bài giảng toán cao cấp - trần văn vịnh

Baứi giaỷng Bieõn soaùn : Trn Vn Vnh LU HNH NI B NM 2012 CHƯƠNG 1 MA TRẬN – ĐỊNH THỨC $1. MA TR N :Ậ 1.1 Các khái niệm cơ bản : 1). Đònh nghóa 1 : Một ma trận cấp mxn là một bảng số có m dòng và n cột : nmij mnmm n n a aaa aaa aaa A x )( 21 22221 11211 =               = ; với a ij ∈ R trong đó : • a ij : là phần tử ở dòng i cột j • ( ) inii aaa 21 : dòng thứ i của ma trận A •               mj j j a a a 2 1 : cột thứ j của ma trận A Ví dụ 1 :         = 102 231 A là ma trận cấp 2x3           = 32 03 21 B là ma trận cấp 3x2 Ví dụ 2 : Một xí nghiệp sản xuất 4 mặt hàng và có 2 đại lý bán hàng. Bảng sau cho biết số lượng các mặt hàng bán được của các đại lý trong tháng vừa qua : Tivi Cassete Đầu máy video Quạt máy Đại lý 1 110 130 60 200 Đại lý 2 120 150 100 240 Đường chéo chính 2 Tốn cao cấp Ta có ma trận cấp 2x4 tương ứng như sau :         = 240100150120 20060130110 q Ví dụ 3 : Xí nghiệp qui đònh giá cả và hoa hồng của các mặt hàng cho các đại lý như sau : Mặt hàng Đơn giá (ngàn đồng) Hoa hồng (ngàn đồng) Tivi 3.100 150 Cassete 700 70 Đầu máy video 2.500 120 Quạt máy 200 30 Ta có ma trận cấp 4x2 tương ứng như sau :               = 30200 1202500 70700 1503100 M 2). Đònh nghóa 2 : a). Ma trận không cấp mxn, ký hiệu O mxn hay O, là một ma trận mà tất cả các phần tử đều bằng 0. b). Ma trận vuông cấp n là một ma trận có số dòng và số cột đều bằng n.               = nnnn n n aaa aaa aaa A 21 22221 11211 c). Ma trận đơn vò cấp n, ký hiệu I n hay I, là một ma trận vuông cấp n mà tất cả các phần tử nằm trên đường chéo chính đều bằng 1, còn các phần tử nằm ngoài đường chéo chính đều bằng 0.               == 1 00 0 10 0 01 n II d). Ma trận tam giác cấp n là một ma trận vuông cấp n, mà các phần tử nằm phía dưới (hoặc phía trên) đường chéo chính đều bằng 0. Chương 1 :Ma trận - Định thức 3               = nn n n a aa aaa A 00 0 222 11211 1.2 Các phép toán ma trận : 1). Phép lấy chuyển vò : Cho ma trận A = (a ij ) mxn . Ma trận chuyển vò của A, ký hiệu A T , là một ma trận cấp nxm có được từ A bằng cách xếp các dòng của A thành các cột tương ứng của A T . Ví dụ : Cho           −= 43 10 21 A         − =⇒ 412 301 T A 2). Phép nhân vô hướng : Cho ma trận A = (a ij ) mxn và α ∈ R. Ta đònh nghóa : α.A = (α.a ij ) mxn Ví dụ :         =         =         204 462 1.20.22.2 2.23.21.2 102 231 .2 3). Phép cộng ma trận : Cho hai ma trận A = (a ij ) mxn và B = (b ij ) mxn . Ta đònh nghóa : A + B = (a ij + b ij ) mxn Ví dụ :         =         +++ +++ =         +         516 273 411042 024321 414 042 102 231 4). Phép nhân ma trận : Cho hai ma trận A = (a ij ) mxn và B = (b ij ) nxp . Ta đònh nghóa : A.B = C = (c ij ) mxp trong đó c ij được tính bởi : ∑ = =+++= n k kjiknjinjijiij babababac 1 2211 . Ví dụ 1 : 4 Tốn cao cấp Cho         = 102 231 A ,           = 21 02 45 B và         − = 01 12 C Tính :                   = 21 02 45 . 102 231 AB         =         ++++ ++++ = 1011 813 2.10.04.21.12.05.2 2.20.34.11.22.35.1                   = 102 231 . 21 02 45 BA           =           +++ +++ +++ = 435 462 141513 1.22.10.23.12.21.1 1.02.20.03.22.01.2 1.42.50.43.52.41.5           − − − =           +−+ +−+ +−+ =         −           = 14 24 514 0122 0204 05410 01 12 . 21 02 45 BC         =         +++ −−− =                 − = 231 360 020301 140622 102 231 . 01 12 CA Ví dụ 2 : Ta xét lại Ví dụ 2 và Ví dụ 3 trong mục 1.1. Muốn biết doanh thu và hoa hồng của các đại lý trong tháng vừa qua, ta thực hiện phép nhân hai ma trận :         =                       = 700.47000.775 800.38000.622 30200 1202500 70700 1503100 . 240100150120 20060130110 .Mq $2. HẠNG CỦA MA TRẬN : 2.1 Đònh nghóa 1 : Cho ma trận A = (a ij ) mxn . Phép biến đổi sơ cấp trên dòng trên ma trận A là 1 trong 3 loại biến đổi sau : 1. Đổi chỗ hai dòng cho nhau : d i ↔ d j , với i ≠ j. 2. Nhân một dòng với một số α ≠ 0 : d i → α.d i . Chương 1 :Ma trận - Định thức 5 3. Cộng vào một dòng với một dòng khác đã được nhân với một số : d i → d i + α.d j , với i ≠ j. Ví dụ : •           − −  →           − − ↔ 012 130 201 201 130 012 31 dd •           − − →           − − → 201 390 012 201 130 012 22 .3 dd •           − − →           − − −→ 201 130 410 201 130 012 311 .2 ddd 2.2 Đònh nghóa 2 : Cho ma trận R = (x ij ) mxn . Ma trận R có dạng bậc thang, nếu : 1. Các dòng khác 0 luôn luôn ở trên các dòng bằng 0 của R. 2. Trên hai dòng khác 0 của R, phần tử khác 0 đầu tiên của dòng dưới bao giờ cũng ở bên phải cột chứa phần tử khác 0 đầu tiên của dòng trên. Ví dụ :               0000 5000 3200 4321 và           7000 5130 3412 là các ma trận dạng bậc thang. 2.3 Đònh nghóa 3 : Cho A là ma trận cấp mxn. Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng ta đưa A về dạng bậc thang R. Khi đó số dòng khác 0 của R được gọi là hạng của ma trận A. Ký hiệu : r(A) Ví dụ : Tìm hạng của ma trận sau :           − − − = 781 934 852 A Giải : Ta có :           − − −  →           − − − = ↔ −→ 852 770 781 781 934 852 31 122 .2 dd ddd A 6 Tốn cao cấp R dddddd dd =           − − −  →           − − −  → +→−→ −→ 500 110 781 6110 110 781 233133 22 .11.2 7 1 Ma trận dạng bậc thang R có 3 dòng khác 0. Vậy : r(A) = 3. $3. NH TH C :ĐỊ Ứ 3.1 Đònh nghóa : Cho A = (a ij ) là một ma trận vuông cấp n. Ta đònh nghóa đònh thức cấp n của ma trận A, ký hiệu detA hay A, là một số thực được xác đònh như sau : 1). Đònh thức cấp 2 : Với n = 2 thì ma trận A có dạng         = 2221 1211 aa aa A ⇒ detA = a 11 .a 22 – a 21 .a 12 . Ví dụ : 71583.54.2 45 32 −=−=−= 2). Đònh thức cấp 3 : Với n = 3 thì ma trận A có dạng           = 333231 232221 131211 aaa aaa aaa A 2322 1312 31 3332 1312 21 3332 2322 11 det aa aa a aa aa a aa aa aA +−=⇒ Ví dụ : 42 11 .2 31 11 .3 31 42 .2 312 423 112 − − − − − − = −− − = 2[2.3 – 4.(–1)] – 3[1.3 – (–1).(–1)] – 2.1.4 – (–1).2] = 2.10 – 3.2 – 2.6 = 2 3). Đònh thức cấp n : Với mỗi cặp (i,j), 1 ≤ i, j ≤ n, gọi A(i,j) là ma trận vuông cấp n– 1 có được từ A bằng cách bỏ đi dòng i cột j. Đặt : Chương 1 :Ma trận - Định thức 7 A ij =(–1) i+j detA(i,j) gọi là phần bù đại số của phần tử a ij trong ma trận A. ⇒ ∑ = =++++= n k kknn AaAaAaAaAaA 1 1111313121211111 det Ví dụ : 201 310 032 .4 130 310 032 .3 130 201 032 .2 130 201 310 .1 1304 2013 3102 0321 −+−= +         +−−         +−= 20 03 .0 13 03 .1 13 20 .2.2 20 31 .0 13 31 .1 13 20 .0         +−−         +−+ 31 03 .1 20 03 .0 20 31 .2.4 31 03 .0 13 03 .0 13 31 .2.3 [ ] [ ] [ ] [ ] 902.2.400)8.(2.303)6.(2.20)8(0 +−−+−−++−−−+−−= = 8 + 30 – 48 – 52 = – 62 4). Qui tắc Sarius : Đối với ma trận vuông A cấp 3, ta có thể tính detA theo qui tắc Sarius như sau : Ví dụ : 312 423 112 det −− − = A = 2.2.3 + 1.4.(–2) + (–1).3.(–1) – (–1).2.( –2) – 2.4.( –1) – 1.3.3 = 12 – 8 + 3 – 4 + 8 – 9 = 2 –+ 8 Tốn cao cấp 3.2Các tính chất : 1). Đònh lý 1 : Cho A = (a ij ) là một ma trận vuông cấp n. Khi đó với mỗi i, j cố đònh, ta có : a). Khai triển detA theo dòng i : ∑ = =++++= n k ikikininiiiiii AaAaAaAaAaA 1 332211 det b). Khai triển detA theo cột j : ∑ = =++++= n k kjkjnjnjjjjjjj AaAaAaAaAaA 1 332211 det Ví dụ 1 : 8)26.(2 32 12 .)1.(2 312 020 112 det 22 =−= − − −= −− − = + A Ví dụ 2 : 134 313 421 .)1.(1 134 202 313 .)1.(3 1034 2102 3013 4321 det 3331 ++ −+−== A )961624361()18201880.(3 −−−+++−−−++= 4830x63 =+= 2). Hệ qủa 1 : a). Nếu ma trận A có một dòng hay một cột bằng 0 thì detA = 0. b). Nếu A là ma trận tam giác thì detA bằng tích các phần tử trên đường chéo chính của A, tức là : detA = a 11 .a 22 …a nn Ví dụ : • 0det 000 134 512 =⇒           −= AA ( vì có dòng thứ 3 bằng 0 ). Chương 1 :Ma trận - Định thức 9 • 12)2.(3.2det 200 130 012 −=−=⇒           − −= BB . 3). Đònh lý 2 : Cho A là ma trận vuông cấp n và B là ma trận có được từ A qua phép biến đổi sơ cấp trên dòng (ký hiệu f) : a). Nếu f là loại 1 ( d i ↔ d j , i ≠ j ) thì : detB = – detA. b). Nếu f là loại 2 ( d i → α.d i , α ≠ 0 ) thì : detB = αdetA. c). Nếu f là loại 3 ( d i → d i + α.d j , với i ≠ j ) thì : detB = detA. * Ghi nhớ : Đối với đònh thức, ta có thể thựïc hiện các phép biến đổi sơ cấp trên cột. Ví dụ : Cho ma trận           − −= 201 130 012 A . Ta có : 13112 201 130 012 det −=−−= − −= A Khi đó : • 13detdet 012 130 201 31 =−=⇒=           − −  → ↔ ABBA dd • 39det.3det 201 390 012 22 .3 −==⇒=           − − → → ABBA dd • 13detdet 201 130 410 311 .2 −==⇒=           − − → −→ ABBA ddd 4). Hệ qủa 2 : a). Thừa số chung của các phần tử trên cùng một dòng hay một cột của đònh thức có thể đưa ra ngoài dấu đònh thức. b). Nếu ma trận A có hai dòng hay hai cột bằng nhau hoặc tỉ lệ với nhau thì detA = 0. [...]... y ≤ π c) Hàm số y = arctgx : Ta có : y = arctgx ⇔ x = tgy ; với − π π 0 và a ≠ 1 : ( a gọi là cơ số ) 3) Hàm số logarit y = logax , a > 0 và a ≠ 1 : ( a gọi là... Capelli, ta suy ra hệ đã cho vô nghiệm $3 QUI TẮC CRAMER : 3.1 Cách giải : Xét hệ phương trình tuyến tính có số phương trình bằng số ẩn số : AX = B (2) trong đó A là ma trận vuông cấp n và B là ma trận cấp nx1 Đặt : ∆ = detA 18 Tốn cao cấp ∆j = detAj , với 1 ≤ j ≤ n trong đó Aj là ma trận có được từ A bằng cách thay cột j bằng cột B Khi đó : 1 Nếu ∆ ≠ 0 thì hệ (2) có nghiệm duy nhất : xj = ∆j ∆ với 1 ≤ j ≤...  4.3 Đònh lý : Cho ma trận vuông cấp n :  a11 a12  a22 a A =  21  a  n1 an 2 a1n   a2n    ann   Khi đó : A khả nghòch ⇔ detA ≠ 0  A11  1  A12 −1 Hơn nữa : A = det A   A  1n A21 An1   A22 An 2    A2 n Ann   * Ghi nhớ : • Nếu detA = 0 thì ta bảo ma trận A suy biến • Nếu detA ≠ 0 thì ta bảo ma trận A không suy biến 12 Tốn cao cấp Ví dụ : Xét xem ma trận sau có... và W ≠ ∅ Tập hợp W được gọi là không gian con của R u + v ∈ W ∀u, v ∈ W và ∀λ ∈ R ⇒  λu ∈ W Ví dụ : Cho tập hợp : W = {u = (x1, x2, 0) / x1, x2 ∈ R} 3 Chứng minh rằng W là không gian con của R Toán Cao Cấp 24 Giải : Ta có : W ≠ ∅ vì (0, 0, 0) ∈ W ∀u, v ∈ W và ∀λ ∈ R thì : u = (x1, x2, 0) với x1, x2 ∈ R v = (y1, y2, 0) với y1, y2 ∈ R Khi đó : u + v = (x1 + y1, x2 + y2, 0) ∈ W λu = (λx1, λx2, 0) ∈... = α2 + α3 3.3 Đònh lý : Cho hệ vectơ n chiều u1, u2, , um Gọi W là tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính của u 1, u2, , um, tức là : W = {u = λ1u1 + λ2u2 + + λmum , với λ1, λ2, , λm ∈ R} Toán Cao Cấp 26 n Khi đó W là một không gian con của R , gọi là không gian con sinh bởi u1, u2, , um Ký hiệu : W = Ta cũng nói S = {u1, u2, , um} là tập hợp sinh của W Ví dụ : 4 Trong... vectơ n chiều độc lập tuyến tính đều là cơ sở của R Ví dụ : 3 Trong không gian R , cho các vectơ phụ thuộc tham số m ∈ R như sau : u1 = (2m+1, m–2, 2m–1) u2 = (–m, m–1, m–1) u3 = (m+1, m–2, 2m–1) Toán Cao Cấp 28 3 Tìm điều kiện để hệ vectơ {u1, u2, u3} là 1 cơ sở của R Giải : Xét phương trình : x1u1 + x2u2 + x3u3 = θ (1)  2m + 1 − m m + 1    Ta có : A =  m − 2 m − 1 m − 2   2m − 1 m − 1 2m... nghiệm không tầm thường $2 PHƯƠNG PHÁP GAUSS : 2.1 Các bước thực hiện : 1) Viết ma trận bổ sung của hệ phương trình tương ứng 2) Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng đưa A về dạng bậc thang R : (AB) → (RB’) Khi đó : AX = B ⇔ RX = B’ 16 Tốn cao cấp 3) Viết lại hệ phương trình tuyến tính ứng với RX = B’ và giải hệ này 2.2 Các ví dụ : Ví dụ 1 : Giải hệ phương trình sau :  x1 + 2 x2 + 3 x3 = 7 2 x... : Một ma trận vuông A cấp n được gọi là khả nghòch, nếu có một ma trận vuông B cấp n sao cho : A.B = B.A = I Khi đó ma trận B được gọi là ma trận nghòch đảo của ma trận A –1 Ký hiệu : A 4.2 Cách tìm ma trận nghòch đảo : Muốn xét tính khả nghòch của ma trận vuông A và tìm ma trận nghòch đảo của nó (nếu có), ta xếp ma trận I bên phải ma trận A (AI) và dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng, nếu đưa . đó A là ma trận vuông cấp n và B là ma trận cấp nx1. Đặt : ∆ = detA d 3 → d 3 + d 2 d 2 → d 2 + 2.d 1 d 3 → d 3 – 3.d 1 d 3 → d 3 + 2.d 2 18 Tốn cao cấp ∆ j = detA j ,. 10 0 01 n II d). Ma trận tam giác cấp n là một ma trận vuông cấp n, mà các phần tử nằm phía dưới (hoặc phía trên) đường chéo chính đều bằng 0. Chương 1 :Ma trận - Định thức 3               = nn n n a aa aaa A . A = (a ij ) là một ma trận vuông cấp n. Ta đònh nghóa đònh thức cấp n của ma trận A, ký hiệu detA hay A, là một số thực được xác đònh như sau : 1). Đònh thức cấp 2 : Với n = 2 thì ma trận A