Khaùi nieäm haøm soá moät bieán soá

2.1. Hàm số.

Với hàm số f có miền xác định là D, biến số thực xD thành số thực ( ) y f x , ta thường viết : ( ) f D x f x  

trong đó D là miền xác định của f.

2.2. Một số tính chất của hàm số 2.2.1. Đồ thị hàm số. 2.2.1. Đồ thị hàm số.

Với hàm số yf x( ), có miền xác định là D, tập hợp các điểm M x y( , ) trong mặt phẳng, với xD và y f x( ), được gọi là đồ thị của hàm số f, ký hiệu G(f),

 

 

( ) , ( )

G f  M x y xD y f x . Chẳng hạn, đồ thị của hàm

2

x

y  , có miền xác định D - 1 2, , là đoạn thẳng nối

hai điểm  1 2 1, A - - và B2 1, , A B -1 -1/2 1 2

Cho hàm số yf x( ), với miền xác định D. Hàm f được gọi là chẵn nếu với mọi

xD, ta có - x D và f(-x)f x( ). Ngược lại, nếu f(-x) -f x( ), f được gọi là hàm lẻ. Hàm chẵn có đồ thị đối xứng qua trục tung Oy còn đồ thị hàm lẻ đối xứng qua gốc tọa độ O. Chẳng hạn hàm f x( )x2 và g x( )x3 với miền xác định D lần lượt là hàm chẵn và hàm lẻ,

80

y = f(x) = x2

y = g(x) = x3

Hàm số yf x( ), với miền xác định D, được gọi là hàm tuần hoàn với chu kỳ T nếu với mọi xD, ta có x T+ D và f x T( + )f x( ). Khi đó, hai điểm nằm trên đồ thị có hoành độ lần lượt là x, x T+ , x+2T, ... có cùng tung độ. Khi đó, ta dùng tính chất này của hàm tuần hoàn để vẽ đồ thị của nó xuất phát từ đồ thị vẽ trên miền con có chiều dài T. Chẳng hạn, nếu hàm y f x( ), có miền xác định D, là hàm tuần hoàn có chu kỳ 1, ta chỉ cần vẽ trên đoạn  0 1, rồi suy ra phần còn lại.

1

2.2.2. Các phép toán trên hàm số.

Với hai hàm số cho trước f g D, : , ta định nghĩa các hàm f +g (hàm tổng), f -g (hàm hiệu), f g. (hàm tích) và f g/ (hàm thương) của f và g là các hàm có miền xác định là D và

f +g x( )f x( )+g x( ), f -g x( )f x( )-g x( ), f g x ( )f x g x( ) ( ) ,  / ( ) f x( )( ) g x f g x  , với mọi xD. 2.2.3. Hàm hợp

Nếu f là hàm số có miền xác định là D và ảnh f x( ) của mọi xD đều nằm trong miền xác định D của hàm số g, ta định nghĩa hàm g f (hàm hợp) của f và g, có miền xác định là D sao cho

 

( ) ( )

g f x g f x ,

với mọi xD. Nói khác đi, nếu hàm f biến xD thành uf x( )D và rồi hàm g biến u thành g u( ) y , thì hàm g f biến x thành g f x ( )g u( )y.

D D’ IR

f g

g fo

x

81

Chẳng hạn, với các hàm f g, : xác định bởi f x( )x2 và g x( ) cos x, ta có hàm f biến x 0 thành u f( )0 020 và hàm g biến u0 thành y g( ) cos0  0 1 . Do đó, hàm hợp g f biến x 0 thành y g f ( )0 1. Ta có thể viết

  2 0 0 0 0 0 1 ( ) ( ) ( ) cos g f g f g  g      .

Tổng quát, với x (miền xác định của f) bất kỳ, ta có

   2 2

( ) ( ) cos

g f x g f x g x  x .

Chú ý rằng, ta cũng có thể thành lập các hàm hợp khác từ hai hàm số cụ thể f, g nêu trên như : f g , f f và g g xác định bằng các biểu thức sau

     2 2

( ) ( ) cos cos cos

f g x f g x f x  x  x,

     2 2 2 4

( ) ( )

f f x f f x f x  x x ,

     

( ) ( ) cos cos cos

g g x g g x g x  x ,

với mọi x.

Đặc biệt, tổng, hiệu, tích, thương cũng như hợp của các hàm số sơ cấp cơ bản là các hàm số sơ cấp. Hơn nữa, tổng,

hiệu, tích, thương cũng như hợp của các hàm số sơ cấp cũng là các hàm số sơ cấp. Chẳng hạn, các hàm đơn thức yaxn, với a và n, là hàm sơ cấp (tích của hàm hằng và hàm lũy thừa), hàm đa thức

5 2

4 1

yx - x +

là hàm sơ cấp vì nó là tổng của các hàm đơn thức (là các hàm sơ cấp). Hàm hữu tỷ

3 2 1 1 x x y x + +  -

là hàm sơ cấp vì nó là thương của các đa thức (là các hàm sơ cấp). Hàm vô tỷ

3 1 5 1 x x y + - 

là hàm sơ cấp vì nó là hợp g f của hai hàm sơ cấp, 3 1

1 ( ) x

x

f x +

-

 (hàm hữu tỷ) và hàm

5 ( )

g x  x (hàm căn thức).

Chú ý rằng việc phân tích một hàm số sơ cấp thành các hàm sơ cấp cơ bản rất hữu ích trong phép tính vi tích phân. Nó cho phép ta thực hiện các phép tính giới hạn, khảo sát tính liên tục, phép tính vi phân (lấy đạo hàm) cũng như phép tính tích phân (lấy nguyên hàm) của một hàm số sơ cấp phức tạp từ các phép tính thực hiện trên các hàm số sơ cấp cơ bản tạo thành nó. Chẳng hạn, với hàm số y sin ln x2 có thể phân tích thành hợp của các hàm số xsx2; stlns và t ysint .

2.2.4. Hàm số ngược.

Hai hàm số f (với miền xác định D) và g (với miền xác định D) được gọi là ngược

của nhau, ký hiệu gf-1 hay f g-1, khi nếu hàm f biến số thực a trong D thành số thực b trong D thì hàm g biến số thực b trong D thành số thực a và ngược lại, nghĩa là

( ) ( )

82

với mọi aD và bD.

D D’

f (= g )-1

g (= f )-1 a = g(b) = f (b)-1

b = f(a) = g (a)-1

Chẳng hạn, các hàm yf x( )3x+1 và 1

3

( ) x

g x  - , với miền xác định D, là các hàm ngược của nhau vì

1 3 1 3 ( ) b ( ) bf a b a+  - a g b a với mọi a b, .

Chú ý rằng, nếu hai hàm số y f x( ) và yg x( ) là hai hàm ngược của nhau thì ( )

g f a a, với mọi aD, và f g b ( )b với mọi bD. Chẳng hạn, với các hàm f và g nêu trên, ta có

  3 1 3 31 1 ( ) ( ) a g f a g f a g a+  + - a,      1 1 3 3 3 1 ( ) ( ) b b f g b f g b f -  - + b, với mọi a b, .

Ngoài ra đồ thị của các hàm ngược của nhau thì đối xứng với nhau qua đường yx

(đường phân giác của góc phần tư thứ nhất).

(a,b) (b,a) y = x y = f(x) y = g(x) y = 3x 1+ y = x 1 3 -

2.3. Các hàm số sơ cấp cơ bản

Hàm số là các ánh xạ xác định trên một tập con D của  và có giá trị trong . Các hàm số sơ cấp là các hàm số được thành lập từ các hàm số sơ cấp cơ bản bao gồm các cặp hàm sau :

1) Hàm lũy thừa và căn thức : y xn và y nx , với n.

2) Hàm mũ và hàm lôgarít : y ax và ylogax, với 0a1. Ngoài ra, ta còn viết logexlnx, với e là cơ số tự nhiên (số Néper) và log10xlgx.

3) Các hàm lượng giác và lượng giác ngược :

- y sinx và y arcsinx. - y cosx và yarccosx. - y tg x và y arctg x. - y cotg x và yarccotg x.