Lyù thuyeát taäp hôïp

Nhắc lại rằng tập hợp được xác định bằng các phần tử của nó. Do đó, phương pháp đơn giản nhất để xác định một tập hợp là liệt kê các phần tử của nó. Trong toán học, người ta liệt kê các phần tử của một tập hợp giữa hai ngoặc nhọn (“{“ và “}”), không chú

ý thứ tự liệt kê nhưng mỗi phần tử chỉ được liệt kê một lần. Chẳng hạn,

1 2 3, ,  và 3 1 2, , 

chỉ cùng một tập hợp và 1 1 2, ,  không xác định một tập hợp do phần tử 1 được liệt kê hai lần. Với tập hợp A1 2 3, , , ta có 1A là mệnh đề đúng, 4A là mệnh đề sai và do đó, là mệnh đề sai và 4A là mệnh đề đúng.

Chú ý rằng khi các phần tử của một tập hợp được liệt kê theo thứ tự, ta được bộ

thứ tự và thường được liệt kê giữa hai ngoặc tròn, “(“ và “)”. Chẳng hạn, 1 2,  là một bộ 2-thứ tự và 1 2 3, ,  là một bộ 3-thứ tự. Khi đó, ta chú ý thứ tự liệt kê, nghĩa là

30

1 2,   2 1,  và 1 2 3, ,   3 1 2, , . Ngoài ra, các phần tử liệt kê trong một bộ thứ tự được phép lặp lại. Chẳng hạn 1 1 2, ,  là một bộ 3-thứ tự hợp lệ.

Ngoài ra, xuất phát từ một hàm mệnh đề p x  theo biến x U , các phần tử x U sao cho p x  là mệnh đề đúng tạo thành một tập hợp, ký hiệu

    A x U p x , nghĩa là x U   , .

Ví dụ, với hàm mệnh đề p x "x210" theo biến x, ta có  

 

1 2 3, ,  xp x

vì p 1 "1210", p 2 "2210" và p 3 "3210" là các mệnh đề đúng.

Để biểu diễn một tập hợp A, người ta còn dùng giản đồ Venn với một đường cong đơn khép kín, chia mặt phẳng làm hai miền, miền phía bên trong đường cong dành cho các phần tử thuộc về tập hợp A và miền phía bên ngoài mặt phẳng dành cho các phần tử không thuộc về tập hợp A. Chẳng hạn, với giản đồ Venn

ta có 1 2 3, , A và 4 5, A.

2.1. Quan hệ giữa các tập hợp

Hai tập hợp A và B được gọi là bằng nhau, ký hiệu A B , khi chúng có chung tất cả các phần tử, nghĩa là mọi phần tử của A đều là phần tử của B và ngược lại,

,

x x A x B

    .

Chẳng hạn,

xx2 101 2 3, , .

Tập hợp A được gọi là một tập con của tập hợp B, ký hiệu AB, khi mọi phần tử của A đều là phần tử của B, nghĩa là

,

x x A x B

    .

Chẳng hạn, ta có sự liên hệ giữa các tập hợp số như sau

   

    .

Chú ý rằng mọi tập hợp đều là một tập con của chính nó, và tập hợp rỗng, , tập hợp không có phần tử nào cả, là tập con của mọi tập hợp, nghĩa là AA và  A, với (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

mọi tập hợp A. ª

  xA p x

31

Để biểu diễn quan hệ AB bằng giản đồ Venn, miền phía trong đường cong xác định tập hợp A được vẽ lọt trong miền phía trong đường cong xác định tập hợp B,

Từ định nghĩa của phép kéo theo hai chiều,

   

pq  pq  q p , ta suy ra

   

AB  AB  B A . Ngoài ra, do luật De Morgan,

 

x p x,   x p x,  , ta có

   , 

AB AB  x xA x B .

Chẳng hạn, ta được    vì tồn tại phần tử  1  và  1 . ª

Với một tập hợp U cho trước, tập hợp tất cả các tập con của U được gọi là tập các

phần của U, ký hiệu 2U hay P U ,

 U A AU

P .

Chẳng hạn, tập con không có phần tử nào của U 1 2 3, ,  là tập rỗng, ; các tập con có một phần tử của U là  1 ,  2 và  3 ; các tập con có hai phần tử của U là  1 2, ,  1 3, và 2 3, ; tập con có ba phần tử của U là chính nó, U. Do đó,

 U   ,           1, 2 , 3 , ,1 2 , ,1 3 , ,2 3 ,U

P .

2.2 Các phép toán trên các tập hợp

Với tập hợp X, ta định nghĩa các phép toán trên P X như sau : Với A B, P X , nghĩa là với , ta định nghĩa

2.2.1 Phép lấy phần bù. Phần bù của A trong X, ký hiệu C AX hay A, là tập con của X gồm những phần tử không thuộc về A,

 

A xX xA . A, B X

32

Ví dụ. với X 0 1 2 3, , , ,..., ,8 9, A0 2 4 6 8, , , ,  và B 0 1 2 3 4, , , , , ta có A B, X , 1 3 5 7 9, , , , 

A và B 5 6 7 8 9, , , , .

Chú ý rằng với ,X X, ta có  X và X  . ª (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

2.2.2 Phép lấy phần hội. Phần hội của A với B, ký hiệu A B , là tập con của X gồm những phần tử thuộc về A hay thuộc về B,

 

A B  xX xA x B .

Ví dụ. Với A, B, X trong ví dụ 1, ta có

0 1 2 3 4 6 8, , , , , , 

AB  .

2.2.3 Phép lấy phần giao. Phần giao của A với B, ký hiệu A B , là tập con của X gồm những phần tử nằm trong A và nằm trong B,

 

A B  xX xA x B .

Ví dụ. Với A, B, X trong ví dụ 1, ta có

0 2 4, , 

AB  .

2.2.4 Phép lấy phần hiệu. Phần hiệu của A với B , ký hiệu A B\ , là tập con của X gồm những phần tử nằm trong A và không nằm trong B,

 

\

33

Ví dụ. Cũng với A, B, X trong ví dụ 1, ta có

 6 8

\ ,

A B  và B A\  1 3, .

Chú ý rằng phần hiệu có thể biểu diễn bằng phần giao và phần bù thông qua đẳng thức

\

A BAB.

2.2.5 Định lý. Cho A B C, , X. Ta có : i)  A A ii) A B BA A B BA iii) ABC ABC ABC ABC iv) ABC  AB  A C        A BC  AB  A C v) A B A B A B A B vi) AAA AAA vii) A A AX A viii) AXX A   ix) AAX AA  x) AABA   A AB A

34

2.2.6 Mệnh đề. Với các tập con A B C, , X , ta có i) A B AA B .

ii) Nếu AB và BC thì AC.

iii) ABBAABX AB .