Phương pháp chứng mỉnh một hệ vectơ là độc lập tuyến tính | hay phụ thuộc tuyên tính.. - Nếu trong hệ 4 có chứa ít nhất một vectơ là tổ hợp tuyến tính của các vectơ còn lại thì hệ 4 phụ
Trang 1TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ TP HCM
Bộ môn toán cơ bản Khoa toán - Thống kê
BÀI TẬP TOÁN CAO CẤP
(Đại số tuyến tính và giải tích)
Trang 2Cho tập V # 2 Trên W ta định nghĩa hai phép toán cộng
và nhân như sau: Phép cộng (+) là một ánh xạ từ WƒxW vào
V Phép nhân là một ánh xạ từ l&xW' vào V W được gọi là một
không gian vectơ trên trường IR nếu 8 tinh chat sau thỏa:
1LX+Y=Y+X, VX,YeEV 2 (X+Y)+Z=X+(Y+Z), VX/Y,ZeV
3 Tôn tại phần tử Ó e V (phần tử không) sao cho:
Phép công: X = (z, ,z„)€ ?Ƒ°; Y = (0 „)€
=> X+Y= (a, +1, + 9,, ,2„ +ụ,)<
Phép nhân vô hướng:
XxX =(4,, ,2,)e RB"; ke R>kX = (k=,; ,kz„) 6 1”
Khi đó #" thỏa 8 tính chất trên Vậy #* là một không gian vecto
2 Phuong pháp chứng mỉnh một tập hop la không gian vectơ
Để chứng minh một tập V đã được xác định hai phép toán:
cộng và nhần vô hướng với một số thực là một không gian
3
Trang 3
HUONG DAN GIAI BAI TAP TOAN CAO CAP_DAI SO TUYEN TINH
vectơ, ta chứng minh V thỏa 8 tiên đề như trong định nghĩa
3 Định lý: Mét tap hop U c R”, U # Ø là không gian vectơ con
_ của #" nếu thỏa: " " |
1VX,YeU- => X+YeEeU
4 Phu ong pháp chứng mỉnh một tập hợp là không gian con
Để chứng minh tập hợp ? CV là không gian vectơ con của
V, ta chứng minh:
+ PzΠ|
+X+YeEP,VXYEP
_ +ŒXcP,VœclR, VXCP
II ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH - PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH
1 Định nghĩa: Hệ vectơ œ,,0,, ,u„ của không gian vectơ W trên
| R được gọi là phụ thuộc tuyển tính, nễu tồn tại các Œ,, Œ,, , Œ,,
không đồng thời bằng 0, sao cho #0 + UV, + +@,v, =0
Định nghĩa: Hệ vectơ không phụ thuộc tuyến "tính được gọi là
độc lập tuyến tính
2 Phương pháp chứng mỉnh một hệ vectơ là độc lập tuyến tính |
hay phụ thuộc tuyên tính |
Cho hé vecto A = AI Ai eA, J R", m22
- Nếu hệ A có chứa vectơ Ó thì hệ 4 phụ thuộc tuyên tính
- Nếu trong hệ 4 có chứa ít nhất một vectơ là tổ hợp tuyến tính của các vectơ còn lại thì hệ 4 phụ thuộc tuyên tính
- Nếu hệ A có chứa một hệ con phụ thuộc tuyên tính thì hệ
A phụ thuộc tuyến tính |
- Trong chương 2, ta sẽ gặp phương pháp sử dụng kiến thức
ma trận _ định thức dé chứng minh một hệ vectơ độc lập tuyến tính - phụ thuộc tuyên tính
Ill HANG CUA HE VECTO :
1 Định nghĩa: Hạng của hệ vecto la số vecto trong mot hé vecto độc lập tuyến tính cực đại của nó
| 2 Phương pháp tìm hạng của hệ vectơ
Cho hệ vectơ 41 ={A,, 4,, , A„} c IR”
Ta thực hiện các bước sau: ©
+ Nếu (*) độc lập tuyến tính, ta lại tiếp tục thêm một vectơ
khác Quá trình tiếp tục cho đến khi thêm vào bất kỳ một vectơ nào khác thì hệ phụ thuộc tuyến tính Khi đó ta sẽ có
hệ vectơ độc lập tuyến tính cực đại của 4, số vectơ của hệ vectơ độc lập tuyên tính cực đại này là hạng của 4
Chú ý: Trong chương 2, ta sẽ dùng phương pháp tìm hạng ma trận
dé tim hang cua hé vecto | |
IV CO SO VA SO CHIEU - TOA DO CUA VECTO
1 Dinh nena: Cho U 1a mét khéng gian con cua #“ Hệ vectơ {A,,4,, 4,,} trong U được gọi là cơ sở của 1H nếu thỏa:
Trang 4
HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TAP TOAN CAO CAP_DAI SO TUYEN TINH
1 A,A,, ,A, độc lập tuyến tính |
2 Mọi vectơ của Ù là tổ hợp tuyến tính của A,, A,, ,A,
Định nghĩa: SỐ vectơ trong cơ sở được gọi là số chiều của
không gian vectơ
Nếu không gian vectơ 7 có số chiều là k, ta viết: dim = È
2 Phương pháp tìm cơ sở - số chiều của không gian vectơ:
a Để tìm hệ cơ sở của không gian vecto V, ta tim hé
{X,,X,, ,X,} (1) déc lap tuyến tính cực đại, nghĩa là:
(1) độc lập tuyến tính
VX eV, X biéu thi tuyén tính qua (1)
b SỐ vectơ trong một co sé cua V duoc goi la SỐ chiêu của không gian vectơ ƒ
Chú ý:
+ Nếu biết dimW = ø thì mọi hệ con có + vectơ độc lập tuyến
tính đều là cơ sở của V
+ dim R” =n, hệ cơ sở chính tắc của R” là:
e, = (1,0, ,0),e, = (0,1,0, ,0), ¢, = (0,0, ,1)
3 Toa độ vectơ: Nếu {X
VX eV, X duoc biéu thi tuyến tính duy nhất qua cơ sở {Ai ;,
4 Cơ sở - số chiều: Không gian con L(X,,X,, ,X,) sinh béi
hệ vectơ Ä,,X., ÄX„ có một cơ sở là hệ vectơ độc lập tuyến
tính cực đại của hệ đó và
dim L({X,,X), , X,,}) = = rank [X, Xyy ,X,,}
(a) Tim X =2A-—B+3C
(b) Tim Y saocho 4+9 + 3Ø +4Y = 0 |
(c) Hỏi: Œ có phải là tổ hợp tuyến tính của A4, Ö 2 Giải:
Bài 1.2 Xét tính độc lập tuyến tính - Phụ thuộc tuyến tính của các
hệ vectơ sau đây:
(a) A ={A, = (12,-1);4, =(1L0,-1);4; = (-1,-2,2)}
Trang 5HUGNG DAN GIAI BAI TAP TOAN CAO CÁP ĐẠI SÓ TUYẾN TÍNH
(c) C={C, = (2, 1,0, 1), Œ, = (4, 2,0, 2) C, = (1,2,5,0)}
Giải:
(a) Xét kA, + iA, +hA, <0 re
Ta thu dugc hé phuong trinh | |
Bài 1.3 Xét tính độc lập tuyến tính - Phụ thuộc tuyến tính của các
vectơ sau đây: a
— hệ (*) có vô số nghiệnm— hệ X phụ thuộc tuyến tính
(b) Xét AY, + KY, +kY, + kyY, =0
Ta thu duoc hé phuong trinh:
| (2k, + 3k, + 5k, + 3k, =0
k, + 2k, + 3k, + 2k, = 0 PT
Trang 6
- Hệ này có vô số nghiệm
(3)+(1)
Suy ra {u,,u,,u,} phu thuéc tuyén tinh > {u,,u,} 1a hé vecto
độc lập tuyến tính tối đại của Ù |
(b) Vì các tọa độ của %œ,, ø, không tỉ lệ với nhau nén {», ,0,} độc
= {0,,u,,u,‡ độc lập tuyến tính => {0,0,, 0, }là hệ vectơ độc lập
tuyến tinh toi đại của V
Bai 1.5 Goi Rk” = 1x = (2), Uy) )| z,€ IR, Vi= In}
+ Với phép cộng: Ä + Y = (2, + Y,,2y + Yop %, + Y, ) voi X = (2,,25, ,2,), Y= (Uys Yor Yn)
+ Phép nhan véi mot s6 thuc: k.X = (ka,,ka,, ,kx, )
Chứng minh #” là một không gian vecto
Trang 7HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TOÁN CAO CÁP_ ĐẠI SÓ TUYỂN TÍNH
(voi X,,X,, ,X,, thuéc vé khong gian vecto V_) 1a tap hgp sinh
ra từ X,,%, ,X,, Chứng minh: là không gian con của W,
Vậy L là không gian vecto con cua V
1 Chimg minh P 1a khéng gian con cua FR”
2 Tìm một cơ sở và số chiều của P
CHƯƠNG I : KHÔNG GIAN VECTƠ
+ P#Ø vì có O=(0,0,0,0)€ ?
+ VX =(a,,4, ~ 2b,,a,,c,)€ P
Y =(a,,a, — 2b,,a,,c,)€ P, Va,,b,,¢,€ R, +=1,2
=>X+Y= (a, + @,,a, ta, —2(b, + b,),a, + a,,c, + €;
= (a@;,@, — 2b,,a,,¢,)€ P + VX =(a,,a, —20,,a,,¢)¢€ P, Vke R-
kX = (ka,, ka, — 2kb,,ka,,kc,) = (a,a — 2b, a ee P Vậy P là không gian con của R*
Cách 2: Dựa vào không gian con sinh bởi hệ vectơ dé chứng minh
2 Ta có: X = ø(1,1,1,0) + ð(0,—2,0,0) + c(0,0,0,1)
=aX, +bX,+cxX,
=> Hé L ={X, =(1,11,0), X, = (0,-2,9, 0), X, = (0,0,0,1)} sinh ra P Vay P là không gian con sinh bởi: X,, X,, X, mà hệ L={X,,X,, X,} độc lập tuyến tính (sinh viên tự kiểm tra) > L
là cơ sở của P và số chiều cua P la3 (số vecto trong co so Ù) Bài 1.8 Chứng minh răng mặt phang qua gôc tọa độ là một không
gian vectơ con có số chiều là 2 của không gian R’°
Giải:
Mặt phẳng P trong Ƒ# qua @ là tập hợp các điểm
M(z,,z) có phương trình a# + 0U + c2 = 0 voi a,b,c khong
Trang 8HUONG DAN GIAI BAI TAP TOAN CAO CAP_DAI SO TUYEN TÍNH
Ta có hệ {ø,ø} độc lập tuyến tính (sinh viên tự làm) và do (L) nên
nó tôi dai Suy ra {u,v} la cơ sở của P và ta có dim P =2
Bài 1.9 Chứng minh rằng một đường thắng không đi qua gốc tọa
độ không phải là không gian con của ??
Giải: Đường thắng D không đi qua gốc tọa độ có phương trình
ụ =aœ +b với b #0 hay D có thê viết:
D={X =(z,az+b)|Vze R, a, b hang sé, b#0}
Tacé: O€ D
That vay, neu OE D va X = (z,a=+b)€ D ta có:
(z,az + b) = (0, = Na tb= 9 72 =0 trái giả thiết
Vậy: @£ Ö nên phép cộng '®) trong 2 không có phân tử trung
hòa do đó 7 không bên đối với phép cộng (+)
(XeÐ-XeD=xX+(- -X) =O¢ D) Kết luận: 7 không phải là không gian vectơ con của R”
Cách khác: Chọn X = Y =(0,b)e 2= X+Y =(0,3b)£ D
Bài 1.10 Chứng minh hệ sau là cơ sở của R® _ |
U ={u, = (1,-2,3), ty = (2,-1,5),u, = (3,-4,16)}
"Giải:Mọi cơ sở trong ??Ì đều có số vectơ là 3 Vì hệ 7 có 3 vectơ
nên ta chỉ cần chứng minh hệ U độc lập tuyến tinh
Xét : ku, + ku, + ku, = 0
—> hệ U độc lập tuyến tính Vậy Ù là cơ sở của †È”
U ={u, =(1,2,-1,2),u, = (2,3,0,-1),u, = (1,2,1,3),% = (1,3,—1,0))
(b) Tìm tọa độ của X = (7,14,—1 ,2) theo cơ SỞ U
=> hệ U độc lập tuyến tính Vậy Ù là cơ so cia R°
(b) Xét: X =hu, +kyu, + Ryu¿ + k tu,
1
Trang 9
HUONG DAN GIAI BAI TAP TOAN CAO CAP_DAI SO TUYEN TiNH
Ta thu được hệ phương trình:
Bài 1.12 Chứng minh các tập hợp sau đây là không gian con của
không gian vectơ tương ứng và tìm cơ sở và số chiều của chúng
Trang 10HUONG DAN GIAI BAI TAP TOAN CAO CAP_DAI SO TUYEN TINH
Mọi vecto X € D, déu duoc biéu thi tuyén tinh qua hai vecto
œ, œ„ (biêu thức (l)) và hệ này độc lập tuyến tính do đó hệ
{a,,a„} độc lập tuyến tính cực đại trong D,
Vậy: 16; 4; j là một cơ sở của D, va không gian vectơ con D, cé
số chiều là 2 (vi co sở có 2 vectơ)
-Tuongtu: VX e D,, VkEe R=> kX € Dy
Vay D, la khéng gian con cia R” |
s Tìm cơ sở và số chiều của D,
+ Chọn hé vecto; {e, =(1,0, ,0),e, =(0,1 ,0), ,e_, =(0,0 ,1,0)}
Ta chứng minh ‡e,,e;, ,e,_,} độc lập tuyến tính |
That vay: ke the, + +k.e,=0ek =k = =k
+ VX =(4,,%, ,2 n-1? ,O)€ Dy, tacé: X =az,e, + 16, + FG ¡ n—] = 0
Vậy X biểu diễn tuyền tính qua e,, @, , €,,
CHƯƠNG I: KHÔNG GIAN VECTƠ
Vậy D, la khong gian vecto con cua fh”
¢ Tim co so va so chiéu cua D,
+ Chọn hệ :{e =(1,0 ,0—1),ø =(0,1 ,0—1) 4,„¡ =(09 ,1L—}
Ta chứng minh {e,,e,, ,e„,} độc lập tuyến tính
+ VX=(z,,z,, ,z„)€ D, thỏa mãn:z, + ø; + + z„ = 0
—> 1, =1, Ty — — đụ Khi đó, ta có: Ä = #,e, + ;@; + + 2„ 16, vay X biéu dién tuyén tinh qua ¢,, @, , €,_,-
Do dé {e,,¢,, ,€,-,} la métco sé cua D, va dim D, =n —1
Bài 1.13 Tìm cơ sở và số chiêu của không gian con sinh bởi hệ
vecto M ={X, =(1,2,0,1),X, = (21 3,1),X, = (-1,1,-3,0)} Giải:
Vì các tọa độ của LX,,X, } không tỉ lệ với nhau nên {X,,X,} độc
lập tuyến tính
Xét kX, + kX, + k,X, =0
Ta thu duoc hé phuong trinh:
(k, + 2k, —k, = 0 (1, ) lk +2k, —k, =0 1, 2k, +k, +k; =0 (2,) | — 3k, + 3k, =0
k, + ky =0 (4,) | —k + k=0U (4, (k, + 2k, —k, = 0 ,
=> hk, — ky, = 0 - héc6 v6 so nghiém
=> {X,,X,,X,}phu thuộc tuyến tính
= {X,, X;} là hệ vectơ độc lập tuyén tinh toi dai cha M Suy ra {X,,X,}la co sé cia L(M) (khéng gian con sinh boi M )
va dim L(M) = 2
19
Trang 11HUONG DAN GIAI BAI TAP TOAN CAO CAP_DAI SO TUYEN TINH
Bài 1.14 Đặt W/ là không gian con sinh bởi hệ vectơ:
U = {u, (1,-2,5,-3),u, = (2,3,1,-4),u, = (3,8,-3, -5)j
Tim co sé cua W va dimW
Giải:
Vì các tọa độ của u,, u„ không tỉ lệ nhau nên {u,,u,} độc
lập tuyến tính
Xet kyu, +kyu, +k,u, = 0
Ta thu được hệ phương trình:
Hệ co vo sé nghiém => {u,, u,,u,}phu thudc tuyén tinh
—= {u,, 0; } là hệ vectơ độc lập tuyến tính tối đại của Ù
Suy ra {,,, } là cơ sở của W và dinmHW =2
BÀI TẬP ĐÈ NGHỊ
1.1 Tập hợp V ={X|X =(z,,z;,0.0),Vz,e RÌ với phép cộng
và nhân vô hướng với một số thực được xác định như trên
Tỉ có phải là không gian vecto không ?
1.2 Xét xem các tập hợp sau đây với các phép toán đã xác định,
tập hợp nào là không gian vectơ
1) Tập hợp các đa thức với hệ số thực, bậc không quá n, với
phép cộng và phép nhân đa thức với một sô thông thường
20
a CHUONG I: KHONG GIAN VECTO 2) Tập hợp các đa thức với hệ số thực, bậc n, với phép cộng _ và phép nhân đa thức thông thường
3) Tập hợp các đa thức của cosz, bậc không quá n, hệ sé thực, với phép cộng và phép nhân một sô thông thường 4) Tập hợp các hàm sé liên tục trên [a,b] với phép cộng và phép nhân với một số thực được định h nghề như trong giải
1.3 Từ một không gian vectơ, ta loại bỏ vectơ X Phan còn lại (sau khi loại bỏ vectơ X) có phải là một không gian vectơ hay không 2
1.4 Trên tàu hỏa có một kho hàng, mà người phụ trách kho thường phát và nhận các mặt hang hàng ngày gôm: ,
1) Đường, 2) Chè, 3) Bánh quy, 4) bánh mì khô, 5) Than cui Gia su Ty, Ly, Z,, £,, x, trong tng la cac SỐ gia của lượng hàng xuất nhập đó (tính theo kg) trong ngày Nếu z, > 0 thì - thực phẩm hay than tương ứng nhận được lớn hơn lương thực phát trong ngày, còn nêu %, < 0 thì lượng phân phát lớn hơn
lượng nhận được từ kho vê Kí hiệu
V= b= (x, Ty, ,,y% )Ì với + có ý nghĩa như trên có ¡đại Ty
phải là không gian vectơ không ? (—100, õ,0,—200, 3) có ý
nghĩa gì ? 1.5 Trong Rˆ, các vectơ hình học có sốc chung tại gốc tọa độ và năm trong phần tư thứ nhất có lập thành một không gian vectơ hay không ?
1.6.Gọi `” là tập hợp các số thực đương, ta định nghĩa phép toán theo quy tắc:
+ Phép “cộng” hai SỐ SẼ hiểu là phép nhần thông thường + Phép nhân vô hướng sé thuc r voi mot s6 ae R* sé hiéu 1a phép nang sé œ lên lũy thừa r thông thường
R* cùng với hai phép toán trên có phải là không gian vectơ
1.7.Cho A = (1, -1,0); ø=(011)- | Hé {A,B} doc lap tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính
Trang 124 Hệ {A,,Y} là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính
1.8 Những hệ vectơ sau đây, hệ nào là hệ độc lập tuyên tính, phụ
1.12 Chung minh rang: néu hé vecto Ä), Ä;, , X, biểu thị
tuyên tính được qua hệ {Y,,Y;, ,Y„} thì hạng của hệ ban
đầu không lớn hơn hạng của hệ thứ hai
1.13 Chứng minh răng nếu ta thêm vào một hệ vectơ, một vectơ
là tổ hợp tuyến tính của các vectơ ban đầu của hệ thì hạng của hệ mới không thay đối
1.14 Trong không gian ??”, chứng minh hệ vectơ
-a.Tìm rm để hệ Ù là cơ sécta khéng gian R°
b Khi m = 1, tìm toạ độ của vectơ X = (1,1,0) trong cơ sở
1.16 Trong R*, cho hai hé vecto:
1 Chứng minh rằng hai hệ đó là hai cơ sở của FR’
2 Tìm tọa độ của X = (z,,#,,#„,z„) theo hai cơ sở trên
1.17 Chứng minh tập hợp sau đây là không gian vecto con cua không gian tương ứng Tìm cơ sở của chúng
1 Tập hợp các vectơ X = (#,,z¿, ,%„}€ TỶ” mà tọa độ của
nó thỏa đẳng thic hx, +h,2, + +k,2, = 0 với
k,, fy, ik, là các số thực cho trước
2 Tập hợp các vectơ của J“ mà thành phần cuối cùng bằng thành phân thứ nhất
3 Tập hợp các vectơ có dạng:
X =(a+2c,2a +b + 5e,2b + 2c,ø + Ù + 3c), Va,bce R
23
Trang 13HUONG DAN GIAI BAI TAP TOAN CAO CAP_DAI SO TUYEN TINH
1.18 Tìm một hệ độc lập tuyên tính tôi đại của hệ sau:
L Tim m dé {A,,A,,A,,A,} laco sé cia Rt
2 Tìm cơ sở và số chiều của không gian con sinh bởi hệ
vectơ 41, A,, A,;, A, khi m =2
1.20 Trong không gian vectơ V cho hai hệ vectơ A = {A,, , A, }
va B={B,, ,B,} thoa diéu kién:
24)
Vj =1m tacé A, = AB h,€ R,
Vi = In tacé B= YikA ke 777) R
1 Chứng minh răng hai không gian con sinh bởi hai hệ
vectơ trên trùng nhau
2 Áp dụng cho trường hợp A4, =(1,11), A, =(1,-11),
Từ đó hãy tìm tọa độ của X đối với cơ sở {X.X,,X,}
1.22 Cho l„, L¿ là hai không gian con của #” Chứng minh:
1.Neu L, CL, thi dim Z, < dim Z,
2.Néu L, CL, va dim L, = dim L, thi L, = L,
24
CHUONG II : MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
Pens Chương ÏI
_A.Lý thuyết
F1, TÍNH ĐỊNH THỨC
Cho ma trận vuông câp n
(Ay, Ay ct Ay; Qi, \
Qj, ay Dy j Ay,
Qiy Qiz ai; Qin (Ont a, a a, " Quà, J
Đề tính định thức của ma trận A, ta dùng các phương pháp sau:
PPI: Dùng các tính chất của định thức để đưa định thức về dang
dac biét (hay về dinh thức cần chứng minh)
PP2: Khai trién dinh thức theo dòng hoặc cột
Gi, Ary Qj ni,
đạp - đạ; By; Oy,
D =
Gay G2 me" a,j " Gan
=a,A, +a,A, +-:++4,,A,, (khai tién theo dong 1)
= 4,,A,; + @,,A,, +++ +4,A,; (khai triển theo cột j)
Zs — i+]
Trong dé: A, = (-1)™ M
được gọi là phần bù đại số của a„ trong 7 va M,, là định thức
con bù của a, trong D (M,, la dinh thức cap n—1 c6 duoc tr D
bằng cách bỏ đi dòng thứ ¿ và cột thứ 7 của D)
Trang 14
HƯỚNG DẪN GIAI BAI TAP TOAN CAO CAP_DAI SO TUYEN TINH
Chú ý: Khi khai triển theo dòng hoặc theo cội, ta chọn dòng nào
hay cot nao co nhiéu so O
PP3: Phuong phap biển đối: Dùng các tính chất của định thức
PP4: Khai trién Laplace: D = M,A, + M;,A, + -+ MA,
trong đó: M,, M,, , M, la tất cả các định thức con cấp k lấy ra
từ k dòng (Cột với A,, A,, , A, la phân bù đại số tương ứng của
chúng
PPS: Phuong phap truy chứng (truy hồi) dé tinh dinh thuc cap n
(n tùy y): Nếu không biến đổi định thức câp n về dạng tam giác, ta
| dùng khai triển theo dòng hoặc theo cột sao cho biêu diễn định
thức đã cho theo các định thức cùng dạng có cấp thấp hơn, ta được
biểu thức truy hồi
Giá trị của định thức cấp 2 băng tích của hai phân tử năm trên
đường chéo chính trừ đi tích của hai phần tử năm trên đường chéo
Giá trị của định thức câp 3 băng tông đại sô của hai nhóm:
+ Nhóm thứ nhất mang dấu + là: Tích của các phân tử năm tiên đường chéo chính, tích các phân tử song song với đường chéo chính với phan tử ở góc đối diện (hình 1.a)
+ Nhóm thứ hai mang dấu - là: Tích của các phần tử nằm trên đường chéo phụ, tích các phân tử song song với đường chéo phụ vol phan tử ở øóc đối diện (hình 1.b)
3 Phép nhan hai ma tran: A= (%; ) TLD ; B= (b,,), ,
A.B= (c,,] _ VOl €„ = Daub 4 Vt=lm, Vg =Lp
mxp
_ 4 Tim ma tran nghich dao:
Cho ma tran vu6ng cap n: A= (a, ) /mxu
a) A có ma trận nghịch đảo A`` © |A| # 0 Khi đó:
Mĩ, : là định thức con bù của a„ trong |4| đà định thức con của
|A| sau khi bỏ đi dòng ¿ cột 7)
Trang 15
HUGNG DAN GIAI BAI TAP TOAN CAO CAP_ DAI SO TUYEN TINH
Chú ý: 4` là ma trận phụ hợp của 4 đôi khi được ký hiệu là A
5b) Tìm ma rận nghịch đảo bằng phép biến đổi theo dong:
(dùng cho ma trận câp 4 trở lên)
Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng:
e Đối chỗ hai dòng cho nhau
e Lay một dòng nhân với một số khác 0
e Thay mot dong bang dòng đó cộng với k lần dòng khác Biến đối cùng một lúc hai ma trận A va J (ma tran don vị )
cùng cấp bằng các phép biến đổi sơ cấp tiên dòng , theo sơ đô:
(Al7)—3eeme—›(I|A"') biến đối trên dòng
Chi y: Trong quá trình biến đổi, nếu xuất hiện một dòng có các
phần tử đều bằng 0 ta kết luận không có ma trán nghịch dao A”
5 Tim hạng của ma trận:
Ta dùng các phương pháp sau đầy:
|PPI: Theo định nghĩa, ta có thể tìm hạng của ma trận bằng VIỆC
tìm hạng của hệ vectơ dòng (hay cột) của ma trận đó
PE2: Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận
+ Đối chỗ hai dòng (hay cộÐ cho nhau
+ Nhân một dòng (hay cột) với một sé khac 0
+ Nhân dòng ¿ (hoặc cột ¿) với một số k rÔi cộng tương ứng vào o dong 7 (hoặc cột 7) {¿ # 7) để đưa ma trận về dạng bậc
thang:
Nếu mọi định thức con cấp r +1 có chứa định thức con cấp r
khac không nêu tiên đều bang 0 thì hạng của ma trận 4 bang r Nếu trong số định thức con cấp z + 1 chứa định thức cấp r khác 0
| trên , có một định thức khác 0 thì quá trình lập lại tương tự với vai trò là định thức cấp z + 1 khác 0 đó
6 Giải phương trình ma trận: AX=B (i) Cach 1: Dua vao cap của ma tran A va B, ta dat ma tran:
+ 7 (x, ) ney
với: 7n là sô cột của ma trận A, pla số cột của ma tran B Dung phép nhan ma tran va cho hai ma tran ¡bằng nhau ta được
hệ phương trình tuyến tính Giải hệ đó ta có Tụ
Cách 2: (chỉ được áp dụng khi 4 là một ma trận vuông ) + Nếu |A| # 0, khi đó phương trình (1) có nghiệm: Ä = A'B Tìm A™ sau đó nhân với ma trận Ö ta có X
+ Nếu |A| =0 va |B] # 0 => không có X (theo định lý về phép nhân định thức ) |
+ Néu |A| = 0 va |B| = 0 thi ding cach 1
29
Trang 16HUONG DAN GIAI BAI TAP TOAN CAO CAP_DAI SO TUYEN TINH
Giải: Khai triển định thức D theo dong 3 ta cé:
D =aA,, + bA,y + cA,, + dA,,
Ta tinh cac phần bù đại số: _
Trang 17-~-HUGNG DAN GIAI BAI TAP TOAN CAO CAP_ DAI SÓ TUYẾN TÍNH
= ~(#ab —0) + c(ab — za — xb) = abc — x(ab + bc + ca)
Bai 2.8 Tinh các định thức sau bằng phương pháp truy đoán:
Trang 18HUONG DAN GIAI BAL TAP TOAN CAO CÁP ĐẠI SOTUYEN TINH
Hướng dẫn: Khai trên định thức D, t theo cột L, tacO6 ~ "
D,=(1+z VD, - 2D, với R=1+ẻ, D=(1+a@) -2? =a' +2? +1
3) Tinh A.B, B.A
4) Kiểm t lại 3 câu hỏi trên với
— |5 -2 -3l3 -1 0] |-10 9-7
1 2 -3\(2 5 7Ì (-1 17 24 BA=l3 2 -4//6 3 4|=|-2 29 41
3 -1 0j|5 -2 -3J |0 12 1ï
35
Trang 19HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TOÁN CAO CÁP ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH _
4) a) Câu 3 không thực hiện được
b) Chỉ thực hiện duge AB, BA
—j|
Bai 2.10 Cho A = Ý› g 1 PFỊT]
3 Kiém tra (AB) = B'A’
Trang 20_ HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TOÁN CAO CÁP_ ĐẠI SỐ TUYẾN TINH
+ Timcac phan bi dai số A,
Trang 21
HƯỚNG DAN GIAI BAI TAP TOÁN CAO CAP_DAI SO TUYEN TINH
Trang 22HUGNG DAN GIAI BAI TAP TOAN CAO CÁP ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
a b\(1 2) (at+3b 2a+4b
‘a + 2¢ = 0430 | (0ø — 3b + 2c = b+ 2d = 2a + 4Ù —9ø — 3b — 0c + 2d = 0
-4r, 4-4y,
2) Cách 1: Giải tương tự như trên
Cách 2: Vì |A| =1 # 0 nên có 4 ”.Vậy:
Trang 23HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TOÁN CAO CÁP_ ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
= Ly, + Ly Loy + Loo Lo, + Lp =|-l 0 2
yy + Ly Ð2đạ Ly + Ly + 22a, Ly3 + Log + 225g 1 1 3
#ụị + đại = 2 _|#ạ +; =1 Bj, + 23, =1
Ly, + Ly, +225, =1 địa + ¿¿ + 21; = Ì D3 + Xo, + 21;; = ỗ
Giải ba hệ phương trình trên ta tim dugc X
Bài 2.18 Cho ma trận 4 = (a,) với |A|z 0
Tìm ma trận nghịch đảo của A biét: A? +3A-22, =0
Giải: Tacó: 4“Ở+3A=2I, © A.A+3I,.A=A.A+3A.I, = 21,
©(A+31,)A= A(A+31,) = 21,
©s(A+3l,) A=5 A(A+SI,) =1,
Theo định nghĩa ma trận X thỏa man:AX = XA=T[, thi
X=A'.Dođó: 4" =5(A+31,)
1 1 0 2 3 1 Bài 2.19 Cho các ma trận sau:4=|2 2 1|, B=|4 1
Trang 24HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TOÁN CAO CÁP ĐẠI SỐ TUYEN TÍNH
Trang 25
CHƯƠNG II : MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC |
een
= 2abe(atb+c)
c7 c7
Trang 26HUONG DAN GIAI BAI TAP TOAN CAO CAP_DAI SO TUYEN TINH
Hãy tinh A+B, AA, AB, A.B, A’, B
01 0 2.7.Cho A=|0 0 1| Tinh A.A’, A7A, A’, A”
00 0
/1 2 -2 5\(/1 2 0 1`
0 4 3 5||-1 =5 3 11 2.8 Tính:1|„ „ 9 gllig o 8 -8
2.11 Cho A(@) = | Cm: A(2).A(Ø) = A(ø + 8) 2.12 L) Chứng minh răng: Nếu A4 và là hai ma trận vuông
cing cap va AB = BA thi:
(A+B) =A°+2AB+B’ va (A+B)(A-B)=A -B
2)Cho A=(a,) thỏa ø, =0,V2> 7 Chimg minh răng:
A" =(0), (ma trận không cấp ? n)
2.13 Tìm tât cả các ma trận giao hoán được với các ma trận sau:
of)
2.14 Tìm ma trận vuông cấp hai sao cho bình phương của nó bằng
ma tran don vi
2.15 Tìm ma trận nghịch đảo của các ma tran sau:
Trang 27¬ - ác -alx-|10 2 7 Hệ phương trình tuyên tính n 4n,m phương trình là hệ phương
5 — 10 7 8} |23 lã 11) Gini Uy + đu24; đc đu, = Đạ
| - | | 1G, Gy Gy _ | a đc tt Ayn |b
để A là ma trận suy biên a | " a : \ a mp —
với m =3 tìm ma trận X sao cho AX = B va tim ma tran | được gọi lan luot là ma trận hệ sô và ma trận hệ sô mở rộng (hay
Ỹ sao cho VA =€ Ộ | a | ma tran bo sung) cua hé ho
2.18 ] ] | Mỗi bộ øœ số X = (Z,Z,, ,z„) thỏa Ð œ2, = b,, Vú = 1, ,m
2 Cho 4, là hai ma trận không suy biên, chứng minh: được gọi là một nghiệm riêng của hệ |
l4 3 404 Ẳ 1 2 1 , - luôn là nghiệm của hệ và ngược lại mọi nghiệm riêng của hệ đều
| J | co dang biéu dién trên |
Trang 28HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TOAN CAO CAP_DAI SỐ TUYẾN TINH
II PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ THÔNG THƯỜNG
1 Phương pháp khử ân liên tiép AF A ` |
Ta biết rằng mỗi hệ phương trình có duy nhất một ma trận hệ số
mở rộng và ngược lại khi đã có ma trận hệ số mở rộng thì ta luôn
viết được hệ phương trình vì thế khi giải phương trình bằng
phương pháp khử an lién tiếp (phương phap Gauss), ta sử dụng
_ các phép biên đôi sơ câp theo dòng của ma trận trên ma trận hệ
số mở rộng của nó (Nếu đổi cột trong n cột đầu thì phải đôi ân)
Trong quá trình biến đổi nếu xuất hiện 1 dòng của ma trận
mở rộng có dạng (0,0, ,b) voi 6 #0 thì ta kết luận ngay hệ vô
nghiệm Trái lại hệ sẽ có nghiệm và khi đó bao giờ cũng đưa
được ma trận hệ số mở rộng về dạng hình thang chuân (sau khi
Không giảm tính tổng quát ta có thê coi cột thir 7 là cột biểu diễn
các hệ số ân x, ( J=Ìl, , m) Khi đó nghiệm tổng quát của hệ là:
với 4,.;›; , 4„ là những sô thực tùy ý
CHƯƠNG II : HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
¡Ta gBỌI ?\, 2;, , , là các ân chính, z,,,, Z,,;; , Z„ là các ân phụ
Chú ý: Không nên đổi chỗ các cột, chỉ nên đôi chỗ các dòng |
+ Nếu rankA < rankA — :hé vé nghiém | + Nếu rankA = rankA =n : hệ có duy nhất nghiệm
+ Nếu rankA = rankA = k < n : hệ có vô sô nghiệm Goi Œ = (C5) la ma tran con cap k cia A saocho rankC =k Bằng phương pháp biến đổi sơ cấp ta có thể đưa hệ về dạng |
— (Bi, + + uy = thị + gui, Tà + Quý
C1, + Đ (y1 = dy, + Copy Tyg Fee F CQ,
coi #,¡; ,„ là các tham sô Khi đó có hệ Cramer theo k ân
Trang 29HUONG DAN GIAI BAI TAP TOAN CAO CAP_DAI SO TUYEN TINH
cách thay cột 7 của 4 bởi cột tu do
IV HE THUAN NHAT
là ma trận không suy biên vì thê nên
® Ngoài phương pháp giải trên ta còn có thể sử dụng công thức
là định thức của ma trận có được băng
Hệ luôn có nghiệm và tập nghiệm cùa nó là không gian con
của #" với số chiêu là (n — rankA) với Á là ma trận hệ SỐ
Một cơ sở của không gian nghiệm được gọi là hệ nghiệm cơ
bản Để tìm hệ nghiệm cơ bản ta thường tìm nghiệm tông quát
0),1,0, ,0) ,0),0,1, ,0)
“the = (E00, 1), 7 (0,0, ,1),
là một hệ nghiệm cơ bản của hệ
V VAI UNG DUNG TOAN TRONG PHAN TICH KINH TE
1 Tìm điểm cân bằng thị trường Giả sử các hàm cung q,, = 4, (D1) Po
đ„ = đ„(Puп,- ;0,),V, =1, là các hàm bậc nhất của các giá
,p„ của n loai hàng hóa
Do đặc điểm của các hàm cung, hàm câu và ý nghĩa của các hệ
số của giá p, trong các hàm p„ và q„, hệ (1) được đưa về dạng
Trang 30
HUONG DAN GIAI BAI TAP TOAN CAO CAP_DAI SỐ TUYẾN TINH
Trong đó: a„ >0, 0, >0, Vi} = Ln
Đề tìm giá cả các mặt hàng tại điểm cân bằng thị trường ta phải
giải hệ (2)
Lời giải của (2) có ý nghĩa kinh tế khi các thành phần của
nghiệm phải dương và khi thay những giá trị đó vào các hàm cung
và câu, giá trị các hàm đó cũng phải dương
Khi đó hệ (2) được viết dưới dang : A P= B (2)
và giải hệ (27) bằng một trong hai phương pháp đã nêu ở phần hệ
phương trình
2 Mô hình input-output Leontief
Mô hình này nhằm xác định đầu ra của mỗi ngành trong
7 ngành kinh tế sao cho vừa đủ để thỏa mãn toàn bộ nhu cầu của
cả nền kinh tế đó (kế cả dự trữ và xuất khẩu)
-_ Các đơn vị được sử dụng trong mô hình được quy thành tiền
- Ki higu a, là giá trị của lượng nguyên liệu mà ngành j nhận được
từ ngành I i dé san xuat ra một lượng sản phẩm có giá trị mot don vi tiên
vx Mỗi ngành chỉ sản xuất một loại sản phẩm
vx Các ngành sử dụng một tỷ lệ cố định nguyên liệu đầu
- Gọi lượng đầu ra của øœ- ngành là z;,2;, ,„ ; yêu cầu cuối cùng cho đâu ra của ngành thứ ¡ là đ,,¿ =l,n
- Giả sử nghành thử 1 sản xuất một lượng đâu ra x¡ vừa đủ dé - dap ung những điều kiện đầu vào của n ngành và đáp ứng yêu cầu cuỗi cùng của ngành mở Khi đó, ta cé :
|#¡ +7, +21; =Ð
59
Trang 31HUONG DAN GIAI BAI TAP TOAN CAO CAP_DAI SO TUYEN TINH
Vậy nghiệm của hệ là *X - (? —
gái 3.2 : Giải hệ phương trình:
Kết luận: hệ (1) vô định, phụ thuộc vào hai tham số z;, 2
_ Nghiệm tông quát:
3 4 5 7TI{1 _ {2 6 -38 4|2| |
A = : " d,(-1)+d,
s 4 2 13 ¡1010 | {5 0 21 13/1
Trang 32HUGNG DAN GIAI BAI TAP TOAN CAO CAP_BAI SO TUYẾN TINH
=> r(A) =2# r(4) = 3, do đó hệ đã cho vô nghiệm
Bài 3.4 Giải và biện luận hệ phương trình:
4+4z++z=l J4 +Âu+z=4
= Néu D40>/141,A #-2, thi hé đã cho là hệ Cramer nên
D=|1 A Al=(A-1)(A+)) > .Vay nghiém «ra 4+1 1 (4+l)
, | ( ) Way nghis b= A+2 at
Hệ tương đương với phương trình z?t+y+z= 1
Hệ vô định nụ thuộc vào 2 tham số Nghiệm tổng quát:
x=~ y—2,y,2), Vaye R
v Nếu A = -2 Khi đó ma trận mở rộng của hệ phương trình có dạng:
= Néu 2= -2 hệ vô nghiệm
Bài 3.5 Giải và biện luận hệ phương t trình:
mz+y+z=m 2z + (m +1) + (m + 1)z = m + Ì
z+++rnz = Ì1
Giải: D = (m - 1} (m + 2)
63
Trang 33HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TOÁN CAO CÁP_ ĐẠI SỐ TUYẾN TINH
Néu m # 1,m # —2, hệ có nghiệm duy (a m+2’m+2
= Nếu mm = 1, hệ vô định, phụ thuộc 2 tham SỐ
nghiệm tổng quát (—y - z + 1,,2)Vz, 1
“=_ Nếu mm =-—2,r(4) = 2,r(A) = 3 Hệ vô nghiệm
Bài 3.6 Giải và biện luận hệ phương trình:
‘bar tay+z=1
4(2b—1)+ + au + 3z=1
bz+ayu+(b+3)z =1 Giải: D=a(b+3)(1—Ò)
Dz0<©a#z0bz—-2b z1 Hệ có nghiệm duy nhất (0.=.0]
D=0@ a=0,hay 6 =-2 hay b=1
Y¥ a=0,042,b4#1 Hệ vô nghiệm
Y a=0,b=1 Hé v6 dinh (1,y,0),Vye R
vẻaz#0Ub=1_ Hệ vô định (1-— ay,,0),Vục
¥ a#0,b=-2 Hệ vô định (= = + 3,2), vye R
3 a 3a Bai 3.7 Cho hé phuong trinh:
2++rnz = Ì
42 +?nụ+z=a
z+(m+1)+(m+1)z =b 1) Với giá trị nào của m thì hệ phương trình trên có nghiệm
Trang 34HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TOÁN CAO CÁP ĐẠI SỐ TUYẾN TINH
Vậy hệ phương trình đã cho là hệ phương trình tuyến tính
Cramer, do đó hệ có nghiệm duy nhât:
=>r(A)= 2,7 (A) = 3 nếu a #5 |
Trang 35HƯỚNG DÂN GIẢI BÀI TẬP TOÁN CAO CÁP_ ĐẠI SÓ TUYẾN TINH _
—=r(4)= 1= r(A) Hệ vô định phụ thuộc vào 2 tham SỐ,
nghiệm tông quát X = (1—~ z,,2Z),VW+,z€ R
Giai: Cach 1: Vi Ay, Xs là một cơ sở của không gian nghiệm của
5 hệ phương trình tuyến tính thuần nhất nên |
Trang 36HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TOÁN CAO CAP_DAI SO TUYẾN TINH _
Đây là hệ phương trình tuyến tính thuần nhất cần tìm
Bài 3.12 : Cho hệ phương trình:
a Tim 1 hé nghiệm cơ bản của hệ trên khi znm = 11
b Biện luận sô chiều của không gian nghiệm theo m
Nghiệm tông quát của hệ X = (11, + 2z,+,,—4+, — 2„, 2, )
lúc đó hệ nghiệm cơ bản gom n—r(A) = 2 nghiém
x, — (11, 1, -4,0) (x, =1, Ly = 0)
X, =(2,0,-2,1) (a =0,2, =1) b) Biện luận số chiêu của không gian nghiệm
= Khong gian nghiệm có ?+ — r7 = Ì vectơ nghiệm dim N = 1
" Nếu ?nr—-1i=>m =11:r(A4)=2_
Không gian nghiệm c6 n—1r=2 vecto nghiém dim N = 2 Bai 3.13 Chimg minh W la mot kh6ng gian con của R’, tim 1 co
sở và một số chiều của W biết:
Một cơ sở của W chính là một hệ nghiệm cơ bản của hệ
phương trình tuyền tính gôm Í phương trình, 3 an: z, —+; + 2z, =0
r =1,n = 3 Hệ nghiệm cơ bản gồm ø — r = 2 vecto
Nghiệm tổng quát: (z,,z, + 2z;, +; ) Cho ấn phụ những giá trị tùy
ý Vậy l cơ sở của W là: X, = (11,0), X, = (0,2,1) = dinW =2
7]
Trang 37HUGNG DAN GIAI BAI TAP TOAN CAO CAP_DAI SO TUYEN TINH _
W ={(z\,.#;,2;) € e R* |x, — a, + 22, = 0}
mà (4¡,#¿, 2; ) — (x,, 2, + 2s, Z ) =Í;; 0) + (0,2x,,2;,) = — + (1,1,0) + (0210) | |
Nên 2 vectơ X, = (1,1,0),X, = (0,2,1) sinhra W
Vậy {X,,X,}là 1 cơ sở của W |
Bài 3.14 Tim nghiém téng quát.và hệ nghiệm cơ ban của hệ
Vậy nghiệm tông quát của hệ phương trình:
CHUONG III: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
Bài 3.15 Tìm một cơ sở và số chiều của không gian con các
nghiệm của hệ phương trỉnh:
Trang 38HƯỚNG DẪN GIAI BAI TAP TOAN CAO CAP_DAI SO TUYEN TINH
| 02 03 0,2
2 Tìm mức sản lượng của 3 ngành kinh tế, nếu ngành kinh tế mở yêu cầu 3 ngành trên phải cung cấp cho nó những lượng sản
phẩm trị giá tương ứng (70,100, 30)
Giải:
I Y nghĩa kinh tê của hệ sô a,, = 0,3
e
Can mot lượng hàng hóa thứ 2 (nguyên liệu thứ 2) trị giá 0,3
(đơn vị tiên), để sản xuất một lượng hàng hóa thứ 3 trị giá 1 (đơn
vị tiên)
2 Ta gọi J, la ma tran don vi cấp 3, A là ma trận dau vao va D
là nhu câu cuỗi cùng với X là vectơ ở dạng cột
Trang 39HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TOÁN CAO CẤP ĐẠI SO TUYEN TINH
x, = 150
Giải hệ trên bằng phương pháp Cramer ta có: 4 2, = 200
z„ = 150
Bài 3.18 Xét mô hình input - output mo gồm 3 ngành kinh tế với
ma trận hệ sô đâu vào là:
01 03 0,2 A=l04 02 01
02 0,3 0,3
I1 Tìm mức sản lượng của 3 ngành kinh tế mở đôi với 3 ngành
kinh tế trên là (110,52,90)
2 Tìm mức sản lượng của 3 ngành với điều kiện bố sung: do cải
tiên kỹ thuật ở ngành | tiêt kiệm được 25% nguyên liệu của
ngành 2; còn yêu câu của ngành kinh tê mở đôi với 3 ngành
CHƯƠNG II : HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYÉN TÍNH
4_ Do cải tiến kỹ thuật ngành I nên nguyên liệu ngành thu 2 giảm |
25% Như vậy a., = 0,4 lúc đầu chưa cải tiên, sau khi cải tiên
ky thuat a,, = 0,3 |
Ta có ma trận các hệ số đầu vào
01 0,3 0,2 A=l03 0,2 01
2) Giải hệ phương trình trên
3.2 Xét xem các hệ phương trình sau có nghiệm hay không?
4#) — #; — #„ + ỗ1; —= mm
`
77
Trang 40
HUONG DAN GIAI BAI TAP TOAN CAO CAP_DAI SO TUYEN TINH
3.3 Giai hé phuong trinh:
m +9, —y =Ì l) 4—21z, +1z¿ +; = 2
2) Tim m, dé không gian nghiệm có số ô chiều bằng 1
3) Khi m # 0 Tìm hệ nghiệm cơ bản của hệ
3.7 Cho hệ phương trình
(2# — #; + #;¿ — z, = 0
3z, +2z¿ =0 3x, — 42, + 2, = 0
52, — £, — 32; = 0
`
79