Tài liệu Các chuyên đề luyện thi Đại học môn Toán với Chuyên đề 1: Khảo sát hàm số và các bài toán liên quan do Đặng Thanh Nam thực hiện nhằm giới thiệu đến người học các nội dung, kiến thức, phương pháp giải bài tập về khảo sát hàm số, tài liệu hướng dẫn phương pháp giải một số dạng bài toán về khảo sát hàm số. Mời các bạn cùng tham khảo tài liệu để nắm vững nội dung chi tiết.
Chuyên đề 1: PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ & BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TÓM TẮT GIÁO KHOA CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC CƠ BẢN (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 a + b = (a + b) − 2ab a + b = (a − b) + 2ab (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 a + b3 = (a + b)3 − 3ab(a + b) a2 − b2 = (a + b)(a − b) (a − b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3 a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2 ) a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2 ) Áp dụng: Biết x + y = S xy = P Hãy tính biểu thức sau theo S P a) A = x + y b) B = (x - y) c) C = x + y A PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ I Giải biện luận phương trình bậc nhất: Dạng : ⎧x : ẩn số ⎨ ⎩a, b : tham số ax + b = (1) Giải biện luận: Ta có : Biện luận: (1) ⇔ ax = -b (2) b a • Nếu a = (2) trở thành 0.x = -b * Nếu b ≠ phương trình (1) vô nghiệm * Nếu b = phương trình (1) nghiệm với x Tóm lại : b • a ≠ : phương trình (1) có nghiệm x = − a • a = b ≠ : phương trình (1) vô nghiệm • a = b = : phương trình (1) nghiệm với x • Nếu a ≠ (2) ⇔ x = − d) D = x4 + y4 Áp dụng: Ví dụ : Giải biện luận phương trình sau: 1) x + 3m = mx + 2 2) m x + = x + 2m x−m x−2 = 3) x +1 x −1 x + 3m m 2m − 4) = + x +1 x −1 x −1 Điều kiện nghiệm số phương trình: Đònh lý: Xét phương trình ax + b = (1) ta có: • (1) có nghiệm ⇔ • (1) vô nghiệm ⇔ • (1) nghiệm với x ⇔ a ≠0 ⎧a = ⎨ ⎩b ≠ ⎧a = ⎨ ⎩b = Áp dụng: Ví dụ : 1) Với giá trò a, b phương trình sau nghiệm với x a − ( x + 1)a + x − b = ( a = ±1; b = ) 2) Cho phương trình (2m − 1) x + (3 − n)( x − 2) − 2m + n + = Tìm m n để phương trình nghiệm với x 3) Cho phương trình: (2m + 1) x − 3m + = x + m Tìm m để phương trình có nghiệm x ∈ ( 0;3) 4) Cho phương trình: (3m − 2) x − m = 4mx + 2m − Tìm m ngun để phương trình có nghiệm ngun 5) Cho phương trình: 2mx − x = (m < ∨m >2) ( m ∈ {−3; −13; −1;9} ) x−m x Với giá trị m phương trình có nghiệm 6) Với giá trò m phương trình sau có nghiệm 2x + m x − 2m + − x −1 = x −1 x −1 7) Cho phương trình: ( m = − ;n =1) ( < m < 3) x − ⎡⎣(2m − 3) x + m + (1 − m) x − 3⎤⎦ = Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt (2 < m < ) BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN Thời gian 10 phút ĐỀ: Bài 1: Phương trình 3(m + 4)x + = 2x + 2(m − 3) có nghiệm với giá trò m là: 10 (B) m = − (C) m ≠ − (D) m ≠ (A) m = 3 Bài 2: Phương trình (m − 2)(x + 1) = x + vô nghiệm với giá trò m là: (B) m = ±1 (C) m = ±2 (A) m = Bài 3: Phương trình (m + 3m)x + m + = có tập nghiệm R : (A) m = (B) m = −3 (C) m = 0; m = −3 2x + m Bài 4: Phương trình = m vô nghiệm với giá trò m là: x −1 (B) m = −2 (C) m = ±2 (A) m = −mx + m + = m vô nghiệm với giá trò m là: Bài 5: Phương trình x−2 (A) m = (B) m = (C) m = 0; m = (D) m = ± (D) Một đáp số khác (D) Không có m (D) Một đáp số khác ĐÁP ÁN: Bài 1: Phương trình 3(m + 4)x + = 2x + 2(m − 3) có nghiệm với giá trò m là: 10 (B) m = − (C) m ≠ − (D) m ≠ (A) m = 3 Bài 2: Phương trình (m − 2)(x + 1) = x + vô nghiệm với giá trò m là: (B) m = ±1 (C) m = ±2 (A) m = Bài 3: Phương trình (m + 3m)x + m + = có tập nghiệm R : (A) m = (B) m = −3 (C) m = 0; m = −3 2x + m Bài 4: Phương trình = m vô nghiệm với giá trò m là: x −1 (A) m = (B) m = −2 (C) m = ±2 −mx + m + = m vô nghiệm với giá trò m là: Bài 5: Phương trình x−2 (A) m = (B) m = (C) m = 0; m = (D) m = ± (D) Một đáp số khác (D) Không có m (D) Một đáp số khác II.Giải biện luận phương trình bậc hai: Dạng: ⎧x : ẩn số ⎨ ⎩a, b , c : tham số ax + bx + c = (1) Giải biện luận phương trình : Xét hai trường hợp Trường hợp 1: Nếu a = (1) phương trình bậc : bx + c = • b ≠ : phương trình (1) có nghiệm x = − c b • b = c ≠ : phương trình (1) vô nghiệm • b = c = : phương trình (1) nghiệm với x Trường hợp 2: Nếu a ≠ (1) phương trình bậc hai có Biệt số Δ = b − 4ac ( Δ ' = b '2 − ac với b' = Biện luận: ) Nếu Δ < pt (1) vô nghiệm ) Nếu Δ = pt (1) có nghiệm số kép x1 = x2 = − b 2a ) Nếu Δ > pt (1) có hai nghiệm phân biệt x1,2 = −b ± Δ 2a Áp dụng: Ví dụ 1: Giải phương trình sau: − 12 x =x 1) 12 x − x2 + 2x − 2) = −3 ( x − 1)2 Ví dụ 2: 1) Giải biện luận phương trình : x − x = m( x − 1) − 2) Giải biện luận phương trình : (m − 1) x + (2m − 3) x + m + = ( x1 = x2 = − ( x1,2 = b' ) a − b' ± Δ ' ) a b ) Điều kiện nghiệm số phương trình bậc hai: Đònh lý : Xét phương trình : ax + bx + c = (1) ⎧a = ⎧a ≠ ⎪ ⇔ ⎨b = ⎨ ⎩Δ < ⎪c ≠ ⎩ ) Pt (1) vô nghiệm ) Pt (1) có nghiệm kép ) Pt (1) có hai nghiệm phân biệt ) Pt (1) có hai nghiệm ) ⎧a ≠ ⇔ ⎨ ⎩Δ = ⎧a ≠ ⇔ ⎨ ⎩Δ > ⎧a ≠ ⇔ ⎨ ⎩Δ ≥ ⎧a = ⎪ ⇔ ⎨b = ⎪c = ⎩ Pt (1) nghiệm với x Đặc biệt Nếu pt(1) có hệ số a,c thoả a.c < pt(1) có hai nghiệm phân biệt Áp dụng: Ví dụ 1: Với giá trò m phương trình sau có hai nghiệm phân biệt: 2x − x + = m−x x −1 Ví dụ 2: 1) Với giá trò m phương trình sau có ba nghiệm phân biệt: ( x + 1)( x + 2mx + m + 2) = 2) Với giá trò m phương trình sau có ba nghiệm phân biệt: ( x − 1)(mx − x + m) = Đònh lý VIÉT phương trình bậc hai: ) Đònh lý thuận: Nếu phương trình bậc hai : ax + bx + c = ( a ≠ ) có hai nghiệm x1, x2 b ⎧ ⎪⎪S = x1 + x = − a ⎨ ⎪ P = x x = c a ⎩⎪ ) Đònh lý đảo : Nếu có hai số α , β mà α + β = S α β = P ( S ≥ P) α , β nghiệm phương trình x2 - Sx + P = ) Ý nghóa đònh lý VIÉT: Cho phép tính giá trò biểu thức đối xứng nghiệm ( tức biểu thức chứa x1, x2 x + x 22 1 + + ) mà không thay đổi giá trò ta thay đổi vai trò x1,x2 cho Ví dụ: A = x1 x x1 x không cần giải pt tìm x1, x2 , tìm hai số biết tổng tích chúng … Chú ý: ) Nếu pt (1) có hệ số thoả mãn a+b+c=0 pt (1) có hai nghiệm x1 = x = c a ) Nếu pt (1) có hệ số thoả mãn a-b+c=0 pt (1) có hai nghiệm x1 = −1 x = − Áp dụng: Ví dụ : Cho phương trình: x − x + m − = (1) Với giá trò m pt (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn x12 + x 22 = Ví dụ 2: Cho phương trình: x − 2mx + 3m − = (1) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn x1 + x = Ví dụ 3: Cho phương trình: (3m − 1)x + 2(m + 1)x − m + = (1) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn x1 − x = Dấu nghiệm số phương trình bậc hai: Dựa vào đònh lý Viét ta suy đònh lý sau: Đònh lý: Xét phương trình bậc hai : ax + bx + c = (1) ( a ≠ ) ⎧Δ > ⎪ ) Pt (1) có hai nghiệm dương phân biệt ⇔ ⎨P > ⎪S > ⎩ ⎧Δ > ⎪ ) Pt (1) có hai nghiệm âm phân biệt ⇔ ⎨P > ⎪S < ⎩ ) Pt (1) có hai nghiệm trái dấu ⇔ P m ≠ (D) m ≥ m ≠ (A) m > Bài 2: Phương trình : mx + 2(m − 3)x + m − = vô nghiệm : (B) m ≥ (C) m < (D) m < m ≠ (A) m > 2 Bài 3: Cho phương trình bậc hai: x − 2(m + 2)x + m + 12 = Giá trò nguyên nhỏ tham số m để phương trình có hai nghiệm phân biệt là: (A) m = (B) m = (C) m = (D) m = 1 Bài 4: Giả sử x1, x2 hai nghiệm phương trình: x + 3x − 10 = Giá trò tổng + x1 x 3 10 10 (A) (B) − (C) (D) − 10 10 3 Bài 5: Phương trình: x − mx + m − = có hai nghiệm dương phân biệt (A) m > (B) m ≥ (C) m > m ≠ (D) m ≥ m ≠ ĐÁP ÁN: Bài 1: Phương trình (m − 1)x + 2mx + m = có hai nghiệm phân biệt : (A) m > (B) m ≥ (C) m > m ≠ (D) m ≥ m ≠ Bài 2: Phương trình : mx + 2(m − 3)x + m − = vô nghiệm : (A) m > (B) m ≥ (C) m < (D) m < m ≠ 2 Bài 3: Cho phương trình bậc hai: x − 2(m + 2)x + m + 12 = Giá trò nguyên nhỏ tham số m để phương trình có hai nghiệm phân biệt là: (A) m = (B) m = (C) m = (D) m = 1 + Bài 4: Giả sử x1, x2 hai nghiệm phương trình: x + 3x − 10 = Giá trò tổng x1 x 3 10 10 (A) (B) − (C) (D) − 10 10 3 Bài 5: Phương trình: x − mx + m − = có hai nghiệm dương phân biệt (A) m > (B) m ≥ (C) m > m ≠ (D) m ≥ m ≠ II Phương trình trùng phươngï: 1.Dạng : ax + bx + c = (a ≠ 0) (1) 2.Cách giải: ) Đặt ẩn phụ : t = x2 ( t ≥ ) Ta phương trình: at + bt + c = (2) Giải pt (2) tìm t Thay t tìm vào t = x2 để tìm x Tùy theo số nghiệm phương trình (2) mà ta suy số nghiệm phương trình (1) Áp dụng: Ví du 1ï: Giải phương trình : 32x3 = 89x2 − 25 với x > 0; x ≠ 2x Ví dụ 2: 1) Với giá trò m phương trình sau có nghiệm phân biệt: a) x − x − = m b) x − (m + 2) x + 4m + = 2) Cho phương trình: x − (m + 2) x + 4m + = Tìm m để phương trình có bốn nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng III Phương trình bậc ba: Dạng: ax + bx + cx + d = (1) ( a ≠ ) Cách giải: Áp dụng biết nghiệm phương trình (1) )Bước 1: Nhẩm nghiệm phương trình (1) Giả sử nghiệm x = x0 )Bước 2: Sử dụng phép CHIA ĐA THỨC sơ đồ HOÓCNE để phân tích vế trái thành nhân tử đưa pt (1) dạng tích số : (1) ⇔ (x-x0)(Ax2+Bx+C) = ⎡ x = x0 ⇔ ⎢ ⎣ Ax + Bx + C = (2) )Bước 3: Giải phương trình (2) tìm nghiệm lại ( có) Bổ sung kiến thức: Định lý Bezu (Bơ-du) “Đa thức P(x) có nghiệm x = x0 P(x) chia hết cho x − x0 Áp dụng: Ví dụ 1: Giải phương trình sau: a) x − x + 12 x − = b) x + x − x + = x − c) x + x − 28 x + 12 = Ví dụ 2: Với giá trò m phương trình sau có ba nghiệm phân biệt a) x − x + = mx + m − b) x − (2m + 1) x + mx + m = c) x − 2(m + 1) x + (7m − 2) x + − 6m = d) mx − (m − 4) x + (4 + m) x − m = e) x + (1 − m) x − 3mx + 2m = Ví dụ 3: Cho phương trình : x + 3mx − x − 3m + = Tìm m để phương trình có ba nghiệm phân biệt x1 , x2 , x3 cho A = x12 + x22 + x32 đạt GTNN Chú ý Ta áp dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử kỷ thuật sử dụng sơ đồ HOÓCNE, để giải phương trình đa thức bậc cao (với điều kiện nhẩm nghiệm đa thức) Ví dụ: Giải phương trình: 1) x − x + x + 21x − 18 = 2) x + x − x − x + = 3) x + x − x − x − = IV PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN QUY VỀ BẬC HAI BẰNG PHÉP ĐẶT ẨN PHỤ 1.Dạng I: ax + bx + c = (a ≠ 0) ) Đặt ẩn phụ : t = x2 Dạng II ( x + a)( x + b)( x + c)( x + d ) = k ( k ≠ ) a+b = c+d ) Đặt ẩn phụ : t = (x+a)(x+b) Ví dụ : Giải phương trình: ( x + 1)( x + 3)( x + 5)( x + ) = 3.Dạng III: ( x + a )4 + ( x + b )4 = k (k ≠ 0) ) Đặt ẩn phụ : t = x + a+b Ví dụ : Giải phương trình: ( x + 3) + ( x + 5) = 4 4.Dạng IV: ax + bx + cx ± bx + a = Chia hai vế phương trình cho x2 x Ví dụ : Giải phương trình: x + x − 16 x + x + = ) Đặt ẩn phụ : t = x ± 10 K a1 = ( a; b; c ) Gọi ϕ góc hai mặt phẳng (Δ1 ) & (Δ ) ta có công thức: Δ1 aa ' + bb ' + cc ' cos ϕ = Δ2 a + b + c a '2 + b '2 + c '2 K a = (a ' ; b' ; c' ) 0 ≤ ϕ ≤ 90 IV Khoảng cách: Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng: Đònh lý: Trong Kg(Oxyz) cho mặt phẳng (α ) : Ax + By + Cz + D = điểm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) Khoảng cách từ điểm M0 đến mặt phẳng (α ) tính công thức: M ( x0 ; y ; z ) d ( M0 ; Δ) = α H Ax0 + By0 + Cz0 + D A2 + B2 + C 2 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng: Đònh lý: Trong Kg(Oxyz) cho đường thẳng ( Δ ) qua điểm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) có VTCP G u = (a; b; c ) Khi khoảng cách từ điểm M1 đến (Δ ) tính công thức: M1 K u JJJJJJG G ⎡ M0 M1; u ⎤ ⎣ ⎦ d ( M1 , Δ) = G u (Δ ) M ( x0 ; y0 ; z ) H Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau: Đònh lý: Trong Kg(Oxyz) cho hai đường thẳng chéo : G (Δ1 ) có VTCP u = (a; b; c) qua M ( x0 ; y0 ; z0 ) JG (Δ ) có VTCP u' = (a' ; b' ; c' ) qua M'0 ( x0' ; y0' ; z0' ) Khi khoảng cách (Δ1 ) (Δ ) tính công thức K Δ1 u M0 M ' K u' G JG JJJJJJJG ⎡ u, u' ⎤ M M ' ⎢⎣ ⎥⎦ 0 d (Δ1 , Δ ) = G JG' ⎡ u, u ⎤ ⎢⎣ ⎥⎦ Δ2 128 BÀI TẬP RÈN LUYỆN -*** Bài 1: Trong Kg(Oxyz) cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' với A(0;0;0), B(1;0;0), D(0;1;0), A'(0;01) Gọi M, N trung điểm AB CD Tính khoảng cách hai đường thẳng A'C MN Viết phương trình mặt phẳng chứa A'C tạo với mặt phẳng Oxy góc α biết cos α = Bài 2: Trong Kg(Oxyz) cho điểm A(0;1;2) hai đường thẳng : ⎧x = + t x y −1 z +1 ⎪ d1 : = & d : ⎨ y = −1 − 2t = −1 ⎪z = + t ⎩ Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, đồng thời song song với d1 d2 Tìm tọa độ điểm M thuộc d1, N thuộc d2 cho ba điểm A,M,N thẳng hàng Bài 3: Trong Kg(Oxyz) cho điểm A(1;2;3) hai đường thẳng : x−2 y +2 z −3 x −1 y −1 z +1 = = = = & d2 : d1 : −1 −1 1 Tìm tọa độ điểm A' đối xứng với điểm A qua đường thẳng d1 Viết phương trình đường thẳng Δ qua A, vuông góc với d1 cắt d2 Bài 4: Trong Kg(Oxyz) cho điểm A(0;1;0), B(2;3;1), C(-2;2;2), D(1;-1;2) Chứng minh tam giác ABC, ABD, ACD tam giác vuông Tính thể tích tứ diện ABCD Gọi H trực tâm tam giác BCD, viết phương trình đường thẳng AH Bài 5: Trong Kg(Oxyz) cho điểm A(1;1;2), B(-2;1;-1), C(2;-2;1) Viết phương trình mặt phẳng (ABC) Xác đònh tọa độ hình chiếu vuông góc điểm O mặt phẳng (ABC) Tính thể tích tứ diện OABC Bài 6: Trong Kg(Oxyz) cho hai đường thẳng: ⎧x = 1+ t ⎧x − 2y + z − = ⎪ Δ1 : ⎨ Δ : ⎨ y = + t ⎩ x + y − 2z + = ⎪ ⎩ z = + 2t Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng Δ1 song song với đường thẳng Δ2 Cho điểm M(2;1;4) Tìm tọa độ điểm H thuộc đường thẳng Δ2 cho đoạn thẳng MH có độ dài nhỏ Bài 7: Trong Kg(Oxyz) cho mặt phẳng (P) : 2x-y+2=0 đường thẳng ⎧(2m + 1) x + (1 − m)y + m − = dm : ⎨ ⎩mx + (2m + 1)z + 4m + = Xác đònh m để đường thẳng dm song song với mặt phẳng (P) Bài 8: Trong Kg(Oxyz) cho mặt phẳng (P) :x-y+z+3=0 hai điểm A(-1;-3;-2), B(-5;7;12) Tìm tọa độ điểm A’ điểm đối xứng với điểm A qua mặt phẳng (P) Giả sử M điểm chạy mặt phẳng (P) Tìm giá trò nhỏ biểu thức : MA+MB ⎧2 x + y + z + = Bài 9: Trong Kg(Oxyz) cho đường thẳng Δ : ⎨ mặt phẳng (P): 4x-2y+z-1=0 ⎩x + y + z + = 129 Viết phương trình hình chiếu vuông góc đường thẳng Δ mặt phẳng (P) ⎧ x − az − a = ⎧ax + 3y − = Bài 10: Trong Kg(Oxyz) cho hai đường thẳng: d1 : ⎨ d : ⎨ ⎩y − z + = ⎩ x − 3z − = Tìm a để hai đường thẳng d1 d2 cắt Với a=2, viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d2 songsong với đường thẳng d1 Tính khoảng cách d1 d2 a=2 Bài 11: Trong Kg(Oxyz) cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có A trùng với gốc tọa độ, B(a;0;0).D(0;a;0), A’(0;0;b) (a>0,b>0) Gọi M trung điểm cạnh CC’ Tính thể tích khối tứ diện BDA’M theo a b a Xác đònh tỷ số để hai mặt phẳng (A’BD) (MBD) vuông góc với b Bài 12: Trong Kg(Oxyz) cho tứ diện ABCD với A(2;3;2), B(6;-1;-2), C(-1;-4;3), D(1;6;-5) Tính góc hai đường thẳng AB CD Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng CD cho tam giác ABM có chu vi nhỏ Bài 13: Trong không gian với hệ tọa dộ Đề vuông góc Oxyz cho hai đường thẳng ⎧3 x − z + = x y +1 z d2 : ⎨ = d1 : = ⎩2 x + y − = Chứng minh d1, d2 chéo vuông góc với Viết phương trình tổng quát đường thẳng d cắt hai đường thẳng d1, d2 song song x −4 y −7 z−3 với đường thẳng Δ : = = −2 Bài 14: Trong không gian với hệ trục tọa độ Đềcác vuông góc Oxyz cho tứ diện OABC với A(0;0; a ), B(a;0;0), C(0; a ;0) (a>0) Gọi M trung điểm BC Tính khoảng cách hai đường thẳng AB OM Bài 15: Trong không gian với hệ trục tọa độ Đềcác vuông góc Oxyz cho hai điểm A(2;1;1), ⎧3 x − y − 11 = B(0;-1;3) đường thẳng d : ⎨ ⎩ y + 3z − = Viết phương trình mặt phẳng (P) qua trung điểm I AB vuông góc với AB Gọi K giao điểm đường thẳng d mặt phẳng (P), chứng minh d vuông góc với IK Viết phương trình tổng quát hình chiếu vuông góc d mặt phẳng có phương trình x + y − z +1 = Bài 16: Trong Kg(Oxyz) cho hai đường thẳng : ⎧x + y − z + = x −1 y + z (d1 ) : = = (d ) : ⎨ 1 ⎩x +1 = Lập phương trình đường thẳng Δ qua M(0;1;1) cho Δ vuông góc với (d1) cắt (d2) Bài 17: Trong Kg(Oxyz) cho hai đường thẳng : ⎧3 x − y − = x +1 y + z − (d1 ) : = = (d ) : ⎨ −2 −1 ⎩5 x + +2 z − 12 = Chứng minh d1 d2 chéo Tính khoảng cách hai đường thẳng Lập phương trình đường thẳng Δ qua M(-4;-5;3) cho Δ cắt d1 d2 Bài 18: Trong Kg(Oxyz) cho đường thẳng (d) mặt phẳng (P) có phương trình : x +1 y −1 z − = = (d ) : (P):x-y-z-1=0 2 130 Lập phương trình đường thẳng Δ qua A(1;1;-2) cho Δ ⊥ d Δ//(P) Bài 19: Trong Kg(Oxyz) cho hai đường thẳng : ⎧ x − 2y + z − = x −1 y +1 z (d1 ) : = = (d ) : ⎨ −1 ⎩2 x − y + z + = mặt phẳng ( P ) : x + y + z − = Lập phương trình đường thẳng Δ cho Δ ⊥ ( P ) Δ cắt hai đường thẳng d1 d2 Bài 20: Trong Kg(Oxyz) cho đường thẳng : x −1 y − z điểm I(2;-1;3) = = (d ) : −1 Gọi K điểm đối xứng I qua (d) Tìm toạ độ điểm K Bài 21: Trong Kg(Oxyz) cho đường thẳng : x y −1 z + điểm A(1;2;1) = (d ) : = Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng (d) Bài 22: Trong Kg(Oxyz) cho hai đường thẳng : ⎧2 x + y + = ⎧3 x + y − z + = (d1 ) : ⎨ (d ) : ⎨ ⎩x-y+z-1=0 ⎩2 x − y + = Chứng minh d1 d2 cắt Tìm toạ độ giao điểm I d1 d2 Lập phương trình mặt phẳng (P) qua d1 d2 Tính thể tích phần không gian giới hạn (P) mặt phẳng toạ độ Bài 23: Trong Kg(Oxyz) cho hai điểm A(1;2;1) , B(2;1;3) mặt phẳng (P): x-3y+2z-6 = Lập phương trình mặt phẳng (Q) qua A, B vuông góc với (P) Viết phương trình tắc giao tuyến (P) (Q) Gọi K điểm đối xứng A qua (P) Tìm toạ độ điểm K ⎧2 x + y − = Bài 24: Trong Kg(Oxyz) cho hai điểm A(1;2;-1) B(7;-2;3) đường thẳng (d): ⎨ ⎩y + z − = Chứng minh (d) AB đồng phẳng Tìm toạ độ giao điểm I0 đường thẳng (d) với mặt phẳng trung trực đoạn AB Tìm I ∈ (d ) cho tam giác ABI có chu vi nhỏ Bài 25: Trong Kg(Oxyz) cho hai điểm A(0;0;-3) , B(2;0;-1) mặt phẳng (P): 3x - 8y + 7z -1 = Tìm toạ độ giao điểm I đường thẳng AB mặt phẳng (P) Tìm điểm C thuộc mặt phẳng (P) cho tam giác ABC Bài 26: Trong Kg(Oxyz) cho hai điểm A(1;2;3) , B(4;4;5) mặt phẳng (P): z = Tìm M ∈ (P) cho MA+MB nhỏ Tìm N ∈ (P) cho NA − NB lớn Bài 27: Trong Kg(Oxyz) cho hai điểm A(3;1;0) , B(-9;4;9) mặt phẳng (P): 2x - y + z + = Tìm M ∈ (P) cho MA − MB lớn Bài 28: Trong Kg(Oxyz) cho đường thẳng (d) mặt phẳng (P) có phương trình : x y − z +1 = (d ) : = (P):x-y+3z+8=0 Viết phương trình hình chiếu (d) lên (P) Bài 29: Trong Kg(Oxyz) cho hai đường thẳng : 131 (d1 ) : ⎧ x + 3z − = x − y −1 z = = (d ) : ⎨ −1 ⎩y − = Chứng minh d1 d2 chéo Lập phương trình đường vuông góc chung hai đường thẳng d1 d2 Bài 30: Trong Kg(Oxyz) cho hai đường thẳng : x −1 y z + x y −1 z − = = = (d1 ) : (d ) : = 1 −2 Chứng minh d1 d2 chéo Tìm toạ độ điểm A, B đường vuông góc chung AB d1 d2 Bài 31: Cho tam giác ABC có toạ độ đỉnh : A(0;1;0); B(2;2;2); C(-2;3;4) x −1 y + z + đường thẳng (d ) : = = 2 −1 Tìm toạ độ điểm M nằm (d) cho AM ⊥ AB Tìm toạ độ điểm N nằm (d) cho VNABC = Bài 32: Trong Kg(Oxyz) cho O(0;0;0), A(6;3;0), B(-2;9;1) S(0;5;8) Chứng minh SB ⊥ OA Chứng minh hình chiếu cạnh SB lên mặt phẳng (OAB) vuông góc với OA Gọi K giao điểm hình chiếu với OA Tìm toạ độ điểm K Gọi P, Q trung điểm cạnh OS AB.Tìm toạ độ M thuộc SB cho PQ KM cắt Bài 33: Cho hai đường thẳng : =0 ⎧ x + 2y − z x −1 y − z − (d1 ) : = = (d ) : ⎨ ⎩ x − y + 3z − = Tính khoảng cách hai đường thẳng (d1) (d2) Bài 34: Viết phương trình tham số đường thẳng nằm mặt phẳng y+2z=0 cắt hai đường thẳng : ⎧x = 1− t ⎧x = − t ⎪ ⎪ (d1 ) : ⎨ y = t (d ) : ⎨ y = + 2t ⎪ z = 4t ⎪z = ⎩ ⎩ Bài 35: Cho bốn điểm A(-4;4;0), B(2;0;4), C(1;2;-1), D(7;-2;3) Chứng minh bốn điểm A,B,C,D nằm mặt phẳng Tính khoảng cách từ C đến đường thẳng AB Tìm đường thẳng AB điểm M cho tổng MC+MD nhỏ Bài 36: Cho hình tứ diện ABCD biết tọa độ đỉnh A(2,3,1) ; B(4,1,-2) ; C(6,3,7) ; D(-5,-4,8) Tính độ dài đường cao hình tứ diện xuất phát từ D Bài 37: Trong không gian Oxyz cho điểm A(-1,2,3) hai mặt phẳng (P):x-2 = , (Q):y-z-1=0 Viết phương trình mặt phẳng (R) qua A vuông góc với hai mặt phẳng (P) , (Q) Bài 38: Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P) qua ba điểm A(1,3,2) , B(1,2,1) C(1,1,3) Viết phương trình tham số đường thẳng (d) qua trọng tâm tam giác ABC vuông góc với mặt phẳng chứa tam giác Bài 39: Lập phương trình đường thẳng (d) qua điểm A(1,2,3) vuông góc với hai đường ⎧2x + y − = ⎧x − y + 4z + 10 = thẳng (d1 ) : ⎨ (d ) : ⎨ ⎩2x − 4y − z + = ⎩2x + z − = Bài 40: Lập phương trình đường thẳng (d) qua điểm A(3,2,1) song song với mặt phẳng 132 ⎧x + y − = (P): x+y+z-2 = vuông góc với đường thẳng (d) : ⎨ ⎩4y + z + = ⎧x − 3z − = có khoảng cách Bài 41:Lập phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng (d): ⎨ ⎩y + 5z − = đến điểm A(1,-1,0) Bài 42: Cho hai đường thẳng (d1) (d2) có phương trình : ⎧x + 8z + 23 = ⎧x − 2z − = (d ) : ⎨ (d1 ) : ⎨ ⎩y − 4z + 10 = ⎩y + 2z + = Chứng tỏ (d1) (d2) chéo Tính khoảng cách (d1) (d2) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa (d1) , mặt phẳng (Q) chứa (d2) cho (P)//(Q) Viết phương trình đường thẳng (d) song song với Oz cắt (d1) (d2) MẶT CẦU TRONG KHÔNG GIAN I Phương trình mặt cầu: Phương trình tắc: Đònh lý : Trong Kg(Oxyz) Phương trình mặt cầu (S) tâm I(a;b;c), bán kính R : z (S) : ( x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R2 (S ) I R M ( x; y; z ) O y (1) Phương trình (1) gọi phương trình tắc mặt cầu Đặc biệt: Khi I ≡ O (C ) : x + y + z2 = R2 x Phương trình tổng quát: Đònh lý : Trong Kg(Oxyz) Phương trình : x + y + z2 − 2ax − 2by − 2cz + d = với a2 + b2 + c2 − d > phương trình mặt cầu (S) có tâm I(a;b;c), bán kính R = a2 + b2 + c2 − d BÀI TẬP ỨNG DỤNG: Cho điểm A(-1;-2;0), B(2;-6;3), C(3;-3;-1), D(-1;-5;3) Viết phương trình mặt cầu qua bốn điểm A, B, C, D Xác đònh tâm bán kính mặt cầu II Giao mặt cầu mặt phẳng: Đònh lý: Trong Kg(Oxyz) cho mặt phẳng (α ) mặt cầu (S) có phương trình : (α ) : Ax + By + Cz + D = (S ) : ( x − a)2 + ( y − b)2 + ( z − c)2 = R2 Gọi d(I; α ) khoảng cách từ tâm mặt cầu (S) đến mặt phẳng α 133 Ta có : (α ) cắt mặt cầu (S) ⇔ d(I;α ) < R (α ) tiếp xúc mặt cầu (S) ⇔ d(I;α ) =R (α ) không cắt mặt cầu (S) ⇔ d(I;α ) > R (S ) (S ) I (S ) I R R R α H α M H α Chú ý : Khi α cắt mặt cầu (S) cắt theo đường tròn (C) Đường tròn (C) có: • • • (C ) I M ⎧⎪ Ax + By + Cz + D = ⎨ 2 2 ⎪⎩( x − a ) + ( y − b ) + ( z − c ) = R Tâm hình chiếu vng góc tâm mặt cầu mặt phẳng α Bán kính r = R2 − d (I ,α ) Phương trình là: -Hết 134 M r H GIẢI TÍCH TỔ HP Chuyên đề 18: I.KHÁI NIỆM VỀ GIAI THỪA: 1.Đònh nghóa: Với n ∈ Nvà n > Tích n số tự nhiên liên tiếp từ đến n gọi n - giai thừa Ký hiệu : n! Ta có : n! = 1.2 n * Quy ước : 0! = 1! = Một số công thức: n! n! = (n − k + 1)(n − k + 2) n * n! = (n - 1)!.n * = (k+1)(k+2) n (n ≥ k) * (n − k)! k! II CÁC QUY TẮC CƠ BẢN VỀ PHÉP ĐẾM: QUY TẮC CỘNG: Ví dụ: Có sách khác khác Hỏi có cách chọn Quy tắc cộng cho trường hợp hai đối tượng : (Áp dụng ta phân chia trường hợp để đếm) Nếu có m cách chọn đối tượng x n cách chọn đối tượng y cách chọn x không trùng với cách chọn y có (m+n) cách chọn Tổng quát: Nếu có m1 cách chọn đối tượng x1 m2 cách chọn đối tượng x2 mn cách chọn đối tượng xn cách chọn đối tượng xi không trùng với cách chọn đối tượng xj (i ≠ j ; i,j=1,2, ,n) có (m1+m2+ mn) cách chọn đối tượng cho QUY TẮC NHÂN: (Áp dụng ta phân tích việc thực phép chọn thành nhiều bước liên tiếp ) Ví dụ: An muốn rủ Bình đến chơi nhà Cường Từ nhà An đến nhà Bình có đường Từ nhà Bình đến nhà Cường có đường Hỏi An có cách đến nhà Cường 141 Quy tắc nhân: Nếu phép chọn thực qua n bước liên tiếp: bước có m1 cách chọn bước có m2 cách chọn bước n có mn cách chọn có (m1.m2 mn) cách chọn Ví dụ: Người ta ghi nhãn cho ghế giảng đường chữ số nguyên dương không vược 100 Bằng cách vậy, nhiều có ghế ghi nhãn khác III HOÁN VỊ: Ví dụ: Từ chữ số 1;2;3 lập số tự nhiên có chữ số khác 1.Đònh nghóa : Cho tập hợp X gồm n phần tử (n >1) Mỗi cách thứ tự n phần tử tập hợp X gọi hoán vò n phần tử • • n phần tử Hoán vò Nhóm có thứ tự Đủ mặt n phần tử X 2.Đònh lý : Ký số hoán vò n phần tử Pn , ta có công thức: Pn = n! Ví dụ: Một tổ có 10 học sinh Hỏi có cách tổ đứng thành hàng dọc IV.CHỈNH HP: Ví dụ: Từ chữ số 1;2;3 lập số tự nhiên có chữ số khác 1.Đònh nghóa: Cho tập hợp X gồm n phần tử Mỗi gồm k ( ≤ k ≤ n) phần tử thứ tự tập hợp X gọi chỉnh hợp chập k n phần tử X n phần tử 142 Chỉnh hợp • Nhóm có thứ tự • Gồm k phần tử lấy từ n phần tử X 2.Đònh lý: Ký hiệu số chỉnh hợp chập k n phần tử A kn , ta có công thức: A kn = n! (n − k)! Ví dụ: Có số có chữ số gồm toàn chữ số lẻ khác ? V TỔ HP: Ví dụ: Cho tập hợp X= {1,2,3} Viết tất tập X gồm phần tử 1.Đònh nghóa: Cho tập hợp X gồm n phần tử Mỗi tập gồm k phần tử ( ≤ k ≤ n ) X gọi tổ hợp chập k n phần tử cho • n phần tử Đònh lý : • Tổ hợp Nhóm thứ tự Gồm k phần tử lấy từ n phần tử X Ký hiệu số tổ hợp chập k n phần tử Ckn , ta có công thức: n! k!(n − k)! Ví dụ 1: Một lô hàng gồm 10 sản phẩm Hỏi có cách chọn sản phẩm Ví dụ 2: Trong mặt phẳng cho điểm, ba điểm thẳng hàng Hỏi có tam giác tạo thành 3.Một số công thức tổ hợp: Tổ hợp có hai tính chất quan trọng sau đây: a) C kn = C nn − k với k = 0,1, ,n C kn = b) C kn + C kn +1 = C kn ++11 với k = 0,1, ,n-1 143 VI NHỊ THỨC NIU TƠN: n (a + b)n = C0n a n b0 + C1n a n −1b + Cn2 a n − b + + Cnn a b n = ∑ Cnk a n − k b k k =0 Ví dụ : Khai triển ( x + 2) Ví dụ : Chứng minh : C0n + C1n + C 2n + + C nn = n LƯU Ý QUAN TRỌNG: Các toán giải tích tổ hợp thường tóan hành động : lập số từ số cho ,sắp xếp số người hay đồ vật vào vò trí đònh , lập nhóm người hay đồ vật thỏa mãn số điều kiện cho v.v Nếu hành động gồm nhiều giai đọan cần tìm số cách chọn cho giai đọan áp dụng quy tắc nhân Những toán mà kết thay đổi ta thay đổi vò trí phần tử , toán liên quan đến hoán vò chỉnh hợp Đối với toán mà kết giữ nguyên ta thay đổi vò trí phần tử toán tổ hợp Luyện tập Bài 1: Từ chữ số 1,2,3,4,5,6 lập số có bốn chữ số a) Các chữ số không cần khác b) Các chữ số khác c) Số đầu số cuối trùng nhau, khác với số Bài 2: Từ chữ số 0,1,2,3,4,5 lập a) Số có chữ số b) Số có chữ số khác c) Số chẵn có chữ số khác d) Số nhỏ 2005, khác Bài 3: Có cách xếp người ngồi vào dãy bàn có có bảy chổ ngồi Bài 4: Một lớp học có 20 nam, 10 nữ Có cách chọn người trực lớp a) Một cách tùy ý b) Có nữ c) Có nữ d) Có nhiều hai nữ Bài 5: Một lớp học có 20 nam, 10 nữ Có cách chọn ban cán gồm lớp trưởng, lớp phó học tập, lớp phó phong trào a) Một cách tuỳ ý b) Lớp trưởng nữ c) Có nữ d) Có nữ Bài 6: Cho n điểm A1,A2, ,An thuộc đường thẳng a điểm B không thuộc đường thẳng a Nối B với A1,A2, ,An Hỏi có tam giác tạo thành? Bài 7: Trên đường tròn cho n điểm A1,A2, ,An.Hỏi lấy điểm làm đỉnh thì: 144 a) Xác đònh tam giác b) Xác đònh tứ giác lồi BÀI TẬP RÈN LUYỆN I CÁC BÀI TOÁN VỀ PHÉP ĐẾM: Bài 1:Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, thành lập số chẵn , mổi số gồm chữ số khác đôi KQ: 1260 Bài 2: Một tổ gồm nam nữ Cần lấy nhóm người có nữ Hỏi có cách chọn KQ: 840 Bài 3: Cho hai đường thẳng song song (d1) , (d2) Trên (d1) lấy 17 điểm phân biệt , (d2) lấy 20 điểm phân biệt Tính số tam giác có đỉnh điểm số 37 điểm chọn (d1) (d2) KQ:5950 Bài 4: Từ tập thể gồm 12 học sinh ưu tú , người ta cần cử đoàn dự trại hè quốc tế có trưởng đoàn , phó đoàn đoàn viên Hỏi có cách cử ? KQ: 15840 Bài 5: Xét dãy gồm chữ số , mổi chữ số chọn từ số 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 thoả mãn điều kiện sau : - Chữ số vò trí số số chẵn - Chữ số cuối không chia hết cho - Các chữ số vò trí 4,5,6 đôi khác Hỏi có cách chọn KQ:2.880.000 Bài 6: Người ta viết số có chữ số chữ số 1,2,3,4,5 sau: Trong số viết có chữ số xuất hai lần chữ số lại xuất lần Hỏi có số KQ:1800 Bài 7: Cho tập hợp A = {1,2,3,4,5,6,7,8} a) Có tập hợp X tập A thoả điều kiện chứa không chứa ? b) Có số tự nhiên chẵn gồm chữ số đôi khác lấy từ tập A không bắt đầu 123? KQ: a) 64 b) 3348 Bài 8: Với chữ số phân biệt 1, 2, 3, 4, 5, lập số có chữ số phân biệt số điều phải có mặt số KQ: 1630 Bài 9: Có số tự nhiên gồm chữ số khác đôi cho tất chử số khác không có mặt đồng thời chữ số 2, 4, KQ: 1800 Bài 10: Cho chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, lập số gồm 10 chữ số chọn từ chữ số , chữ số có mặt lần , chữ số khác có mặt lần KQ: 544.320 Bài 11: Có viên bi xanh , viên bi đỏ , viên bi vàng có kích thứơc đôi khác 1) Có cách chọn viên bi có viên bi đỏ ? KQ:10.010 2) Có cách chọn viên bi số bi xanh số bi đỏ? KQ:4.665 Bài 12: Một hộp đựng viên bi đỏ , viên bi trắng viên bi vàng Người ta chọn viên bi từ hộp Hỏi có cách chọn để số bi lấy không đủ màu KQ:645 Bài 13: Cho chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7 Từ chữ số số lập số , số gồm chữ số đôi khác số không chia hết cho 10 KQ: 1260 Bài 14:Hỏi từ 10 chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 lập số gồm chữ số khác cho chữ số có mặt số số KQ:42000 Bài 15: Có số chẵn gồm chữ số khác đôi có chữ số số lẻ? 145 KQ: 42000 Bài 16: Có số gồm chữ số khác đôi có chữ số lẻ chữ số chẵn ( chữ số phải khác không ) KQ:64800 Bài 17: Trong mặt phẳng cho đa giác H có 20 cạnh Xét tam giác có đỉnh lấy từ đỉnh H 1) Có tam giác vậy? Có tam giác mà có hai cạnh hai cạnh H KQ:20 2) Có tam giác có cạnh cạnh H? KQ:320 Có tam giác cạnh cạnh H? KQ:800 Bài 18: Một lớp học có 20 học sinh , có hai cán lớp Hỏi có cách cử người dự Hội nghò sinh viên trường cho người có cán lớp KQ:324 Bài 19: Có nhà toán học nam , nhà toán học nữ nhà vật lý nam Lập đoàn công tác người cần có nam nữ , cần có nhà toán học nhà vật lý Hỏi có cách KQ:90 Bài 20: Cho đa giác A1 A2 A2 n (n ≥ , n nguyên) nội tiếp (O) Biết số tam giác có đỉnh 2n điểm A1 , A2 , , A2 n nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có đỉnh 2n điểm A1 , A2 , , A2 n Tìm n Bài 21: Cho tập hợp A = {1;2;3;4;5;6;7;8;9} Từ tập A lập số có sáu chữ số khác cho số chia hết cho có chữ số lẻ? Bài 22: Cho tập hợp A = {0;1;2;3;4;5;6;7;8;9} Từ tập A lập số có sáu chữ số khác cho có mặt hai chữ số 3? Bài 23: Cho tập hợp A = {1;2;3;4;5;6;7;8;9} Từ tập A lập số có sáu chữ số khác cho chữ số thứ ba chia hết cho chữ số cuối chẵn? Bài 24: Cho tập hợp A = {1;2;3;4;5;6;7;8;9} Từ tập A lập số có sáu chữ số khác cho số chia hết cho có chữ số lẻ? Bài 25: Cho tập hợp A = {0;1;2;3;4;5;6;7} Từ A lập số : a) Có năm chữ số khác chữ số có mặt lần b) Có sáu chữ số cho số lẻ; chữ số đứng vò trí thứ ba chia hết cho 6? Bài 26: Cho tập hợp A = {0;1;2;3;4;5;6;7; ;8;9} Từ A lập số : a) Có sáu chữ số khác cho có mặt hai chữ số b) Có bảy chữ số khác cho có mặt hai chữ số Bài 27: Một trường trung học có thầy dạy toán, thầy dạy vật lý, ba thầy dạy hóa học Chọn từ đội có thầy dự đại hội Hỏi có cách chọn để có đủ ba môn? Bài 28: Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 4) Biết rằng, số tập gồm phần tử A 20 lần số tập gồm phần tử A Tìm k ∈ {1,2, , n} cho số tập gồm k phần tử A lớn Bài 29: Đội nhiên xung kích trường phổ thông có 12 học sinh, gồm học sinh lớp A, học sinh lớp B, học sinh lớp C Cần chọn học sinh làm nhiệm vụ, cho học sinh thuộc không lớp Hỏi có cách chọn vậy? Bài 30: Có số tự nhiên gồm hai chữ số khác ? Tính tổng tất số Bài 31: Có số tự nhiên gồm chữ số, chữ số có mặt lần, chữ số có mặt lần, hai chữ số lại phân biệt II CÁC BÀI TOÁN GIẢI PT,BPT,HPT: 146 Bài 1: Giải phương trình : Px Ax2 + 72 = 6( Ax2 + Px ) Bài 2: Giải phương trình: C 1x + 6C x2 + 6C x3 = x − 14 x Bài 3:Giải phương trình: x C xx−−14 = A42 C x3−1 − xC xx−−14 C x4−1 − C x3−1 − Ax2− ≤ y y ⎧⎪2 Ax + 5C x = 90 ⎨ y ⎪⎩5 Ax + 2C xy = 80 Bài 4: Giải bất phương trình: Bài 5: Giải hệ phương trình: Bài 6: Giải hệ phương trình: a) ⎧⎪C xy++11 = C xy+1 ⎨ y ⎪⎩3C x +1 = 5C xy+−11 ⎧ x x ⎪⎪C y : C y + = b) ⎨ ⎪C x : A x = y ⎪⎩ y 24 ( x ≥ y) Bài 7: Tìm số nguyên dương m, n thỏa mãn: C nm++11 : C nm+1 : C nm+−11 = : : III CÁC BÀI TOÁN VỀ NHỊ THỨC NIU-TƠN: ⎛ ⎞⎟ Bài 1: Tìm hệ số số hạng chứa x khai triển ⎜⎜ x + ⎟ x2 ⎠ ⎝ 21 43 ⎛ Bài 2: Biết tổng hệ số ba số hạng khai triển ⎜⎜ x x + 15 28 x ⎝ không chứa x n ⎞ ⎟ 79 Tìm số hạng ⎟ ⎠ n ⎛ ⎞⎟ Bài 3: Cho khai triển ⎜⎜ x + Biết tổng hệ số ba số hạng khai triển ⎟ x ⎝ ⎠ 631 Tìm hệ số số hạng có chứa x5 n ⎛ ⎞ Bài 4: Tìm giá trò x cho khai triển ⎜ x + ⎟ ( n số nguyên dương ) có số hạng ⎜ x −1 ⎟ ⎝ ⎠ thứ thứ có tổng 135, hệ số ba số hạng cuối khai triển có tổng 22 ⎞ ⎛ Bài 5: Tìm số hạng không chứa x khai triển : P ( x) = ⎜1 + x − ⎟ x ⎠ ⎝ k k −1 k −2 k −3 k Bài 6: Chứng minh rằng: C n + 3C n + 3C n + C n = C n +3 với ≤ k ≤ n Bài 7: Chứng minh : C n1 + C n2 C n3 C nk C nn n(n + 1) + + + k + + n = n −1 k −1 Cn Cn Cn Cn Bài 8: Chứng minh : n C n0 + n −1.71.C n1 + n − 2.7 2.C n2 + + n C nn = n Bài 9: Chứng minh : n n −1 C n0 + ( n − 1) n − 2.3.C n1 + (n − 2) n −3.3 2.C n2 + + n −1 C nn −1 = n.5 n −1 22 23 2 n +1 n n +1 − C n + C n + + Cn = n +1 n +1 2005 + 2C 2005 + 3C 2005 + + C 2005 Bài 10: Chứng minh rằng: 2C n0 + Bài 11: Tính tổng : S = C 2005 n ⎛ ⎞ Bài 12: Tìm hệ số số hạng chứa x26 khai triển nhò thức Niutơn ⎜ + x ⎟ , biết ⎝x ⎠ n 20 C n +1 + C n +1 + + C n +1 = − 147 Bài 13: Tính tổng S = 1.C n0 2.C n1 3.C n2 (n + 1).C nn + + + + , biết C n0 + C n1 + C n2 = 211 A11 A21 A31 An1+1 Bài 14: Khai triển biểu thức (1 − x) n ta đa thức có dạng a + a1 x + a x + + a n x n Tìm hệ số x5, biết a + a1 + a = 71 ( Bài 15: Tìm hệ số x 29 y khai triển x − xy ) 15 Bài 16: Tìm n ∈ N cho : C 40n + + C 41n + + C 42n + + + C 42nn+ = 256 1 Bài 17: Tìm số tự nhiên n cho : n − n = n C C5 C6 Bài 18: Chứng minh C n3 n − C n1 n −1 + + ( −1) n C nn = C n0 + C n1 + C nn 1 Bài 19: Cho A = ( x − ) 20 + ( x − )10 Sau khai triển rút gọn biểu thức A gồm số x x hạng? Bài 20: Tìm số tự nhiên n thỏa mãn đẳng thức sau: C 20n + C 22n + + C 22nk k + + C 22nn − n − + C 22nn n = 215 ( 216 + 1) -Hết - 148 [...]... −∞; −2] ∪ ( 2; +∞ ) (C) ( −∞; −2 ) (D) S = ( 2; +∞ ) 20 Chuyên đề 2 : HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TÓM TẮT GIÁO KHOA I Hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn 1 Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn ⎧a1 x + b1 y = c1 ⎨ ⎩a2 x + b2 y = c2 a Dạng : (1) Cách giải đã biết: Phép thế, phép cộng b Giải và biện luận phương trình : Quy trình giải và biện luận Bước 1: Tính các đònh thức : a1 b1 = a1b2 − a 2 b1 • D= (gọi là đònh... dụng các phương pháp sau 1 Phương pháp 1: Phương pháp biến đổi tương đương Biến đổi tương đương bất đẳng thức cần chứng minh đến một bất đẳng thức đã biết rằng đúng Ví dụ: Chứng minh các bất đẳng thức sau: 1 a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ca với mọi số thực a,b,c 2 a 2 + b 2 + 1 ≥ ab + a + b với mọi a,b 2 Phương pháp 2: Phương pháp tổng hợp Xuất phát từ các bất đẳng thức đúng đã biết dùng suy luận toán học. .. = d2 b Cách giải: x x y = t hoặc = t Giả sử ta chọn cách đặt = t y y x Khi đó ta có thể tiến hành cách giải như sau: Bước 1: Kiểm tra xem (x,0) có phải là nghiệm của hệ hay không ? Bước 2: Với y ≠ 0 ta đặt x = ty Thay vào hệ ta được hệ mới chứa 2 ẩn t,y Từ 2 phương trình ta khử y để được 1 phương trình chứa t Bước 3: Giải phương trình tìm t rồi suy ra x,y Đặt ẩn phụ Áp dụng: Ví dụ: Giải các hệ phương... 2y + 2xy + 8x + 2y với x, y ∈ \ là 1 1 (A) −9 (B) (C) − (D) 9 9 9 Câu 2: Giá trò nhỏ nhất của hàm số y = 3x + -Hết - 22 Chuyên đề 6: HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC-MŨ VÀ LÔGARÍT Các phương pháp giải thường sử dụng 1 Phương pháp 1: Sử dụng các phép biến đổi tương đương và phép thế Ví dụ : Giải các hệ phương trình ⎧⎪ x − 1 + 2 − y = 1 1) ⎨ 2 3 ⎪⎩3log9 (9x ) − log3 y = 3 1 ⎧ ⎪log... của mệnh đề "a > 0" là mệnh đề " a ≤ 0 " • Phủ đònh của mệnh đề "a < 0" là mệnh đề " a ≥ 0 " II Khái niệm bất đẳng thức: 1 Đònh nghóa 1: Số thực a gọi là lớn hơn số thực b, ký hiệu a > b nếu a-b là một số dương, tức là a-b > 0 Khi đó ta cũng ký hiệu b < a a > b ⇔ a−b > 0 Ta có: • Nếu a>b hoặc a=b, ta viết a ≥ b Ta có: a ≥ b ⇔ a-b ≥ 0 2 Đònh nghóa 2: Giả sử A, B là hai biểu thức bằng số Mệnh đề : " A... hệ phương trình : ⎨ ⎩ x + my = 1 9 Xác đònh tất cả các giá trò của tham số m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa x >1 và y > 0 ( − 2 < m < 0) ⎧mx + 4 y = m + 2 Ví dụ 4: Với giá trò nguyên nào của tham số m hệ phương trình ⎨ có nghiệm duy nhất ⎩ x + my = m (x;y) với x, y là các số nguyên II Hệ phương trình bậc hai hai ẩn: 1 Hệ gồm một phương trình bậc nhất và một phương trình bậc hai hai ẩn: ⎧x + 2 y... trình hoặc hệ pt đại số Ví dụ : Giải các phương trình sau : 1) ( x + 5)(2 − x) = 3 x 2 + 3 x 2) 4) 5) x + 1 + 4 − x + ( x + 1)(4 − x) = 5 3 2 − x = 1− x −1 x2 − 3x + 3 + x2 − 3x + 6 = 3 * Phương pháp 4 : Biến đổi phương trình về dạng tích số : A.B = 0 Ví dụ : hoặc A.B.C = 0 Giải các phương trình sau : x2 − 3x − 2 = 1 − x 1) 3x − 2 2) x + 2 7 − x = 2 x − 1 + −x2 + 8x − 7 + 1 V Các cách giải bất phương... y + 4x − 2y − 20 = 0 c Biến đổi về tích số: Ví dụ : Giải các hệ phương trình sau: ⎧⎪ x 2 + x = y 2 + y 1) ⎨ 2 ⎪⎩ x + y 2 = 3( x + y ) ⎧⎪ x 3 + 7 x = y 3 + 7 y 2) ⎨ 2 ⎪⎩ x + y 2 = x + y + 2 1 1 ⎧ ⎪x − x = y − y 3) ⎨ ⎪2 y = x 3 + 1 ⎩ Hết 12 Chuyên đề 3: PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC TÓM TẮT GIÁO KHOA I Các điều kiện và tính chất cơ bản : * * A có nghóa khi A... ⎪⎩ A > B 13 (hoặc B ≥ 0 ) IV Các cách giải phương trình căn thức thường sử dụng : * Phương pháp 1 : Biến đổi về dạng cơ bản Ví dụ 1 : Giải phương trình sau : 1) x − 2 = x − 4 2) 3x 2 − 9 x + 1 + x − 2 = 0 3) 2 x + 2 + 2 x + 1 − x + 1 = 4 Ví dụ 2: Tìm tập xác đònh của các hàm số sau: 3x 2 − x + 1 1) y = x +1 + x − 5 x2 − x + 1 2) y = 2x − 1 + x2 − 3x + 1 Ví dụ 3: Tìm m để các phương trình sau có hai... 5 7 5 (B) m ≤ − (C) m < (D) m ≥ − (A) m < − 2 2 2 2 15 ĐỀ SỐ 2: Câu 1:Tập hợp các giá trò m để phương trình: (A) ( 2;3) x 1 − x2 = (B) 5 − 2m có nghiệm là 1 − x2 (C) [ 2;3] (D) ( −1;1) Câu 2: Tập xác đònh của hàm số y = x 2 + x − 2 + 2x − 3 là ⎡3 ⎞ (A) [1; +∞ ) (B) [ −2;1] ∪ ⎢ ; +∞ ⎟ (C) ⎣2 ⎠ ⎡3 ⎤ ⎛3 ⎞ (D) ⎜ ; +∞ ⎟ ⎢⎣ 2 ; +∞ ⎥⎦ ⎝2 ⎠ 2 2 Câu 3: Các giá trò của m để phương trình: 3x + (3m − 1)x + m − ... d2 b Cách giải: x x y = t = t Giả sử ta chọn cách đặt = t y y x Khi ta tiến hành cách giải sau: Bước 1: Kiểm tra xem (x,0) có phải nghiệm hệ hay không ? Bước 2: Với y ≠ ta đặt x = ty Thay vào... −3 ) Cách giải: Giải phép Hệ phương trình đối xứng : Hệ phương trình đối xứng loại I: a.Đònh nghóa: Đó hệ chứa hai ẩn x,y mà ta thay đổi vai trò x,y cho hệ phương trình không thay đổi b.Cách... = ( 2; +∞ ) 20 Chuyên đề : HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TÓM TẮT GIÁO KHOA I Hệ phương trình bậc nhiều ẩn Hệ phương trình bậc hai ẩn ⎧a1 x + b1 y = c1 ⎨ ⎩a2 x + b2 y = c2 a Dạng : (1) Cách giải biết: