Bài tập toán cao cấp 2021 Đại học ngoại thương

TRƯỜNG ĐẠI HỌC NGOẠI THƯƠNG TS PHÙNG DUY QUANG BÀI TẬP TỐN CAO CẤP ỨNG DỤNG TRONG PHÂN TÍCH KINH TẾ Nhà xuất Đại học Sư phạm, 2016 Chương MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC Bài 1.1 Tính định thức sau 7 b)  12 a)  2010 1 e) 3 f)  4 2 4 2 9 c) 3 d) 5  13 g)  1 3 3 1 h)  1 Bài 1.2 Tính định thức sau 1 a) 4 3 2 3 1 6 2 b) 3 2 1 5 5 1  1  2 c)   d)    1 2 4 1 4 3 1 1 1 5 2 Bài 1.3 Chứng minh định thức : D = chia hết cho 17 Bài 1.4 Chứng minh định thức D = chia hết cho 19 Bài 1.5 Chứng minh đồng thức sau: 3 a b a) a1 a b c a2 b1 b2 a1 x  b1 y  c1 = a1 a x  b2 y  c a2 b1 b2 c1 c2 1 c) a b b3 c  (a  b  c)(b  a)(c  a)(c  b) d) b ca  b b c ab c c c3 a3 ax  by  c a bc b) b ca  (b  a)(c  a)(c  b) c ab a bc a a2 Bài 1.6 Trong định thức cấp n, xác định dấu a) Tích phần tử nằm đường chéo b) Tích phần tử nằm đường chéo phụ Bài 1.7 Định thức cấp n thay đổi nếu: a) Đổi dấu tất phần tử b) Viết cột theo thứ tự ngược lại Bài 1.8 Tìm giá trị lớn định thức cấp nhận phần tử a) b) -1 Bài 1.9 Giải phương trình sau  3x  x x 2 4 =0 3 2 18 Bài 1.10 1) Tính AB BA (nếu tồn tại), biết rằng: 1 3 a) A =  ; B = 0   0  1 2    4    b) A =   1 ; B =   1  1  2  2  1  3   2) Tính cos x  sin x  cos x  n a)   sin x 4 1 b)   0 3 n a  c) 0 a 1 0 a  100 Bài 1.11 Tìm tất ma trận B giao hoán với ma trận A, nghĩa AB = BA, biết: 1 2 1  1   a) A =   3 4 b) A =  Bài 1.12 Tìm ma trận nghịch đảo ma trận sau: 1 2 a)   3 4  2 c)  3  1 a b  b)   c d  0  1     e)  1  2    1  1  d)   1   1 0 f)  0  0 1   6 2   0  1 Bài 1.13 Giải phương trình A  X = B, biết:   3 5  5   a) A =   ; B = 7    4   1  3 ;B=  c) A =   1 0  d) A    0 0 1 0 1 1 2 b) A =   ; B =   3   3    3 1    1 1  0 1  ; B     1 0 0 1 0 n  n  n  n  1     Bài 1.14 a) Cho A ma trận vuông thỏa mãn điều kiện: A  2010 A  E  Tìm ma trận nghịch đảo A-1 A (nếu tồn tại) (E ma trận đơn vị) b) Cho A ma trận vng cấp n có r (A)  n  Tìm r( A ) Bài 1.15 Tìm hạng ma trận sau:  1  0  1 A=  ;     7 2 1 2 B=  1  2 2   1     D = 3 1  ; E =   2  4  8  10  1   ; 2   0 0   2   1 C=  ; 3   1     2 4   4   2 ; F =     1  4 1    1 10         Bài 1.16 Tìm m để ma trận sau có hạng bé nhất: 1 m   2  m    1 10  1 a b  thoả mãn: X  (a  d)X  ad  bc   c d  Bài 1.17 a) Chứng minh rằng, ma trận A   b) Giả sử A ma trận vuông cấp k số nguyên lớn Chứng minh Ak = A2 = Bài 1.18 a) Giả sử Ak = (k số nguyên lớn 2) Chứng minh (E – A)-1 = E + A + A2 + … + Ak -1 b) Cho A ma trận vng cấp n có phần tử đường chéo 0, phần tử lại 2000 Chứng minh r (A)  n  Bài 1.19 a) Cho A ma trận vng cấp n có A-1 = 3A Tính det(A2009 – A) b) Chứng minh khơng tồn ma trận A, B vuông cấp n cho AB – BA = E Bài 1.20 Tính định thức cấp n sau 1 a)   1   x y c) x 1 n n n a 1 a a b) 1 a 0  y 0 x 0 x 1 y d)  a 0 1 a1 1 a2 0 0 1 a n 2 a n 1 CHƯƠNG KHÔNG GIAN VÉC TƠ Bài 2.1 Tìm véc tơ x = 2x1 – x2 + x3 biết: a) x1 = (2; 1; -1; 3); x2 = (- 2; 1; 3; 4); x3 = (-3; 1; 4; 5) b) x1 = (a; 1; 2; -1); x2 = (- 2; - a; 1; -1);x3 = (- 2; 4; a; 3) Bài 2.2 Xét độc lập tuyến tính phụ thuộc tuyến tính hệ véc tơ sau a) U = {x1 = (2; 1; -1); x2 = (- 2; 3; -4); x3 = (3; - 1; 2)} b) U = {x1 = (3; -2; 4); x2 = (- 2; 2; 0); x3 =(- 1; 2; 4)} c) U = {x1 =(1;1;0); x2 =(0;1;1); x3 = (1;0;1); x4 =(2;-2; 2)} d) U = {x1 = (1; -1; 2); x2 = (2; 0; 1)} e) U = {x1 =(1;-1;2;3); x2 = (2;3;- 2;- 4); x3 = (3;2; 0; -1)} Bài 2.3 Biểu diễn véc tơ a qua véc tơ u1, u2, u3 a) a = (4; 9; -3; -1); u1 = (1; 2; -1; 1); u2 = (0; - 1; 2; 2); u3 = (2; 4; 1; -1) b) a = (3; 0; 4) ; u1 = (1; -1; 2); u2 = (2; -1; 4); u3 = (0; 1; -1) Bài 2.4 Trong R3, hệ véc tơ sau sở R3 a) U = {u = (1 ; -2 ; 3)} b) U = {u1 = (1 ; -1 ; -2) ; u2 = (3 ; ; 1)} c) U = {u1 =(1 ; -2 ; 1) ;u2 = (1 ;-3 ; - 4) ; u3 = (2 ; -5 ; - 3) } d) U = {u1 = (1 ; -1 ; -3) ;u2 = (0 ; ; 0); u3 = (5 ; -4 ; 0)} e) U = {u1 = (1 ; ; 0) ; u2 = (-1 ; ; 2); u2 = (2 ; ; 1) ; u3 = (1 ; ; 3)} f) U = {u1 = (1 ; ; -2) ; u2 = (0 ; -1 ; 1) ; u3 = (0 ; ; 2)} Bài 2.5 Tìm hạng hệ véc tơ sau a) U = {u1 = (3 ; ; -2) ; u2 = (-2 ; ; 3) ; u3 = (-1 ; ; 4)} b) U = {u1 = (-1 ; ; 2) ; u2 = (2 ; - ; -1) ; u3 = (-3 ; ; 6)} c) U = {u1 = (2 ; ; ; 2) ; u2 = (3 ; ; ; 7) ; u3= (2 ; ; ; 3) ; u4= (1 ; ; ; 3)} d) U = {u1 = (1;2 ;3 ; -3) ; u2 = (2 ; ; -2 ; 3) ; u3 = (-3 ; ; ; 1) ; u4 = (-3 ; ; ; 2)} e) U = {u1 = (1 ; ; ; -2) ; u2 = (1 ; ; ; -2) ; u3 = (2 ; ; ; -1) ; u4=(1 ; -1 ; ; 4)} Bài 2.6 Tuỳ theo giá trị m, tìm hạng hệ véc tơ sau a) U = {u1= (1 ; - ; 3) ; u2 = (2 ; ; 0) ; u3 = (m ; ; 0)} b) U = {u1 = (1 ; ; -1) ; u2 = (2 ; ; m)} c) U = {u1 = (1;1;1; 2) ; u2 = (1; -1; 2; 0) ; u3 = (1; 2; 0; 0) ; u4 = (m -1; -1; -1; -2)} Bài 2.7 Tập hợp sau không gian không gian R3 a) F = {(x1; 0; x2); x1, x2  R} b) F = {(x1; 0; 1); x1  R} c) F = {(a; b; a - 2b); a, b  R } d) F = {(x1, x2, x3): x1 - 2x2 + x3 = 1; x1, x2, x3  R} Nếu F không gian R3 tìm sở số chiều F Bài 2.8 Tìm sở số chiều không gian F R3 sinh hệ véc tơ sau a) U = {u1 = (- ; ; -3)} b) U = {u1 = (1 ; - ; 2) ; u2 = (-3 ; ; 1)} c) U = {u1 = (1 ; ; 1) ;u2 = (- ;- ; 4) ; u3 = (0 ; - ; 5) } d) U = {u1 = (-1 ; ; - 3) ; u2 = (0 ; ; 0) ; u3 = (-1 ; ; - 4)} e) U = {u1 = (1 ; ; 0) ; u2 = (1 ; -1 ; 0) ; u3 = (1 ; ; -1) ;u4 = (1 ; - ; - 3)} f) U = {u1 = (1 ; ; 0) ; u2 = (1 ; - ; 0) ; u3 = (-1 ; ; 1)} Bài 2.9 Tìm m để hệ véc tơ sau sở không gian R3 a) U = {u1 = (3; 1; m); u2 = (1; 1; 0) ; u3 = ( 2; 1; m)} b) U = {u1 = (1; - 2; 2); u2 = (0; 1; -1) ; u3 = (1; -1; m)} Bài 2.10 Cho tập F  ( x; y; z) R : ax  by  z  0; a , b  R a) Chứng minh F không gian R3 b) Tìm dim F  x  y  mz    (m tham số) 0  x  y Bài 2.11 Cho tập F  ( x; y; z) R :   a) Chứng minh F không gian R3 b) Tìm dimF Bài 2.12 Cho hệ {u1, u2, u3} phụ thuộc tuyến tính Rn u3 khơng biễu diễn tuyến tính qua {u1, u2} Chứng minh u1 u2 tỷ lệ Bài 2.13 Chứng minh hạng hệ véc tơ không đổi nếu: a) Đổi chỗ hai véc tơ hệ b) Nhân véc tơ hệ với số khác không c) Nhân véc tơ hệ với số thực khác không cộng vào véc tơ khác hệ Bài 2.14 Cho U = {u1, u2, …, um}  Rn Gọi L(U) tập hợp tất tổ hợp tuyến tính phần tử U: L(U) = {u = t1u1 + t2u2 + … + tmum| t1, t2, …, tm  R} Chứng minh L(U) không gian véctơ Rn dimL(U) = r(U) Bài 2.15 Cho hệ véc tơ U = {u1, u2, …, um} độc lập tuyến tính Rn hệ {X, u1, u2, …, um } phụ thuộc tuyến tính Chứng minh véc tơ X biểu diễn dạng tổ hợp tuyến tính véc tơ hệ U  x y z  Bài 2.16 Cho tập F  ( x; y; z) R : 1   2       a) Chứng minh F không gian R3 b) Tìm sở số chiều F Bài 2.17 Cho hệ véc tơ a1 = (2; 1; 0); a2 = (-1; 1; 1); a3 = (1; 2; -1) véc tơ b1 = a1 – a2; b2 = 2a2 – a3; b2 = 2a2 – a3; b3 = a1 – 2a3 a) Xét độc lập tuyến tính phụ thuộc tuyến tính hệ véc tơ {b1, b2, b3} b) Biểu diễn véc tơ x = (3; 1; -1) qua hệ véc tơ {b1, b2, b3}   a b  ; a , b, c, d  R   c d  Bài 2.18 Cho tập E  A    a) Chứng minh E với phép toán cộng hai ma trận, nhân ma trận với số lập thành khơng gian véc tơ R b) Tìm sở số chiều E Bài 2.19 Cho E, F không gian véc tơ E Hỏi E  F có khơng gian Rn hay không? Bài 2.20 Trong R4, cho hệ véc tơ U = {u1=(-1; 2;1;2); u2 =(1; m; 1; 3); u3 =(1; -1; -1; -1); u4 =(-1; 2; m; 2); u5 =(1; 1; -1; 1)} Tìm sở không gian L(U) Bài 2.21 Trong không gian R4, cho hệ véc tơ U = {u1, u2, u3, u4}với u1 = (2; 3; 3; -1); u2 = (1; -1; 3; 3); u3 = (2; 3; 1; a); u4 = (1; -1; b; 1) a) Tìm điều kiện a, b để u sở R4 b) Khi a = -1, b = 2; biểu diễn X = (2; 3; 0; 1) qua hệ véc tơ U Bài 2.22 Cho tập R3:  E  ( x; y; z)  R : x  y  z      x  y  2z  F  ( x; y ; z)  R :   2x  3y  mz    Tìm m để E  F khơng gian R3 có số chiều Bài 2.23 Trong R3, chứng minh L({u1, u2}) = L({v1, v2}) a) u1 = (3; -4; 2); u2 = (2; 3; -1); v1 = (0; -17; 7); v2 = (11; -9; 5) b) u1 = (2; -1; 5); u2 = (-1; 4; 3); v1 = (1; 2; 8); v2 = (4; 5; 21) Bài 2.24 Trong R4, cho hệ véc tơ U = {u1 = (1; 2; a; 1); u2 = (a; 1; 2; 3); u3 = (0; 1; b; 0)} a) Xác định a, b để hệ U phụ thuộc tuyến tính b) Với a, b tìm được, tìm sở số chiều L(U) Bài 2.25 Giả sử u, v  R n A ma trận vuông cấp n Chứng minh a) Nếu {Au, Av} độc lập tuyến tính {u, v} độc lập tuyến tính b) Nếu {u, v} độc lập tuyến tính A khả nghịch {Au, Av} độc lập tuyến tính Bài 2.26 Trong không gian R4, cho F  ( x  z; y; y  z; x  y) : x, y, z  R 10 3) Xác đinh giá lượng cân bằng? Qd  a  bp , (a, b, c, d  0) Qs  c  dp Bài 3.20 Cho mơ hình cân thị trường hàng hoá:  1) Nêu ý nghĩa kinh tế b, d; mức giá cuối mà người tiêu dùng chấp nhận (mức tối đa) mức giá tối thiểu để người sản xuất khởi nghiệp (mức tối thiểu); từ điều kiện tồn trạng thái cân 2) Xác định trạng thái cân 3) Phân tích biến động trạng thái cân tham số a, b, c, d thay đổi 4) Giả sử nhà nước đánh thuế đơn vị hàng trao đổi t (đơn vị tiền tệ), cho biết số phần trăm chịu thuế người tiêu dùng người sản xuất Bài 3.21 Xét mơ hình kinh tế: Y = C + Io + Go (Io >0, Go>0) C = bYd + Co (Co>0, < b < 1) Yd = (1- t)Y (t thuế suất thu nhập, < t 0, Go> 0, a >0, 0 0) C = a + b(Y-T) (a > 0, 00) giá sản phẩm p = 4USD, giá thuê lao động pL = 20USD Hãy tìm mức sử dụng lao động lợi nhuận tối đa Bài 4.34 Cho hàm tổng chi phí TC = Q3 – 120Q2 + 14Q (Q>0) Tìm mức sản lượng Q để chi phí bình quân đạt giá trị nhỏ Bài 4.35 Cho biết hàm chi phí TC = Q3 -7Q2 + 49Q - (Q>1) hàm cầu đảo p = 40 –Q Hãy xác định mức sản lượng Q cho lợi nhuận đạt cực đại Bài 4.36 Tìm hàm tổng chi phí, hàm chi phí bình qn trường hợp sau: 26 1) MC = 15Q2 + 8Q + 3; FC = 100 2) MC = 3Qe0,5Q; FC = 30 3) MC = 2e0,2Q; FC = 90 Bài 4.37 Tìm hàm tổng doanh thu TR(Q) trường hợp sau: 1) MR = 28Q – e0,3Q 2) MR = 10(1 + Q)-2 Bài 4.38 Cho hàm đầu tư I( t )  12t (trong t biến thời gian) 1) Xác định hàm vốn K(t) K(0) = 25 2) Xác định tổng lượng vốn tích lũy khoảng thời gian t  [0;1] Bài 4.39 Cho biết hàm cung hàm cầu loại sản phẩm: Q d  113  p ; Q s  p  Hãy tính thặng dự nhà sản xuất thặng dư người tiêu dùng 27 CHƯƠNG PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN SỐ VÀ ỨNG DỤNG Bài 5.1 Tìm tập xác định hàm số sau: a) y   x  y  b) y   x  y c) d) y  ln( y  x  8) ( x  y  a )(b  x  y ) e) y  R  x  y  z  (0  r  R ) x  y2  z2  r Bài 5.2 Tính giới hạn: lim lim f ( x , y) , lim lim f ( x , y) , lim f ( x , y) x 0 y 0 a) f ( x , y)  xy xy x 0 y 0 y 0 x 0 b) f ( x , y)  ( x  y) sin 1 sin x y x y2 c) f ( x , y)  2 x y  ( x  y)  x  y2  d) f ( x , y)  x  y2 sin(x y ) e) f ( x , y)  (x  y2 )2 f) f ( x , y)  ( x  y ) x y 2 Bài 5.3 Tính giới hạn sau: x  y2 a) lim 4 x  y  x  y d) lim x  y   xy   b) lim 2  x  x  y  y   x2 xy e) lim( x  y ).e  ( x  y ) 2 x  x  xy  y y  c) lim x  y   sin x y x  y   2 b) f ( x , y)   x  y 2 0 x  y   28  x  y a  f) lim1  Bài 5.4 Xét tính liên tục hàm số f(x,y) điểm (0, 0)  x  y3 x  y   2 a) f(x,y) =  x  y 0 x  y   x  y2 x  y2 1  x x2 xy Bài 5.5 Tìm đạo hàm riêng cấp hàm số sau a) f ( x , y)  x y  c) f ( x , y)  y x x y cos y x x cos y  y cos x e) f ( x , y)   sin x  sin y b) f ( x , y)  sin d) f ( x , y)  x y x y cos y x  y f) f ( x , y)    x x Bài 5.6 Tìm đạo hàm riêng cấp hàm số sau a) f ( x , y)  y ln(xy) c) f ( x , y)  xy xy b) f ( x , y)  x cos y  y cos x d) f ( x , y)  ( x  y )e x  y e) f(x, y) = ln(x + y) Bài 5.7 Tìm cực trị hàm số sau a) f(x,y) = x2 + xy + y2 – 2x – 2y b) f(x,y) = (y-x)2 + (y + 2)3 c) f(x, y) =  x  y d) f ( x , y)  x  xy  y  a b3  x y e) f(x, y) = – 4x – 3y với điều kiện x2 + y2 = f) f(x, y) = x2 + y2 + xy – 5x- 4y + 10 với x + y = 2 1  Bài 5.8 Cho hàm sản xuất: Q   K 0,5  L0,  Trong Q sản lượng, K vốn, L 3  lao động (Q, K, L >0) 1) Tìm hàm sản lượng cận biên vốn lao động? 2) Với hàm sản xuất hiệu có tăng quy mơ sản xuất tăng hay khơng? Bài 5.9 Hàm lợi ích hộ gia đình có dạng U(x, y) = 10xy – 3x2 – 2y2 Trong x số đơn vị hàng hóa 1, y số đơn vị hàng hóa (x >0 , y >0) 1) Hàm lợi ích có thỏa mãn quy luật lợi ích cận biên giảm dần hay không? 29 2) Viết đường bàng quan x = y =2; tìm độ dốc đường giải thích ý nghĩa giá trị tìm Bài 5.10 Một cơng ty sản xuất loại sản phẩm (cạnh tranh hoàn hảo) Cho biết giá loại sản phẩm P1, P2 hàm tổng chi phí có dạng: TC  2Q12  2Q 22  Q1Q 1) Tìm mức sản lượng cho loại sản phẩm để đạt lợi nhuận tối đa 2) Khi P1, P2 biến động tác động đến mức sản lượng tối ưu Bài 5.11 Một công ty độc quyền sản xuất loại sản phẩm hai sở với hàm chi phí tương ứng: TC1  128  0, 2Q12 ;TC  156  0,1Q 22 (Q1, Q2 lượng sản xuất sở 1, 2) Hàm cầu ngược sản phẩm công ty có dạng: P = 600 – 0,1Q; Q = Q1 + Q2 Q0) đài truyền hình (y: phút, y > 0) Hàm doanh thu: TR = 320x – 2x2 – 3xy – 5y2 + 540y + 2000 Chi phí cho phút quảng cáo đài phát triệu đồng, đài truyền hình triệu đồng Ngân sách chi cho quảng cáo 180 triệu đồng 1) Tìm x, y để cực đại doanh thu 2) Nếu ngân sách chi cho quảng cáo tăng triệu đồng doanh thu cực đại tăng lên bao nhiêu? Bài 5.16 Cho hàm sản xuất Q = 0,3K0,5L0,5 Trong Q sản lượng; K vốn L lao động (Q, K, L >0) 1) Tính sản lượng cận biên vốn lao động Ko = 4; Lo = 2) Chứng minh hàm sản lượng cận biên theo vốn, lao động hàm bậc 3) Cho biết q trình sản xuất có hiệu với việc tăng quy mô sản suất? Bài 5.17 Một hộ gia đình có hàm lợi ích tiêu dùng với loại hàng hóa sau: U(x1, x2 ) = x 10, x 02, Trong x1 số đơn vi hàng hóa 1, x2 số đơn vị hàng hóa (x1, x2 >0) Ngân sách tiêu dùng 300USD; giá đơn vị hàng hóa 1, 3USD, 5USD 1) Tìm gói hàng hóa mà hộ gia đình có lợi ích tiêu dùng đạt giá trị lớn 2) Nếu ngân sách tiêu dùng giảm 1USD mức lợi ích tối đa giảm bao nhiêu? 3) Nếu ngân sách tiêu dùng giảm 2% mức lợi ích tối đa giảm bao nhiêu? Bài 5.18 Một doanh nghiệp có hàm sản xuất Q =K0,3L0,5 Trong Q, K, L sản lượng, vốn, lao động (Q, K, L > 0) 1) Q trình sản xuất có hàm sản lượng có hiệu việc tăng quy mơ sản xuất 2) Tìm sản lượng cận biên theo vốn, theo lao động 31 3) Nếu doanh nghiệp thuê đơn vị vốn 6USD; đơn vị lao động 2USD; ngân sách chi cho yếu tố đầu vào 384USD Tìm mức sử dụng vốn lao động để sản lượng tối đa 4) Nếu tăng ngân sách chi cho yếu tố đầu vào 10USD sản lượng tối đa tăng bao nhiêu? Bài 5.19 Cho hàm sản xuất Cobb – Douglas: Q  30K L3 (K  0; L  0) Trong Q sản lượng; K vốn; L lao động (Q, K, L >0) 1) Tìm giải thích ý nghĩa kinh tế Q Q  Q 'K  Q1 ;  Q 'L  Q điểm Ko = 27 K L Lo = 64 1) Tính hệ số co giãn riêng Q theo K L Cho biết ý nghĩa điểm Ko =27; Lo = 64 2) Nếu K L tăng 1% Q tăng phần trăm 3) Với hàm sản xuất tăng quy mơ hiệu có tăng khơng? 4) Hàm số cho có thỏa mãn quy luật lợi ích cận biên giảm dần hay khơng? 5) Tại mức đầu vào Ko = 27, Lo = 64; giả sử dK = 0,1; dL = 0,3 mức biến động vốn lao động Tìm mức biến động dQK, dQL giải thích ý nghĩa kinh tế đại lượng Tìm giải thích ý nghĩa vi phân toàn phần dQ 32 ... minh r (A)  n  Bài 1.19 a) Cho A ma trận vng cấp n có A-1 = 3A Tính det(A2009 – A) b) Chứng minh khơng tồn ma trận A, B vuông cấp n cho AB – BA = E Bài 1.20 Tính định thức cấp n sau 1 a) ... tử b) Viết cột theo thứ tự ngược lại Bài 1.8 Tìm giá trị lớn định thức cấp nhận phần tử a) b) -1 Bài 1.9 Giải phương trình sau  3x  x x 2 4 =0 3 2 18 Bài 1.10 1) Tính AB BA (nếu tồn tại),... a)(c  a)(c  b) c ab a bc a a2 Bài 1.6 Trong định thức cấp n, xác định dấu a) Tích phần tử nằm đường chéo b) Tích phần tử nằm đường chéo phụ Bài 1.7 Định thức cấp n thay đổi nếu: a) Đổi dấu tất