Bài tập toán cao cấp tập 1, đại số và hình học giải tích

NGUYỄN ĐÌNH TRl (Chủ blén) TẠ VĂN ĐĨNH - NGUYỄN H ổ QUỲNH BÀI TẬP TOÁN CAO CẤP TẬP MỘT ĐAI SỐ VÀ HÌNH HOC GlẢl TÍCH (Tái bắn lẩn thứ mười sáu) NHÀ XUẤT BÀN GIÁO DỤC VIỆT NAM TH AY L Ờ I N Ó I ĐẨU Nãm 1996, Nhà xuít Giáo dục xuất Toán học cao cấp tập Đại số Hình học giải tích, từ viết tắt Thcc/1 Quyến Bài tập Tốn học cao c íp tập này, viết tắt BTThcc/1 tiếp nối Thcc/I, nhằm ưình bày phán giải hướng dẫn cách giải tập ỏ Thcc/1 Riêng chưcmg IV ổn tập kiến thức học tnĩờng phổ thổng, n£n khổng trình bày ỏ quyến này, độc giả cổ thể xem đáp số Thcc/1 Chúng muốn lưu ý độc giả vé cách đánh sổ tiêu đé ứ i tiện viêc tra cứu quyến Thcc/1 chương đánh sđ stf, thí dụ chương n chương thứ hai, tiết đánh số hai số, thí dụ tiết 3.2 ỉà tiết ỏ chương 3, độc giả tìm chuơng tiết thứ 2, mục đánh sđ số, thí dụ mục 3.2.1 mục I b tiết cùa chương 3, độc giả tìm ò chưong tiết mục Các định nghĩa, định lí, thí dụ ý đánh số ba số Riéng hình vẽ có số Bnrrhcc/1 cách đánh số làm tương tự Chương có mỡt số, tiết có hai số Riftng tập có hai số, số dầu chương, số thứ hai chì số thứ tự tập chương, chẳng hẹn tập 4.3 tập thứ chương rv dộc giả tìm òr chưong tập thứ Hình vg đánh số số Vì tài liệu viết lần đáu nên khổng tránh khỏi thiếu sót, chúng tổi mong nhận đưọc ý kiến độc giả, chúng tổi cảm on Hà Nội, tháng 5/1997 Tác giả TẠ VẢN ĐĨNH Chương I TẬP HỢP VÀ ÁNH XẠ A ĐỀ BÀI 1.0 MỞ ĐẦU l ỉ Dùng kí hiệu học tiết 1.0 viết mênh đé sau ; Định nghĩa - Tam giác ABC gọi tam giác cán có hai góc Định li - Nếu tam giác ABC có hai cạnh tam giác c&n Định li - Điéu kiện cẩn đù để tam giác ABC cân có hai cạnh 1.1 TẬP HỢP VÀ PHẦN TỬ • • m ỉ Tim tập nghiệm phương trình hay b ỉt phương trình dưỗri biểu diỂn chúng trục số : a) - 4jt + = c) Jr^ - 4x + s e) + 1>0 b) JC^ - jt + > d) f) + 1=0 ~ ^ 1.3 Tim tập nghiệm hệ phương trình hay diiổi biếu d iỉn chúng tr 6n mặt phẳng toạ độ : phương trình a) 3j' + y = c) 3-v - y = Ax-y =l d) 3jr - >>> b) - r + 2y = - e ) ^ - ,< 1.4 Trong trường hợp sau hỏi cỏ A = B không ? a) A tập số thực ^ 0, B tạp số thực > trị tuyệt đối cùa n ó ; b) A tập số thực > 0, n ó ; ỉà tập số thực ^ trị tuyệt đối cùa c) A tạp số nguy 6n khổng &m < 0 có tam thừa sổ lẻ khổng chia hết cho 3, B tập số nguy£n khổng âm ^ 100 có bình phương trừ chia hết cho 24 1.2 CÁC PHÉP TOÁN VỀ TẬP HỢP A, B, c tập E Chúng minh lằng A A r \ B = A < ^ A n B = c )A u B = AnB f) A n B = A kj B 1.3 TÍCH ĐỂ CẤC 1.8 C h o >4 = 11 ,2, ,5 = { ,3 ,4 ) Hãy viết tất phẩn tử cùa A X B v ầ biếu diỂn chúng thành điểm tr£n mặt phẳng toạ độ 1.9 C h o /4 = 1 ,2 ] := | a | ì < x ú 2) B = [ , ] : = { x \ < x -£Ĩ) Hãy biểu diẻn hình học tập tích A X B trỀn mặt phẳng toạ độ 1.4 QUAN HỆ TUƠNG ĐUƠNG VÀ QUAN HỆ T H Ứ T ự I.ỈO Trong R, quan hệ a H h xác định _ _ _ ■ II a - h =a - h II có phải quan h6 tuơng đương khổng ? Tim lớp tuơng đuong ^ ( a , H) 1.11 Trong tập số tự nhiên, quan hộ sau có phải quan hộ tương đương khổng ? a) a chia h cho h ; b) khổng nguyén tố vói h ỉ 12 a) Trong khổng gian hình học thơng thưởng coi tâp điểm M, M', , chứng minh quan hệ "Af Aí' tĩtn dường thẳng phương với đưỉmg thẳng D cho ưuớc" ỉà quan hổ tưong đương N£u đặc điếm cùa cấc lớp tuong đutmg b) Cùng c&u hỏi ưong mặt phẳng với quan hệ "M' ảnh M phép quay quanh tâm o cho trước." 1.13 Trong tạp đường thẳng khổng gian quan hệ D X D ' có phải quan hệ tương đương khổng ? Ỉ4 Trong R , chứng minh quan h£ (x, y) B sau đơn ánh, toàn ánh, song ánh ? Xác định ánh xạ ngược có : 1)A = R ,B = R ,/[jr) = jf + ; 2) = R, B = R,y(jc) = x^ + x - ; 3) A = [4 9], B = [21 96], A x ) = x^ + x - 4) A = R B = R,y(jc) = 3jc - 5) /1 = R = (0, +00),/(X) = e X x+ \ ) A = N B = K A x ) = x{x + ) 1.Ỉ7 Các ánh xạ sau loại ánh xạ ? Xác định ánih xạ nguọc c ó : 1) Đối xứng điểm o; ) lỊn h tiến theo vectơ ; 3) Quay quanh tâm o góc mặt phẳng ; 4) Vị tự tâm với tỉ số Ắ: ^ 1.18 a) Cho ánh x ẹ f : R - > R xác định /■/ A _ /U ) = jt ì + x^ Nó có đơn ánh ? tồn ánh ? Tìm ảnh/(R ) b) Cho ánh xa ,(f ; R R, R = R - {0} xác đinh bời V — ■V Tim ảnh fog ỉ 19 Xét hai ánh xạ / : R -> R xác định bời f{x) = u : R+ -> R, R+ : = I AI r e R, -V > xác định bỏi xy-^ >ĩx So sánh fog }ịof 1.20 Cho tập h ợ p /4, iB, c , D ba ánh xạ fA —> B \ Ịị B —> c \ h c —►D ho{gọf) = {hog)of Chứng minh : 1.21 1) Cho tập E \ k F ánh x / : E -> F >4 a) hai tập E Ch^ỉrng minh czm ; c B h)AA n B) d M ) « •= , ta cho ánh x / : xác định / : (a:, > ) h-» (íLX + h y , t.v + d ý ) gọi F ià tập ánh xạ a) Chứng minh r ằ n g /là song ánh v / * e F b) Chứng minh n íu f y / k g e F ứiìfog e F 1.6 TẬP HŨU HẠN - TẬP ĐẾM ĐUỢC TẬP ♦ KHƠNG ĐỂM ĐUỌC • 1.25 1) Chứng minh hợp cùa hai tập hữu hạn tập hữu hạn 2) Chứng minh hợp số đếm tạp hữu hạn tập đếm dược 1.26 Cho tập E, gọi ƠH.E) tập tất tập E Chứng minh £P(£) khổng lực lưọng với E 1.7 ĐẠI ♦ SỐ T ổ HỢP • 1.27 Cho i4 = {/3 / dặt trục Ox' bán trục ảo >/3 dặt trục Oy' c) Cho phương trình 2x^ + Axy + = 24 403 Ta suy r /4 =ỉ 2 A đối xứng có phương trình đăc trưng -Ả 2 -Â - / i - - Do /4 có hai trị riêng Ẩ] = , với hai vectơ riêng trực chuẩn U] = ự=^(2 -1 ) ^2 ' Láy fl = |U|, K2 } làm sở kí hiệu loạ độ (,v', 3') ma trận chuyển sờ từ sờ cũ sang sờ B _L' > / 5LÌ - l phưcmg trình cho trờ thành hay Đó elíp có bán trục lớn >Ĩ2Ã đặt trôn trục Ox' trục nhỏ đạt trôn trục Oy' Cho phương trình Ta suy A= ^ 1 /2 1/2 A đối xứng có phương ưình đậc trưng \ - Ả 1/2 1/2 404 1-Ả Vỉ bán Do A có hai trị riêng Aị = 1/2, Và hai vcctơ riêng trực chuẩn Ẩ2 = 3/2- -1 ), U = ự = ( í » Lấy B = \ V^,V \ làm sở kí hiệu toạ độ (ji', ma trân chuyển sở từ sở cũ sang sở B ỉà D= I y ’) I 1 phương trình cho trở thành hay = 6' Đó elip c6 bán trục lón đặt trỀn trục Ox' bán trục nhỏ /V đạt trén trục Oy' g) Cho phương trình x ^ ~ S x y + ly^ = 36 Ta suy ^ A= -A A đối xứng có phương trình dặc trưng Ì-Ẳ -4 -4 1-Ả = A ^ - A - = Do /4 có hai trị riêng với hai vectơ riêng trực chuẩn =ự=^(l.-2), ^2=^(2,1) 405 Lấy B - li;|, LÍ2 Ị làm sỏ kí hiỀu toạ độ ( V, ma trân chuyển sở lừ sỏ cũ sang sở p = 75 phương trình cho trở thành 9.r'^ - = 36, hay = 2^ 6“^ Đó hypebol có bán trục thực đăt tr£n trục Ox' bán trục ảo đặt trftn ưục Oy\ h) Cho phương trình 5jt^ - Axy + Sy^ = 36 Ta suy A= 5-2 ' ■2 A đối xứng có phương ưình đặc ưưng 5-Ẳ -2 -2 -/1 A ^-13A + 36=:0 E)o i4 có hai ị ríẽng Á2 = / L J -= 4, Ã, với hai vectơ riẽng trục chuẩn i;,= ^(2.-l), =^ ( , ) Lấy B = juj, i;2 ) làm sở mói kí hiệu toạ độ in /2 -1/n/6 ì/yfĩ -\/ự -\/yỈ6 1/^3 [ 2/yỉẽ 1/v^ phưcmg trình cho trở thành V - v '^ -> -'^ + 2 '^ + [ - - -4 ]^ ' = V hay ■' ■' / '■ s ' ^ \2 / 75* - \1 hay = 10 Đặt x' = X y ' ^ ^ - Y , z ' - - + Z 75 ta + 2Z^ = 10 £)ó phương trình hypebổlốit tẩng hệ trục XYZ c) Xét phương trình Ix ^ + l y ^ + 102^ - 2.x:y - Axz + Ayz - 12.V + 12> + 60? = 24 ■ Ta suy i4 = -1 -2 7 -I -2 10 A đối xúng cố phương trình đạc trưng 7- X -\ -1 7-Á -2 -2 = -A ^ + /l2 -1 > l+ 10-/1 = - ( Ả - f (A - 12) = A có trị riêng Ảị = Ả2 = vầ Ảị = Ì2 ứ ig trị riêng Ảị =Ằ = c6 hai vectơ riêng độc lập tuyến tính «1 = (1, ) M2 = (2.Õ I) Hai vectơ chưa trực giao Áp dụng q trình uv/6j Đạt: x + -^ = 6>/6 X,’ >■+ y + -^ = ĩyÍ3 z’= >/2 8>/2z' = Y, z =z tacó: 6X^ + 3ỹ^ - 8>/2Z = Đó phưcmg trình mặt parabổlổit eliptic hệ trục XYZ 41 'ì M ỤC LỤC T ran Ị( Thay lời nói đẩu Chườĩìg / TẬP HỢP VÀ ẢNH XẠ A Đ í s 1.0 Mở đáu 1.1 Tập hợp phán từ 1.2 Các phép tốn vé tập hợp 1.3 Tích Đ é a c 1.4 Quan hộ tương dương quan hệ thứ cự 1.5 Ánh xạ ỉ Tập hữu hạn - Tập đếm - Tập khổng đếm dược 10 ỉ.7 Đại số tổ hợp 10 B Bầỉ gỉiỉ Hưứng d iii 11 Chương II cX u TRÚC OẠI s ổ - s ố PHỮC ■ ĐA THỨC VÀ PHÂN THỨC HỮU TÌ A Đé bải 35 2.1 Luật hợp thành trfin tập 35 2.2 Cấu trtíc nhóm 35 2.3 Ctfu trúc vành 36 2.4 Cấu trúc trưởng 36 2.5 SỐ phức 37 2.6 Đa thức 39 2.7 PhAn thúc hữu tỉ 40 B Bài giải vá Hưởng d ỉn Chương /// 40 ĐỊNH THỨC MA TRẬN - HỆ PHƯƠNG TRINH t u y ế n t í n h A Đé 80 B Ỉ.M atrận 80 3.2 Định thức 82 3.3 Ma trận nghịch đảo 85 3.4 H ị phương trình tun tính 86 3.5 Hạng cùa ma trận ' Hộ phuơng trinh tuyến tính tđng quát 90 B Bái giải vầ Hưứng d in A^A 91 ChỉO/nỊi l\ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH (ĨN TẬPị 146 A Đé 4.2 Đường bậc hai mật phẳng 4.3 Mặt bậc hai 146 146 146 B Bàĩ giải vá Hướng d in 148 Chưưng ự KHỔNG GIAN VECTƠ - KHỔNG GIAN EtCLID 165 A Để ỉ Khổng gian vectơ - Định nghĩa vầ thí dụ 5.2 Khổng gian hộ sinh 5.3 Họ vectữ độc lập tuyến tính yầ phụ thuộc tuyến tính 5.4 Khơng gian hữu hạn chìéu sở cùa 5.5 SỐ chiéu sở cửa khổng gian sinh bơi mộthọ vectơ 5.6 Tích vũ hướng khổng gian có tích vổ hướng 5.7 Toạ độ ưong khổng gian n chíéu 5.8 Bài toán đổi Cữ sở 165 165 166 168 170 171 173 177 178 B Bài giải vầ Hướng d in 180 Chương Vi 287 A nh x t u y ế n t í n h A Đ ébầỉ 287 ỉ Khái niệm ánh xạ tuyến tính 287 6.2 Các tính chất ánh xạ tuyến tính ’ Hạt nhftn Âỉih 289 6.3 Ma ưẠn cùa ánh xạ tuyến tính 291 6.4 Sự dạng 294 B Bài gỉảỉ vầ Hưởng d ỉn 295 Chương Vii 345 TRỊ RIÊNG VÀ VECTƠ RiÊNG A Đ< l Trị ri6ng vectơ ri£ng ma trận 7.2 Trị rieng vectơ rítog toAn tử tuyến tính khổng gian hữn hạn chiéu 7.3 Vấn đé chéo h (^ ma ưận 7.4 V ín dé chéo hoá trực giao 345 345 346 346 348 B Bầỉ g ỉii vầ Htiứng d ỉn 348 Chương Vĩii DẠNG TOẰN PHƯƠNG 389 A Bé bầi 8.5 Rút gọn dạng toần phương 8.6 .Ap dụng B Bái giải vầ hướng d ỉn 389 389 389 390 415 Chịu trách nhiệm xuất bàn: Chù tịch Hội Thành viên kiém Tổng Giám đóc NGƠ TRAN ÁÁ-I Tổng bién lập kiêm Phổ Tổng Giám đốc NGƯYỄN q u ý t h a o ) Tẻ chức bàn thào chịu trách nhiệm nội dung: Phổ Tổng bien tập PHAN XUÂN TH À N H Giám đốc Công ty CP Dịch vụ xuất G iáo dục H N ội P H A N K Ê T T H Á iI I Bién tập lán đáu: NGUYÊN VẢN THUÒNG Biền lập tái bán: HOÀNG VIỆT Bién tập kĩ thuật: NGUYÊN THANH THÚY Sih bàn in: PHÒNG SỬA BẢN IN (NXB GIÁO DỤC TẠI HÀ NCỘ'!) Chếbản: PHÒNG CHẾ BẢN (NXB GIÁO DỤC TẠI HÀ NỘI)) Công ty CP vụ xuất Giáo dục Hà NỘI - Nhà xuất Giáo dục VViiột NMíỉam giữ qun cơng bố tác phẩm BÀI TẬP TỐN CAO CẤP - TẬP MỘT • • • (ĐẠI SỐ VÀ HÌNH HỌC GIẢI TÍC H ) Mả sơ: 7K177h2-DAỈ SỐ đăng kí KHXB : 16 - 2012/CXB/134- 2050/GD In 5000 (QĐ in s ố : 55) khổ 14,5 X 20,5 cm In Công ty CP In Thái Nguyên In xong nộp lưu chiểu tháng năm 2014 ... số ba số Riéng hình vẽ có số Bnrrhcc/1 cách đánh số làm tương tự Chương có mỡt số, tiết có hai số Riftng tập có hai số, số dầu chương, số thứ hai chì số thứ tự tập chương, chẳng hẹn tập 4.3 tập. .. học cao cấp tập Đại số Hình học giải tích, từ viết tắt Thcc/1 Quyến Bài tập Tốn học cao c íp tập này, viết tắt BTThcc/1 tiếp nối Thcc/I, nhằm ưình bày phán giải hướng dẫn cách giải tập ỏ Thcc/1... QUỲNH BÀI TẬP TOÁN CAO CẤP TẬP MỘT ĐAI SỐ VÀ HÌNH HOC GlẢl TÍCH (Tái bắn lẩn thứ mười sáu) NHÀ XUẤT BÀN GIÁO DỤC VIỆT NAM TH AY L Ờ I N Ó I ĐẨU Nãm 1996, Nhà xuít Giáo dục xuất Tốn học cao cấp tập