1.1. Định nghĩa.
Cho V trên đó có hai phép toán : Một phép toán trong mà ta gọi là phép cộng
và một phép toán ngoài mà ta gọi là phép nhân với số thực,
: , V V V u v u v , : , V V k u ku .
Tập V cùng với hai phép toán trên được gọi là một không gian vectơ trên nếu các phép toán trên V thỏa các tính chất sau, với mọi u v w V h k, , ; , ,
i) u v v u ii) u v w uv w iii) !0V u: 0 u, 0 iv) u V u: u0 v) h ku hk u vi) h u v hu hv vii) hk u hu ku viii) 1.uu
Khi đó, không gian vectơ V còn được ký hiệu là V, , hay vắn tắt, V .
1.2. Tổ hợp tuyến tính.
Cho V, , là một không gian vectơ. Với u u1, 2,...,unVvà k k1, 2,...,kn, ta gọi
1 1 2 2 ... n n
k u k u k u
là một tổ hợp tuyến tính các vectơ u u1, 2,...,un.
1.3. Không gian vectơ con.
Cho V là một không gian vectơ, W V W, . Nếu với u v W, , k mà
,
uv ku W thì ta nói W là một không gian vectơ con hay vắn tắt là không gian con
của V, ký hiệu W V . 1.4. Định lý.
Cho V là một không gian vectơ và S u u1, 2,...,unV thì tập W các tổ hợp tuyến tính của u u1, 2,...,un trở thành một không gian vectơ con của V ,
1 1 2 2 ... n n/ ,1 2,..., n
W k u k u k u k k k V .
và ta nói W sinh bởi S hay S sinh ra W , ký hiệu
1, 2,..., n
W S u u u Span S.
Hệ quả.
Tập hợp tất cả các nghiệm của một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất theo n ẩn số là một không gian vectơ con của n.
1.5. Sự độc lập tuyến tính– Phụ thuộc tuyến tính.
Cho V là một không gian vectơ và S e e1 2, ,...,enV . Hệ S độc lập tuyến tính
nếu
1, 2,..., n , 1 1 2 2 ... n n 0
k k k k e k e k e
thì k1k2 ...kn 0. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Ngược lại, nếu S không độc lập tuyến tính, ta nói S phụ thuộc tuyến tính, nghĩa là ki 0: k e1 1k e2 2...k en n 0.
63