04 bài giảng lý thuyết môn toán cao cấp a1 đại học công nghiệp thành phố HCM

32 389 0
04  bài giảng lý thuyết môn toán cao cấp a1 đại học công nghiệp thành phố HCM

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

2 November 2009 TON CAO CP A1 I HC PHN PH PHI CHNG TRèNH S ti tit: 30 - Ti liu tham kho Giỏo trỡnh Toỏn cao cp (bc Cao ng) Nguyn Phỳ Vinh HCN TP HCM Giỏo trỡnh Toỏn cao cp A1 C1 Nguyn Phỳ Vinh HCN TP HCM Toỏn cao cp Tp 2, Nguyn ỡnh Trớ NXB Giỏo dc Chng Hm s mt bin s Chng Phộp tớnh vi phõn hm mt bin s Chng Phộp tớnh tớch phõn hm mt bin s Toỏn cao cp Tp 1, 3, Cụng Khanh NXBHQG TP.HCM Chng thuyt chui Toỏn cao cp Tp 1, Nguyn Vit ụng NXB Giỏo dc Gii tớch Tp 1, Nguyn Tha Hp NXBHQG H Ni Chng H Hm s s mt bi bin s s Đ1 B tỳc v hm s Đ2 Gii hn ca hm s Đ3 i lng vụ cựng vụ cựng ln Gi Ging viờn: ThS o on Vng Nguyờn Đ4 Hm s liờn tc Download Slide b bi gi ging Toỏ Toỏn A1 t ti Đ1 B TC V HM S dvntailieu.wordpress.com 1.1 Khỏi nim c bn 1.2 Hm s lng giỏc ngc Chng H Hm s s mt bi bin s s Đ1 B TC V HM S 1.1 Khỏi nim c bn 1.1.1 nh ngha hm s Cho X ,Y khỏc rng nh x f : X Y vi x y = f (x ) l mt hm s Khi ú: Min xỏc nh (MX) ca f, ký hiu Df, l X Min giỏ tr (MGT) ca f l: G = y = f (x ) x X { } Nu f (x1 ) = f (x ) x1 = x thỡ f l n ỏnh Nu f(X) = Y thỡ f l ton ỏnh Nu f va n ỏnh va ton ỏnh thỡ f l song ỏnh Chng H Hm s s mt bi bin s s VD a) Hm s f : tha y = f (x ) = 2x l n ỏnh b) Hm s f : [0; +) tha f (x ) = x l ton ỏnh c) Hs f : (0; +) tha f (x ) = ln x l song ỏnh Hm s y = f(x) c gi l hm chn nu: f (x ) = f (x ), x D f Hm s y = f(x) c gi l hm l nu: f (x ) = f (x ), x D f Nhn xột th ca hm s chn i xng qua trc tung th ca hm s l i xng qua gc ta November 2009 Chng H Hm s s mt bi bin s s Chng H Hm s s mt bi bin s s 1.1.2 Hm s hp 1.1.3 Hm s ngc Cho hai hm s f v g tha iu kin Gg Df Hm s g c gi l hm s ngc ca f, ký hiu g = f , nu x = g(y ), y G f Khi ú, hm s h(x ) = ( f hm s hp ca f v g Chỳ ý (f g )(x ) = f [g(x )] c gi l g )(x ) (g Nhn xột f )(x ) VD Hm s y = 2(x + 1)2 x l hm hp ca f (x ) = 2x x v g(x ) = x + th hm s y = f 1(x ) i xng vi th ca hm s y = f (x ) qua ng thng y = x VD Cho f (x ) = 2x thỡ f 1(x ) = log x , mi x > Chng H Hm s s mt bi bin s s 1.2 Hm s lng giỏc ngc 1.2.1 Hm s y = arcsinx Hm s y = sinx cú hm ngc trờn ; l 2 f : [1; 1] ; 2 x y = arcsin x VD arcsin = vỡ sin = ; arcsin(1) = ; = arcsin Chng H Hm s s mt bi bin s s 1.2.3 Hm s y = arctgx Hm s y = tgx cú hm ngc trờn ; l 2 f : ; 2 x y = arctgx VD arctg = vỡ tg = ; arctg(1) = ; arctg = Quy c arctg (+) = ; arctg () = 2 Chng H Hm s s mt bi bin s s 1.2.2 Hm s y = arccosx Hm s y = cosx cú hm ngc trờn 0; l f : [1; 1] 0; x y = arccos x VD arccos = arccos(1) = ; arccos vỡ cos = ; 2 = ; arccos = Chỳ ý arcsin x + arccos x = , x [1; 1] Chng H Hm s s mt bi bin s s 1.2.4 Hm s y = arccotgx Hm s y = cotgx cú hm ngc trờn (0; ) l f : (0; ), x y = arccotgx ; arccotg(1) = ; arccotg = Quy c arccotg (+) = ; arccotg () = VD arccotg = 2 November 2009 Chng H Hm s s mt bi bin s s Đ2 GII HN CA HM S 2.1 Cỏc nh ngha nh ngha Cho hm s f(x) xỏc nh trờn (a; b) Ta núi f(x) cú gii hn l L (hu hn) x x [a ; b ], ký hiu lim f (x ) = L , nu > cho trc x x ta tỡm c > cho < x x < thỡ f (x ) L < Chng H Hm s s mt bi bin s s nh ngha (theo dóy) Cho hm s f(x) xỏc nh trờn (a; b) Ta núi f(x) cú gii hn l L (hu hn) x x [a; b ], ký hiu lim f (x ) = L , nu mi dóy {xn} x x (a ; b ) \ {x } m xn x thỡ lim f (x n ) = L n nh ngha (gii hn ti vụ cựng) Ta núi f(x) cú gii hn l L (hu hn) x +, ký hiu lim f (x ) = L , nu > cho trc ta tỡm x + c N > ln cho x > N thỡ f (x ) L < Tng t, ký hiu lim f (x ) = L , nu > cho x trc ta tỡm c N < cú tr tuyt i ln cho x < N thỡ f (x ) L < Chng H Hm s s mt bi bin s s nh ngha (gii hn vụ cựng) Ta núi f(x) cú gii hn l + x x , ký hiu lim f (x ) = +, nu M > ln tựy ý cho x x trc ta tỡm c > cho < x x < thỡ f (x ) > M Tng t, ký hiu lim f (x ) = , nu M < cú x x tr tuyt i ln tựy ý cho trc ta tỡm c > cho < x x < thỡ f (x ) < M Chng H Hm s s mt bi bin s s nh ngha (gii hn phớa) Nu f(x) cú gii hn l L (cú th l vụ cựng) x x vi x > x thỡ ta núi f(x) cú gii hn phi ti x0 (hu hn), ký hiu lim f (x ) = L hoc lim f (x ) = L x x +0 x x 0 x x x x 0 Chng H Hm s s mt bi bin s s nh Nu lim u(x ) = a > 0, lim v(x ) = b thỡ: x x lim [u(x )]v (x ) = a b x x x x c bit 3) lim [ f (x )g(x )] = ab ; x x f (x ) a = , b 0; g(x ) b 5) Nu f (x ) g(x ), x (x ; x + ) thỡ a b 6) Nu f (x ) h(x ) g(x ), x (x ; x + ) v lim f (x ) = lim g(x ) = L thỡ lim h(x ) = L 4) lim x x x x x x + 2) lim [ f (x ) g(x )] = a b x x 0 x x x x x x x x Chỳ ý lim f (x ) = L lim f (x ) = lim f (x ) = L Chng H Hm s s mt bi bin s s 1) lim [C f (x )] = C a (C l hng s) Nu f(x) cú gii hn l L (cú th l vụ cựng) x x vi x < x thỡ ta núi f(x) cú gii hn trỏi ti x0 (hu hn), ký hiu lim f (x ) = L hoc lim f (x ) = L x x 2.2 Tớnh cht Cho lim f (x ) = a v lim g(x ) = b Khi ú: x x + x x x lim + = lim (1 + x )x = e x x x 2x 3x + VD Tỡm gii hn L = lim + x 2x + x A L = ; B L = 1; C L = e ; D L = e November 2009 Chng H Hm s s mt bi bin s s Chng H Hm s s mt bi bin s s ( VD Tỡm gii hn L = lim + tg x 0+ x x + x + VD Tỡm gii hn L = lim x x x A L = ; B L = 1; A L = ; Đ3 I LNG Vễ CNG Bẫ Vễ CNG LN 3.1 Vụ cựng (VCB) a) nh ngha Hm s (x ) l VCB x x nu lim (x ) = x x (x0 cú th l vụ cựng) ) VD (x ) = tg sin x l VCB x ; (x ) = ln x x ) 4x C L = e ; D L = e D L = e C L = e ; Chng H Hm s s mt bi bin s s ( B L = 1; l VCB x + Chng H Hm s s mt bi bin s s c) So sỏnh cỏc VCB nh ngha Cho (x ), (x ) l cỏc VCB x x v (x ) lim = k Khi ú: x x (x ) Nu k = , ta núi (x ) l VCB cp cao hn (x ), ký hiu (x ) = 0((x )) Nu k , ta núi (x ) v (x ) l cỏc VCB cựng cp c bit, nu k = 1, ta núi (x ) v (x ) l cỏc VCB tng ng, ký hiu (x ) (x ) Chng H Hm s s mt bi bin s s b) Tớnh cht ca VCB 1) Nu (x ), (x ) l cỏc VCB x x thỡ (x ) + (x ) v (x ).(x ) l VCB x x 2) Nu (x ) l VCB v (x ) b chn lõn cn x thỡ (x ).(x ) l VCB x x 3) lim f (x ) = a f (x ) = a + (x ), ú (x ) l x x VCB x x Chng H Hm s s mt bi bin s s VD cos x l VCB cựng cp vi x x ; sin x x x Tớnh cht ca VCB tng ng x x0 1) (x ) (x ) (x ) (x ) = 0((x )) = 0((x )) 2) Nu (x ) (x ), (x ) (x ) thỡ (x ) (x ) 3) Nu 1(x ) 1(x ), 2(x ) 2(x ) thỡ 1(x ) (x ) 1(x )2(x ) 4) Nu (x ) = 0((x )) thỡ (x ) + (x ) (x ) November 2009 Chng H Hm s s mt bi bin s s Chng H Hm s s mt bi bin s s Cỏc VCB tng ng cn nh x Quy tc ngt b VCB cp cao Cho (x ), (x ) l tng cỏc VCB khỏc cp x x (x ) thỡ lim bng gii hn t s hai VCBcp thp nht x x (x ) ca t v mu VD Tỡm gii hn lim x x cos x + x + 2x 2) tgx x ; 4) arctgx x 1) sin x x ; 3) arcsin x x ; x2 5) cos x ; 6) e x x ; 8) n + x 7) ln(1 + x ) x ; x n Chỳ ý 1) Nu u(x) l VCB x thỡ cú th thay x bi u(x) 2) Quy tc VCB tng ng khụng ỏp dng c cho hiu hai VCB cựng cp Chng H Hm s s mt bi bin s s VD Tớnh gii hn L = lim Chng H Hm s s mt bi bin s s 3.2 i lng vụ cựng ln (VCL) a) nh ngha Hm s f(x) c gi l VCL x x nu lim f (x ) = (x0 cú th l vụ cựng) ln(1 2x sin x ) sin x tgx x x x VD VD Tớnh gii hn: L = lim x sin ( ) x + + x 3tg 2x sin x + 2x Chng H Hm s s mt bi bin s s b) So sỏnh cỏc VCB nh ngha Cho f (x ), g(x ) l cỏc VCL x x v f (x ) lim = k Khi ú: x x g(x ) Nu k = 0, ta núi f(x) l VCL cp thp hn g(x) Nu k = , ta núi f(x) l VCL cp cao hn g(x) Nu k , ta núi f(x) v g(x) l cỏc VCL cựng cp c bit nu k = 1, ta núi f(x) v g(x) l cỏc VCL tng ng, ký hiu f (x ) g(x ) cos x + l VCL x ; 2x sin x x3 + x l VCL x x cos 4x + Nhn xột Hm s f (x ) l VCL x x thỡ l VCB x x f (x ) Chng H Hm s s mt bi bin s s VD x l VCL khỏc cp vi 2x + x x ; x + x x x + Quy tc ngt b VCL cp thp Cho f(x) v g(x) l tng cỏc VCL khỏc cp x x f (x ) thỡ lim bng gii hn t s hai VCL cp cao nht x x g (x ) ca t v mu VD Tớnh cỏc gii hn: x cos x + x 2x + A = lim ; B = lim x x + 3x + 2x x sin2 x November 2009 Chng H Hm s s mt bi bin s s Đ4 HM S LIấN TC 4.1 nh ngha S x D f c gi l im cụ lp ca f(x) nu > : x (x ; x + ) \ {x } thỡ x Df Hm s f(x) liờn tc ti x0 nu lim f (x ) = f (x ) x x Hm s f(x) liờn tc trờn X nu f(x) liờn tc ti mi im x X Quy c Hm s f(x) liờn tc ti mi im cụ lp ca f(x) Chng H Hm s s mt bi bin s s nh Hm s f(x) liờn tc ti x0 nu lim f (x ) = lim f (x ) = f (x ) x x x x 0+ VD Giỏ tr ca hm s: 3tg 2x + sin x , x >0 liờn tc ti x = l: f (x ) = 2x , x A = ; B = ; C = 1; D = 2 Chng H Hm s s mt bi bin s s Chng H Hm s s mt bi bin s s 4.2 nh Tng, hiu, tớch v thng ca cỏc hm s liờn tc ti x0 l hm s liờn tc ti x0 Hm s s cp xỏc nh õu thỡ liờn tc ú Hm s liờn tc trờn mt on thỡ t giỏ tr ln nht v nh nht trờn on ú 4.3 Hm s liờn tc mt phớa nh ngha Hm s f(x) c gi l liờn tc trỏi (phi) ti x0 nu lim f (x ) = f (x ) ( lim f (x ) = f (x )) x x Chng H Hm s s mt bi bin s s VD Giỏ tr ca hm s: ln(cos x ) ,x liờn tc ti x = l: f (x ) = (arctgx )2 + 2x , x = 1 1 A = ; B = ; C = ; D = 6 3 Chng Phộ Phộp tớ tớnh vi phõn h hm m mt bi bin 4.4 Phõn loi im giỏn on Đ1 o hm Hm s f(x) khụng liờn tc ti x0 thỡ x0 c gi l im giỏn on ca f(x) Đ2 Vi phõn Nu tn ti cỏc gii hn lim f (x ) = f (x ), Đ4 Cụng thc Taylor x x lim f (x ) = f (x 0+ ) nhng f (x ), f (x 0+ ) v f(x0) x x 0+ khụng ng thi bng thỡ ta núi x0 l im giỏn on loi Ngc li l im giỏn on loi x x 0+ Đ3 Cỏc nh c bn v hm kh vi Cc tr Đ5 Quy tc LHospital Đ1 O HM 1.1 nh ngha o hm 1.2 Cỏc quy tc tớnh o hm 1.3 o hm hm s cho bi phng trỡnh tham s 1.4 o hm cp cao 1.5 o hm ca hm s n November 2009 Chng Phộ Phộp tớ tớnh vi phõn h hm m mt bi bin Chng Phộ Phộp tớ tớnh vi phõn h hm m mt bi bin 1.1 nh ngha o hm b) o hm mt phớa a) nh ngha Cho hm s y = f(x) xỏc nh lõn cn ca x0 f (x + x ) f (x ) y Gii hn nu cú ca = x x x c gi l o hm ca f(x) ti x0, ký hiu f (x ) hay y (x ) Cho hm s y = f(x) xỏc nh lõn cn phi ca x0 f (x + x ) f (x ) y Gii hn nu cú ca = x x x 0+ c gi l o hm phi ca f(x) ti x0, ký hiu f (x 0+ ) Tng t f (x ) Nhn xột Do x = x x nờn f (x ) = lim x x f (x ) f (x ) x x0 Chng Phộ Phộp tớ tớnh vi phõn h hm m mt bi bin c) o hm vụ cựng y Nu t s x thỡ ta núi f(x) cú x o hm vụ cựng ti x0 Tng t, ta cng cú cỏc khỏi nim o hm vụ cựng mt phớa VD Cho f (x ) = x f (0) = , f (x ) = x f (0+ ) = + Nhn xột Hm s y = f(x) liờn tc v cú o hm vụ cựng ti x0 thỡ tip tuyn ti x0 ca th song song vi trc Oy Chng Phộ Phộp tớ tớnh vi phõn h hm m mt bi bin o hm ca mt s hm s s cp ( ) = .x 1) x ; 2) ( x ) = 1x ; 3) (sin x ) = cos x ; 4) (cos x ) = sin x ; 5) (tgx ) = 6) (cotgx ) = ; sin2 x cos2 x ( ) = e ; 7) e x x ; Nhn xột Hm s y = f(x) cú o hm ti x0 v ch f (x ) = f (x ) = f (x 0+ ) Chng Phộ Phộp tớ tớnh vi phõn h hm m mt bi bin 1.2 Cỏc quy tc tớnh o hm 1) o hm tng, hiu, tớch v thng ca hai hm s: (u v ) = u v ; (uv ) = u v + uv ; k u u v uv = kv , k ; = v v v v2 2) o hm ca hm s hp f(x) = y[u(x)]: f (x ) = y (u ).u (x ) hay y (x ) = y (u ).u (x ) 3) o hm hm s ngc ca y = y(x): x (y ) = y (x ) Chng Phộ Phộp tớ tớnh vi phõn h hm m mt bi bin ( 9) ln x ) = x1 ; ( 10) loga x 11) (arcsin x ) = 13) (arctgx ) = 1x2 1+x ; ; ) = x ln1 a ; 12)(arccos x ) = 14) (arccotgx ) = 1 x2 1 + x2 ; ( ) = a ln a ; 8) a x x November 2009 Chng Phộ Phộp tớ tớnh vi phõn h hm m mt bi bin Chng Phộ Phộp tớ tớnh vi phõn h hm m mt bi bin 1.3 o hm hm s cho bi phng trỡnh tham s Cho hm s y = f (x ) cú phng trỡnh dng tham s x = (t ), y = (t ) Gi s x = (t ) cú hm s ngc v hm s ngc ny cú o hm thỡ: y/ (t ) y (x ) = hay yx/ = t (t ) x/ VD Tớnh o hm yx/ ca hm s cho bi: x = 2t 1, y = 4t vi t t VD Tớnh o hm y (x ) ca hm s cho bi: x = cos t, y = sin t Chng Phộ Phộp tớ tớnh vi phõn h hm m mt bi bin Chng Phộ Phộp tớ tớnh vi phõn h hm m mt bi bin 1.4 o hm cp cao Chỳ ý Gi s f(x) cú o hm f (x ) v f (x ) cú o hm thỡ ( f (x )) = f (x ) l o hm cp hai ca f(x) Nu hm s c cho bi phng trỡnh tham s thỡ: y / / t / / yx/ x t y //x / x tt//yt/ // t t yxx = = = tt t , v.v x t/ x t/ x t/ ( ) Tng t ta cú: f (n )(x ) = f (n1)(x ) l o hm cp n ca f(x) ( ) ( ) Quy tc VD Tớnh o hm f (n )(x ) ca hm s: 1) (k u )(n ) = k u (n ) ; 2) (uv )(n ) = f (x ) = (1 x )n +1 (u + v )(n ) = u (n ) + v (n ) ; n C nk u(nk )v(k ) vi u(0) = u, v (0) = v k =0 Chng Phộ Phộp tớ tớnh vi phõn h hm m mt bi bin Chng Phộ Phộp tớ tớnh vi phõn h hm m mt bi bin VD Tớnh o hm y (10)(x ) ca hm s y = sin x // VD Tớnh o hm yxx ca hm s cho bi: x = cos t, y = t + sin t VD Tớnh o hm y (n ) ca hm s y = x 3x November 2009 Chng Phộ Phộp tớ tớnh vi phõn h hm m mt bi bin 1.5 o hm ca hm s n Cho phng trỡnh F(x, y) = (*) Nu y = y(x) l hm s xỏc nh khong no ú cho th y(x) vo (*) ta c ng nht thc thỡ y(x) l hm s n xỏc nh bi (*) o hm hai v (*) theo x, ta c: Fx/ + Fy/ yx/ = yx/ = Fx/ Fy/ VD Xỏc nh hm s Nn y(x) phng trỡnh: x2 + y2 = VD Cho xy e x + e y = Tớnh y , vi Fy/ Chng Phộ Phộp tớ tớnh vi phõn h hm m mt bi bin y VD 10 Cho ln x + y = arctg Tớnh y x Chng Phộ Phộp tớ tớnh vi phõn h hm m mt bi bin Chng Phộ Phộp tớ tớnh vi phõn h hm m mt bi bin Chỳ ý Ta cú th xem y(x) nh hm hp u(x) v thc hin o hm nh hm s hp VD 11 Cho y + (x + 1)y + x = Tớnh y Chng Phộ Phộp tớ tớnh vi phõn h hm m mt bi bin VD 12 Cho y cos x + sin x + ln y = Tớnh y Chng Phộ Phộp tớ tớnh vi phõn h hm m mt bi bin VD 13 Vit phng trỡnh tip tuyn ti im M (x ; y ) thuc (E ) : x2 a2 + y2 b2 = Gii Vi y , ta cú: F / = 2x x x y a y (x ) = b x F= + / 2y0 a 2y0 a b2 Fy = b 2 November 2009 Chng Phộ Phộp tớ tớnh vi phõn h hm m mt bi bin Đ2 VI PHN Phng trỡnh tip tuyn: y = y (x )(x x ) + y y = b 2x a 2y (x x ) + y x 0x a2 + y 0y b2 = x 02 a2 + y02 b2 = (*) Vi y0 = , ta cú x = a tha (*) x x yy Vy phng trỡnh tip tuyn l 02 + 02 = a b Chng Phộ Phộp tớ tớnh vi phõn h hm m mt bi bin f (x ) = A.x + 0(x ) f (x ) Hm s y = f (x ) c gi l kh vi ti x D f nu Khi ú, i lng A.x c gi l vi phõn ca f(x) ti x0 Ký hiu df (x ) hay dy(x ) Chng Phộ Phộp tớ tớnh vi phõn h hm m mt bi bin VD Tớnh vi phõn cp ca f (x ) = x 2e 3x ti x = Nhn xột 2.1 Vi phõn cp mt f (x ) = f (x + x ) f (x ) cú th biu din di dng: f (x ) = A.x + 0(x ) vi A l hng s v 0(x ) l VCB x b 2x 0x + a 2y 0y = b 2x 02 + a 2y 02 Chng Phộ Phộp tớ tớnh vi phõn h hm m mt bi bin f (x ) x = A+ 0(x ) x x A f (x ) = A x df (x ) = f (x ).x hay df (x ) = f (x ).x VD Tớnh vi phõn cp ca hm s y = arctg(x + 1) Chn f (x ) = x df (x ) = x dx = x Vy df (x ) = f (x )dx hay dy = y dx Chng Phộ Phộp tớ tớnh vi phõn h hm m mt bi bin VD Tớnh vi phõn cp ca hm s y = 2ln(arcsin x ) Chng Phộ Phộp tớ tớnh vi phõn h hm m mt bi bin VD Tớnh vi phõn cp ca y = (x x + 1)e x 2.2 Vi phõn cp cao Gi s y = f (x ) cú o hm n cp n thỡ d ny = d (d n 1y ) = y (n )dx n c gi l vi phõn cp n ca hm y = f (x ) Quy tc 1) d n (k u ) = k d nu ; 2) d n (uv ) = d n (u + v ) = d nu + d nv ; VD Tớnh vi phõn cp ca f (x ) = tgx ti x = n C nkd nku.d kv vi d 0u = u, d 0v = v k =0 10 November 2009 Chng Phộ Phộp tớ tớnh tớ tớch phõn h hm m mt bi bin b) Mt s dng tớch phõn thng gp x + Dng I = dx , a (ax + b )2 p q + Cỏch gii Bin i I = dx ax + b (ax + b ) 4x + 2(2x + 1) + VD dx = dx 4x + 4x + (2x + 1)2 = + dx 2x + (2x + 1)2 = ln 2x + +C 2(2x + 1) Chng Phộ Phộp tớ tớnh tớ tớch phõn h hm m mt bi bin Dng I = Cỏch gii Bin i I = VD Dng I = ax + bx + c dx , a 0, < Cỏch gii Bin i I = VD I = = = 2x + 4x 4x + (2x 1) + 3x + I1 = I1 I2 (2x 1)2 + dx + (2x 1)2 + dx I = Chng Phộ Phộp tớ tớnh tớ tớch phõn h hm m mt bi bin Dng Tớch phõn hm hu t bc cao 2x + C = arctg 2x + Quy ng mu s, ta c: x + 4x + = A(x 1)2 + Bx (x 1) + Cx (*) 2x + C ln (2x 1)2 + + arctg Chng Phộ Phộp tớ tớnh tớ tớch phõn h hm m mt bi bin T (*) ta cú: x + 4x + dx x (x 1)2 Gii x + 4x + A B C Phõn tớch = + + x x x (x 1) (x 1)2 2x d Cỏch gii Bin i hm di du tớch phõn v cỏc phõn thc ti gin VD Tớnh I = x + d[(2x 1)2 + 4] = ln[(2x 1)2 + 4] + C , (2x 1)2 + 4 Vy 2x 3x + Chng Phộ Phộp tớ tớnh tớ tớch phõn h hm m mt bi bin I2 = (2x 1)2 + dx p q x x + x x dx 11 dx 2x + 11 = ln x + ln 2x + + C 14 X p + dx 2 X + X + dx a 2x + 3x dx = (x 1)(2x + 5) dx = Chng Phộ Phộp tớ tớnh tớ tớch phõn h hm m mt bi bin x + x + ax + bx + c dx, a 0, > x = A = 4, x = C = 9, x = B = Vy dx dx dx + x x (x 1)2 = ln x ln x +C x I = 18 November 2009 Chng Phộ Phộp tớ tớnh tớ tớch phõn h hm m mt bi bin Dng Tớch phõn hm lng giỏc I = R(sin x , cos x )dx Cỏch gii Nu R(sin x , cos x ) = a sin x + b cos x + c Chng Phộ Phộp tớ tớnh tớ tớch phõn h hm m mt bi bin VD Tớnh I = dx sin x + cos x + x 2t t2 sin x = , cos x = + t2 + t2 Nu R( sin x , cos x ) = R(sin x , cos x ) thỡ t t = tg thỡ t t = tgx hoc h bc R( sin x , cos x ) = R(sin x , cos x ), t t = cos x VD 10 Tớnh I = dx sin x + sin 2x cos2 x R(sin x , cos x ) = R(sin x , cos x ), t t = sin x Chng Phộ Phộp tớ tớnh tớ tớch phõn h hm m mt bi bin 1.3 Phng phỏp tng phn Chng Phộ Phộp tớ tớnh tớ tớch phõn h hm m mt bi bin VD 12 Tớnh I = cos VD 13 Tớnh I = cos(ln x )dx VD 14 Tớnh I = cos a) Cụng thc u(x )v (x )dx = u(x )v(x ) u (x )v(x )dx udv = uv vdu hay VD 11 Tớnh I = x ln xdx Chng Phộ Phộp tớ tớnh tớ tớch phõn h hm m mt bi bin 3 xe sin xdx x dx Chng Phộ Phộp tớ tớnh tớ tớch phõn h hm m mt bi bin Đ2 TCH PHN XC NNH 2.1 nh ngha Cho hm s f (x ) xỏc nh trờn on [a;b ] b) Cỏc dng thng gp i vi dng tớch phõn P(x )e x dx , ta t u = P(x ), dv = e x dx i vi dng tớch phõn P(x )ln x dx , ta t u = ln x , dv = P(x )dx i vi nhiu tớch phõn khú ta phi i bin trc ly tng phn Ta chia on [a ;b ] thnh n on nh bi cỏc im chia x = a < x1 < < xn < xn = b Trờn mi on [xk ; x k +1] ta ly im tựy ý x = k , k = 0, n Gi xk = xk +1 xk v d = max {x k } k Lp tng tớch phõn (Riemann) = n f (k )xk k =0 19 November 2009 Chng Phộ Phộp tớ tớnh tớ tớch phõn h hm m mt bi bin Chng Phộ Phộp tớ tớnh tớ tớch phõn h hm m mt bi bin Gii hn hu hn I = lim c gi l tớch phõn d a 3) xỏc nh ca f (x ) trờn on [a;b ] a b b Ký hiu I = f (x )dx 4) a b b f (x )dx = f (x )dx + f (x )dx , c [a;b ] a c 5) f (x ) 0, x [a;b ] b k f (x )dx = k f (x )dx , k a b 2) a b b a f (x )dx = f (x )dx c a Tớnh cht 1) b f (x )dx = 0; a b a b b 6) f (x ) g(x ), x [a ;b ] [ f (x ) g(x )]dx = f (x )dx g(x )dx a a b b f (x )dx f (x ) dx a b f (x )dx g(x )dx a a a Chng Phộ Phộp tớ tớnh tớ tớch phõn h hm m mt bi bin 7) a < b f (x )dx a 8) m f (x ) M , x [a;b ] Chng Phộ Phộp tớ tớnh tớ tớch phõn h hm m mt bi bin 2.2 Cụng thc Newton Leibnitz a) Tớch phõn vi cn trờn thay i Cho hm f (x ) kh tớch trờn [a ;b ], vi x [a ;b ] thỡ x f (t )dt liờn tc ti mi x [a;b ] hm s (x ) = b m(b a ) f (x )dx M (b a ) a v (x ) = f (x ) a 9) Nu f (x ) liờn tc trờn on [a;b ] thỡ x VD Cho (x ) = b c [a;b ] : f (x )dx = f (c )(b a ) a e t2 dt, x > (x ) = e x ln tdt, x > , tớnh (x ) x2 VD Cho (x ) = t Chng Phộ Phộp tớ tớnh tớ tớch phõn h hm m mt bi bin b) Cụng thc Newton Leibnitz Chng Phộ Phộp tớ tớnh tớ tớch phõn h hm m mt bi bin 3) Hm s f (x ) liờn tc v chn trờn [; ] thỡ Nu f (x ) liờn tc trờn [a ;b ] v F (x ) l mt nguyờn hm tựy ý thỡ: b b f (x )dx = F (x ) a = F (b) F (a ) a f (x )dx = f (x )dx b 4) tớnh Nhn xột f (x ) dx ta dựng bng xột du ca f (x ) a 1) Cú hai phng phỏp tớnh tớch phõn nh Đ1 2) Hm s f (x ) liờn tc v l trờn [; ] thỡ c bit: b a b f (x ) dx = f (x )dx nu f (x ) 0, x (a ;b ) a f (x )dx = 20 November 2009 Chng Phộ Phộp tớ tớnh tớ tớch phõn h hm m mt bi bin 5) Cụng thc Walliss: sin n xdx = (n 1)!! , n leỷ n !! n cos xdx = (n 1)!! , n chaỹn n !! Chng Phộ Phộp tớ tớnh tớ tớch phõn h hm m mt bi bin Đ3 NG DNG CA TCH PHN XC NNH 3.1 Tớnh din tớch hỡnh phng 3.1.1 Biờn hỡnh phng cho ta Descartes a) Biờn hỡnh phng cho bi phng trỡnh tng quỏt Trong ú: 0!! = 1!! = 1; 2!! = 2; 3!! = 3; !! = 2.4 ; 5!! = 1.3.5; 6!! = 2.4.6; !! = 1.3.5.7; b S= d f (x ) f (x ) dx S= Chng Phộ Phộp tớ tớnh tớ tớch phõn h hm m mt bi bin g2(y ) g1(y ) dy c a Chng Phộ Phộp tớ tớnh tớ tớch phõn h hm m mt bi bin VD Tớnh din tớch hỡnh phng S gii hn bi cỏc ng x = y , y = x Gii Cỏch Giao im: (1; 1) v (4; 2), S = S1 S2 S = x x dx ( ) + x (x 2) dx = 3 27 x + x x 2x = 3 1 Chng Phộ Phộp tớ tớnh tớ tớch phõn h hm m mt bi bin b) Biờn hỡnh phng cho bi phng trỡnh tham s Hỡnh phng S gii hn bi ng cong x = (t ), y = (t ) vi t [; ] thỡ: ( ) S= y dx = ( ) (t )(t ) dt VD Tớnh din tớch hỡnh elip S : x2 a2 + y2 b2 Chng Phộ Phộp tớ tớnh tớ tớch phõn h hm m mt bi bin S = 4S1 = 4b a a a x dx a 4b x a2 x = a x + arcsin = ab a a Gii Cỏch Xột S1 cú biờn elip: b y= a x , x 0; a a 21 November 2009 Chng Phộ Phộp tớ tớnh tớ tớch phõn h hm m mt bi bin 3.1.2 Biờn hỡnh phng cho ta cc a) Ta cc Trong mpOxy xột im M (x ; y ) t r = OM v Chng Phộ Phộp tớ tớnh tớ tớch phõn h hm m mt bi bin VD Tớnh din tớch hỡnh phng S gii hn bi: y = x , x + y 2x = 0, x v y = x = r cos = Ox , OM Khi ú ta cú v y = r sin M (r ; ) l ta ca im M ta cc b) Din tớch hỡnh phng Din tớch hỡnh phng S cú biờn ta cc gii hn bi r = r (), [; ] Khi ú: ( ) S= r ()d Chng Phộ Phộp tớ tớnh tớ tớch phõn h hm m mt bi bin 3.2 Tớnh di ng cong phng a) Cung AB cú phng trỡnh y = f(x), x [a ;b ]: + [ f (x )] dx a VD Tớnh di cung Parabol y = t gc ta O(0; 0) n im M 1; [x (t )]2 + [y (t )]2 dt c) Cung AB cú phng trỡnh ta cc: VD Tớnh di ng trũn (x a )2 + (y b )2 = R Chng Phộ Phộp tớ tớnh tớ tớch phõn h hm m mt bi bin L= x b) Cung AB cú pt tham s x = x(t), y = y(t), t [; ]: L= b L= Chng Phộ Phộp tớ tớnh tớ tớch phõn h hm m mt bi bin r () + [r ()]2 d Chng Phộ Phộp tớ tớnh tớ tớch phõn h hm m mt bi bin 3.3 Tớnh th tớch vt th trũn xoay a) Th tớch V ca vt th phng S gii hn bi y = f (x ), x = a v x = b quay xung quanh Ox l: b 2 VD Tớnh di ng trũn x + y 2y = Vx = f (x )dx a VD Tớnh th tớch V hỡnh phng S gii hn bi y = ln x , y = , x = 1, x = e quay xung quanh Ox 22 November 2009 Chng Phộ Phộp tớ tớnh tớ tớch phõn h hm m mt bi bin VD Tớnh th tớch V elip x a + y b Chng Phộ Phộp tớ tớnh tớ tớch phõn h hm m mt bi bin b) Th tớch V ca vt th phng S gii hn bi x = g(y ), y = c v y = d quay xung quanh Oy l: =1 d quay xung quanh Ox Vy = g (y )dy c VD Tớnh th tớch V hỡnh phng S gii hn bi y = 2x x , y = quay xung quanh Oy Chng Phộ Phộp tớ tớnh tớ tớch phõn h hm m mt bi bin Ta cú y = 2x x (x 1)2 = y x = + y , x x = y , x < 2 Vy Vy = + y y dy ( ) ( = y dy = Chng Phộ Phộp tớ tớnh tớ tớch phõn h hm m mt bi bin Chỳ ý Gii ) Th tớch V ca vt th phng S gii hn bi y = f (x ), x = a v x = b quay xung quanh Oy l: b Vy = xf (x )dx a VD 10 Dựng cụng thc trờn, tớnh th tớch V VD 8 (1 y )3 = 3 Chng Phộ Phộp tớ tớnh tớ tớch phõn h hm m mt bi bin Chng Phộ Phộp tớ tớnh tớ tớch phõn h hm m mt bi bin 3.4 Tớnh din tớch mt trũn xoay a) Din tớch mt trũn xoay S ng cong y = f (x ), x = a v x = b quay xung quanh Ox l: b) Din tớch mt trũn xoay S ng cong x = g(y ), y = c v y = d quay xung quanh Oy l: b Sx = f (x ) + [ f (x )]2 dx a VD 11 Tớnh din tớch mt cu x + y + z = R d Sy = g(y ) + [g (y )]2 dy c VD 12 Tớnh din tớch mt cu x + y + z = R 23 November 2009 Chng Phộ Phộp tớ tớnh tớ tớch phõn h hm m mt bi bin Chng Phộ Phộp tớ tớnh tớ tớch phõn h hm m mt bi bin Tng t: Đ4 TCH PHN SUY RNG b 4.1 Tớch phõn suy rng loi (cn suy rng ti vụ cựng) 4.1.1 nh ngha Cho hm s f (x ) xỏc nh trờn [a; +), kh tớch trờn mi on [a; b] (b > a) f (x )dx b + c gi a l tớch phõn suy rng ca f (x ) trờn [a ; +) + Ký hiu a + b Gii hn (nu cú) ca b f (x )dx = lim a b f (x )dx f (x )dx = lim f (x )dx ; b + a a Nu gii hn tn ti hu hn thỡ ta núi tớch phõn hi t, ngc li l tớch phõn phõn k + b f (x )dx b + f (x )dx = lim a VD Kho sỏt s hi t ca tớch phõn I = a Chng Phộ Phộp tớ tớnh tớ tớch phõn h hm m mt bi bin I = lim b + 1 dx x Chng Phộ Phộp tớ tớnh tớ tớch phõn h hm m mt bi bin Trng hp = 1: b b dx = lim ln x = + (phõn k) b + x VD Tớnh tớch phõn I = xe xdx Trng hp khỏc 1: b lim x b + 1 , >1 lim b1 = = + , < 1 b + , > (ht ) Vy I = + , (pk ) b dx x b + I = lim = ( Chng Phộ Phộp tớ tớnh tớ tớch phõn h hm m mt bi bin Nu tn ti lim F (x ) = F (+) , ta cú th dựng cụng thc f (x )dx = F (x ) + a a Nu tn ti lim F (x ) = F (), ta cú th dựng x b cụng thc f (x )dx = F (x ) b Nu tn ti lim F (x ) = F () , ta cú th dựng x + cụng thc f (x )dx = F (x ) dx + x ) Chỳ ý x + + + VD Tớnh tớch phõn I = + Chng Phộ Phộp tớ tớnh tớ tớch phõn h hm m mt bi bin 4.1.2 Cỏc tiờu chu n hi t a) Tiờu chu n Cho f (x ) g(x ), x [a ; +) v + a + g(x )dx hi t thỡ f (x )dx hi t a Cỏc trng hp khỏc tng t VD Xột s hi t ca tớch phõn I = + 10 e x dx 24 November 2009 Chng Phộ Phộp tớ tớnh tớ tớch phõn h hm m mt bi bin Chng Phộ Phộp tớ tớnh tớ tớch phõn h hm m mt bi bin b) Tiờu chu n + Nu c) Tiờu chu n + f (x ) dx hi t thỡ a Cho f (x ), g (x ) liờn tc, luụn dng trờn [a ; + ) f (x )dx hi t, f (x ) = K Khi ú: g (x ) 1) Nu < K < + thỡ: v lim a x + ngc li khụng ỳng Cỏc trng hp khỏc tng t + + VD Xột s hi t ca tớch phõn I = e x cos 3xdx + f (x )dx v a g (x )dx cựng hi t hoc phõn k a + 2) Nu K = v g (x )dx hi t thỡ: a + f (x )dx hi t a Chng Phộ Phộp tớ tớnh tớ tớch phõn h hm m mt bi bin Chng Phộ Phộp tớ tớnh tớ tớch phõn h hm m mt bi bin + 3) Nu K = + v Chỳ ý g(x )dx phõn k thỡ: Nu f (x ) g(x ) (x +) thỡ a + + Cỏc trng hp khỏc tng t + VD Xột s hi t ca tớch phõn I = dx + x + 2x + dx x ln x + hi t g(x )dx cú cựng tớnh cht a + VD Xột s hi t ca tớch phõn I = Chng Phộ Phộp tớ tớnh tớ tớch phõn h hm m mt bi bin VD Vi giỏ tr no ca thỡ tớch phõn: f (x )dx v a a I = + f (x )dx phõn k dx + sin x + x Chng Phộ Phộp tớ tớnh tớ tớch phõn h hm m mt bi bin d) nh (Dirichlet) Nu hm f (x ) kh tớch trờn mi on [a; b] (b > a), b f (x )dx b chn vi mi b > a v hm g(x ) n iu a + gim v x + thỡ f (x )g(x )dx hi t a VD Vi giỏ tr no ca thỡ tớch phõn: + I = x +1 2x + x + VD 10 Xột tớch phõn I = dx hi t a cos x x dx (a > 0, > 0) , b ta cú: cos x dx = sin b sin a 2, b > a a 25 November 2009 Chng Phộ Phộp tớ tớnh tớ tớch phõn h hm m mt bi bin v x Chng Phộ Phộp tớ tớnh tớ tớch phõn h hm m mt bi bin n iu gim v x + Vy I hi t + VD 11 Tớch phõn I = x + sin x x5 A < ; B < ; Chỳ ý dx hi t khi: C > ; D Vi I = I + I , ta cú: 1) I v I hi t I hi t 2) I phõn k v I hoc I phõn k v I thỡ I phõn k 3) I phõn k v I < hoc I phõn k v I < thỡ khụng cú kt lun Chng Phộ Phộp tớ tớnh tớ tớch phõn h hm m mt bi bin 4.2 Tớch phõn suy rng loi (cn suy rng ti x0 hu hn) 4.2.1 nh ngha Cho hm s f (x ) xỏc nh trờn [a ;b ) v khụng xỏc nh ti b, kh tớch tớch trờn mi on [a ; b ] ( > 0) b Gii hn (nu cú) ca f (x )dx c gi l a tớch phõn suy rng ca f (x ) trờn [a ; b ) f (x )dx = lim a b b f (x )dx = lim a b b f (x )dx = lim a f (x )dx (suy rng ti a); a + f (x )dx (suy rng ti a, b) a + Nu gii hn tn ti hu hn thỡ ta núi tớch phõn hi t, ngc li l phõn k VD 12 Kho sỏt s hi t ca tớch phõn: b b Ký hiu Chng Phộ Phộp tớ tớnh tớ tớch phõn h hm m mt bi bin Tng t: f (x )dx a b I = dx x , b > 0 Chng Phộ Phộp tớ tớnh tớ tớch phõn h hm m mt bi bin b I = lim 0+ Chng Phộ Phộp tớ tớnh tớ tớch phõn h hm m mt bi bin Trng hp = 1: b dx = lim ln x = ln b lim ln = + + x 0+ VD 13 Tớnh tớch phõn I = dx x2 Trng hp khỏc 1: b lim x x b1 , b Vy I = , < (ht) v I = +, (pk) b I = lim dx = ( ) e VD 14 Tớnh tớch phõn I = dx x ln x 26 November 2009 Chng Phộ Phộp tớ tớnh tớ tớch phõn h hm m mt bi bin VD 15 Tớnh tớch phõn I = 1+x Chng Phộ Phộp tớ tớnh tớ tớch phõn h hm m mt bi bin 4.1.2 Cỏc tiờu chu n hi t Cỏc tiờu chuNn hi t nh tớch phõn suy rng loi + x dx Chỳ ý b Nu f (x ) g (x ) (x b ) thỡ b f (x )dx v a g (x )dx a cú cựng tớnh cht (b l cn suy rng) VD 16 Tớch phõn suy rng I = x dx x (x + 1)(2 x ) hi t v ch khi: 1 A < 1; B < ; C > ; 2 Chng Phộ Phộp tớ tớnh tớ tớch phõn h hm m mt bi bin VD 17 Tớch phõn suy rng I = x + (x + 1)sin x phõn k v ch khi: 1 A < 1; B ; C > ; 2 Chng Phộ Phộp tớ tớnh tớ tớch phõn h hm m mt bi bin dx D Chng thuy thuyt chu chui Đ1 KHI NIM C BN V CHUI S 1.1 nh ngha Cho dóy s cú vụ hn cỏc s hng u1, u2, , un , D VD 18 Tớch phõn suy rng I = x + dx x sin x phõn k v ch khi: 1 A < 1; B ; C > ; 2 D Chng thuy thuyt chu chui Nu dóy {Sn} hi t n S hu hn thỡ ta núi chui s hi t v cú tng l S, ghi l un = S n =1 Ngc li, ta núi chui s phõn k Biu thc u1 + u2 + + un + = un n =1 c gi l chui s Cỏc s u1, u2, , un , l cỏc s hng v un l s hng tng quỏt ca chui s Tng n s hng u tiờn Sn = u1 + u2 + + un c gi l tng riờng th n ca chui s VD Xột s hi t ca chui nhõn aq n vi a n =1 Gii q = : Sn = na + chui phõn k q : Sn = u1 qn qn = a q q 27 November 2009 Chng thuy thuyt chu chui a Vi q < thỡ Sn chui hi t q Vi q > thỡ Sn + chui phõn k Vy aq n1 hi t q Chng thuy thuyt chu chui VD Xột s hi t ca chui s ln + n n =1 < n =1 VD Xột s hi t ca chui s n(n + 1) n =1 Chng thuy thuyt chu chui VD Xột s hi t ca chui s n =1 n Chng thuy thuyt chu chui n =1 1.2 iu kin cn ca chui s hi t VD Xột s hi t ca chui s un hi t thỡ lim un = , n n =1 ngc li nu lim un thỡ n un phõn k n =1 Chng thuy thuyt chu chui Nu un , n =1 2.1 nh ngha hi t thỡ: n =1 n =1 n =1 (un + ) = un + Nu n =1 un hi t thỡ: n =1 Chng thuy thuyt chu chui Đ2 CHUI S DNG 1.3 Tớnh cht n5 n4 + n =1 Nu chui n4 3n + n + VD Xột s hi t ca chui s un n =1 c gi l chui s dng nu u n 0, n Khi u n > 0, n thỡ chui s l dng thc s 2.2 Cỏc nh so sỏnh nh Cho hai chui s dng n =1 n =1 un = un Tớnh cht hi t hay phõn k ca chui s khụng i nu ta thờm hoc bt i hu hn s hng Nu Nu n =1 n =1 hi t thỡ un phõn k thỡ n =1 un , n n n =1 u n , v n tha: un hi t n =1 phõn k n =1 28 November 2009 Chng thuy thuyt chu chui VD Xột s hi t ca chui s n n =1 n.2 Chng thuy thuyt chu chui n =1 n =1 un , nh Cho tha: un > v > vi n ln v lim n VD Xột s hi t ca chui iu hũa bng cỏch so sỏnh vi n n =1 ln + n n =1 Nu k = thỡ VD Xột s hi t ca chui s n =1 un hi t Nu < k < + thỡ = k phõn k hi t n =1 n =1 n =1 un , cựng tớnh cht Chng thuy thuyt chu chui (n + 1) Chỳ ý n.3n +1 Chui bng cỏch so sỏnh vi n =1 n =1 n =1 n n =1 n Nu k = + thỡ Chng thuy thuyt chu chui un phõn k un n hi t > v phõn k n =1 VD Xột s hi t ca chui s n =1 Chng thuy thuyt chu chui n +1 2n + Chng thuy thuyt chu chui 2.3 Cỏc tiờu chu n hi t 2.3.1 Tiờu chu n DAlembert Cho chui s dng un +1 n =1 un un v nlim = D Nu D < thỡ chui hi t Nu D > thỡ chui phõn k Nu D = thỡ cha th kt lun VD Xột s hi t ca chui s 5n (n !)2 n =1 (2n )! n 1 + n n n =1 VD Xột s hi t ca chui s 29 November 2009 Chng thuy thuyt chu chui Chng thuy thuyt chu chui 2.3.2 Tiờu chu n Cauchy VD Xột s hi t ca chui s Cho chui s dng nu un v nlim n nn 3n n =1 =C n =1 Nu C < thỡ chui hi t Nu C > thỡ chui phõn k Nu C = thỡ cha th kt lun 2.3.3 Tiờu chu n Tớch phõn Maclaurin Cauchy n2 VD Xột s hi t ca chui s n =1 Cho hm s f (x ) liờn tc, khụng õm v gim trờn [k ; +), k Khi ú: + n =k k f (n ) hi t Chng thuy thuyt chu chui VD Xột s hi t ca chui s n =1 n2 f (x )dx hi t Chng thuy thuyt chu chui Đ3 CHUI S Cể DU TY í 3.1 Chui an du a) nh ngha (1)n +1un c gi l chui s an du nu n =1 VD 10 Xột s hi t ca chui s n =2 n ln n un > 0, n VD (1)n 2n + , (1)n +1 l cỏc chui s 2n +1 n =1 n n =1 an du Chng thuy thuyt chu chui Chng thuy thuyt chu chui b) nh Leibnitz Nu dóy {un } gim nghiờm ngt v un thỡ 3.2 Chui cú du tựy ý a) nh ngha (1)n+1un hi t Khi ú, ta gi l chui Leibnitz n =1 Chui (1)n VD Xột s hi t ca chui s n n =1 (1)n +1 n =1 n =1 un c gi l hi t tuyt i nu n =1 VD Xột s hi t ca chui s un , un c gi l chui cú du tựy ý 2n + 2n +1 un hi t n =1 un c gi l bỏn hi t nu un hi t v n =1 n =1 un phõn k VD Chui s n =1 (1) l bỏn hi t n =1 n n 30 November 2009 Chng thuy thuyt chu chui b) nh Nu un hi t thỡ chui cú du tựy ý n =1 un hi t Chng thuy thuyt chu chui VD Xột s hi t ca chui s (1)n + (2)n +1 n =1 3n n =1 cos(n n ) n =1 n2 VD Xột s hi t ca chui s Chng thuy thuyt chu chui Đ4 CHUI HM 4.1 nh ngha Cho dóy hm u1(x ), u2(x ), , un (x ), cựng xỏc nh trờn D Tng hỡnh thc u1(x ) + u2 (x ) + + un (x ) + = un (x ) n =1 c gi l chui hm s hay chui hm trờn D Nu ti x D chui s Chng thuy thuyt chu chui Tp hp cỏc im hi t x ca chui un (x ) c n =1 gi l hi t ca chui hm Chui hm chui un (x ) hi t tuyt i ti x D nu n =1 un (x ) hi t n =1 un (x ) hi t (phõn k) VD Tỡm hi t ca chui hm nenx n =1 n =1 thỡ x c gi l im hi t (phõn k) ca chui hm Chng thuy thuyt chu chui Chng thuy thuyt chu chui 4.2 Chui ly tha 4.2.1 nh ngha VD Tỡm hi t ca chui hm 2n x n =1 n ! Chui hm an (x x )n vi an , x l cỏc hng s n =0 c gi l chui ly tha Nhn xột Nu t x = x x thỡ chui ly tha cú dng Min hi t ca an x n n =0 anx n cha x = nờn khỏc rng n =0 31 November 2009 Chng thuy thuyt chu chui Chng thuy thuyt chu chui 4.2.3 Bỏn kớnh hi t a) nh ngha 4.2.2 B Abel Nu an x n hi t ti x thỡ chui hi t n =0 ( S R > ) an x n hi t tuyt i trờn (R; R ) v n =0 tuyt i ti mi im x x ; x phõn k ti x : x > R c gi l bỏn kớnh hi t Khong (R; R ) c gi l khong hi t H qu Nu an x n phõn k ti x1 thỡ chui phõn k Nhn xột n =0 Nu chui hi t x thỡ R = + , phõn k x thỡ R = ti mi x tha x > x1 Chng thuy thuyt chu chui Chng thuy thuyt chu chui b) Phng phỏp tỡm bỏn kớnh hi t a Nu tn ti lim n +1 = r hoc lim n an = r thỡ: n a n n 0, r = + R = , < r < + r +, r = Gii Ta cú an +1 an = n 1R =1 n +1 (1; 1) l khong hi t VD Tỡm hi t ca chui hm xn n =1 n Chng thuy thuyt chu chui VD Tỡm hi t ca chui hm n =1 (x 1)n n.2n Chng thuy thuyt chu chui n2 VD Tỡm hi t ca chui hm + x n n n =1 VD Tỡm hi t ca chui hm 3n (x + 2)n n =0 32 [...]... 4 thuyế thuyết chuỗ chuỗi a Với q < 1 thì Sn → ⇒ chuỗi hội tụ 1 −q Với q > 1 thì Sn → +∞ ⇒ chuỗi phân kỳ ∞ Vậy ∑ aq n−1 hội tụ ⇔ q Chương 4 thuyế thuyết chuỗ chuỗi ∞  1 VD 3 Xét sự hội tụ của chuỗi số ∑ ln 1 +   n  n =1 < 1 n =1 ∞ VD 2 Xét sự hội tụ của chuỗi số 1 ∑ n(n + 1) n =1 Chương 4 thuyế thuyết chuỗ chuỗi ∞ VD 4 Xét sự hội tụ của chuỗi số ∑ n =1 1 n Chương 4 thuyế thuyết. .. Chương 4 thuyế thuyết chuỗ chuỗi 2 (n + 1) Chú ý n.3n +1 • Chuỗi 2 bằng cách so sánh với ∑     n =1  3  ∞ n =1 n =1 n n =1 n ∞ • Nếu k = +∞ thì Chương 4 thuyế thuyết chuỗ chuỗi ∞ ∞ ∑ un phân kỳ ⇒ ∑ vn un ∞ 1 ∑ nα hội tụ khi α > 1 và phân kỳ khi α ≤ 1 n =1 ∞ VD 4 Xét sự hội tụ của chuỗi số ∑ n =1 Chương 4 thuyế thuyết chuỗ chuỗi n +1 2n 5 + 3 Chương 4 thuyế thuyết chuỗ chuỗi... n =1 (−1) là bán hội tụ n =1 n ∑ n 30 2 November 2009 Chương 4 thuyế thuyết chuỗ chuỗi b) Định ∞ • Nếu ∑ un ∞ hội tụ thì chuỗi có dấu tùy ý n =1 ∑ un hội tụ Chương 4 thuyế thuyết chuỗ chuỗi VD 6 Xét sự hội tụ của chuỗi số ∞ (−1)n + (−2)n +1 n =1 3n ∑ n =1 ∞ cos(n n ) n =1 n2 VD 5 Xét sự hội tụ của chuỗi số ∑ Chương 4 thuyế thuyết chuỗ chuỗi §4 CHUỖI HÀM 4.1 Định nghĩa • Cho dãy hàm u1(x... thỏa x > x1 Chương 4 thuyế thuyết chuỗ chuỗi Chương 4 thuyế thuyết chuỗ chuỗi b) Phương pháp tìm bán kính hội tụ a • Nếu tồn tại lim n +1 = r hoặc lim n an = r thì: n →∞ a n →∞ n  0, r = +∞  1 R =  , 0 < r < +∞  r +∞, r = 0  Giải Ta có an +1 an = n →1⇒R =1 n +1 ⇒ (−1; 1) là khoảng hội tụ ∞ VD 3 Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm xn n =1 n ∑ Chương 4 thuyế thuyết chuỗ chuỗi ∞ VD... Chương 4 thuyế thuyết chuỗ chuỗi ∞ VD 9 Xét sự hội tụ của chuỗi số ∑3 n =1 1 n2 ∫ f (x )dx hội tụ Chương 4 thuyế thuyết chuỗ chuỗi §3 CHUỖI SỐ CÓ DẤU TÙY Ý 3.1 Chuỗi đan dấu a) Định nghĩa ∞ • ∑ (−1)n +1un được gọi là chuỗi số đan dấu nếu n =1 ∞ VD 10 Xét sự hội tụ của chuỗi số ∑ n =2 n 1 ln 3 n un > 0, ∀n ∞ VD 1 (−1)n ∞ 2n + 1 , ∑ (−1)n +1 là các chuỗi số 2n +1 n =1 n n =1 đan dấu ∑ Chương 4 Lý. .. thực sự 2.2 Các định so sánh Định 1 Cho hai chuỗi số dương ∞ ∞ n =1 n =1 ∑ αun = α ∑ un • Tính chất hội tụ hay phân kỳ của chuỗi số không đổi nếu ta thêm hoặc bớt đi hữu hạn số hạng ∞ • Nếu • Nếu n =1 n =1 ∞ hội tụ thì ∑ un phân kỳ thì n =1 ∞ 0 ≤ un ≤ vn , ∀n ≥ n 0 ∑ vn n =1 ∞ ∞ ∑ u n , ∑ v n thỏa: ∑ un hội tụ n =1 ∞ ∑ vn phân kỳ n =1 28 2 November 2009 Chương 4 thuyế thuyết chuỗ chuỗi ∞... 4 thuyế thuyết chuỗ chuỗi ∞ ∞ n =1 n =1 ∑ un , ∑ vn Định 2 Cho thỏa: un > 0 và vn > 0 với n đủ lớn và lim n →∞ ∞ VD 2 Xét sự hội tụ của chuỗi điều hòa ∞ bằng cách so sánh với 1 ∑n n =1  1 ∑ ln 1 + n  n =1 • Nếu k = 0 thì VD 3 Xét sự hội tụ của chuỗi số ∑ n =1 ∞ ∞ ∑ un hội tụ ⇒ ∑ vn • Nếu 0 < k < +∞ thì vn = k phân kỳ hội tụ n =1 ∞ ∞ n =1 n =1 ∑ un , ∑ vn cùng tính chất Chương 4 Lý. .. cực đại (địa phương) tại x 0 Chương 2 Phé Phép tí tính vi phân hà hàm mộ một biế biến 1 2 x − 2x x 3 −4 Chương 2 Phé Phép tí tính vi phân hà hàm mộ một biế biến b) Định Cho f (x ) có đạo hàm đến cấp 2n trong (a ;b ) chứa x 0 thỏa f ′(x 0 ) = = f (2n −1)(x 0 ) = 0 và f (2n )(x 0 ) ≠ 0 Khi đó: • Nếu f (2n )(x 0 ) > 0 thì f (x ) đạt cực tiểu tại x 0 • Nếu f (2n )(x 0 ) < 0 thì f (x ) đạt cực đại. .. chưa thể kết luận ∞ VD 6 Xét sự hội tụ của chuỗi số 5n (n !)2 n =1 (2n )! ∑ n 1  1 1 +   n  n  n =1 3  ∞ VD 5 Xét sự hội tụ của chuỗi số ∑ 29 2 November 2009 Chương 4 thuyế thuyết chuỗ chuỗi Chương 4 thuyế thuyết chuỗ chuỗi ∞ 2.3.2 Tiêu chu n Cauchy VD 8 Xét sự hội tụ của chuỗi số ∞ Cho chuỗi số dương nu ∑ un và nlim n →∞ nn ∑ 3n n =1 =C n =1 • Nếu C < 1 thì chuỗi hội tụ • Nếu C... tính tí tích phân hà hàm mộ một biế biến 1 dx D α ∈ ℝ Chương 4 thuyế thuyết chuỗ chuỗi §1 KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ CHUỖI SỐ 1.1 Định nghĩa • Cho dãy số có vô hạn các số hạng u1, u2, , un , D α ∈ ℝ VD 18 Tích phân suy rộng I = xα + 1 ∫ dx x 2 sin x 0 phân kỳ khi và chỉ khi: 1 1 A α < −1; B α ≤ − ; C α > − ; 2 2 D α ∈ ℝ Chương 4 thuyế thuyết chuỗ chuỗi • Nếu dãy {Sn} hội tụ đến S hữu hạn thì ta nói ... biến số số VD x VCL khác cấp với 2x + x x → ; x + x − ∼ x x → +∞ Quy tắc ngắt bỏ VCL cấp thấp • Cho f(x) g(x) tổng VCL khác cấp x → x f (x ) lim giới hạn tỉ số hai VCL cấp cao x →x g (x ) tử mẫu... hàm mộ biế biến VD Tính vi phân cấp y = (x − x + 1)e x 2.2 Vi phân cấp cao • Giả sử y = f (x ) có đạo hàm đến cấp n d ny = d (d n −1y ) = y (n )dx n gọi vi phân cấp n hàm y = f (x ) Quy tắc 1)... kỳ n =1 28 November 2009 Chương Lý thuyế thuyết chuỗ chuỗi ∞ VD Xét hội tụ chuỗi số ∑ n n =1 n.2 Chương Lý thuyế thuyết chuỗ chuỗi ∞ ∞ n =1 n =1 ∑ un , ∑ Định lý Cho thỏa: un > > với n đủ lớn

Ngày đăng: 18/01/2017, 08:31

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan