Bài giảng toán cao cấp trường đại học tài chính marketing

BỘ TÀI CHÍNH TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÀI CHÍNH – MARKETING BỘ MÔN TOÁN – THỐNG KE Â o0o BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP (TÀI LIỆU DÙNG CHO SINH VIÊN THUỘC CHƯƠNG TRÌNH ĐÀO TẠO CHẤT LƯNG CAO BẬC ĐẠI HỌC HỆ CHÍNH QUY) Mã học phần: 20029 Số tín chỉ: 04 Lý thuyết: 42 Bài tập, thảo luận: 18 TP. HCM, 2014 BỘ TÀI CHÍNH TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÀI CHÍNH – MARKETING BỘ MÔN TOÁN – THỐNG KÊ BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP (TÀI LIỆU DÙNG CHO SINH VIÊN THUỘC CHƯƠNG TRÌNH ĐÀO TẠO CHẤT LƯNG CAO BẬC ĐẠI HỌC HỆ CHÍNH QUY) 2 LỜI NÓI ĐẦU Những kiến thức cơ bản về Đại số tuyến tính và Giải tích toán học được trình bày trong Bài giảng Toán cao cấp này thực sự cần thiết cho việc tiếp cận với các mô hình phân tích quá trình ra quyết đònh trong các vấn đề kinh tế. Các kiến thức cơ bản đó bao gồm: lý thuyết tập hợp và logic hình thức; không gian véc tơ, ma trận và hệ phương trình tuyến tính; hàm số và giới hạn; phép toán vi tích phân hàm một biến; phép tính vi phân hàm nhiều biến; các bài toán cực trò; phương trình vi phân. Các kiến thức được lựa chọn nói trên căn cứ trên nhu cầu sử dụng toán học như một công cụ và kỹ năng được các nhà kinh tế sử dụng nhiều trong các tài liệu kinh tế học hiện đại. Hơn nữa, cùng với việc trang bò kiến thức toán học, học phần Toán cao cấp này còn giúp sinh viên bước đầu làm quen với việc tư duy toán và sử dụng công cụ toán học trong phân tích kinh tế thông qua các mô hình kinh tế đơn giản. Hiện nay Toán cao cấp là môn học mà sinh viên không mấy hào hứng tiếp cận, bởi vì một số kiến thức trong môn học đã được trình bày (mặc dù rất sơ sài) ở chương trình phổ thông và một số kiến thức lại được sinh viên sử dụng “rất thành thạo” bởi họ đã được luyện quá kỹ trong giai đoạn ôn thi vào đại học. Tuy nhiên, những điều mà sinh viên nhầm tưởng là đã biết và thông thạo thì lại không được đánh giá cao trong khi họ học môn Toán cao cấp ở chương trình đại học. Cũng chính vì vậy, đối với sinh viên các khối ngành kinh tế nói chung và sinh viên trường Đại học Tài chính – Marketing nói riêng, việc học Toán cao cấp ở những học kỳ đầu tiên trong chương trình đại học thường gặp nhiều khó khăn, hoặc nhàm chán hoặc nặng nề. Nhằm giúp các sinh viên giảm bớt các khó khăn đó khi học môn Toán Cao cấp, đồng thời muốn nêu bật được tính lãng mạn, không khô khan của Toán học như nhiều người nhầm tưởng, chúng tôi mạnh dạn biên soạn và đưa vào sử dụng tài liệu nhỏ này sinh viên của chương trình Chất lượng cao trường Đại học Tài chính-Marketing từ năm học 2012-2013. Bài giảng Toán cao cấp này tới tay bạn đọc sau khi đã được các giảng viên của Bộ môn Toán_Thống kê, Khoa Cơ Bản, Trường Đại học Tài chính - Marketing sử dụng trong giảng dạy các lớp chất lượng cao năm học vừa qua (2012-2013) và chỉnh sửa trong học kỳ 1 năm học 2013-2014. Bài giảng Toán Cao cấp này gồm 8 chương, bao gồm các kiến thức cơ bản cần thiết về Lý thuyết tập hợp, Logic hình thức, Đại số tuyến tính và Giải tích toán. Trong mỗi chương, các khái niệm toán học được trình bày một cách ngắn gọn cùng với các ví dụ minh họa cụ thể. Các phương pháp tính toán cũng được giới thiệu rõ ràng, súc tích giúp sinh viên dễ dàng nắm được các thuật toán. Ngoài ra, các ứng dụng của Toán cao cấp trong kinh tế học cùng với các bài toán cụ thể được giới thiệu với sự phân tích chi tiết. Bài tập liên quan tới lý thuyết được tuyển chọn từ nhiều nguồn, có sự điều chỉnh cho phù hợp với đối tượng là sinh viên khối ngành kinh tế. Nội dung cụ thể từng chương như sau:  Chương 1 có tên gọi Cơ sở toán học do ThS. Nguyễn Văn Phong và ThS. Vũ Anh Linh Duy biên soạn. Chương này trình bày các kiến thức cơ sở của Toán học hiện đại, bao gồm: khái niệm mệnh đề, tập hợp, các phép suy luận logic và ánh xạ. 3  Chương 2, 3, 4 Đại số tuyến tính do ThS. Nguyễn Tuấn Duy, ThS. Phạm Thò Thu Hiền và ThS. Nguyễn Trung Đông biên soạn. Nội dung chính của chương này là các kiến thức về ma trận, đònh thức của ma trận vuông, hạng của ma trận, hệ phương trình tuyến tính và cách giải, không gian vectơ.  Chương 5 với tên gọi Phép tính vi phân hàm một biến, do ThS. Trần Mạnh Tường biên soạn. Mục đích chính của chương này trình bày các kiến thức cơ sở của phép tính vi phân hàm một biến số, bao gồm giới hạn của dãy số, giới hạn của hàm số, sự liên tục và sự khả vi của hàm một biến.  Chương 6 có tên gọi Phép tính tích phân hàm một biến, do ThS. Dương Phương Liên biên soạn. Trong chương này, các kiến thức về tích phân của hàm một biến số, bao gồm tích phân bất đònh, tích phân xác đònh và tích phân suy rộng được trình bày chi tiết.  Chương 7 liên quan tới Phép tính vi phân hàm nhiều biến, do ThS. Nguyễn Văn Phong và ThS. Võ Thò Bích Khuê biên soạn. Các kiến thức cơ bản về giải tích hàm nhiều biến số, bao gồm: giới hạn, sự liên tục, các đạo hàm riêng, vi phân, cực trò tự do và cực trò có điều kiện của hàm nhiều biến được trình bày trong chương này.  Chương 8 với tên gọi Phương trình vi phân, do ThS. Nguyễn Đức Bằng biên soạn. Trong chương này, các dạng phương trình vi phân cấp một và cấp hai, như phương trình tách biến, phương trình đẳng cấp, phương trình tuyến tính cấp một và phương trình tuyến tính cấp hai hệ số hằng được trình bày với các ví dụ minh họa chi tiết. Với đối tượng người đọc là các sinh viên chuyên ngành kinh tế nên Bài giảng Toán cao cấp này đã tránh dùng các ký hiệu, các đònh nghóa hình thức hay các phát biểu quá chặt chẽ về mặt toán học. Vì vậy các đònh lý, mệnh đề, công thức toán học trong Bài giảng Toán cao cấp đã được diễn đạt bằng ngôn ngữ ”không toán”, nhưng vẫn giữ được bản chất vấn đề. Do khối lượng kiến thức lớn và cấu trúc của chương trình nặng, thực chất là ghép của hai học phần Đại số tuyến tính và Giải tích toán, thời lượng chỉ có bốn tín chỉ, lại là lần đầu tiên biên soạn nên Bài giảng Toán Cao cấp này chắc không tránh khỏi sai sót. Rất mong nhận được sự góp ý của bạn đọc. Mục tiêu của giáo trình hướng đến sinh viên những nội dung sau: Với kiến thức về đại số tuyến tính như ma trận, tính toán trên ma trận, hệ phương trình, các khái niệm về không gian vec tơ. Với kiến thức về giải tích như giới hạn, liên tục, đạo hàm, tích phân của hàm số, và các ứng dụng trong kinh tế. Kiến thức cơ bản về hàm nhiều biến, cực trò hàm nhiều biến. Kiến thức về phương trình vi phân. Từ đó sinh viên có thể hiểu và ứng dụng trong các mô hình kinh tế. Về kỹ năng, vận dụng kiến thức môn học để nghiên cứu các mô hình toán trong kinh tế. Về thái độ, dự các buổi học đầy đủ, nghiên cứu các nội dung trước khi đến lớp, kiên trì, sáng tạo, có thái độ học tập chăm chỉ. BỘ MÔN TOÁN - THỐNG KÊ. P.504 Lầu 5, 306 Nguyễn Trọng Tuyển, Q. Tân Bình, Tp. Hồ Chí Minh. 4 MỤC LỤC Lời nói đầu 2 Chương 1. Cơ sở toán 9 1. Logic 9 1.1. Các phép toán mệnh đề. 9 1.2. Tương đương logic 13 1.3. Hệ quả logic 17 1.4. Hàm mệnh đề và lượng từ 21 2. Lý thuyết tập hợp 29 2.1. Quan hệ giữa các tập hợp 30 2.2. Các phép toán giữa các tập hợp 31 3. Ánh xạ 34 3.1. Đònh nghóa 35 3.2. Phân loại ánh xạ 35 3.3. Ánh xạ ngược 36 3.4. Ánh xạ hợp 37 Bài tập 38 Chương 2. Đại số tuyến tính 44 1. Ma trận 44 1.1. Đònh nghóa 44 1.2. Các dạng ma trận đặc biệt 44 1.3. Các phép toán trên ma trận 45 1.4. Các phép biến đổi sơ cấp 47 2. Đònh thức của ma trận vuông 47 2.1. Đònh nghóa 47 2.2. Các tính chất của đònh thức 47 3. Ma trận nghòch đảo 49 3.1. Đònh nghóa 49 3.2. Tính chất 49 3.3. Phương pháp tìm ma trận nghòch đảo 49 3.4. Đònh lý 50 3.5. Tính chất 50 5 4. Hạng của ma trận 50 4.1. Đònh nghóa 50 4.2. Tính chất 50 4.3. Phương pháp tìm hạng của ma trận 50 Bài tập 51 Chương 3. Hệ phương trình tuyến tính 54 1. Khái niệm chung về hệ phương trình tuyến tính 54 1.1. Đònh nghóa 54 1.2. Đònh nghóa 54 2. Hệ Cramer 54 2.1. Đònh nghóa 54 2.2. Các phương pháp giải hệ Cramer 54 3. Hệ phương trình tuyến tính tổng quát 55 3.1. Nhận xét 55 3.2. Đònh lý Kronecker – Capelli 55 4. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất 55 4.1. Đònh nghóa 55 4.2. Nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất 55 Bài tập 56 Chương 4. Không gian Vectơ 62 1. Các khái niệm cơ bản 62 1.1. Đònh nghóa 62 1.2. Tổ hợp tuyến tính 62 1.3. Không gian vectơ con 62 1.4. Đònh lý 62 1.5. Sự độc lập tuyến tính – phụ thuộc thuyến tính 62 2. Cơ sở và số chiều của không gian vectơ 63 2.1. Đònh nghóa 63 2.2. Tính chất 63 2.3. Đònh lý 63 2.4. Tính chất 63 2.5. Mệnh đề 63 6 3. Hạng của hệ vectơ 64 3.1. Đònh nghóa 64 3.2. Phương pháp tìm hạng của một hệ vectơ 64 3.3. Cơ sở và số chiều của không gian nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất 64 Bài tập 64 Chương 5. Phép tính vi phân hàm một biến 75 1. Giới hạn của dãy số thực 75 1.1. Đònh nghóa dãy số thực 75 1.2. Tính chất và giới hạn của dãy sốï 76 1.2.1. Tính chất 76 1.2.2. Giới hạn của dãy số 77 2. Khái niệm hàm số một biến số 79 2.1. Hàm số 79 2.2. Một số tính chất của hàm số 79 2.3. Các hàm số sơ cấp cơ bản 82 3. Giới hạn hàm số 82 3.1. Đònh nghóa 83 3.2. Tính chất – Các dạng vô đònh của giới hạn 83 3.3. Các giới hạn cơ bản 84 4. Vô cùng bé 85 4.1. Đònh nghóa 85 4.2. Tính chất 85 4.3. So sánh các vô cùng bé 85 4.4. Áp dụng vô cùng bé để tính giới hạn 85 5. Hàm số liên tục 86 5.1. Các đònh nghóa 86 5.2. Tính chất hàm liên tục 86 6. Đạo hàm 86 6.1. Đònh nghóa 86 6.2. Một số quy tắc tính đạo hàm 87 6.3. Đạo hàm hàm ngược 87 6.4. Đạo hàm cấp cao 88 7 6.5. Phương pháp logarit hóa để tính đạo hàm 88 7. Vi phân 88 7.1. Đònh nghóa vi phân và sự khả vi 88 7.2. Sự liên hệ giữa vi phân và đạo hàm 89 7.3. Các quy tắc tính vi phân 89 7.4. Các đònh lý về giá trò trung bình 89 8. Một số ứng dụng của đạo hàm và vi phân 90 8.1. Tính giá trò gần đúng 90 8.2. Khử các dạng vô đònh 90 8.3.Khai triển Taylor – Maclaurent 91 Bài tập 92 Chương 6: Phép tính tích phân hàm một biến 96 1. Tích phân bất đònh 96 1.1. Nguyên hàm- Tích phân bất đònh 96 1.2. Các phương pháp tính tích phân bất đònh 97 2. Tích phân xác đònh 98 2.1. Đònh nghóa 98 2.2. Tính chất 99 2.3. Đònh lý căn bản của phép tính vi tích phân 99 2.4. Phương pháp tính tích phân xác đònh 99 3. Tích phân suy rộng 100 3.1. Đònh nghóa 100 3.2 Các tiêu chuẩn hội tụ 103 Bài tập 103 Chương 7: Phép tính vi phân hàm nhiều biến 108 1. Các khái niệm 108 1.1. Khoảng cách 108 1.2. Hàm hai biến, hàm nhiều biến 108 1.3. Đồ thò hàm nhiều biến 109 2. Giới hạn và sự liên tục của hàm hai biến 110 2.1. Giới hạn hàm nhiều biến 110 2.2. Giới hạn lặp 111 8 2.3. Liên tục của hàm nhiều biến 112 3. Đạo hàm riêng, vi phân toàn phần 112 3.1. Đạo hàm riêng cấp một 112 3.2. Đạo hàm riêng cấp cao 113 3.3. Vi phân toàn phần 114 4. Cực trò của hàm nhiều biến 114 4.1. Cực trò đòa phương 114 4.2. Cực trò có điều kiện – Giá trò lớn nhất và nhỏ nhất 117 Bài tập 120 Chương 8. Phương trình vi phân 122 1. Các khái niệm cơ bản 122 1.1. Đònh nghóa phương trình vi phân 122 1.2. Nghiệm của phương trình vi phân 122 2. Phương trình vi phân cấp 1 122 2.1. Đònh nghóa 122 2.2. Phương trình tách biến 123 2.3. Phương trình đẳng cấp 124 2.4. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 125 3. Phương trình vi phân cấp 2 hệ số hằng 126 3.3. Phương trình thuần nhất 126 3.4. Phương trình không thuần nhất 127 Bài tập 129 9 Chương 1 CƠ SỞ TOÁN HỌC 1. Logic Lôgic được biết đến từ thời cổ đại xuất phát từ tác phẩm nổi tiếng của triết học gia Hy Lạp Aristotle. Tác phẩm này khảo sát những suy luận hợp lý nhằm mục đích tạo cơ sở cho việc nghiên cứu các ngành tri thức. Đến thế kỷ XVII, nhà triết học kiêm toán học Đức Gottfried Leibnitz đề xuất ý tưởng sử dụng ký hiệu để biểu diễn các suy luận, tương tự như việc dùng các ký hiệu đại số trong việc khảo sát số học, đại số. Ý tưởng của Leibnitz được phát triển tương đối hoàn chỉnh vào thế kỷ XIX bởi các nhà toán học George Boole và Augustus De Morgan và khai sinh ra phép lôgic hình thức mà ta gọi tắt là lôgic. Lôgic được tiếp tục phát triển trong thế kỷ XX, đặc biệt trong việc tạo cơ sở lý thuyết cho ngành khoa học máy tính. Đối tượng khảo sát của lôgic là mệnh đề, các phát biểu hoặc đúng, hoặc sai nhưng không thể vừa đúng vừa sai. Các mệnh đề đúng được gọi là có chân trò đúng và các mệnh đề sai có chân trò sai. Các mệnh đề thường được ký hiệu bằng các ký tự thường p, q, r, Chân trò đúng được ký hiệu là 1 và chân trò sai ký hiệu là 0. Ví dụ. Các phát biểu p : “4 là một số nguyên tố”, q : “ 1 1 3  ”, r : “Trường Đại Học Tài Chính - Marketing nằm ở miền nam Việt Nam”, s : “Tin học đại cương là môn học bắt buộc trong Trường Đại Học Tài Chính - Marketing”, là các mệnh đề, trong đó p và q có chân trò 0 (sai), r và s có chân trò 1 (đúng). 1.1 Các phép toán mệnh đề Từ những mệnh đề có sẵn, người ta có thể thành lập các mệnh đề khác bằng cách liên kết với trạng từ “không” hay các liên từ “và”, “hay”, “nếu thì ”. Chẳng hạn từ các mệnh đề trong ví dụ 1, ta có thể thành lập một số mệnh đề sau : t : “4 không là một số nguyên tố”, u : “Đại Học Tài Chính - Marketing nằm ở miền nam Việt Nam và Tin học đại cương là môn học bắt buộc trong trường”, v : “Nếu 4 là một số nguyên tố thì 1 1 3  ”. Với ngữ nghóa thông thường, ta dễ thấy rằng t có chân trò 1 (đúng) vì p có chân trò 0 (sai); u có chân trò 1 (đúng) và cả r lần s đều có chân trò 1 (đúng). Đối với v, bằng cách khảo sát tỉ mỉ hơn, ta sẽ thấy rằng v có chân trò 1 (đúng) vì p có chân trò 0 (sai). Mục đích chính của phép toán mệnh đề là khảo sát chân trò của một mệnh đề (phức hợp) từ chân trò của các mệnh đề tạo thành nó. Cụ thể, ta có 1.1.1 Phép phủ đònh. Phủ đònh của mệnh đề p, ký hiệu p (hay p ) và đọc là “không p”, có chân trò 1 (đúng) khi p có chân trò 0 (sai) và ngược lại, nghóa là ta có bảng chân [...]... thưởng Mệnh đề dạng p  q rất thường gặp ở phát biểu các kết quả trong khoa học Khi ấy, người ta gọi p là “giả thuyết” và q là “kết luận” của kết quả tương ứng và do đònh nghóa của phép kéo theo, để chứng minh kết quả p  q là đúng, ta chỉ cần xét trường hợp p đúng và cố gắng chứng tỏ rằng khi đó q cũng đúng mà không quan tâm tới trường hợp p sai 1.1.5 Phép kéo theo hai chiều Với hai mệnh đề p, q, mệnh... tử của U là 1 , 2 và 3 ; các tập con có hai phần tử của U là 1, 2 , 1, 3 và 2, 3 ; tập con có ba phần tử của U là chính nó, U Do đó, P U   , 1, 2, 3, 1, 2, 1, 3, 2, 3,U  2.2 Các phép toán trên các tập hợp Với tập hợp X, ta đònh nghóa các phép toán trên P  X  như sau : Với A, B  P  X  , nghóa là với A, B  X , ta đònh nghóa 2.2.1 Phép lấy phần bù Phần bù của A trong... tử y  B , x  A, p  x , y  đúng, nghóa là p  x , y  là mệnh đề đúng với mọi phần tử y  B , x  A Hai vế chỉ đúng trong cùng một trường hợp nên chúng tương đương lôgic với nhau ii) Tương tự như i), tương đương lôgic này đúng vì hai vế chỉ sai trong cùng một trường hợp là khi p  x , y  sai với mọi phần tử x  A , y  B iii) Khi vế trái đúng, tồn tại x  a  A sao cho y  B, p a, y  , nghóa... nạp được phát biểu như sau 2 Lý thuyết tập hợp Nhắc lại rằng tập hợp được xác đònh bằng các phần tử của nó Do đó, phương pháp đơn giản nhất để xác đònh một tập hợp là liệt kê các phần tử của nó Trong toán học, người ta liệt kê các phần tử của một tập hợp giữa hai ngoặc nhọn (“{“ và “}”), không chú ý thứ tự liệt kê nhưng mỗi phần tử chỉ được liệt kê một lần Chẳng hạn, 1, 2, 3 và 3,1, 2 chỉ cùng một...  A, p  x   q  x     nên hệ quả lôgic cần kiểm tra là  x  A, p x     x  A,q x    x  A, p x   q x    mà đây chính là kết quả trong iii) vừa chứng minh Chú ý rằng chiều ngược lại của các hệ quả lôgic iii) và iv) không đúng trong trường hợp tổng quát Bằng phép chứng minh phản ví dụ, ta xét các hàm mệnh đề sau theo biến n  p  n   “n là số chẵn”, q n   “n là số lẻ”... bằng cách dùng tương đương lôgic  p  q  r     p  q   r      Ngược lại, với tương đương lôgic  p  r   q  r     p  q   r  ,     16 người ta có phép chứng minh theo trường hợp theo nghóa thường dùng là nếu p  r và q  r cùng đúng thì  p  q   r cũng đúng Chẳng hạn, vì “nếu dãy an  phân kỳ thì chuỗi an phân kỳ” và “nếu dãy an  hội tụ về một giới hạn  0 thì... là hằng đúng nên B là hệ quả lôgic của A, nghóa là A  B hay  p  q    p  q  Nhận xét Khi B là hệ quả lôgic của A, nghóa là A  B không bao giờ sai, thì nếu A đúng, B cũng bắt buộc phải đúng Đó chính là ý nghóa cho rằng B là “hệ quả” của A Ta có một số hệ quả lôgic quan trọng sau : 1.3.2 Đònh lý Với các biến mệnh đề p, q , r bất kỳ, ta có i)  p  q   p   q ,   ii)  p  q   q   p... n  3, 4, 5, , q n  sai với mọi giá trò của n, và r n  đúng với mọi giá trò của n  Chú ý rằng với các hàm mệnh đề cho trước p  x  và q  x  theo biến x  A , ta có thể kết hợp với các phép toán mệnh đề để nhận được các hàm mệnh đề (phức hợp) : p  x   p  x  , p  x   q x  , p  x   q x  , p  x   q  x  và p  x   q  x  theo biến x  A Ví dụ Với các hàm mệnh đề theo biến... đề x  A, p  x  thì đúng Với một số hàm mệnh đề cho trước, bằng cách kết hợp với các lượng từ, ta nhận được một số mệnh đề và với các mệnh đề này, ta lại có thể kết hợp với nhau thông qua các phép toán mệnh đề và nhận được các kết quả sau 23 1.4.3 Đònh lý (Luật De Morgan) Cho p  x  là hàm mệnh đề theo biến x  A Ta có         i) x  A, p  x   x  A, p  x  ii) x  A, p  x  ...  A, p  x  là mệnh đề đúng, nghóa là khi p  x  đúng với mọi phần tử x  A Tương tự, vế phải chỉ sai khi p x  sai, nghóa là p  x  đúng, với mọi phần tử x  A Vì hai vế chỉ sai trong cùng một trường hợp nên chúng luôn luôn cùng đúng hay cùng sai và do đó chúng tương đương lôgic với nhau ii) Chứng minh tương tự Ví dụ a) Phủ đònh của phát biểu “Mọi sinh viên đều tốt” là “Tồn tại một sinh viên . lượng cao trường Đại học Tài chính- Marketing từ năm học 2012-2013. Bài giảng Toán cao cấp này tới tay bạn đọc sau khi đã được các giảng viên của Bộ môn Toán_ Thống kê, Khoa Cơ Bản, Trường Đại học. BỘ TÀI CHÍNH TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÀI CHÍNH – MARKETING BỘ MÔN TOÁN – THỐNG KE Â o0o BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP (TÀI LIỆU DÙNG CHO SINH VIÊN THUỘC CHƯƠNG TRÌNH ĐÀO TẠO CHẤT LƯNG CAO. q : “ 1 1 3  ”, r : Trường Đại Học Tài Chính - Marketing nằm ở miền nam Việt Nam”, s : “Tin học đại cương là môn học bắt buộc trong Trường Đại Học Tài Chính - Marketing , là các mệnh