Caùc khaùi nieäm cô baûn

1.1. Định nghĩa.

Cho V   trên đó có hai phép toán : Một phép toán trong mà ta gọi là phép cộng

và một phép toán ngoài mà ta gọi là phép nhân với số thực,

  : , V V V u v u v      ,   : , V V k u ku      .

Tập V cùng với hai phép toán trên được gọi là một không gian vectơ trên  nếu các phép toán trên V thỏa các tính chất sau, với mọi u v w V h k, ,  ; , ,

i) u v  v u ii) u v w uv w  iii) !0V u:  0 u, 0 iv)   u V u:   u0 v) h ku    hk u vi) h u v  hu hv vii) hk u hu ku viii) 1.uu

Khi đó, không gian vectơ V còn được ký hiệu là V, , hay vắn tắt, V .

1.2. Tổ hợp tuyến tính.

Cho V, , là một không gian vectơ. Với u u1, 2,...,unVvà k k1, 2,...,kn, ta gọi

1 1 2 2 ... n n

k u k u  k u

là một tổ hợp tuyến tính các vectơ u u1, 2,...,un.

1.3. Không gian vectơ con.

Cho V là một không gian vectơ, W V W,  . Nếu với u v W,  , k mà

,

uv ku W thì ta nói W là một không gian vectơ con hay vắn tắt là không gian con

của V, ký hiệu W V . 1.4. Định lý.

Cho V là một không gian vectơ và S u u1, 2,...,unV thì tập W các tổ hợp tuyến tính của u u1, 2,...,un trở thành một không gian vectơ con của V ,

1 1 2 2 ... n n/ ,1 2,..., n 

W  k u k u  k u k k k  V .

và ta nói W sinh bởi S hay S sinh ra W , ký hiệu

1, 2,..., n

W  S  u u u Span S.

Hệ quả.

Tập hợp tất cả các nghiệm của một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất theo n ẩn số là một không gian vectơ con của n.

1.5. Sự độc lập tuyến tính– Phụ thuộc tuyến tính.

Cho V là một không gian vectơ và S e e1 2, ,...,enV . Hệ S độc lập tuyến tính

nếu

1, 2,..., n , 1 1 2 2 ... n n 0

k k k  k e k e  k e 

thì k1k2 ...kn 0.

Ngược lại, nếu S không độc lập tuyến tính, ta nói S phụ thuộc tuyến tính, nghĩa là ki 0: k e1 1k e2 2...k en n 0.

63