Heä phöông trình tuyeán tính toång quaùt

3.1. Nhận xét.

Đối với hệ phương trình tuyến tính tổng quát mà số phương trình khác số ẩn hay số phương trình bằng số ẩn mà định thức ma trận các hệ số bằng 0 người ta có thể giải bằng phương pháp Gauss. Phương pháp Gauss là phương pháp dùng các phép biến đổi sơ cấp trên hàng để chuyển ma trận các hệ số mở rộng AA B thành ma trận

 

' ' '

A  A B sao cho A' là ma trận bậc thang theo hàng. Khi đó, ma trận A' là ma trận các hệ số mở rộng của hệ phương trình tuyến tính mới tương đương với hệ ban đầu. Ta có các khả năng sau :

Khả năng 1. Ma trận A' có một hàng 0 mà hệ số tự do tương ứng khác 0, nghĩa là trong ma trận A' có hàng dạng : 0 0 ... 0b, b0. Hàng này tương ứng với phương trong ma trận A' có hàng dạng : 0 0 ... 0b, b0. Hàng này tương ứng với phương trình :

1 2

0x  0x  ...  0xn  b

phương trình này vô nghiệm nên hệ vô nghiệm.

Khả năng 2. Mọi hàng 0 của A đều có hệ số tự do tương ứng bằng 0, mỗi hàng tương ứng với một phương trình theo n ẩn, nhận bất cứ giá trị nào của ẩn làm nghiệm nên ta có thể bỏ đi mà không làm mất nghiệm của hệ. Khi đó, trên mỗi bậc thang của

'

A , ta chọn một ẩn (với hệ số tương ứng khác 0) mà ta gọi là ẩn cơ sở, các ẩn còn lại trở thành ẩn tự do. Cho ẩn tự do các giá trị tùy ý và chuyển về vế phải, ta được hệ Cramer theo các ẩn cơ sở (chính xác hơn ma trận hệ số của các ẩn cơ sở là ma trận tam giác trên mà các phần tử trên đường chéo khác 0) và ta dễ dàng giải được hệ này, tức là tính được giá trị của ẩn cơ sở theo ẩn tự do. Chú ý rằng nếu hệ không có ẩn tự do thì hệ có đúng một nghiệm, nếu hệ có ít nhất một ẩn tự do thì hệ có vô số nghiệm. Từ đó ta có định lý sau :

3.2. Định lý Kronecker – Capelli.

Cho hệ phương trình tuyến tính m phương trình, n ẩn số, AXB. Với AA B, ta có

(i) Nếu rankArankA thì hệ vô nghiệm.

(ii) Nếu rankArankAn thì hệ có duy nhất một nghiệm. (iii) Nếu rankArankAn thì hệ có vô số nghiệm.