CÔNG THỨC TOÁN - LUYỆN THI ĐẠI HỌC

Công thức toán phổ thông Trường THPT số 2 An Nhơn GV : Khổng Văn Cảnh Trang 1 A. BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI I. Bất đẳng thức côsi - Nếu , 0 a b  thì 2 a b ab   , Dấu bằng chỉ xảy ra khi và chỉ khi: a b  . - Nếu , , 0 a b c  thì 3 3 a b c abc    Dấu bằng chỉ xảy ra khi và chỉ khi: a b c   . - Nếu 1 2 , , , 0 n a a a  thì 1 2 1 2 . n n n a a a a a a n     hay 1 1 1 nn n i i i i a a n      Dấu bằng chỉ xảy ra khi và chỉ khi: 1 2 n a a a    Kĩ thuật cộng mẫu số(BĐT cộng mẫu số) Cho , 0 a b  Ta có:   2 4 1 1 4 2 4 a b a b ab a b ab ab a b a b a b              ( 1 ) Hoặc ta có 2 1 1 4 1 1 2 a b ab a b a b a b ab              Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b. Tổng quát với n số 1 2 , , , 0 n a a a  Ta có: 2 1 2 1 2 1 1 1 n n n a a a a a a        Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 1 2 n a a a    . B.PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC I. Công thức lượng giác :  Công thức lượng giác cơ bản sin 2  + cos 2  = 1 1 + tan 2  =  2 cos 1 , Zkk  , 2    1 + cot 2  =  2 sin 1 , Zkk   ,   tan  .cot  = 1 , Zkk  , 2    Cung đối nhau cos(-  ) = cos  sin(-  ) = -sin  tan(-  ) = -tan  cot(-  ) = - cot   Cung bù nhau sin )(    = sin  cos )(    = -cos  tan )(    = -tan  cot )(    = -cot   Cung hơn kém  sin )(    = - sin  cos )(    = -cos  tan )(    = tan  cot )(    = cot   Cung phụ nhau sin ) 2 (    = cos  cos ) 2 (    = sin  tan ) 2 (    = cot  cot ) 2 (    = tan  Công thức toán phổ thông Trường THPT số 2 An Nhơn GV : Khổng Văn Cảnh Trang 2  Cung hơn kém 2  sin ( ) 2    = cos  cos ( ) 2    = -sin  tan ( ) 2    = -cot  cot ( ) 2    = - tan   Công thức cộng cos(a –b) = cosa cosb + sina sinb cos(a +b) = cosa cosb – sina sinb sin(a – b) = sina cosb – sinb cosa sin(a + b) = sina cosb + sinb cosa tan(a – b) = ba ba tantan1 tantan   tan(a + b) = ba ba tantan1 tantan    Công thức nhân đôi sin2a = 2sina cosa 2 2 2 2 cos2a = cos a - sin a = 2cos a - 1 = 1 - 2sin a tan2a = a a 2 tan 1 tan2   Công thức hạ bậc cos 2 a = 2 2cos1 a  sin 2 a = 2 2cos1 a  tan 2 a = a a 2 cos 1 2cos1    Công thức nhân ba 3 cos3a = 4cos a - 3cosa 3 sin3 3sin 4 n a a si a    Công thức hạ bậc 3 cos3 3cos os a= 4 a a c  3 3sin cos3 sin a= 4 a a   Công thức biến đổi tích thành tổng cosa cosb =   )cos()cos( 2 1 baba  sina sinb =   )cos()cos( 2 1 baba  sina cosb =   )sin()sin( 2 1 baba   Công thức biến đổi tổng thành tích cosu + cosv = 2cos 2 vu  cos 2 vu  cosu - cosv = -2sin 2 vu  sin 2 vu  sinu + sinv = 2sin 2 vu  cos 2 vu  sinu - sinv = 2cos 2 vu  sin 2 vu  Bảng các giá trị lượng giác đặc biệt Cung GTLG 0 6  4  3  2  Sin 0 1 2 2 2 3 2 1 Cos 1 3 2 2 2 1 2 0 Tan 0 3 3 1 3 Cot 3 1 3 3 0 II. Phương trình lượng giác đặt biệt Công thức toán phổ thông Trường THPT số 2 An Nhơn GV : Khổng Văn Cảnh Trang 3 + sinx = 0  x = k  , k  Z + sinx = 1  x =   2 2 k , k  Z + sinx = -1  x = -   2 2 k , k  Z + cosx = 0  x =   k 2 , k  Z + cosx = 1  x = k2  , k  Z + cosx = -1  x =(2k + 1)  , k  Z + tanx = 0  x = k  , k  Z + tanx = 1  x =   k 4 , k  Z + tanx = -1  x = -   k 4 , k  Z + cotx = 0  x =   k 2 , k  Z + cotx = 1  x =   k 4 , k  Z + cotx = -1  x = -   k 4 , k  Z III. Phương trình lượng giác cơ bản 1. sin   u x = sin   v x          2 ( ) 2 u x v x k k Z u x v x k              2. cos   u x = cos   v x          2 ( ) 2 u x v x k k Z u x v x k            3. tan   u x = tan   v x        2 ,( ) v x k k Z u x v x k              4. cot   u x = cot   v x        ,( ) v x k k Z u x v x k            IV. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx Phương trình có dạng asinx + bcosx = c (1) Cách giải phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi a 2 + b 2  c 2 Chia hai vế phương trình (1) cho 22 ba  ta được 222222 cossin ba c x ba b x ba a      (2) Đặt 22 cos ba a    ; sin 22 ba b    Pt (2) trở thành: cos  .sinx + sin  .cosx = 22 ba c   sin(x +  ) = 22 ba c  (3) Phương trình (3) là phương trình lượng giác cơ bản. Chú ý : sinx  cosx = 2 sin(x  4  ) Công thức toán phổ thông Trường THPT số 2 An Nhơn GV : Khổng Văn Cảnh Trang 4 V. Phương trình asin 2 x + bsinx. cosx + ccos 2 x = d Cách giải Cách 1: (áp dụng công thức hạ bậc) asin 2 x + bsinx. cosx + ccos 2 x = d  a. 2 2cos1 x  + b. 2 2sin x + c. 2 2cos1 x  = d  bsin2x + (c – a)cos2x = 2d – a – c Cách 2: Nếu cosx = 0 không là nghiệm của phương trình thì ta chia hai vế của phương trình cho cos 2 x  0 ta được phương trình bậc hai: a.tan 2 x + btanx + c = d.(1 + tan 2 x)  (a – d).tan 2 x + btanx + c – d = 0 C. ĐẠO HÀM 1. Một số quy tắc 1.   ' ' ' u v u v    2.   ' ' ' . u v u v vu   3. ' ' ' 2 u u v vu v v         2. Bảng các đạo hàm Đạo hàm của hàm số sơ cấp cơ bản Đạo hàm của hàm hợp 1 ( )' 0 a a R x ax x            1 ( )' . ' a a u u u    2 1 1 ' x x         2 1 ' ' u u u         1 ( )' 2 x x  ' ( )' 2 u u u  1 1 ' n n n x x          1 1 ' ' n n nu u u          Hàm số lũy thừa   1 1 ' n n n x n x   1 ' ( )' n n n u u n u   (sinx)’ = cosx (sinu)’= u’cosu (sin n u)’ = n.u’sin n-1 u.cosu (cosx)’= -sinx (cosu)’ = -u’sinu (cos n u)’ = -n.u’cos n-1 u.sinu (tanx)’ = 2 2 1 1 tan cos x x   (tanu)’= 2 2 ' '(1 tan ) cos u u u u   Hàm số lượng giác (cotx)’= 2 2 1 (1 cot ) sin x x     (cotu)’ = 2 2 ' '(1 cot ) sin     u u u u ( )' x x e e  ( )' ' '' u e u e  Hàm số mũ ( )' ln x x a a a  ( )' ' ln u u a u a a  1 (ln )' x x  (lnu)’ = ' u u Hàm số 1 (ln )' x x  ' (ln )'  u u u Công thức toán phổ thông Trường THPT số 2 An Nhơn GV : Khổng Văn Cảnh Trang 5 1 (log )' ln a x x a  ' (log )' ln a u u u a  logarit 1 (log )' ln a x x a  ' (log )' ln a u u u a  Phân thức   / 2 a x b ad bc cx d cx d            ;         / 2 2 2 2 2 ' ' 2 ' ' ' ' a a' ' ' a' ' ' ab ba x ac ca x bc cb x bx c x b x c x b x c                   D. KHẢO SÁT HÀM SỐ Dạng 1: Xét sự đồng biến , nghịch biến của hàm số I. Kiến thức cơ bản Giả sử hàm số y = f(x) xác định trên K: + Hàm số y = f(x) được gọi đồng biến trên khoảng K nếu: 1 2 1 2 1 2 , , ( ) ( ) x x K x x f x f x      + Hàm số y = f(x) được gọi là nghịch biến trên khoảng K nếu: 1 2 1 2 1 2 , , ( ) ( ) x x K x x f x f x      Phương pháp xét tính đơn điệu B1: Tìm tập xác định của hàm số B2: Tính đạo hàm của hàm số. Tìm các điểm x i (i = 1, 2,…,n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định. B3: Lập bảng biến thiên và kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến. Chú ý : Nếu       ' 0, ' 0, f x x K f x x K       và   ' 0 f x  tại hữu hạn điểm thuộc K thì hàm số y = f(x) đồng biến ( nghịch biến ) trên K Dạng 2. Sử dụng chiều biến thiên của hàm số để chứng minh BĐT Bài toán : Chứng minh bất đẳng thức :           x u x v x u v x   ,   ; x a b   Phương pháp B1 : Đưa BĐT về dạng     >0 u x v x . Đặt       f x u x v x   B2 : Xét dấu y’ từ đó suy ra f(x) đồng biến ( hay nghịch biến) trên (a;b) B3: Chứng minh       0 0 f a f b   . Suy ra điều phải chứng minh Dạng 3. Tìm cực trị của hàm số Phương pháp: Qui tắc I ( Dùng đạo hàm cấp 1) B1: Tìm tập xác định. B2: Tính f’(x). Tìm các điểm tại đó f’(x) = 0 hoặc f’(x) không xác định. B3. Lập bảng biến thiên. B4: Từ bảng biến thiên suy ra các cực trị Qui tắc II ( Dùng đạo hàm cấp 2) B1: Tìm tập xác định. B2: Tính f’(x) và f ”(x). Giải phương trình f’(x) = 0 và kí hiệu là x i là các nghiệm của nó. B3: Tính f ”(x i ) - Nếu f ”(x i ) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại x i ; - Nếu f ”(x i ) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại x i * Chú ý: Qui tắc 2 thường dùng với hàm số lượng giác hoặc việc giải phương trình f’(x) = 0 phức tạp. Dạng 4. Tìm điều kiện để hàm số có cực trị . Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số Công thức toán phổ thông Trường THPT số 2 An Nhơn GV : Khổng Văn Cảnh Trang 6 Phương pháp Cách 1 (Sử dụng đạo hàm cấp 1 ) B1: Tìm TXĐ của hàm số. B2: HS f(x) có cực trị tại 0 x   ' f x  đổi dấu qua 0 x Cách 2 ( Sử dụng đạo hàm cấp 2 ) B1: Tìm TXĐ của hàm số. B2: - HS f(x) có cực đại tại 0 x     0 0 ' 0 '' 0 f x f x         - HS f(x) có cực tiểu tại 0 x     0 0 ' 0 '' 0 f x f x         Chú ý:  Hàm số 3 2 ax ( 0) y bx cx d a      có cực trị khi và chỉ khi phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt.  Hàm số     4 2 ax ( 0) y bx c a         3 2 ' 4ax 2 2 2ax y bx x b o có 3 cực trị khi và chỉ khi phương trình   2 2ax 0 b có hai nghiệm phân biệt khác 0. o có 1 cực trị khi và chỉ khi 0; 0 0; 0 0 a b a b ab            Hàm số 2 ax bx c y dx e       2 2 2 ' adx aex be dc y dx e              có cực trị 2 2 0 adx aex be dc      có hai nghiệm phân biệt e d     0 0 ' 0 ad             Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bậc 3 C1: TH pt y’=0 có nghiệm đơn giản B1: Tính trực tiếp hai điểm cực trị     1 1 2 2 , ; , A x y B x y B2: Phương trình đt qua hai điểm cực trị 1 1 2 1 2 1 x x y y x x y y      C2: TH pt y’=0 có nghiệm phức tạp B1: Chia y cho y’ ta được     . ' y u x y v x   B2: Giả sử 1 2 , x x là hoành độ hai điểm cực trị . Khi đó ta có     1 2 ' ' 0 y x y x   . Do đó tọa độ các điểm cực trị     1 1 2 2 , ; , A x y B x y thỏa phương trình   y v x  . KL : pt đường thẳng qua hai cực trị của đồ thị hàm số   y v x  Dạng 5. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng, đoạn Để tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên   ; a b : Để tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên [a; b]: +B1: Tính đạo hàm của hàm số y’ = f’(x) + B2: Xét dấu đạo hàm f’(x), lập bảng biến thiên Trong đó tại x 0 thì f’(x 0 ) bằng 0 hoặc không xác định B1: Tìm các giá trị x i   ; a b  (i = 1, 2, , n) làm cho đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định . B2: Tính 1 2 ( ), ( ), ( ), , ( ), ( ) n f a f x f x f x f b B3: GTLN = max{ 1 2 ( ), ( ), ( ), , ( ), ( ) n f a f x f x f x f b } GTNN = Min{ 1 2 ( ), ( ), ( ), , ( ), ( ) n f a f x f x f x f b } Dạng 6 . Khảo sát hàm số 1. KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC 3:      3 2 (a 0) y ax bx cx d Sơ đồ khảo sát hàm số 3 2 (a 0) y ax bx cx d      : GTNN + - y y' b x 0a x Công thức toán phổ thông Trường THPT số 2 An Nhơn GV : Khổng Văn Cảnh Trang 7 1. Tìm tập xác định. 2. Sự biến thiên 2.1 Xét chiều biến thiên của hàm số : + Tính đạo hàm y’ và tìm các điểm tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định; + Xét dấu đạo hàm y’ và suy ra chiều biến thiên của hàm số. 2.2 Tìm cực trị. 2.3 Tìm các giới hạn tại vô cực và các giới hạn vô cực 2.4 Lập bảng biến thiên của hàm số 3. Vẽ đồ thị của hàm số. + Xác định một số điểm đặc biệt: Giao với trục Ox, Oy, điểm uốn. + Nhận xét đồ thị: Chỉ ra tâm đối xứng (điểm uốn) (không cần chứng minh) 2. KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ TRÙNG PHƯƠNG     4 2 (a 0) y ax bx c Sơ đồ khảo sát hàm số     4 2 (a 0) y ax bx c : Tìm tập xác định. Sự biến thiên 2.1 Xét chiều biến thiên của hàm số : + Tính đạo hàm y’ và tìm các điểm tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định; + Xét dấu đạo hàm y’ và suy ra chiều biến thiên của hàm số. 2.2 Tìm cực trị. 2.3 Tìm các giới hạn tại vô cực và các giới hạn vô cực 2.4 Lập bảng biến thiên của hàm số 3. Vẽ đồ thị của hàm số. + Xác định một số điểm đặc biệt: Giao với trục Ox, Oy. + Nhận xét : Đồ thị hàm số nhận Oy làm tục đối xứng. 3. KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ      (c 0;ad-bc 0) ax b y cx d Sơ đồ khảo sát hàm số      (c 0;ad-bc 0) ax b y cx d : Tìm tập xác định. Sự biến thiên 2.1 Xét chiều biến thiên của hàm số : + Tính đạo hàm y’( chú ý phương trình y’=0 không có nghiệm); + Xét dấu đạo hàm y’ và suy ra chiều biến thiên của hàm số. 2.2 Hàm số không có cực trị. 2.3 Tìm các tiệm cận ( đứng và ngang) 2.4 Lập bảng biến thiên của hàm số 3. Vẽ đồ thị của hàm số. + Xác định một số điểm đặc biệt: Giao với trục Ox, Oy. + Nhận xét : giao điểm hai đường tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thị Dạng 7. biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị Phương pháp: Để biện luận số nghiệm phương trình F(x, m) = 0 ta có thể biến đổi về dạng: f(x) = g(m), trong đó y = f(x) là hàm số đã khảo sát hoặc có thể dễ dàng khảo sát còn y = g(m) là đường thẳng phụ thuộc tham số m. Khi đó số giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) với đường thẳng y = g(m) chính bằng số nghiệm của phương trình F(x, m) = 0 Nhận xét : Với phương pháp này ta chú ý tới cách vẽ đồ thị các hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối: * Đồ thị hàm số y = f(|x|): Đồ thị hàm số y = f(|x|) được suy ra từ đồ thị hàm số y = f(x) bằng cách: + Giữ nguyên phần đồ thị phía bên phải trục Oy. + Bỏ phần đồ thị phía bên trái trục Oy và lấy đối xứng phần bên phải qua trục Oy. Công thức toán phổ thông Trường THPT số 2 An Nhơn GV : Khổng Văn Cảnh Trang 8 * Đồ thị hàm số y = |f(x)|: Đồ thị hàm số y = |f(x)| được suy ra từ đồ thị hàm số y = f(x) bằng cách: + Giữ nguyên phần đồ thị phía trên trục Ox. + Bỏ phần đồ thị phía dưới trục Ox và lấy đối xứng phần phía dưới qua trục Ox. Dạng 8. tìm điểm cố định của họ đường cong BÀI TOÁN : Cho họ đường cong ),(:)( mxfyC m  ( m là tham số ) Tìm điểm cố định của họ đường cong (C m ) PHƯƠNG PHÁP GIẢI Bước 1: Gọi );( 000 yxM là điểm cố định (nếu có) mà họ (C m ) đi qua. Khi đó phương trình: ),( 00 mxfy  nghiệm đúng  m (1) Bước 2: Biến đổi phương trình (1) về một trong các dạng sau: Dạng 1: 0   BAm m  Dạng 2: 0 2  CBmAm m  Áp dụng : 0   BAm       0 0 B A m ( 2) ;          0 0 0 0 2 C B A mCBmAm (3) Bước 3: Giải hệ (2) hoặc (3) ta sẽ tìm được );( 00 yx Chú ý : Hệ (2) hoặc (3) có n nghiệm thì có n điểm cố định mà họ (C m ) luôn đi qua Dạng 9. tiếp tuyến, tiếp xúc và tương giao Bài toán : Cho hàm số y = f(x) có đồ thị là ( C ) . Hãy viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) biết 1. Tiếp tuyến tại điểm M(x 0 ; y 0 )  (C): y - y 0 = f’(x 0 )(x - x 0 ). 2. Tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước: Cách 1: - Gọi x 0 là hoành độ tiếp điểm. Ta có f’(x 0 ) = k. - Giải phương trình ta tìm được x 0 , rồi tìm y 0 = f(x 0 ) từ đó ta được phương trình tiếp tuyến. Cách 2: - PT đường thẳng (d) có hệ số góc k là : y = kx + b - (d) tiếp xúc với ( C )  hệ       kxf bkxxf )( )( có nghiệm. - Giải hệ trên tìm được b từ đó suy ra phương trình tiếp tuyến. Chú ý: Nếu  là tiếp tuyến và: +  // d: y = ax + b  k  = a. +   d: y = ax + b  k  = -1/a. +  hợp với trục Ox một góc   k  =  tan(). +  hợp với tia Ox một góc   k  = tan(). 3. Tiếp tuyến đi qua một điểm A(x 1 ; y 1 ). Cách 1: Gọi x 0 là hoành độ tiếp điểm. PTTT tại A(x 0 , f(x 0 )) là: y = f’(x 0 )(x - x 0 ) + f(x 0 ). Vì A TT nên y A = f’(x 0 )(x A - x 0 ) + f(x 0 ). Giải phương trình tìm x o từ đó ta được phương trình tiếp tuyến. Cách 2: Đường thẳng  đi qua A có hệ số góc k có phương trình: A A y = k(x - x ) + y .  là tiếp tuyến của (C)  hệ PT sau có nghiệm:       A A f x = (x - x ) + y * f' x k k       giải hệ phương trình bằng phương pháp thế để tìm k. Công thức toán phổ thông Trường THPT số 2 An Nhơn GV : Khổng Văn Cảnh Trang 9 Chú ý: - Nghiệm của (*) chính là hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến. - Số nghiệm của (*) chính là số tiếp tuyến của ( C ) qua A . Do đó muốn có n tiếp tuyến ta tìm điều kiện tham số sao cho hệ (*) có n nghiệm. E. PHƯƠNG TRÌNH MŨ I. Các định nghĩa: a. n n thua so a a.a a   (n Z ,n 1,a R)     d. n n 1 a a     (n Z ,n 1,a R/ 0 )     b. 1 a a  a  e. m n m n a a  ( a 0;m,n N   ) c. 0 a 1  a 0   f. m n m n m n 1 1 a a a    II. Các tính chất : m n m n a .a a   m n n m m.n (a ) (a ) a  n n n (a.b) a .b  m m n n a a a   n n n a a b b        III. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ: 1. Phương pháp đưa về cùng cơ số a. Phương pháp : Cho phương trình f(x) = g(x) (1) (Trong đó f(x) và g(x) là các biểu thức chứa ẩn ở luỹ thừa). Biến đổi phương trình (1)                 * ;0 1 ** h x p x h x p x a a a x x                     khi đó ta có - PT (*)     h x p x   . - PT (**)         0 1 . 0 x x h x p x                     2. Phương pháp đặt ẩn phụ: 2.1. Nếu phương trình có dạng :           2 3 2 . . 0 . . . 0 f x f x f x f x f x a b c a b c d                 a. Phương pháp. Đặt t =   f x  ĐK t > 0 khi đó phương trình trở thành 2 3 2 . . 0 . . . 0 a t b t c a t b t c t d           Giải phương trình tìm t suy ra x. 2.2. Nếu phương trình có dạng :         2 2 . . . . 0 f x f x f x a b c        a. Phương pháp. Chia hai vế của phương trình cho     2 2 f x f x       khi đó phương trình     2 0 f x f x a b c                     . Đặt t =   f x         ĐK t > 0 khi đó phương trình trở thành 2 . . 0 a t b t c    Giải phương trình tìm t suy ra x. Công thức toán phổ thông Trường THPT số 2 An Nhơn GV : Khổng Văn Cảnh Trang 10 2.3. Nếu phương trình có dạng :     . . 0 f x f x a b c      trong đó 1   . Phương pháp : Đặt     1 f x f x t t      ĐK t > 0 khi đó phương trình trở thành 2 . . 0 a t c t b    Giải phương trình tìm t suy ra x. 3. Phương pháp lôgarít hóa. Phương pháp : Cho phương trình f(x) = 0 (1) (Trong đó f(x) là biểu thức chứa ẩn ở luỹ thừa).Nếu phương trình sau khi biến đổi có dạng       * h x g x a b với 0 , 1 a b   ta lấy logarit cơ số a hoặc cơ số b hai vế của phương trình (*) khi đó phương trình (*) trở thành:            .log 1 .log 2 a b f x g x b f x a g x       4. Phương pháp đoán nghiệm và chứng minh nghiệm là duy nhất Phương pháp : * Nhẩm nghiệm và sử dụng tính đơn điệu để chứng minh nghiệm duy nhất (thường là sử dụng công cụ đạo hàm) * Ta thường sử dụng các tính chất sau: Tính chất 1: Nếu hàm số f tăng ( hoặc giảm ) trong khoảng (a;b) thì phương trình f(x) = C có không quá một nghiệm trong khoảng (a;b). ( do đó nếu tồn tại x 0  (a;b) sao cho f(x 0 ) = C thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = C) Tính chất 2 : Nếu hàm f tăng trong khoảng (a;b) và hàm g là hàm một hàm giảm trong khỏang (a;b) thì phương trình f(x) = g(x) có nhiều nhất một nghiệm trong khỏang (a;b) (do đó nếu tồn tại x 0  (a;b) sao cho f(x 0 ) = g(x 0 ) thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = g(x) ) - Nếu pt cần giải có dạng             1 2 f x g x f x a b a g x       và ta có thể đoán ra được một nghiệm 0 x   - Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị (C) của hàm số mũ   f x y a  với đồ thị (C / ) của hàm số mủ   g x y b  - Số nghiệm của phương trình (2) là số giao điểm của đồ thị (C) của hàm số mũ   f x y a  với đồ thị (C / ) của hàm số   y g x  . - Từ tính chất Nếu hàm số   y f x  là một hàm số đồng biến và hàm số   y g x  là hàm số nghịch biến hoặc ngược lại thì (C) và (C / ) cắt nhau tại duy nhất một điểm. Nên phương trình (1) hay (2) có duy nhất nghiệm 0 x   . - Chú ý: Nếu là bài toán tìm giá trị của tham số để phương trình có có nghiệm khi đó dựa vào tính chất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi đồ thị của hàm số y = f(x) và đường thẳng d: y = g(m) cắt nhau. Do đó để giải bài toán này ta tiến hành theo các bước sau: + B 1 : Lập bảng biến thiên của hàm số . + B 2 : Dựa vào bảng biến thiên ta xác định m để đường thẳng d: y = g(m) cắt đồ thị hs y = f(x) . F. TÍCH PHÂN I. BẢNG CÁC NGUYÊN HÀM Hàm số f(x) Họ nguyên hàm F(x)+C Hàm số f(x) Họ nguyên hàm F(x)+C a ( hằng số) ax + C x  1 1 x C      ( ) ax b   a 1 1 ( ) 1 ax b C       [...]... (*) ta được (1 + x)n = C0n + C1n x + C2n x2 + …+ Cn-1n xn-1 + Cnn xn + TH2: Thay a = 1 và b = -x vào (*) ta được (2) (1 - x)n = C0n - C2n x+ C2nx2 + … (-1 ) kCkn xk + …+ (-1 )n Cnn xn 4 Một số hệ thức giữa các hệ số nhị thức n Cn ; (3) + Thay x = 1 vào (2) ta được C0n + C1n x + C2n + …+ Cnn = 2n + Thay x = 1 vào (3) ta được: C0n - C1n x + C2n - …+ (-1 )n Cnn = 0 GV : Khổng Văn Cảnh Trang 17 ... Cảnh Trang 16 Công thức toán phổ thông phần tử được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử b Định lý: Số tổ hợp chập k của n phần tử, kí hiệu Ck là: Ck  n n Trường THPT số 2 An Nhơn n  n  1  n  k  1 n!  k! n  k ! k! c Hai tính chất cơ bản của tổ hợp: Cho a, k  * : Ck  Cn  k n n Ck 1  Ck  Ck 1 n n n 0  k  n  1  k  n  I NHỊ THỨC NIU-TƠN 1 Công thức nhị thức Niu-tơn: Với mọi... hàm cơ bản Các hàm phân thức hữu tỉ đối với các hàm lượng giác Sử dụng các phép biến đổi lượng giác đưa về các nguyên hàm cơ bản Phương pháp đổi biến Đối với các dạng tích phân: I = R(sinx, cosx)dx, ta giải bằng cách đổi biến lựa chọn một trong các hướng sau: - Hướng 1: Nếu R( - sinx, cosx) = -R(sinx, cosx) thì sử dụng phép đổi biến t = cosx - Hướng 2: Nếu R(sinx, - cosx) = -R(sinx, cosx) thì sử dụng... C 2 Số phức (dạng đại số) : z = a + bi (a, b  R , i là đơn vị ảo, i2 = -1 ); a là phần thực, b là phần ảo của z z là số thực  phần ảo của z bằng 0 (b = 0) z là phần ảo  phần thực của z bằng 0 (a = 0) 3 Hai số phức bằng nhau: GV : Khổng Văn Cảnh Trang 14 Công thức toán phổ thông Trường THPT số 2 An Nhơn a  a ' a + bi = a’ + b’I   ( a, b, a ' , b' R ) b  b' 4 Biểu diễn hình học : Số phức z =... phương án A và B Phương án A có thể thực hiện bởi n cách; phương án B có thể thực hiện bởi m cách Khi đó, công việc được thực hiện theo n + m cách 2 Quy tắc nhân: Giả sử công việc bao gồm hai công đoạn A và B Công đoạn A có thể thực hiện bởi n cách; công đoạn B có thể thực hiện bởi m cách Khi đó, công việc được thực hiện bởi n.m cách II Hoán vị – Chỉnh hợp – Tổ hợp 1 Hoán vị: a Định nghĩa: Cho tập A... pháp tích phân từng phần để tính nguyên hàm chúng ta cần tuân thủ các nguyên tắc sau: - Lựa chọn phép đặt dv sao cho v được xác định một cách dễ dàng GV : Khổng Văn Cảnh Trang 12 Công thức toán phổ thông Trường THPT số 2 An Nhơn Tích phân vdu được xác định một cách dễ dàng hơn so với I Ta dùng P(x) để chỉ cho một đa thức Dấu hiệu b Cách đặt b  P( x).sin xdx hoặc a  P( x) cos xdx Đặt u = P(x) a b b.. .Công thức toán phổ thông 1 ln x  C x ax ax C ln a Trường THPT số 2 An Nhơn 1 ln ax  b  C a 1 ax  b 1 ax  b e C a ex ex  C e ax  b sinx -cosx + C cosx Sinx + C 1 cos2 x tanx + C 1 cos (ax  b ) 1 tg(ax  b)  C a 1 sin 2 x -cotx + C 1 sin (ax  b) 1  cot g(ax  b)  C a u' ( x ) u( x ) ln u( x )  C 1 x ... [cos(   ' )  i sin(   ' )] z' r' 15 Công thức Moa-vrơ : n  N * thì [r (cos  i sin  )]n  r n (cos n  i sin n ) 16 Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác : Căn bậc hai của số phức z = r(cos   i sin  ) (r > 0) là :       r (cos  i sin ) và  r (cos  i sin )  r [cos(   )  i sin(   )] 2 2 2 2 2 2 H TỔ HỢP 1 Quy tắc cộng: Giả sử công việc có thể tiến hành theo một trong... mọi cặp số a, b và mọi số nguyên dương n ta có: (a + b)n = con an + c1n an – 1 b + c2n c1n – 2 b 2 + … + cnn-1 ab n – 1 + cnnb n n k   C n a n k b k (*) k n 2 Các nhận xét về công thức khai triển: + Số các số hạng của khai triển bằng n + 1 + Tổng các số mũ của a, b trong mỗi số hạng bằng n n-1 + Các hệ số của khai triển lần lượt là: C0 ; C1 ; C2 ; Cn ; n n n n  k  1 k 1 k n k Với chú ý: Cn ... các hàm số có đạo hàm liên tục thì: udv = uv - vdu b Còn đối với tích phân xác định, ta có: b  udv  uv a b a   vdu a Dựa vào công thức tính tích phân từng phần,để tính tích phân I=f(x)dx ta tiến hành theo các bước sau: Bước 1: Biến đổi tích phân ban đầu về dạng: I = f(x)dx = f1(x).f2(x)dx Bước 2: Đặt: u = f1(x), dv= f2(x)dx  du,v Bước 3: I = uv - vdu Chúng ta cần chú ý, khi sử dụng phương . nhau cos (-  ) = cos  sin (-  ) = -sin  tan (-  ) = -tan  cot (-  ) = - cot   Cung bù nhau sin )(    = sin  cos )(    = -cos  tan )(    = -tan  cot )(    = -cot  . - Hướng 1: Nếu R( - sinx, cosx) = -R(sinx, cosx) thì sử dụng phép đổi biến t = cosx. - Hướng 2: Nếu R(sinx, - cosx) = -R(sinx, cosx) thì sử dụng phép đổi biến t = sinx. - Hướng 3: Nếu R(-sinx,. a a 2 cos 1 2cos1    Công thức nhân ba 3 cos3a = 4cos a - 3cosa 3 sin3 3sin 4 n a a si a    Công thức hạ bậc 3 cos3 3cos os a= 4 a a c  3 3sin cos3 sin a= 4 a a   Công thức biến đổi