Công thức toán luyện thi đại học

PHUỉNG VAấN TOAN Chuyờn toỏn luy n thi H b i d ng ki n th c 10,11, 12 Tel: 0985.62.99.66 C: B c Lóm Phỳ L ng H ụng H N i www.thaytoan.com -*** Công thức TOáN (THCS THPT LUY N THI C H) z c M (a, b, c) o a x b y (Tỏi b n l n th 7) H tờn: Tr ng: L p: L I NểI U V i quóng th i gian di luy n thi Cao ng i H c cho nhi u th h h c sinh, nh n th y a s cỏc em c n ph i cú m t cu n s tay tra c u c ng nh t ng h p l i ki n th c mụn Toỏn Ti li u ny c biờn so n v i mong mu n t ng h p ton b l ng ki n mụn toỏn th c t l p n l p 12 c s d ng kỡ thi n sinh Cao ng - i H c v T t nghi p THPT, nh ng cụng th c khụng c dựng hai k thi trờn s khụng c c p ti li u ny Hy v ng r ng quy n sỏch ny s giỳp cỏc em h c t t h n mụn Toỏn nh tr ng v mong r ng cỏc em s tỡm c s h ng thỳ, ni m am mờ i v i mụn h c ny Trong quỏ trỡnh biờn so n, m c dự ó r t c g ng, nh ng ti li u c ng khụng th trỏnh kh i nh ng thi u sút ngoi ý mu n R t mong nh n c s úng gúp ý ki n c a b n c Xin chõn thnh cỏm n v xin chỳc cỏc em luụn t tớch cao quỏ trỡnh h c t p c a mỡnh! Biờn so n: a ch : i n tho i: Email: Website: Facebook: c nh ng thnh Phựng Thanh Toỏn B c Lóm, Phỳ L ng, H ụng, HN 0985.62.99.66 luyenthi24h@gmail.com www.thaytoan.com www.facebook.com./luyenthi24h M CL C TRANG STT Ph n I - IS Giỏ tr t i Tớnh ch t c a hai t s b ng H ng ng th c ng th c ỏng nh C n b c hai Tam th c b c hai H ph Ph B t ng th c C p s c ng c p s nhõn 10 T h p nh th c Niut n 11 Cụng th c l 12 Kh o sỏt v v th hm s ng trỡnh b c nh t ng trỡnh b t ph 13 o hm 14 Nguyờn hm 15 M logarith 16 S ph c 17 T ph ps ng trỡnh ng giỏc Ph n II - HèNH H C Cụng th c tam giỏc Cụng th c Ph ng phỏp t a m t ph ng Ph ng phỏp t a khụng gian ng trũn Phựng Thanh Toỏn 0985.62.99.66 B c Lóm Phỳ L Ph n I 1) GI TR TUY T nh ngh a: ng H ụng H N i IS I x x x x x Tớnh chõt: | x | 0, x R x x2 a ta cú x a | x | a x a | x | a a x a 2) TNH CH T C A HAI T S N u a c b d 3) H NG B NG NHAU ma nc a c a c a c b d b d b d mb nd a c ab a b ad bc, , ba cd b b thỡ NG TH C NG NH (a b) a 2ab b2 a b (a b)(a b) (a b) a 2ab b2 (a b)3 a3 3a 2b 3ab2 b3 a b3 (a b)(a ab b ) (a b)3 a3 3a 2b 3ab2 b3 a b3 (a b)(a ab b2 ) Cỏc h ng ng th c m r ng (a b c) a b2 c 2ab 2bc 2ca a n (a 1)(a n1 a n2 a 1) a n bn (a b)(a n1 a n2b ab n2 bn1 ) 4) C N B C HAI A cú ngh a A i u ki n xỏc nh: Tớnh ch t: A2 A A 0, A Cụng th c: A2 B | A | B v i B A AB A B n u B A A A n u B B B A AB A B n u B A A A n u B B B Phựng Thanh Toỏn 0985.62.99.66 B c Lóm Phỳ L ng H ụng H N i 5) TAM TH C B C HAI Cho tam th c b c hai: f ( x) ax bx c (a 0) b t b' ; ' b ' ac b ac ; 1) Nghi m v d u NGHI M f(x)=0 Vụ nghi m D U f(x) Luụn cựng d u h s a Nghi m kộp x b 2a Luụn cựng d u h s a, x Hai nghi m x1,2 b 2a Trong kho ng nghi m trỏi d u h s a, ngoi kho ng nghi m cựng d u h s a b 2a T ú suy a a f ( x ) 0, x R f ( x) 0, x R a a f ( x ) 0, x R f ( x ) 0, x R 2) nh lớ Vi - ột G i x1 , x2 l hai nghi m phõn bi t c a ph ng trỡnh ax bx c b c S x1 x2 P x1 x2 nh lý Vi-ột: a a M t s tr ng h p ỏp d ng Vi-ột x12 x22 ( x1 x2 )2 x1 x2 S 2P x13 x23 ( x1 x2 )( x12 x1 x2 x22 ) ( x1 x2 ) ( x1 x2 )2 x1 x2 S ( S 3P ) x14 x24 ( x12 x22 ) 2( x1 x2 )2 ( x1 x2 ) x1 x2 2( x1 x2 )2 (S P) P | x1 x2 | ( x1 x2 ) ( x1 x2 ) x1 x2 S P 3) D u c a nghi m Ph ng trỡnh b c hai: ax bx c ( a ) cú: - Hai nghi m cựng d u - Hai nghi m trỏi d u P x1 x2 P x x - Hai nghi m d ng S x1 x2 P x x 4) So sỏnh nghi m c a ph ng trỡnh b c hai - Hai nghi m õm S x1 x2 P x x Phựng Thanh Toỏn 0985.62.99.66 B c Lóm Phỳ L ng H ụng H N i Cho tam th c b c hai ax bx c (a 0) v hai s x1 x2 af ( ) x1 x2 af ( ) S af ( ) x1 x2 af ( ) x1 x2 af ( ) S af ( ) x1 x2 af ( ) af ( ) x1 x2 af ( ) 0 af ( ) x1 x2 af ( ) S 6) H PH NG TRèNH B C NH T a x b1 y c1 ng trỡnh b c nh t hai n a2 x b2 y c2 a b c b t: D 1 a1b2 a2b1 Dx 1 c1b2 c2b1 a2 b2 c2 b2 Xột h ph - N u D h cú nghi m nh t x Dy a1 a2 c1 a1c2 a2c1 c2 D Dx , y y D D -N u D0 + V i Dx ho c Dy thỡ h vụ nghi m + V i Dx Dy thỡ h cú vụ s nghi m 7) PH NG TRèNH B T PH 1) Ph NG TRèNH ng trỡnh ch a c n B AB A B 2) B t ph ng trỡnh ch a c n A A B B A B2 A A B B AB A A BB A B2 Phựng Thanh Toỏn 0985.62.99.66 B c Lóm Phỳ L A B A B A B2 B ng H ụng H N i A B A B A B2 B B A B A B 3) Ph ng trỡnh cú d u giỏ tr t i B A B A B AB A B 4) B t ph ng trỡnh cú d u giỏ tr t i B AB B A B B B AB A B A B B AB B A B B B AB A B A B A B A2 B 5) Ph ng trỡnh ch a c n v d u giỏ tr t i A B A B2 6) B t ph ng trỡnh ch a c n v d u giỏ tr t i A B A B2 A A B A B 7) Cỏc b t ph ng trỡnh khỏc A0 B A.B A 0, B A 0, B 8) B T A B A B2 A A B A B B A A B 1 A A B B NG TH C 1) B t ng th c Cosi Cho x, y thỡ x y xy D u = x y x y Phựng Thanh Toỏn 0985.62.99.66 B c Lóm Phỳ L ng H ụng H N i M r ng: Cho x1 , x2 , , xn thỡ x1 x2 xn n n x1 x2 xn D u = x y x1 x2 xn 2) B t ng th c ch a d u giỏ tr t i | x|| y| | x y| | x|| y| 9) C P S C NG C P S nh ngh a S h ng th n s h ng liờn ti p T ng n s h ng u | x|| y| | x y| | x|| y| NHN (un ) l csc, cụng sai d un1 un d (un ) l csn, cụng b i q un1 un q un u1 d (n 1) u u un n1 n1 S n u1 u2 un un u1.q n1 n(u1 un ) n[2u1 (n 1)d ] 10) T S n u1 u2 un u1 qn q H P NH TH C NIUT N S cỏc hoỏn v Quy c S cỏc ch nh h p S cỏc t h p Tớnh ch t c a t h p Nh th c Niut n Tớnh ch t un2 un 1.un1 n 0, n N Pn n! 1.2.3 n 0! n! Ank (n k )! n! Ank k Cn k !(n k )! Pk k n; k , n N k n; k , n N Cnk Cnnk Cnk Cnk Cnk11 ( a b) n S S S n C a k n n k bk k n n C a C a b Cnk a nk b k Cnn 1ab n1 Cnnb n cỏc s h ng khai tri n l n+1 h ng t ng quỏt Cnk a n k bk h ng th k khai tri n l Cnk 1a nk 1b k n n Phựng Thanh Toỏn 0985.62.99.66 B c Lóm Phỳ L 11) CễNG TH C L ng H ụng H N i NG GIC Cụng th c c b n tan x sin x cos x 1 tan x cos x sin x cos x cot x cot x sin x cos x sin x tan x.cot x Cụng th c nhõn ụi tan x sin x 2sin x.cos x tan x tan x cos x 2sin x 2cos x cos x sin x Cụng th c nhõn ba sin x 3sin x 4sin x cot x cot x 2cot x cos3 x 4cos3 x 3cos x 3tan x tan x 3cot x cot x tan x cot x 3tan x 3cot x sin n 2sin(n 1) cos sin(n 2) cos n 2cos(n 1) cos cos(n 2) Cụng th c h b c cos x sin x 3sin x sin x sin x cos 2x tan x cos x cos x 3cos x cos3 x cos3 x cos x cot x cos x cos x Bi u di n sin x , cos x , tan x , cot x theo t tan 2t sin x t2 t2 cos x t2 x 2t tan x t2 t2 cot x 2t Cụng th c c ng sin( x y ) sin x.cos y cos x.sin y cos( x y ) cos x.cos y sin x.sin y sin( x y ) sin x.cos y cos x.sin y tan x tan y tan( x y ) tan x.tan y tan x tan y tan( x y ) tan x.tan y cos( x y ) cos x.cos y sin x.sin y cot x.cot y cot( x y ) cot y cot x cot x.cot y cot( x y ) cot y cot x Phựng Thanh Toỏn 0985.62.99.66 B c Lóm Phỳ L Cụng th c bi n i tớch thnh t ng sin x.sin y [cos( x y ) cos( x y )] sin x.cos y [sin( x y ) sin( x y )] tan x tan y tan x.tan y cot x cot y Cụng th c bi n i t ng thnh tớch x y x y sin x sin y 2sin cos 2 x y x y sin x sin y 2cos sin 2 sin( x y ) tan x tan y cos x.cos y sin( x y ) tan x tan y cos x.cos y ng H ụng H N i cos x.cos y [cos( x y ) cos( x y )] cos x.sin y sin( x y ) sin( x y ) x y x y cos 2 x y x y cos x cos y 2sin sin 2 sin( x y ) cot x cot y sin x.sin y sin( y x) cot x cot y sin x.sin y cos x cos y 2cos Cụng th c c bi t khỏc sin x cos x sin x cos x 4 sin x cos x sin x cos x 4 x x sin x 2cos sin x 2sin sin x (sin x cos x )2 Cỏc cung liờn k t: i: x v -x sin( x) sin x tan( x) tan x Bự: x v x sin( x) sin x tan( x) tan x Ph : x v x sin x cos x tan x cot x cos( x) cos x cot( x) cot x cos( x) cos x cot( x ) cot x cos x sin x cot x tan x Phựng Thanh Toỏn 0985.62.99.66 B c Lóm Phỳ L 16) 1) S ng H ụng H N i PH C nh ngh a Cho s ph c z a bi , v i i Ph n th c: Ph n o: Chỳ ý: b i 4n z a2 b2 Modul: a i n i S ph c liờn h p: z a bi n n i i i Cỏc phộp tớnh Cho hai s ph c z1 a1 b1i v z2 a2 b2i z1 z2 (a1 a2 ) (b1 b2 )i z1 z2 (a1a2 b1b2 ) (a1b2 a2b1 )i 2) D ng l z1 z2 (a1 a2 ) (b1 b2 )i z1 (a1a2 b1b2 ) (a2b1 a1b2 )i z2 a22 b22 ng giỏc c a s ph c a cos r V i z a bi , t r z a b v gúc (rad) th a sin b r Ta cú: z r (cos i sin ) l d ng l ng giỏc c a s ph c trờn Cỏc phộp tớnh Cho hai s ph c z1 r1 (cos i sin ) v z2 r2 (cos i sin ) z1 r1 z1 z2 r1r2 cos(1 ) i sin(1 ) cos(1 ) i sin(1 ) z2 r2 r r 1 z1 z2 (k Z ) cos( ) i sin( ) k z r1 n Cụng th c Moa-vr r (cos i sin ) r n (cos n i sin n ) n Z C n b c n c a s ph c n 3) Cỏc cụng th c khỏc z z 2a z.z z z1.z2 z1.z2 z1 z1 z z2 arg( z1.z2 ) arg z1 arg z2 k k z n r cos i sin v i k 0, n n n z z z z1 z2 z1 z2 z1.z2 z1 z2 z z1 z2 z2 z arg arg z1 arg z2 z2 19 Phựng Thanh Toỏn 0985.62.99.66 B c Lóm Phỳ L 17) Cỏc t p h p s T p s t nhiờn N 0,1, 2, ,} T p s t nhiờn khỏc T p s nguyờn N * {1,2,3, } Z { , 2, 1,0,1,2, } Z {1,2,3, } a Q | a Z,b Z b a I x | a Z ,b Z b R I Q C {a bi | a, b R} T p s nguyờn d ng T ps h ut T p s vụ t T p s th c T p s ph c Chỳ ý: 20 ng H ụng H N i N* N Z Q R C IR Phựng Thanh Toỏn 0985.62.99.66 B c Lóm Phỳ L ng H ụng H N i Ph n II - HèNH H C I CễNG TH C TRONG TAM GIC Kớ hi u a, b, c : R, r: p: ma , di cỏc c nh BC , CA, AB Bỏn kớnh ng trũn ngo i ti p, n i ti p N a chu vi tam giỏc di ng trung n, ng cao k t A 1) M t s nh ngh a - Tr ng tõm: l giao i m c a ba ng trung n tam giỏc - Tr c tõm: l giao i m c a ba ng cao tam giỏc - Tõm ng trũn n i ti p: l giao i m c a ba ng phõn giỏc tam giỏc - Tõm ng trũn ngo i ti p: l giao i m c a ba ng trung tr c tam giỏc N u tam giỏc vuụng thỡ tõm ng trũn ngo i ti p l trung i m c nh huy n 2) H th c l ng tam giỏc a b c 2bc cos A a b c 2R sin A sin B sin C 1 ma2 b c a 2 1 S ABC a.ha b.hb c.hc 2 1 ab sin C ac sin B bc sin A 2 abc 4R pr A b c ma a B C p ( p a )( p b)( p c) 3) H th c l ng tam giỏc vuụng A BC AB AC AB BH BC 1 2 AH AB AC 2 2 AC CH BC AH BH CH B H C AB AC BC AH 21 Phựng Thanh Toỏn 0985.62.99.66 B c Lóm Phỳ L 4) Tớnh ch t cỏc ng H ụng H N i ng tam giỏc A - G l tr ng tõm tam giỏc ABC GM GA GM AM AG AM G B - D, E l chõn ng phõn giỏc v ngoi c a tam giỏc ABC DB AB DC AC EB AB EC AC C M A B E C D nh lý Talet - A AM AN MB NC AM AN MN AB AC BC N M C B II CễNG TH C TRONG - NG TRềN ng th ng i qua tõm v vuụng gúc v i dõy cung thỡ i qua trung i m c a dõy ú Gúc n i ti p cú s o b ng m t n a s o c a cung b ch n Gúc t o b i ti p n v dõy cung cú s o b ng m t n a s o c a gúc b ch n b i dõy cung ú III CC CễNG TH C KHC 1) Cụng th c tớnh chu vi, di n tớch, th tớch Cụng th c chu vi, di n tớch Kớ hi u: S Di n tớch, P Chu vi Tam giỏc S AH BC Hỡnh thang: ( AB CD ) AH S A P AB BC CA B A B P AB BC CD DA D 22 C H H C Phựng Thanh Toỏn 0985.62.99.66 B c Lóm Phỳ L ng H ụng H N i A Hỡnh bỡnh hnh: S AB AH B P 2.( AB BC ) C D H Hỡnh thoi: S AC.BD A P AB B D C A Hỡnh ch nh t: S AB.BC B P 2( AB BC ) D Hỡnh vuụng: S AB C A B D C P AB ng trũn: S R2 P R Hỡnh qu t: S R2 l: di cung , :rad l R R R Cụng th c th tớch Kớ hi u: S Di n tớch ỏy, h chi u cao, R Bỏn kớnh hỡnh c u Th tớch hỡnh tr : Th tớch hỡnh chúp a giỏc, hỡnh nún: Th tớch hỡnh c u: V S h V S h V R3 23 Phựng Thanh Toỏn 0985.62.99.66 B c Lóm Phỳ L IV PH NG PHP T A ng H ụng H N i TRONG M T PH NG (HèNH H C 10) 1) H t a m t ph ng i(1;0) Vộct n v : Tớnh ch t: i j y j (0;1) i j j O 2) Vecto i Cho hai vecto a ( a1; a2 ) v b (b1; b2 ) a ( a1 ; a2 ) a a1 i a2 j nh ngh a Tớnh ch t di vecto T ng, hi u hai vecto Nhõn v i s th c k Hai vecto b ng a cựng ph Tớch vụ h ng b ng hai vecto Gúc gi a hai vecto ng d ng Hai vecto vuụng gúc A, B, C th ng hng ABCD l hỡnh bỡnh hnh Di n tớch tam giỏc ABC a a12 a22 a b (a1 b1; a2 b2 ) ka (ka1; ka2 ) a b a b 1 a2 b2 k R cho a kb a1b2 a2b1 a.b a b cos a, b a1b1 a2b2 a.b a1b1 a2b2 cos a, b a b a12 a22 b12 b22 a b a.b AB cựng ph ng AB DC yB y A S ABC yC y A AC AB k AC xB x A xC x A 3) T a c a i m Cho hai i m A( x A ; y A ) v B ( xB ; y B ) nh ngh a Tớnh ch t T a AB di o n AB Trung i m I c a AB T a tõm ABC 24 A( x A ; y A ) OA x A i y A j AB ( xB x A ; y B y A ) AB AB ( xB x A ) ( yB y A ) x xB y A yB I A ; x xB xC y A yB yC G A ; 3 x Phựng Thanh Toỏn 0985.62.99.66 B c Lóm Phỳ L M chia AB theo t s k 4) Ph ng trỡnh ng th ng ng H ụng H N i x kxB y A kyB MA k MB M A ; k k nh ngh a Vecto n(a; b) cú giỏ vuụng gúc v i ng th ng l vecto phỏp n c a Vecto u (a; b) cú giỏ song song v i ng th ng l vecto ch ph ng c a Ph ng trỡnh t ng quỏt ng th ng i qua i m M ( x0 ; y0 ) v cú VTPT n(a; b) : a ( x x0 ) b( y y0 ) Ph ng trỡnh t ng quỏt ng th ng ax by c (v i a b ) Ph ng trỡnh tham s ng th ng i qua i m M ( x0 ; y0 ) cú VTCP u (a; b) x x0 at : y y0 bt Ph ng trỡnh chớnh t c ng th ng i qua i m M ( x0 ; y0 ) cú VTCP u (a; b) x x0 y y0 : (v i ab ) a b N u a ho c b thỡ ng th ng khụng cú ph ng trỡnh chớnh t c Ph ng trỡnh o n ch n: Cỏc tr ng h p c bi t PT t ng quỏt ng th ng i qua hai i m A(a;0) , B (0; b) x y : (v i ab ) a b Tr c Ox y0 / /Ox : y m Tr c Oy x0 / /Oy : x n xt y x t : y m x yt x n : yt PT Chớnh t c V trớ t ng i c a hai ng th ng Cho hai ng th ng : a1 x b1 y c1 v : a2 x b2 y c2 T a giao i m c a v l nghi m c a h ph ng trỡnh T ú: c t / / c bi t: N u a2 , a1 x b1 y c1 a2 x b2 y c2 b2 , c2 h cú nghi m nh t h cú vụ nghi m h cú vụ s nghi m u khỏc 0, ta cú 25 Phựng Thanh Toỏn 0985.62.99.66 B c Lóm Phỳ L - c t - / / - ng H ụng H N i a1 b1 a2 b2 a1 b1 c1 a2 b2 c2 a1 b1 c1 a2 b2 c2 5) Kho ng cỏch v gúc ng th ng : ax by c Kho ng cỏch t i m M n ax byM c d ( M ; ) M a b2 Cho hai i m M ( xM ; yM ) , N ( xN ; y N ) v ng th ng : ax by c Hai i m M, N n m cựng phớa i v i (axM byM c)(axN by N c ) Hai i m M, N n m khỏc phớa i v i (axM byM c)(axN by N c) Cho hai ng th ng cú ph ng trỡnh : a1 x b1 y c1 v : a2 x b2 y c2 Ph ng trỡnh hai ng phõn giỏc c a cỏc gúc t o b i v cú d ng a1 x b1 y c1 a2 x b2 y c2 a12 b12 a22 b22 Gúc t o b i hai ng th ng trờn n1.n2 a1a2 b1b2 cos 1; n1 n2 a12 b12 a22 b22 Cho M ( xM ; yM ) , 6) Ph ng trỡnh ng trũn Ph ng trỡnh Ph ng trỡnh t ng quỏt c a ng trũn tõm I ( x0 ; y0 ) , bỏn kớnh R : ( x x0 )2 ( y y0 )2 R ng trũn: x y 2ax 2by c ( a b c ) cú tõm I (a; b) , bỏn kớnh R a b2 c ng th ng l ti p n c a ng trũn tõm I, bỏn kớnh R : d ( I ; ) R ng Elip nh ngh a: Trong m t ph ng cho hai i m F1 , F2 c nh v F1F2 2c , Elip l t p h p i m M th a MF1 MF2 2a (0 c a) Cỏc y u t c a Elip x2 y Ph ng trỡnh elip: (a b 0) a b t c2 a b 7) 26 Phựng Thanh Toỏn 0985.62.99.66 B c Lóm Phỳ L Tiờu i m: Tiờu c : di tr c l n di tr c nh Tõm sai: ng chu n: M l i m b t kỡ trờn Elip: c MF1 a xM a exM a Ph Ph 8) F1 (c;0) , F2 (c;0) F1F2 2c A1 A2 2a B1 B2 2b c e a a x e MF2 a ng H ụng H N i B2 M A1 A2 F2 F1 B1 c xM a exM a x a cos t t [0;2 ) y b sin t ng trỡnh tham s c a elip x0 x y0 y a2 b 2 ng th ng () : Ax By C l ti p n c a elip (E) A a B 2b C ng trỡnh ti p n v i elip t i i m M ( x0 ; y0 ) ( E ) l: () : ng Hypebol nh ngh a: Trong m t ph ng cho hai i m F1 , F2 c nh v F1F2 2c , Hypebol l t p h p i m M th a | MF1 MF2 | a (0 a c ) Cỏc y u t c a Hypebol x2 y Ph ng trỡnh hypebol: a b 2 t c a b Tiờu i m Tiờu c : di tr c th c: di tr c o: Ph ng trỡnh ti m c n: Tõm sai: ng chu n: Ph ng trỡnh ti m c n: F1 (c;0) , F2 (c;0) F1F2 2c A1 A2 2a B1 B2 2b b y x a c e a a x e b y x a M l i m b t kỡ trờn hypebol: MF a exM x , ta cú MF2 a exM MF (a exM ) x , ta cú MF2 ( a exM ) 27 Phựng Thanh Toỏn 0985.62.99.66 B c Lóm Phỳ L Ph ng H ụng H N i x0 x y0 y a2 b 2 ng th ng () : Ax By C l ti p n c a hypebol (H) A a B 2b C ng trỡnh ti p n v i hypebol t i i m M ( x0 ; y0 ) ( H ) : ( ) : ng parabol nh ngh a: Cho ng th ng c nh, i m F c nh Parabol l t p h p i m M th a MF d ( M , ) Cỏc y u t c a Parabol Ph ng trỡnh parabol: y px ( p 0) p F ;0 T a tiờu i m F: p ng chu n: () : x p M l i m b t kỡ trờn elip: MF xM Ph ng trỡnh ti p n v i parabol t i i m M ( x0 ; y0 ) ( P ) l: ( ) : y0 y p ( x x0 ) 9) ng th ng () : Ax By C l ti p n c a parabol (P) B p AC 28 Phựng Thanh Toỏn 0985.62.99.66 B c Lóm Phỳ L V PH NG PHP T A ng H ụng H N i TRONG KHễNG GIAN (HèNH H C 12) 1) H t a khụng gian Vộcto n v : i(1;0;0), j (0;1;0), k (0;0;1) i j k i j j.k k i Tớnh ch t: 2) Cỏc tr ng h p c bi t Oz k j Oy i Ox M t ph ng t a , tr c t a M t ph ng (Oxy ) (Oyz ) (Ozx) Tr c Ox Oy Oz Ph ng trỡnh z x0 y0 Vecto phỏp n n k (0;0;1) n i (1;0;0) n j (0;1;0) Vecto ch ph ng uOx i (1;0;0) uOy j (0;1;0) uOz k (0;0;1) i mM M ( x; y;0) M (0; y; z ) M ( x;0; z ) i mM M ( x;0;0) M (0; y;0) M (0;0; z ) Hỡnh chi u, i m i x ng c a M ( x; y; z ) qua cỏc m t t a , tr c t a Tr c Ox Tr c Oy Tr c Oz M t (Oxy ) M t (Oyz ) M t (Ozx) i mO Hỡnh chi u c a M xu ng ( x;0;0) (0; y;0) (0;0; z ) ( x; y;0) (0; y; z ) ( x;0; z ) i m i x ng c a M qua ( x; y ; z ) ( x; y; z ) ( x; y; z ) ( x; y; z ) ( x; y ; z ) ( x; y ; z ) ( x; y ; z ) 3) Vect khụng gian nh ngh a u ( x; y; z ) u x.i y j z.k Tớnh ch t Cho a (a1; a2 ; a3 ) v b (b1 ; b2 ; b3 ) a a12 a22 a32 di vecto 29 Phựng Thanh Toỏn 0985.62.99.66 B c Lóm Phỳ L T ng hi u hai vecto Nhõn m t s v i m t vecto Hai vect b ng a cựng ph ng b Ba vecto ng ph ng Tớch vụ h ng Tớch cú h ng Gúc t o b i hai vecto ng H ụng H N i a b (a1 b1; a2 b2 ; a3 b3 ) k a (ka1; ka2 ; ka3 ) (k R ) a1 b1 a b a2 b2 a b 3 k R cho a kb a1 a2 a3 (b1 ; b2 ; b3 0) b1 b2 b3 u, v w a.b a b cos a, b a1b1 a2b2 a3b3 a a3 a3 a1 a1 a2 a; b ; ; b b b b b2 3 b1 a.b a1b1 a2b2 a3b3 cos a, b ab a12 a22 a32 b12 b22 b32 ng d ng vect Hai vect vuụng gúc Ba i m A, B, C th ng hng B n i m A, B, C, D ng ph ng ABCD l hỡnh bỡnh hnh Di n tớch tam giỏc ABC Di n tớch hỡnh bỡnh hnh ABCD Th tớch t di n ABCD Th tớch hỡnh h p ABCD.ABCD a b a.b AB cựng ph ng AC AB, AC AD AB DC S ABC AB; AC S ABCD AB; AC VABCD AB, AC AD VABCD A ' B ' C ' D ' AB, AD AA ' 4) T a c a i m nh ngh a M ( x; y; z ) OM ( x; y; z ) Tớnh ch t Cho A( x A ; y A ; z A ) v B ( xB ; yB ; zB ) T a vecto AB ( xB x A ; yB y A ; zB z A ) di o n th ng AB AB ( xB x A )2 ( yB y A ) ( zB z A )2 x xB y A yB z A zB M l trung i m c a o n th ng AB: M A ; ; 2 30 Phựng Thanh Toỏn 0985.62.99.66 B c Lóm Phỳ L ng H ụng H N i x xB xC y A yB yC z A zB zC G l tr ng tõm c a tam giỏc ABC: G A ; ; 3 x kxB y A ky B z A kz B i m M chia AB theo t s k MA k MB M A ; ; k k k 5) Ph ng trỡnh m t ph ng PTMP i qua i m M ( x0 ; y0 ; z0 ) cú VTPT n ( A; B; C ) l: A( x x0 ) B( y y0 ) C ( z z0 ) PTTQ c a m t ph ng: Ax By Cz D v i n ( A; B; C ) l vecto phỏp n PTMP i qua A(a;0;0) , B (0; b;0) v C (0;0; c) (v i abc ) cú d ng x y z a b c 6) Ph ng trỡnh ng th ng PTTS c a ng th ng d i qua i m M ( x0 ; y0 ; z0 ) v cú VTCP a (a1; a2 ; a3 ) x x0 a1t (d ) : y y0 a2t (t R) z z a t N u a1.a2 a3 thỡ (d ) : 7) Ph ng trỡnh m t c u x x0 y y0 z z0 l PTCT c a a b c ng th ng d D ng 1: PTMC (S) cú tõm I (a; b; c ) v bỏn kớnh R: ( x a) ( y b)2 ( z c)2 R D ng 2: Ph ng trỡnh x y z 2ax 2by 2cz d l PTMC tõm I (a; b; c) , bỏn kớnh R a b2 c d (v i a b c d ) 8) Cụng th c gúc, kho ng cỏch Gúc gi a hai vecto u v v Gúc gi a hai ng th ng Gúc gi a hai m t ph ng ( ) v ( ) Gúc gi a ng th ng d v m t ph ng ( ) u.v cos u , v u.v ud1 ud2 cos d1 , d ud1 ud2 n n cos ( ),( ) n n ud n sin(d ,( )) ud n 31 Phựng Thanh Toỏn 0985.62.99.66 B c Lóm Phỳ L ng H ụng H N i Kho ng cỏch t i m M ( x0 ; y0 ; z0 ) n m t ph ng ( P ) : Ax By Cz D Ax0 By0 Cz0 D d(M / P) A2 B C M M , ud Kho ng cỏch t i m M ( x0 ; y0 ; z0 ) n ng th ng d : d ( M / d ) ud ud , ud M 1M Kho ng cỏch gi a hai ng th ng chộo d1 , d : d ( d1 ,d2 ) u d , u d Tr ng h p c bi t N u d1 / / d Kho ng cỏch d1 , d c tớnh theo m t hai cỏch sau C1: L y M d1 d ( d1 ,d2 ) d( M / d ) C2: L y N d2 d( d1 ,d2 ) d( N / d1 ) N u ( P ) / /(Q ) Kho ng cỏch gi a ( P ) v (Q ) C1: L y M ( P) d ( P ,Q ) d ( M /Q ) C2: N (Q) d( P ,Q ) d( N / P ) N u d / /( P ) Kho ng cỏch gi a d v ( P ) C1: L y M d d( d ,P ) d( M / P ) C2: 9) V trớ t V trớ t c tớnh theo m t hai cỏch c tớnh theo m t hai cỏch L y N ( P) d ( d , P ) d ( N / d ) ng i ng th ng, m t ph ng, m t c u ng i c a hai ng th ng d , d ' ng ph ng u, u ' MM ' u , u ' d , d ' song song u , MM ' d , d ' vuụng gúc u u ' u.u ' d , d ' chộo u, u ' MM ' u , u ' d , d ' c t u , u ' MM ' Chỳ ý: hi u cỏc cụng th c trờn, ta dựng cỏc cụng th c vecto sau Hai vecto u v v cựng ph ng u, v Ba vecto u , v v w ng ph ng u, v w V trớ t ng i c a hai m t ph ng ( P ) c t (Q ) nP khụng cựng ph 32 ng nQ nP , nQ Phựng Thanh Toỏn 0985.62.99.66 B c Lóm Phỳ L ( P ) vuụng gúc (Q ) ( P ) song song (Q ) nP nQ nP cựng ph ng nQ ng H ụng H N i nP nQ nP , nQ V trớ t ng i c a ng th ng v m t ph ng x x0 at Cho ng th ng d : y y0 bt v m t ph ng ( P ) : Ax By Cz D z z ct Xột ph ng trỡnh A( x0 at ) B( y0 bt ) C ( z0 ct ) ( t l n) (*) d / /( P ) N u (*) vụ nghi m d c t (P) N u (*) cú m t nghi m d ( P) N u (*) cú vụ s nghi m V trớ t ng i c a m t ph ng ( P ) v m t c u ( S ) tõm I, bỏn kớnh R ( P ) ti p xỳc ( S ) d( I ,P) R (P) c t (S ) d( I ,P) R ( P ) khụng c t ( S ) d( I ,P) R V trớ t ng i c a d ti p xỳc ( S ) d c t (S ) d khụng c t ( S ) ng th ng d v m t c u ( S ) tõm I, bỏn kớnh R d ( I ,d ) R d ( I ,d ) R d ( I ,d ) R V trớ t ng i c a hai m t c u (S1 ) , (S ) ngoi I1 I R1 R2 (S1 ) , (S ) I1 I R1 R2 (S1 ) , (S ) ti p xỳc ngoi I1 I R1 R2 (S1 ) , (S ) ti p xỳc I1 I R1 R2 (S1 ) , (S ) c t theo m t ng trũn R1 R2 I1I R1 R2 H T 33 [...]... dây cung có s đo b ng m t n a s đo c a góc b ch n b i dây cung đó III CÁC CÔNG TH C KHÁC 1) Công th c tính chu vi, di n tích, th tích  Công th c chu vi, di n tích Kí hi u: S – Di n tích, P – Chu vi Tam giác 1 S  AH BC 2 Hình thang: ( AB  CD ) AH S 2 A P  AB  BC  CA B A B P  AB  BC  CD  DA D 22 C H H C Phùng Thanh Toán – 0985.62.99.66 – B c Lãm – Phú L ng – Hà ông – Hà N i A Hình bình hành:... Thanh Toán – 0985.62.99.66 – B c Lãm – Phú L  ng – Hà ông – Hà N i ng d ng c a tích phân Di n tích hình ph ng Cho hai hàm s y=f(x) và y=g(x) có đ th (C1), (C2) y f(x) Di n tích hình ph ng gi i h n b i (C1), (C2) và hai đ ng th ng x=a, x=b đ g(x) c tính b i công th c: a O b S   f  x   g  x  dx b x a Th tích Th tích do hình ph ng gi i h n b i {(C):y=f(x),y=0,x=a,x=b} quay quanh Ox đ c tính b i công. .. i công th c: d O a b x c x O V      y   dy 2 c Th tích tròn xoay do hinh ph ng gi i h n b i hai đ ng y=f(x), y=g(x) quay quanh Ox (f(x)g(x), x[a;b]) đ c tính b i công th c: b   V     f  x     g  x   dx a 15) M 2 2 - LOGARIT Kí hi u vi t t t x nm x n  m   xn  log na x   log a x  m n lg x  log x  log10 x ln x  log e x lg10n  log10n  ln e n  n T đó: 1) Công. .. 2 3 3 2 1 2 1350 3 4 2 2 2 2 1 3  - 3 -1 1 1 3 0 - 1 3 -1 1 0 1500 5 6 1 2 3 2 1 3 1800 - 3  Công th c chuy n đ i đ n v t  0 sang x radian và ng 0 x 0 x    1800 0 180  8 cl i  0 -1 0 Phùng Thanh Toán – 0985.62.99.66 – B c Lãm – Phú L 12) KH O SÁT VÀ V ng – Hà ông – Hà N i TH HÀM S 1) Các công th c ph c n nh ng th ng a) Ph ng trình đ ng th ng  Ph ng trình đ ng th ng v i h s góc k : y ...     u , u ' MM '  0 Chú ý: hi u các công th c trên, ta dùng các công th c vecto sau      Hai vecto u và v cùng ph ng  u, v   0        Ba vecto u , v và w đ ng ph ng  u, v  w  0  V trí t ng đ i c a hai m t ph ng  ( P ) c t (Q ) nP không cùng ph  32  ng nQ      nP , nQ   0   Phùng Thanh Toán – 0985.62.99.66 – B c Lãm – Phú L ( P ) vuông góc... 15 Phùng Thanh Toán – 0985.62.99.66 – B c Lãm – Phú L 14)  ng – Hà ông – Hà N i NGUYÊN HÀM nh ngh a Cho hàm y = f(x) xác đ nh trên kho ng (a, b) Ta g i F(x) là m t nguyên hàm c a f(x) trên kho ng (a, b) n u F ( x)  f ( x ) x   a, b  Ký hi u:  f ( x)dx  F ( x)  C (C là h ng s )  Tính ch t  kf ( x)dx  k  f ( x)dx   f ( x)  g ( x) dx   f ( x)dx   g ( x)dx b b b a a a Công th c tích...Phùng Thanh Toán – 0985.62.99.66 – B c Lãm – Phú L  : 2   sin   x   cos x 2    tan   x    cot x 2  H n kém  sin(  x)   sin x tan( x   )  tan x ng – Hà ông – Hà N i H n kém   cos   x    sin x 2    cot   x    tan x 2  cos(  x)   cos x cot( x   )   cot x  Công th c nghi m  x    k 2 sin x  sin    ...  0   y A yB  0  y A  yB  0   y A yB  0 | y A || yB | | x A || xB | d ( A/d )  d ( B / d ) IA  IB 9 Phùng Thanh Toán – 0985.62.99.66 – B c Lãm – Phú L i x ng nhau qua d  i x ng nhau qua phân giác I, III i x ng nhau qua phân giác II, IV i x ng nhau qua đi m M Công th c khác  Góc t o b i hai vect   I  d     AB  ud  x A  yB    y A  xB   x A   yB   y A   xB... đ nh: x n xác đ nh  x  0 n 1  n x x  1, x x ( xy )  x y x xn  y   yn   0 (x )  x n m x x  x n m n m n n n n n m 1 n x nx xn  x nm m x 17 Phùng Thanh Toán – 0985.62.99.66 – B c Lãm – Phú L ng – Hà ông – Hà N i 2) Công th c logarit x  0 i u ki n xác đ nh: log a x xác đ nh    a  0, a  1 log a x  b  x  a b log a 1  0 log a x n  n log a x log a b  1 log b a log a ( xy )... 2 )   cos(1   2 )  i sin(1   2 )  z2 r2 r  r 1 1 z1  z2   1 2 (k  Z )   cos( )  i sin( )    k 2    z r1  1 2 1 n  Công th c Moa-vr  r (cos  i sin  )  r n (cos n  i sin n ) n  Z   C n b c n c a s ph c n 3) Các công th c khác z  z  2a z.z  z z1.z2  z1.z2  z1  z1    z 2  z2 arg( z1.z2 )  arg z1  arg z2 2   k 2   k 2   z  n r  cos  i ... mu n t ng h p toàn b l ng ki n môn toán th c t l p đ n l p 12 đ c s d ng kì thi n sinh Cao ng - i H c T t nghi p THPT, nh ng công th c không đ c dùng hai k thi s không đ c đ c p tài li u Hy v... Website: Facebook: c nh ng thành Phùng Thanh Toán B c Lãm, Phú L ng, Hà ông, HN 0985.62.99.66 luyenthi24h@gmail.com www.thaytoan.com www.facebook.com./luyenthi24h M CL C TRANG STT Ph n I - IS Giá... 11 Công th c l 12 Kh o sát v đ th hàm s ng trình b c nh t ng trình – b t ph 13 o hàm 14 Nguyên hàm 15 M – logarith 16 S ph c 17 T ph ps ng trình ng giác Ph n II - HÌNH H C Công th c tam giác Công