơ nghiệm  hệ có vơ số nghiệm c2 khác 0, ta có a1 b1   a2 b2 a1 b1 c1    a2 b2 c2 a1 b1 c1    a2 b2 c2 5) Khoảng cách góc  Cho M ( xM ; yM ) , đường thẳng  : ax  by  c  Khoảng cách từ điểm M đến  ax  byM  c d ( M ; )  M a2  b2  Cho hai điểm M ( xM ; yM ) , N ( xN ; y N ) đường thẳng  : ax  by  c  Hai điểm M, N nằm phía  ( axM  byM  c)( ax N  by N  c )  Hai điểm M, N nằm khác phía  ( axM  byM  c)( ax N  by N  c )   Cho hai đường thẳng có phương trình 1 : a1 x  b1 y  c1   : a2 x  b2 y  c2  Phương trình hai đường phân giác góc tạo 1  có dạng a1 x  b1 y  c1 a2 x  b2 y  c2  0 2 2 a1  b1 a2  b2 Góc tạo hai đường thẳng    n1.n2 a1a2  b1b2 cos  1;        n1 n2 a12  b12 a2  b22 6) Phương trình đường trịn  Phương trình đường tròn tâm I ( x0 ; y0 ) , bán kính R : ( x  x0 )  ( y  y0 )  R  Phương trình tổng qt đường trịn: x  y  2ax  2by  c  ( a  b  c ) có tâm I ( a; b) , bán kính R  a  b  c  Đường thẳng  tiếp tuyến đường tròn tâm I, bán kính R : d ( I ; )  R 23 Biên soạn: Phùng Văn Toán – 0985.62.99.66 – www.luyenthi24h.com 7) Đường Elip  Các yếu tố Elip Phương trình elip: x2 y2  1 a b2 (a  b  0) Đặt c  a  b Tiêu cự: Tọa độ hai tiêu điểm: Độ dài trục lớn Độ dài trục nhỏ F1 F2  2c (c  0) F1 (c;0) , F2 (c;0) A1 A2  2a M B1B2  2b c Tâm sai: e (0  e  1) F2 F1 a a Đường chuẩn: x e M ( x; y ) điểm Elip: c c MF1  a  x  a  ex MF2  a  x  a  ex MF1  MF2  2a a a  x  a cos t  Phương trình tham số elip t  [0;2 )  y  b sin t  xx y y  Phương trình tiếp tuyến với elip điểm M ( x0 ; y0 )  ( E ) là: ( ) : 02  02  a b 2 Đường thẳng (  ) : Ax  By  C  tiếp tuyến elip (E)  A a  B 2b  C 8) Đường Hypebol  Các yếu tố Hypebol x2 y Phương trình hypebol:  a b 2 Đặt c  a  b Tiêu cự: Tọa độ hai tiêu điểm: Độ dài trục thực: Độ dài trục ảo: Phương trình tiệm cận: Tâm sai: Đường chuẩn: Phương trình tiệm cận: 24  F1F2  2c F1 ( c;0) , F2 (c;0) A1 A2  2a B1B2  2b b y x a c e (e  1) a a x e b y x a Biên soạn: Phùng Văn Toán – 0985.62.99.66 – www.luyenthi24h.com M ( x; y ) điểm hypebol: MF1  MF2  2a  MF  a  ex x  , ta có   MF2   a  ex  MF  (a  ex ) x  , ta có   MF2  (  a  ex ) xx y y  Phương trình tiếp tuyến với hypebol điểm M ( x0 ; y0 )  ( H ) : ( ) : 02  02  a b 2  Đường thẳng ( ) : Ax  By  C  tiếp tuyến hypebol (H)  A a  B 2b  C 9) Đường parabol  Các yếu tố Parabol Phương trình parabol: y  px ( p  0) p  Tọa độ tiêu điểm F: F  ;0  2  p 0  Phương trình tiếp tuyến với parabol điểm M ( x0 ; y0 )  ( P ) là: (  ) : y0 y  p ( x  x0 ) Đường thẳng (  ) : Ax  By  C  tiếp tuyến parabol (P)  B p  AC Đường chuẩn: () : x  25 Biên soạn: Phùng Văn Toán – 0985.62.99.66 – www.luyenthi24h.com 3) HÌNH HỌC KHƠNG GIAN 1) Các định nghĩa Giao tuyến: Hai mặt phẳng cắt theo đường thẳng đường thẳng gọi giao tuyến hai mặt phẳng Hình chóp hình chóp có đáy đa giác cạnh bên 2) Chứng minh ba đường thẳng a , b , c đồng quy Tìm ba mặt phẳng ( P ) , (Q ) , ( R ) cho a  ( P)  (Q), b  (Q)  ( R), c  ( R)  ( P) 3) Chứng minh hai đường thẳng vng góc a  b  (Định nghĩa – tr97): Nếu đường thẳng vuông góc với mặt phẳng vng góc với đường thẳng nằm mặt phẳng b  ( P) Tìm mặt phẳng ( P) cho   ab a  ( P)   Nếu đường thẳng vng góc với hai đường thẳng song song vng góc với đường thẳng cịn lại a  c Tìm đường thẳng c cho   ab b / /c   (Nhận xét tr 94): Một đường thẳng vng góc với hai đường thẳng song song vng góc với đường thẳng cịn lại  a / /a '  Tìm hai đường thẳng a ' b ' cho  b / / b '  a  b a '  b '   (Tính chất – tr 99): Cho đường thẳng a mặt phẳng (P) song song với Đường thẳng vng góc với (P) vng góc với a  a / /( P) Tìm mặt phẳng ( P ) cho   ab b  ( P )  (Định lý – tr100): Cho đường thẳng a không vng góc với mặt phẳng (P) đường thẳng b nằm (P) Khi đó, điều kiện cần đủ để b vng góc với a b vng góc với hình chiếu a’ a (P) Tìm hình chiếu a’ a xuống ( P ) , a '  b  a  b 4) Chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng d  ( P )  (Định lý – tr 97): Nếu đường thẳng d vng góc với hai đường thẳng cắt a b nằm mặt phẳng (P) đường thẳng d vng góc (P) 26 Biên soạn: Phùng Văn Toán – 0985.62.99.66 – www.luyenthi24h.com a  d Tìm hai đường thẳng a  ( P ) b  ( P ) cho   d  ( P) b  d  (Tính chất – tr 98): Mặt phẳng vng góc với hai đường thẳng song song vng góc với đường thẳng cịn lại d / / d ' Tìm đường thẳng d’ cho   d  (P)  d '  ( P)  (Tính chất – tr 99): Đường thẳng vng góc với hai mặt phẳng song song vng góc với mặt phẳng cịn lại ( P) / /(Q) Tìm mặt phẳng (Q) cho   d  ( P)  d  (Q)  (Định lý – tr 106): Nếu hai mặt phẳng (P) (Q) vng góc đường thẳng d nằm (Q), vng góc với giao tuyến (P) (Q) vng góc với mặt phẳng (P)  d  (Q)  Tìm mặt phẳng (Q) cho  (Q)  ( P )  d  ( P)  d  ( P)  (Q)   (Hệ – tr 107): Nếu hai mặt phẳng cắt vng góc với mặt phẳng thức ba giao tuyến chúng vng góc với mặt phẳng thứ ba  ( )  ( P)  Tìm hai mặt phẳng ( ) (  ) cho  (  )  ( P)  d  ( P)  d  ( )  (  )  5) Chứng minh hai mặt phẳng vng góc ( P )  (Q )  (Định lý – tr 105): Nếu mặt phẳng chứa đường thẳng vng góc với mặt phẳng khác hai mặt phẳng vng góc với d  ( P) Tìm đường thẳng d cho   ( P)  (Q)  d  (Q) 6) Khái niệm góc  Góc hai đường thẳng d1 d góc hai đường thẳng d1 ' d ' qua điểm song song (hoặc trùng) với d1 d  Cho đường thẳng d khơng vng góc (P), góc đường thẳng d mặt phẳng (P) góc đường thẳng d hình chiếu d’ d (P)  Góc hai mặt phẳng góc hai đường thẳng vng góc với hai mặt phẳng Chú ý: Khi hai mặt phẳng (P) (Q) cắt theo giao tuyến d, để tính góc chúng, ta việc xét mặt phẳng (R) vng góc với d, cắt (P) (Q) theo giao tuyến p q Khi góc (P) (Q) góc p q 27 Biên soạn: Phùng Văn Toán – 0985.62.99.66 – www.luyenthi24h.com 4) PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN 1) Hệ tọa độ khơng gian    i (1;0;0), j (0;1;0), k (0;0;1) Oz  k    i  j  k 1  j     i j  j.k  k i   i Oy Ox 2) Các trường hợp đặc biệt  Mặt phẳng tọa độ, trục tọa độ Mặt phẳng (Oxy ) Phương trình z0 (Oyz) x0 y0 (Ozx ) Trục Ox Oy Oz Vecto pháp tuyến   n  k  (0;0;1)   n  i  (1;0;0)   n  j  (0;1;0) Vecto phương    uOx  i  (1;0;0)    uOy  j  (0;1;0)    uOz  k  (0;0;1) Điểm M M ( x; y;0) M (0; y; z ) M ( x;0; z ) Điểm M M ( x;0;0) M (0; y;0) M (0;0; z )  Hình chiếu, điểm đối xứng M ( x; y; z ) qua mặt tọa độ, trục tọa độ Trục Ox Trục Oy Trục Oz Mặt (Oxy ) Mặt (Oyz ) Mặt (Ozx ) Điểm O Hình chiếu M xuống ( x;0;0) (0; y;0) (0;0; z ) ( x; y;0) (0; y; z ) ( x;0; z ) 3) Vectơ không gian       Định nghĩa u  ( x; y; z )  u  x.i  y j  z.k  Tính chất 28 Điểm đối xứng M qua ( x;  y;  z ) ( x; y;  z ) ( x;  y; z ) ( x; y;  z ) (  x; y; z ) ( x;  y; z ) ( x;  y;  z ) Biên soạn: Phùng Văn Toán – 0985.62.99.66 – www.luyenthi24h.com   Cho a  (a1; a2 ; a3 ) b  (b1; b2 ; b3 )  2 Độ dài vecto a  a12  a2  a3   Tổng hiệu hai vecto a  b  ( a1  b1 ; a2  b2 ; a3  b3 )  Nhân số với vecto ka  (ka1; ka2 ; ka3 ) (k  R)  a1  b1    Hai vectơ a  b  a2  b2 a  b      a phương b k  R cho a  kb a1 a2 a3    (b1 ; b2 ; b3  0) b1 b2 b3     u , v  w  Ba vecto đồng phẳng        Tích vơ hướng a.b  a b cos a, b  a1b1  a2b2  a3b3   Tích có hướng Góc tạo hai vecto    a a3 a3 a1 a1 a2   a; b    ; ;    b2 b3 b3 b1 b1 b2      a.b a1b1  a2b2  a3b3 cos a, b     2 ab a12  a2  a3 b12  b22  b32    Ứng dụng vectơ Hai vectơ vng góc Ba điểm A, B, C thẳng hàng Bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng ABCD hình bình hành Diện tích tam giác ABC Thể tích tứ diện ABCD Thể tích hình hộp ABCD.A’B’C’D’    a  b  a.b     AB phương AC       AB, AC  AD      AB  DC     S ABC   AB; AC   2      VABCD   AB, AC  AD  6     VABCD A ' B 'C ' D '   AB, AD  AA '   4) Tọa độ điểm    Định nghĩa M ( x; y; z )  OM  ( x; y; z )  Tính chất Cho A( x A ; y A ; z A ) B ( xB ; y B ; z B )   Tọa độ vecto AB  ( xB  xA ; yB  y A ; zB  z A )   Độ dài đoạn thẳng AB  AB  ( xB  x A )  ( y B  y A )  ( z B  z A ) 29 Biên soạn: Phùng Văn Toán – 0985.62.99.66 – www.luyenthi24h.com  x  xB y A  y B z A  z B  M trung điểm đoạn thẳng AB: M  A ; ;  2    x  xB  xC y A  yB  yC z A  zB  zC  G trọng tâm tam giác ABC: G  A ; ;  3      x  kxB y A  kyB z A  kz B  Điểm M chia AB theo tỉ số k  MA  k MB  M  A ; ;  1 k 1 k   1 k 5) Phương trình mặt cầu Dạng 1: PTMC (S) có tâm I (a; b; c ) bán kính R: ( x  a )  ( y  b)  ( z  c )  R Dạng 2: Phương trình x2  y  z  2ax  2by  2cz  d  PTMC tâm I ( a;  b;  c ) , bán kính R  a  b  c  d (với a  b  c2  d  ) 6) Phương trình mặt phẳng  PTMP qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) có VTPT n  ( A; B; C ) là: A( x  x0 )  B ( y  y0 )  C ( z  z0 )   PTTQ mặt phẳng: Ax  By  Cz  D  với n  ( A; B; C ) vecto pháp tuyến PTMP qua A( a;0;0) , B (0; b;0) C (0;0; c ) (với abc  ) có dạng x y z   1 a b c 7) Phương trình đường thẳng  PTTS đường thẳng d qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) có VTCP a  (a1; a2 ; a3 )  x  x0  a1t  ( d ) :  y  y0  a2t (t  R) z  z a t  Nếu a1.a2 a3  ( d ) : x  x0 y  y0 z  z0   PTCT đường thẳng d a b c 8) Cơng thức góc, khoảng cách   Góc hai vecto u v Góc hai đường thẳng 30    u.v cos u, v    u v   ud1 ud2 cos  d1 , d2     ud1 ud2   Biên soạn: Phùng Văn Toán – 0985.62.99.66 – www.luyenthi24h.com Góc hai mặt phẳng ( ) (  ) Góc đường thẳng d mặt phẳng ( )     n n cos  ( ),( )       n n     ud n sin(d ,( ))      ud n Khoảng cách từ điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) đến mặt phẳng ( P) : Ax  By  Cz  D  Ax0  By0  Cz0  D d( M / P )  A2  B  C     M M , ud  Khoảng cách từ điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) đến đường thẳng d : d ( M / d )      ud     ud , u d  M 1M  2 Khoảng cách hai đường thẳng chéo d1 , d : d ( d1 ,d2 )    u d , u d   2  Trường hợp đặc biệt Nếu d1 / / d Khoảng cách d1 , d tính theo hai cách sau C1: Lấy M  d1  d( d1 ,d2 )  d( M / d2 ) C2: Lấy N  d  d( d1 ,d2 )  d( N / d1 ) Nếu ( P ) / /(Q) Khoảng cách ( P ) (Q ) tính theo hai cách C1: Lấy M  ( P)  d( P ,Q )  d( M /Q ) C2: N  ( Q )  d ( P ,Q )  d ( N / P ) Nếu d / /( P) Khoảng cách d ( P) tính theo hai cách C1: Lấy M  d  d ( d , P )  d ( M / P ) C2: Lấy N  ( P)  d( d , P )  d ( N / d ) 9) Vị trí tương đối  Vị trí tương đối hai đường thẳng     d , d ' đồng phẳng  u, u ' MM '       u , u '    d , d ' song song       u , MM '         d , d ' vng góc  u  u '  u.u '      d , d ' chéo  u, u ' MM '       u , u '    d , d ' cắt        u , u ' MM '    Chú ý: Để hiểu công thức trên, ta dùng cơng thức vecto sau 31 Biên soạn: Phùng Văn Tốn – 0985.62.99.66 – www.luyenthi24h.com      Hai vecto u v phương  u, v             Ba vecto u , v w đồng phẳng  u, v  w     Vị trí tương đối hai mặt phẳng     ( P) cắt (Q )  nP không phương nQ     ( P ) vng góc (Q )  nP  nQ     ( P) song song (Q) nP phương nQ           nP , nQ         nP nQ        nP , nQ      Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng  x  x0  at  Cho đường thẳng d :  y  y0  bt mặt phẳng ( P ) : Ax  By  Cz  D   z  z  ct  Xét phương trình A( x0  at )  B ( y0  bt )  C ( z0  ct )  ( t ẩn) (*) Nếu (*) vô nghiệm  d / /( P ) Nếu (*) có nghiệm  d cắt ( P ) Nếu (*) có vơ số nghiệm  d  ( P)  Vị trí tương đối mặt phẳng ( P) mặt cầu ( S ) tâm I, bán kính R ( P) tiếp xúc ( S ) d( I ,P )  R  ( P) cắt ( S ) ( P ) không cắt ( S )   d( I , P )  R d( I , P )  R  Vị trí tương đối đường thẳng d mặt cầu ( S ) tâm I, bán kính R d ( I ,d )  R d tiếp xúc ( S )  d ( I ,d )  R d cắt ( S )  d không cắt ( S )  d ( I ,d )  R  Vị trí tương đối hai mặt cầu ( S1 ) , ( S )  I1I  R1  R2 I1I  R1  R2 ( S1 ) , ( S )  ( S1 ) , ( S ) tiếp xúc  I1I  R1  R2  I1I  R1  R2 ( S1 ) , ( S ) tiếp xúc ( S1 ) , ( S ) cắt theo đường tròn  R1  R2  I1 I  R1  R2 32 Biên soạn: Phùng Văn Tốn – 0985.62.99.66 – www.luyenthi24h.com CÁC CƠNG THỨC KHÁC 1) Cơng thức tính chu vi, diện tích, thể tích  Cơng thức chu vi, diện tích Kí hiệu: S – Diện tích, P – Chu vi Tam giác S  AH BC P  AB  BC  CA A B C H A Hình thang: ( AB  CD ) AH S B P  AB  BC  CD  DA D C B H A Hình bình hành: S  AB AH P  2.( AB  BC ) C D H Hình thoi: S  AC.BD A P  AB B D C A D Hình chữ nhật: S  AB.BC B C P  2( AB  BC ) A D Hình vng: S  AB B C P  AB R Đường tròn: S   R2 Hình quạt:  S  R2 l: Độ dài cung ,  :rad P  2 R  l R R 33 Biên soạn: Phùng Văn Tốn – 0985.62.99.66 – www.luyenthi24h.com  Cơng thức thể tích Kí hiệu: S – Diện tích đáy, h – chiều cao, R – Bán kính hình cầu Thể tích hình trụ: Thể tích hình chóp đa giác, hình nón: Thể tích hình cầu: V  S h V  S h V   R3 2) Các tập hợp số Tập số tự nhiên N  0,1,2, ,} Tập số tự nhiên khác Tập số nguyên N *  {1,2,3, } Z  { ,  2,  1,0,1,2, } Tập số nguyên dương Z   {1,2,3, } a  Q   | a  Z ,b  Z   b  a   I  x  | a  Z ,b  Z   b   R  I Q C  {a  bi | a, b  R} Tập số hữu tỉ Tập số vô tỉ Tập số thực Tập số phức Chú ý: N*  N  Z  Q  R  C IR HẾT 34 ... năm chuyên luyện thi Cao Đẳng – Đại Học cho nhiều hệ học sinh, thấy đa số em học sinh cần có sổ tay để tra cứu tổng hợp lại kiến thức mơn Tốn Tài liệu biên soạn với mong muốn tổng hợp tồn lượng... liệu ôn thi đề thi thử trường THPT khác, giúp cho bạn học sinh thuận lợi tham khảo Bạn đọc muốn tìm nơi luyện thi tốt, lớp học sinh, liên lạc với tơi theo địa đây: Tác giả: Phùng Văn Toán - ĐHBKHN... kiến mơn tốn thức từ lớp đến lớp 12 dùng kì thi tuyển sinh Đại Học Bộ Giáo Dục Đào Tạo Mặc dù cố gắng, tài liệu tránh khỏi thi? ??u sót Tơi bổ sung thường xuyên đưa lên địa www.luyenthi24h.com (Trong