tổng hợp công thức toán luyện thi đại học

tổng hợp công thức toán luyện thi đại học với nội dung đầy đủ tất cả các công thức cần thiết

x o

c

LỜI NÓI ĐẦU

Với kinh nghiệm 10 năm chuyên luyện thi Cao Đẳng – Đại Học cho nhiều thế hệ học sinh, tôi thấy đa số các em học sinh rất cần có một cuốn sổ tay để tra cứu cũng như tổng hợp lại kiến thức môn Toán Tài liệu này được tôi biên soạn với mong muốn tổng hợp toàn bộ lượng kiến môn toán thức từ lớp 7 đến lớp 12 dùng trong kì thi tuyển sinh Đại Học của Bộ Giáo Dục và Đào Tạo

Mặc dù đã rất cố gắng, nhưng tài liệu cũng không thể tránh khỏi những thiếu sót Tôi sẽ bổ sung thường xuyên và đưa lên địa chỉ

www.luyenthi24h.com (Trong mục tài liệu tự biên soạn) Tại đây tôi cũng đưa lên rất nhiều tài liệu ôn thi và cả các đề thi thử của các trường THPT khác, giúp cho các bạn học sinh thuận lợi khi tham khảo

Bạn đọc muốn tìm nơi luyện thi tốt, lớp ít học sinh, có thể liên lạc với tôi theo địa chỉ dưới đây:

Tác giả: Phùng Văn Toán - ĐHBKHN Địa Chỉ: Bắc Lãm, Phú Lương, Hà Đông, HN Điện thoại: 0985.62.99.66

Email: luyenthi24h@gmail.com Website: www.luyenthi24h.com

Bắc Lãm, Ngày… Tháng… Năm…

MỤC LỤC

ĐẠI SỐ

2 Tính chất của hai tỉ số bằng nhau 7

2 Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng 10

1) GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

00

x khi x x

5) TAM THỨC BẬC HAI

1) Nghiệm của phương trình bậc hai ax2bx c 0 (a0)

Đặt  b24ac

 Nếu   thì phương trình vô nghiệm 0

 Nếu   thì phương trình có nghiệm kép 0

2

b x

3) Dấu của nghiệm

Phương trình bậc hai: ax2bx  (c 0 a 0) có hai nghiệm phân biệt:

Cùng dấu 

1 2

00

 Nếu   thì 0 f x cùng dấu với hệ số a, x( ) 

 Nếu   thì ( )0 f x cùng dấu với hệ số a,

2

b x

a

  

 Nếu  0, gọi hai nghiệm là x x (1, 2 x1x2) thì ( )f x cùng dấu với hệ số a

Cho tam thức bậc hai ax2 bx c 0 (a0) và hai số 

x  x  af  

1 2

0( ) 02

 , y D y

D

Nếu D  0

+ Nếu D  hoặc x 0 D  thì hệ vô nghiệm y 0

+ Nếu D x D y  thì hệ có vô số nghiệm 0

7) PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH

1) Phương trình chứa căn

20

2

00

0

A B

A B

A B B

0

A B

A B

A B B

0

B B

B B

7) Các bất phương trình khác

00

A B

4) Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối

| | | |x  y |x y|| | | |x  y | | | |x  y |x y|| | | |x  y

n A







11) CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

x

sin

x x

 Công thức nhân đôi

sin 2x2sin cosx x tan 2 2 tan2

1 tan

x x

x



2

cosn  2cos(n1) cos  cos(n2)

1 cos 2

x x

1

t x

1

t x

1

t x

t





21cot

2

t x

t





 Công thức cộng

sin(x y)sin cosx ycos sinx y cos(x y)cos cosx ysin sinx y

sin(x y)sin cosx ycos sinx y cos(xy)cos cosx ysin sinx y

tan tantan( )

 Công thức biến đổi tổng thành tích

 Các cung liên kết: Đối – Bù – Phụ - Hơn kém ;

sin( x)sinx cos( x) cosx

sin( x) sinx cos( x) cosx

 Công thức nghiệm

2sin sin

 Giá trị lượng giác

Công thức chuyển đổi đơn vị từ 0 sang x radian và ngược lại

0

0180

3

32

22

Cho hàm số y f x( ) có đạo hàm trên (a;b)

Nếu '( )f x  0  x ( ; )a b thì ( )f x đồng biến trên ( ; ) a b

Nếu '( )f x  0  x ( ; )a b thì ( )f x nghịch biến trên ( ; ) a b

Trong đó f x là hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm tiếp xúc M '( )0

 Điều kiện để hàm số y f x( ) tiếp xúc với hàm số yg x( ) là hệ phương trình sau

có nghiệm

( ) ( )'( ) '( )

4) Vẽ đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối

 Dạng 1: Cho hàm số y f x( ) có đồ thị (C) Từ đó suy ra đồ thị của hàm số (C1):

+ Phần 1: Là phần đồ thị của ( ) :C y f x( ) nằm bên phải Oy

+ Phần 2: Là phần đồ thị ở phần 1 lấy đối xứng qua Oy

 Dạng 3: Dựa vào đồ thị hàm số ( ) :C y f x( ) suy ra đồ thị của hàm số

+ Phần 1: Là phần đồ thị của ( ) :C y f x( ) nằm phía trên Ox

+ Phần 2: Là phần đồ thị ở phần 1 lấy đối xứng qua Ox

Nằm về hai phía đường thằng d  ax A by A c ax B by B c 0

(sin )'x cosx (sin ) 'u u'.cosu

(cos ) 'x  sinx (cos ) 'u  u'.sinu

2 2

x

u

1

u a



x x x

loga x nnloga x loga n x 1loga x

n

a c

1log

c

b b

2loga x n  2 log | |n a x với n nguyên dương và x  0

 với n nguyên dương và a {0;1}

3) Chiều biến thiên

2) Dạng lượng giác của số phức

Với zabi, đặt r z  a2b2 và góc  (rad) thỏa mãn

cossin

a r b r

Cho hai số phức z1r1(cos1isin1) và z2 r2(cos2isin2)

 Công thức Moa-vrơ r(cos isin ) n r n(cosn  isinn )  n Z

 Căn bậc n của số phức n n cos k2 sin k2

 Mở rộng: Căn bậc hai của số phức

Cho số phức zabi Nêu có số phức  sao cho z2 thì  được gọi là căn bậc hai của z

Nếu b  , các căn bậc hai của z là 0

1) CÔNG THỨC TRONG TAM GIÁC

m h Độ dài đường trung tuyến, đường cao kẻ từ A

1) Hệ thức lượng trong mọi tam giác

3) Tính chất các đường trong tam giác

G là trọng tâm tam giác ABC

12

GM

GA 

13

GM

AM 

23

AG

AM 

D, E là chân đường phân giác trong và ngoài

của tam giác ABC

Trọng tâm: là giao điểm của ba đường trung tuyến trong tam giác

Trực tâm: là giao điểm của ba đường cao trong tam giác

Tâm đường tròn nội tiếp: là giao điểm của ba đường phân giác trong tam giác

Tâm đường tròn ngoại tiếp: là giao điểm của ba đường trung trực trong tam giác Nếu tam giác vuông thì tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm cạnh huyền

2) PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG

Tích vô hướng hai vecto a b   a b  .cos a b ,  a b1 1a b2 2

3) Tọa độ của điểm

Cho hai điểm A x( A;y A) và B x( B;y B)

Trung điểm I của AB ;

có giá song song với đường thẳng  là vecto chỉ phương của 

 Phương trình tổng quát đường thẳng  đi qua điểm M x y và có VTPT ( ;0 0) n a b( ; )

 Phương trình đoạn chắn: Đường thẳng  đi qua hai điểm ( ;0)A a , (0; )B b

 Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng 1:a x1 b y1 c1 và 0 2:a x2 b y2 c2  0

Tọa độ giao điểm của  và 1  là nghiệm của hệ phương trình 2

00

 Cho hai điểm M x( M;y M), N x( N;y N) và đường thẳng :axby  c 0

Hai điểm M, N nằm cùng phía đối với  khi

(ax M by M c ax)( N by N c) 0Hai điểm M, N nằm khác phía đối với  khi

(ax M by M c ax)( N by N c) 0

 Cho hai đường thẳng có phương trình

1:a x1 b y1 c1 0

    và 2:a x2 b y2 c2 0Phương trình hai đường phân giác của các góc tạo bởi  và 1  có dạng 2

 Phương trình đường tròn tâm I x y , bán kính R : ( ;0 0) (xx0)2(yy0)2 R2

 Phương trình tổng quát của đường tròn: x2 y22ax2by  (c 0 a2 b2 c)

có tâm I( a b; ), bán kính R a2b2 c

 Đường thẳng  là tiếp tuyến của đường tròn tâm I, bán kính R : d I( ; ) R

M x y là điểm bất kì trên Elip:

 Phương trình tiếp tuyến với parabol tại điểm M x y( ;0 0)( )P là:

( ) : y y p x( x )Đường thẳng ( ) : AxByC là tiếp tuyến của parabol (P) 0  B p2 2AC

3) HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

1) Các định nghĩa

Giao tuyến: Hai mặt phẳng cắt nhau theo một đường thẳng thì đường thẳng đó được gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng

Hình chóp đều là hình chóp có đáy đa giác đều và các cạnh bên bằng nhau

2) Chứng minh ba đường thẳng , ,a b c đồng quy

Tìm ba mặt phẳng ( )P , ( ) Q , ( ) R sao cho

( ) ( ), ( ) ( ), ( ) ( )

a P  Q b Q  R c R  P

3) Chứng minh hai đường thẳng vuông góc a b

 (Định nghĩa – tr97): Nếu một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng thì

nó sẽ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó

 (Nhận xét tr 94): Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng

song song thì vuông góc với đường thẳng còn lại

Tìm hai đường thẳng 'a và ' b sao cho

/ / '/ / '' '

là b vuông góc với hình chiếu của a’ của a trên (P)

Tìm hình chiếu a’ của a xuống ( ) P , nếu ' a b  ab

4) Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng d  ( )P

 (Định lý 1 – tr 97): Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau

a và b cùng nằm trong mặt phẳng (P) thì đường thẳng d vuông góc (P)

Tìm hai đường thẳng a( )P và b( )P sao cho a d d ( )P

 (Tính chất 3 – tr 98): Mặt phẳng nào vuông góc với một trong hai đường thẳng

song song thì cũng vuông góc với đường thẳng còn lại

Tìm đường thẳng d’ sao cho / / ' ( )

 (Tính chất 4 – tr 99): Đường thẳng nào vuông góc với một trong hai mặt phẳng

song song thì cũng vuông góc với mặt phẳng còn lại

 (Hệ quả 2 – tr 107): Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với mặt

phẳng thức ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba

Tìm hai mặt phẳng ( ) và ( ) sao cho

5) Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc ( )P ( )Q

 (Định lý 2 – tr 105): Nếu một mặt phẳng chứa một đường thẳng vuông góc với

một mặt phẳng khác thì hai mặt phẳng đó vuông góc với nhau

Tìm đường thẳng d sao cho ( ) ( ) ( )

 Góc giữa hai đường thẳng d và 1 d là góc giữa hai đường thẳng 2 d và 1' d 2'

cùng đi qua một điểm và lần lượt song song (hoặc trùng) với d và 1 d 2

 Cho đường thẳng d không vuông góc (P), góc giữa đường thẳng d và mặt

phẳng (P) là góc giữa đường thẳng d và hình chiếu d’ của d trên (P)

 Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó

Chú ý: Khi hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến d, để tính góc

giữa chúng, ta chỉ việc xét mặt phẳng (R) vuông góc với d, lần lượt cắt (P) và

4) PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

1) Hệ tọa độ trong không gian

 Hình chiếu, điểm đối xứng của M x y z qua các mặt tọa độ, trục tọa độ ( ; ; )

Hình chiếu của M xuống Điểm đối xứng của M qua

Cho a( ;a a a1 2; 3)

và b( ; ; )b b b1 2 3

Độ dài vecto a  a12a22a32

Tổng hiệu hai vecto a b(a1b a1; 2b a2; 3b3)

Nhân một số với một vecto k a(ka ka ka1; 2; 3)

(kR)Hai vectơ bằng nhau

M là trung điểm của đoạn thẳng AB: ; ;

là vecto pháp tuyến PTMP đi qua ( ;0;0)A a , (0; ;0)B b và (0;0; )C c (với abc  ) có dạng 0

Góc giữa hai mặt phẳng ( ) và ( ) cos ( ),( )  .

Hai vecto u

và v cùng phương  u v, 0

 n n  P Q 0( )P song song ( ) Q  nP

Nếu (*) có vô số nghiệm  d ( )P

 Vị trí tương đối của mặt phẳng ( )P và mặt cầu ( ) S tâm I, bán kính R

1) Công thức tính chu vi, diện tích, thể tích

 Công thức chu vi, diện tích

Kí hiệu: S – Diện tích, P – Chu vi

Tam giác

1

.2