Toán học cao cấp giáo trình dùng cho các trường đại học kĩ thuật tập 1, đại số và hình học giải tích

NGUYỄN ĐÌNH TR [ (chủ biên) TẠ VĂN ĐĨNH - NGUYỄN H ổ QUỲNH TẬP MỘT ĐẠI SỐ VA ^ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH ■ Đ Ạ I H Ọ C Q U Ồ C G IA HN TRUNG TÀM THỎNG TIN - THƯ VIẸN 510/80 ẳiL CD NHÀ XUẤT B À N GIÁO DỤC N G U Y ỄN ĐÌNH TRÍ (Chủ biên) TẠ VÃN ĐỈNH - NGUYỄN H QUỲNH TOÁN HỌC CAO CẤP ■ TẬP MỘT ĐẠI SỐ v - HÌNH HỌC GIẢI TÍCH GIÁO TRÌNH DỪNG CHO CÁC TRƯỜNG ĐẠI HỌC KĨ THUẬT (Túi bán lần thứ chín có chinh lí) N H À X U Ấ T BẢN G IÁ O DỤC % 517 - ỉ 750/116 03 Ma Mì 7K1T? LỜI NĨI ĐẦU Chương trình mơn tốn trường phổ thơng có nhiều thay đổi từ Bộ Ciiáo dục Đào tạo ban hành chương trình cải cách giáo dục Bộ giáo trình Tốn học cao cấp dùng cho trường đại học kĩ thuật viết vừa nhằm thích ứng vơi thay đổi trường phổ thông, vừa nhàm nâng cao chất lượng giảng dạy toán trường đại học Toán học cao cấp mồn học khó mà sinh viên trường đại học kĩ thuật phải học ba học kì đầu, bao gồm vấn đề đại số giải tích tốn học, đóng vai trò then chốt việc rèn luyện tư khoa học, cung cấp cơng cụ tốn học để sinh viên học mơn học khác bậc đại học xây dựng tiềm lực để tiếp tục tự học sau Khi viết sách chúng tồi ý đến mối quan hệ lí thuyết tập Đối với người học tốn, hiểu sâu sắc lí thuyết phải vận dụng thành thạo phương pháp bản, kết hản lí thuyết giải tốn, làm tập trình làm tập người học hiểu lí thuyết sâu sắc Các khái niệm đại số giải tích tốn học trình bày cách xác với nhiều ví dụ minh hoạ Phần lớn định lí chứng minh đầy đù Cán giảng dạy, tuỳ theo quỹ thời gian mình, hướng dẫn cho sinh viên tự đọc số phần, số chứng minh Cuối chương có phán tóm tắt với định nghĩa chính, định lí cơng thức chủ yếu phần tập đươc chọn lọc kĩ, kèm theo đáp số gợi ý Bộ sách viết thành tập : - Tập : Đại số hình học giải tích - Tập : Phép tính giải tích biến số - Tập : Phép tính giải tích nhiều biến sơ Bộ sách cơng trình tập thể nhóm tác giả gồm ba người : Nguyẻn Đình Trí (chủ biên), Tạ Văn Đĩnh Nguyễn Hổ Quỳnh Ồng Tạ Văn Đĩnh phụ trách viết tập Ong Nguyẻn Hồ Quỳnh phụ trách viết chương đầu tập Ong Nguyễn Đình Trí phụ trách viết chương tập toàn tập Cùng với giáo trình chúng tơi viết tập Bài tập Toán cao cấp nhằm hỗ trợ bạn đọc cần lời giải chi tiết tập giáo trình Viết giáo trình này, tham khảo kinh nghiệm nhiều đồng nghiệp giảng dạy mơn Tốn học cao cấp nhiều nãĩĩì nhiều trường đại học Chúng tơi xin chân thành cảm ơn nhà giáo, nhà khoa học đọc thảo đóng góp nhiều ý kiến xác đáng Chúng tồi xin chân thành cảm ơn Ban Giám đốc Nhà xuất Giáo dục việc xuất giáo trình này, cảm ơn biên tập viên Nguyễn Trọng Bá, Phạm Bảo Khuê, Phạm Phu, Nguyễn Văn Thường Nhà xuất Giáo dục làm việc tận tình khẩn.trương Chúng tỏi mong nhận ý kiến nhận xét bạn đọc giáo trình Các ỉác gỉả Chương I TẬP HỢP VÀ ÁNH XẠ ■ • • * 1.0 MỞ ĐẦU 1.0.1 K hái niẹm vé m ệnh dể toán học Ta hiểu mệnh đề toán học khẳng định toán học ch ỉ có th ể sai, khơne thể nhập nhằng, nghĩa ià vừa vừa sai, vừa khơng vừa khơng sai T h í dụ 1.0.1 < ỉà mệnh đề toán học > mệnh đề toán học sai 1.0.2 Kí hiệu => Khi với giả thiết mệnh đề A ta chứng minh mệnh đề B ta nói từ mệnh đẻ A suy mệnh đề B, hay mệnh đề A kéo theo mệnh đề B Để diễn đạt ý ta viết gọn A=>B Đơi ta viết Thí dụ 1.0.2 B (a + c < b + c) 1.0.3 Kí hiệu Khi A => B thời B => A y ta nói mệnh đề A tương đương mệnh đẻ B Để diẻn đạt ý ta viết gọn Thí dụ A B (a < b) (h > a) (\a\ < b) , B ta nói A điều kiện đủ để có B B điều kiện cần để có A Khi A B tức A => B B => A, ta nói A điều kiện cần đủ để có R Lúc B điều kiện cần đủ để có A Thí dụ 1.0.4 Rõ ràng (\a\ < b) => (b > 0), từ b > không suy lớI < h Vậy \a\ < b ì ầ điều kiện đủ để có b > 0, h > điều kiện cần để có lal < b, \a\ < b khơng phải điều kiện cần đủ để có h > 1.0.5 K í hiệu := Kí hiệu dùng để đưa vào định nghía, thay cho cụm từ “định nghĩa bởi” Thí dụ ] 0.5 Đường tròn := Quỹ tích điểm inặt phẳng cách đéu điểm xác định 1.0.6 Kí hiệu V Kí hiệu thay cho cụm từ “với mọi'’ hay “với bát kì" Thí dụ ỉ.0.6 Va' thực ta có X2 - X■+ > 1.0.7 K í hiệu Kí hiệu thay cho cụm từ “tồn tại" hay ỉà “có” T hí dụ 1.0.7 x để X2 - 3.V + = 0, X = X = BÀI TẬP : 1.1 1.1 T Ậ P H Ọ P VÀ PHẢN TƯ 1.1.1 Khái niệm tậ p hợp p h ầ n tử Khái niệm tập hợp phần tử định nghĩa khái niệm đâ biết Ta coi tập hợp khái niệm nguyên sơ, khơng định nghía Tuy nhiên ta nói sau : Tất đôi tượng xác định hợp lại tạo thành tập hợp, đối tượng cấu thành tập hợp phẩn tử tập hợp Tlií dụ 1.1.1 Tất người Việt Nam giới tạo thành tập hợp người Việt Nam Mỗi người Việt Nam phần tử tập hợp Thí dụ 1.1.2 Tất điểm không gian tạo thành tập hợp điểm không gian Mồi điểm phần tử tập hợp T hí dụ 1.1.3 Tất đường thẳng không gian tạo thành tập hợp đường thẳng không gian Mỗi đường thảng phán tử tập hợp 1.1.2 Khái niệm thuộc kí hiệu e Nếu a phần tử tập hợp E ta nói “ơ thuộc £ ” viết a € E Nếu a không phần tử E ta nói “ứ khơng thuộc £ ” viết a ị E hay a (8.6.21) cho A /L -1 X + -2 -X ? d' d' ( Ả3 N V d'j Đó mặt hypebôlôit tầng Nếu d ’ < (8.6.21) cho —,xĩ1 + — ỵ 2ỉ - — X? = ~l -í/' 0, ^2 < Giống II ta có (8.6.23) Nếu l i ’ ^ (8.6.23) mặt parabôlôit hypebôlôit (mặt parabôlôit loại hvpebôn) Nếu / r = (8.6.23) cho Ả[xỊ+Ả2xỊ=d' Đây mặt trụ có đường sinh song song với phương X3- V Trường hợp có hai trị riêng Già sử = 0, Ẳj * Phương trình (8.6.19) viết + 2e'ẸỊ + g ' ị +2 h ' ặ + d = Áp dụng cơng thức tịnh tiến trục Ẹì + ỵ = X r ệ2 = x 2, ỉ3 = x3 (8.6.24) ta dược A,,A'ị2 +2g'X2 +2h'X3 =d' Ả\ Nếu g ■= / i ' Ta có mặt trụ parabơn có đường sinh song song với phương Ẹ,y Nếu g ’ ^ 0, li ’ = Ta có mặt trụ parabơn có đường sinh song song với phương q2 379 Nếu g ’ ^ 0, /i ’ Ta có mặt trụ parabỏn có đường sinh song song với phương vng góc với đường thẳng g ' ỉ + / '^3 - °- VI Truờng hợp ba trị riêng đểu Khi phương trình bậc hai (8.6.19) e' ặì + g' ặ2 + h ' ặ ĩ + d = Đó mặt phẳng Sau ta xét vài thí dụ để minh hoạ Thi dụ 8.Ố.3 Hãy nhận dạng mặt bậc hai x ị + x ị + 3jc32 x xx ‘ X2 X3 = 16 Giải : Ta có A = ■2 -1 -1 -1 -1 Ma trận đối xứng A có ba trị riêng A3 = vectơ riêng tạo thành sở trực chuẩn Aj — 1, Ẳ2 = 2, "1/ V " ’ I / a/2 ■ * /V ẽ B ~ {^VỊ Ỉ £ ’ fv2^£’ ^ ^ } = < 1/V3 » - / /7 * ì/y íẽ - /V ó Gọi p ma trận chuyển sờ từ sở tắc sang B p= 1/^3 l/V ã / l/y íỉ -I /V 1/^6 l/S -2[yỈ6 ‘ có cơng thức dổi toạ độ W £ = P[x ]B, 380 [x)B = P‘[x]E Do [ x ]'e A [ x ) e = ( P [ x ì B ) ' A ( P [ x ]b ) = [ x ự p ' A P ) [ x ]b = t x )'b D[ x ]b , \ D = p ' AP = Ả2 a3J r i1 0 = 00 L0 o Cho nên Vậy phương trình cho toạ độ cũ (JC|, JC2, x$) trờ thành phương trình toạ độ (x ’| , X *X ): jt* |+ jc' | = 16 Đó phương trình cùa mật elipxơit có bán trục 4, 8.6.3 Áp dụng : Một tốn cực trị có điểu kiện V khơng gian có tích vơ hướng s = Ị?j, e2, í” I sở trực chuẩn cùa \ Xét sở s dạng toàn phương n (8 ) 7= Hây tìm cực trị với điều kiện > ' = V1 + + ••• + II = ■ (8.6.26) 381 Để giải ta dặt A = [a ] Al = A (8.6.25) viết Q = X Ax Vì A đối xứng nên có n trị riêng Ả n vectơ riêng / , / = ,2, / = 1, 2, n ứng với n tạo thành sờ trực chuẩn S' = Ị / p / 2» •••» / }• Bàng phép đổi biến trực giao X = íyị lừ s sang s ’ ta đua Ọ dạng tắc : ỡ = A1 ễ 12 + ^ 22 + + Aíỉ^ (8.6.27) Giả sử Ầj < / ^ < < Aw (8.6.28) Khi =\ỵ iỉ s e s Í=| = A,ỉ'ỉ (8.6.29) ;=1 Vì x = pặ => x 'x = ( PẸ) \ Pệ ) = ị ' p ' p ị = nên (8.6.29) (8.6.26) cho A, < Q < An (8.6.30) Căn vào (8.6.30) (8.6.27) ta suy kết : ộ đạt giá trị lớn Ả" £ đạt giá trị bé Aj Ê(m) = (0 , ) tức x im) = p - lặ M = Thí dụ 8.6.4 Xét dang tồn phương (8.5.4) R thí dụ 8.5.1 Bằng phép đổi biến trực giao (8.5.6) ta đưa dạng tắc (8.5.5) Vậy đạt giá trị lớn = ( , ) , tức 1Ì1 X(M) = (1/V5) (2, 1) giá trị bé ệ (m) = (0, 1), tức x (m) = ( / ) (-1 ,2 ) 382 BÀI TẬP CHƯƠNG V III 8.1 Tìm dạng tắc cùa dạng toàn phương sau : ) V + ^2 + AIA2 + A| X^ + 'ỉ.x^x^ + 2) A“ — x ị + 3) Vị2 - 3^2 - + 2jt|.i'2 + í|.f j + 'I x - ịX^ x v2 + 2*1*3 - í X j 8.2 Tim phép biến đổi tuyến tính để đưa dạng lồn phương dây vể dạng tắc cho biết dạng tắc dó : ) xị + 5* - 4*3 + aj.It - 4jfjjr 2) x f + x ị + x ị - 4.v)x2 + 4jCjJC3 - 3) *2 * + x.x-ị + ^ 2x3 4) x ị + 18jc| + 8*3 - 12.V|X, + ,YjXj —21X2 *^ 5) -l Xị - 3*2 - \ x ị + 12.VịA'2 - 24jCjjr3 + * 2*3 8.3 Nhận dạng vẽ đường bậc hai sau : a) ĩ x - 4xy - y + = b) X2 + xy + y2 + 8.V + y — c) 12 + 4xy + 5v = d) ỉ x + 24 xy + v - = e) x f + 4-VịX, + 5.Vj = 24 í) x;1 "f -VIị.x^ z 4* x ềỉL — 18 g) Jfj2 - VJ.V2 + I x ị = 36 h) SxỊ - 4jCjA2 + jc| = 36 383 8.4 Nhận dạng vẽ mặt bậc hai sau : a) 2xị - *1*3 + x ị - 2*2*3 + 3*3 = 16 b) 2xy + 2xz + vz - r - y “ 4z = c) 7jc2 + 7y + 10z - 2xy - 4xz + 4yz lZx + 12v + 60: = 24 d ) , j c y — 6.V + l(Ịy - - = x + y 4- 5z - 4xy - 2xz + 2ỵz + e) 1 - 26y - 2z = ĐÁP SO 8.1 1) yị + y ị - y ị ; 3) } \ 1) - ) >í + y ị - yị - y ị, x l + \y v *2 = y2 - ?3’ -*3 = = i y| + y2, *2 = y +>3 , JC3 = ~ y +y;3 y ] - y \ - y \ > X\ =y\ - y2 - yy x2 = y\ + y2 - yy xi = y y 4) y ị + y ị - y ị , x2 384 >2 y ị * = * - ị y 3) ) V? - + >f - >-32 2 =- ^ Jf| = + ^ ”3 v3 ^ +3 ^ 3’ = ^ + 3^ 8.3 a) Hypebol j c ’2 —3y ’2 = b) Parabol 2>Ì2x'2- I x ' + y' = c) Elip 7jc'2 + 3v ' = d) Hypebol 4.v'2- v ' = e) Elip f) Elip g) Hypebol h) Elip x ,:Ị + x ' ị = 36 8.4 a) Elipxôit r'^+ 2.v't+ 4.V = b) Hypebôlôit tầng JC,2+ ỵ' 2- r '2 = - c) Elipxôit x ’2 + y '2+ z ' = d) Parabôlôit hypebôlic x '2 - y'2 + z' = e) Parabôlôit eliptic v'2+ 3>’'2- 8-^2 z' = TÀI LIỆU THAM KHẢO Kim Cương - Toán cao cấp - Tập - Đại số -NXB Đại h ỊC Giáo dục chuyên nghiệp, Hà Nội, 1990 L.Lesieur - CL Joulain - Toán cao cấp, II Howard Anton - Elementary Linear Algebra - 1977 Carroll Wilde - Linear Algebra - 1987 r.M Te/ibộaH/i JIeKUHfl no HHHeHHOỈí ajire pe 1966 386 MỤC LỤC Trang LỜI nót dầu Chương / TẬP H Ợ P VÀ ÁN H XẠ 1.0 Mở đầu 1.1 T ập hơp phần tứ 1.2 Các phép tốn vể tập hợp 10 1.3 Tích đề 14 1.4 Quan hệ tương đương quan hệ thứ tự 15 1.5 Ánh xạ 20 ỉ Tập hữu hạn - T ậ p đếm - Tập không đếm dược 28 1.7 Đại số tổ h ợ p 30 T óm tắt chương I 34 Bài lập chương I 37 Đáp số 43 Chương / / C Ấ U T R Ú C ĐẠI s ố - s ố PHÚC ĐA THÚC V À PHÂN THÚC HỮU TỈ 47 2.1 Luặi hợp trôn tập 47 2.2 Câu trúc nhóm 50 2.3 Cấu trúc vành 52 2.4 Câu trúc Irường 53 2.5 Sô phức 54 387 2.6 Đa thức 66 2.7 Phân thức hữu tỉ 73 Tóm tắt chương II 78 Bài ỉặp chương II 82 Đáp số 87 Chương ỈII MA TRẬN - ĐỊNH THỨC - HỆ PHUƠNG T RÌN H T UYẾN TÍNH 3.1 Ma trận 92 92 3.2 Định thức 100 3.3 Ma trận nghịch đáo 109 3.4 Hộ phương trình tuyến tính 15 3.5 Hạng ma trận - Hộ phương trình tuyến tính tổng qt 127 3.6 Phụ lục 134 Tóm lắt chương III 145 Bài tập chương III 149 Đáp số 161 Chương ỈV HÌN H H Ọ C GIÀ I TÍCH (Ơn tập : Đường bậc hai mặt bậc hai) 168 4.1 Mở đầu 168 4.2 Đường bậc hai mặt phẳng 168 Mặt bậc hai 178 Bài tập chương IV 189 Đáp số 191 C h n g V K 11Ô N G G I A N V E C T Ơ - K H Ô N G G I A N E U C L I D 194 5.1 Khơng gian vcctơ - Định nghĩa thí dụ 194 5.2 Không gian hệ sinh 203 5.3 Họ vcctơ độc lảp luyến lính phụ ihuộc tuyến 5.4 Không gian hữu hạn chiểu c sở •388 tinh 20 211 5.5 Sơ chiểu sờ cùa không gian sinh bới họ vectơ 219 T íc h v ô h n g k h n g gia n c ó tích v ô h n g 222 T o đ ộ t r o n g k h ô n g gia n n c h ic u 236 Bài to n đ ổ i c s 241 T ó m tất c h n g V 247 Bài lậ p c h n g V 253 Đ p sỏ 269 Chương V ỉ Á N H X Ạ T U Y Ể N TÍNH 275 Khái n iệ m n h x tu y ến tính 275 C c tính c h ấ ! c ủ a ánh x tu yến tính - Hạt n h ân v ảnh 286 M a trận c ủ a n h x tu y ế n tính 292 Sự đ n g d ạn g 302 T ó m tất c h n g V I 305 Bài tập c h n g VI 306 Đ áp số 314 Chương VII TRỊ R I Ê N G VÀ VE CTƠ RIÊNG CỬA T O Á N T Ử T U Y Ê N TÍNH Trị riên g v v e c i riên g c ủ a m a trận 319 319 7.2 Trị riêng ve ctơ riêng tốn tư tuyến tính khơng gian hữu hạn chiều 324 V ấn đ ể c h é o h o m a trận 326 V ấn đề c h é o h o trực g ia o 333 Phu lụ c 337 T ó m lắt c h n g VII 340 B*»i tập chương VII 341 Đáp sỏ 344 Chương VỉII D Ạ N G T O À N PHUƠNG 348 Dạng tuyến lính trèn khơng gian vectơ V 348 8.2 Dạng song tuyến không gian vcctơ V 348 389 8.3 Dạng toàn phương không gian vcclơ V 349 8.4 Dạng song tuyến dạng toàn phương trẽn khỏng gian n chiều 351 8.5 Rút gọn dạng toàn phương 355 8.6 Áp dụng 366 390 Bài tập chương VIII 383 Đáp sỏ 384 Chịu tra ch nhiệm xuất ban : Chu tịch H Đ Q T kiêm T ốn g G iá m dốc NCƠ TUẤN ÁI Phó T ố n g G iám đôe kiêm T ố n g biên tập v ù DƯƠNG THỤY Bién tập lấn đầu : N G U Y Ễ N VÁ N THUỜNG Biên tập tái : NG UYỄN T R Ọ N G HÀI Biên tập k ĩ thuật : BÙI CHÍ HIẾU Sửa bàn in : P H Ò N G SỬA BÀN IN (N X B G I Á O D Ụ C ) C h ế : P H Ò N G C H Ê BÀN (N X B G IÁ O DỤC) 391 ... đổi trường phổ thơng, vừa nhàm nâng cao chất lượng giảng dạy toán trường đại học Toán học cao cấp mồn học khó mà sinh viên trường đại học kĩ thuật phải học ba học kì đầu, bao gồm vấn đề đại số giải. .. ĐÌNH TRÍ (Chủ biên) TẠ VÃN ĐỈNH - NGUYỄN H QUỲNH TOÁN HỌC CAO CẤP ■ TẬP MỘT ĐẠI SỐ v - HÌNH HỌC GIẢI TÍCH GIÁO TRÌNH DỪNG CHO CÁC TRƯỜNG ĐẠI HỌC KĨ THUẬT (Túi bán lần thứ chín có chinh lí) N H À... thức chủ yếu phần tập đươc chọn lọc kĩ, kèm theo đáp số gợi ý Bộ sách viết thành tập : - Tập : Đại số hình học giải tích - Tập : Phép tính giải tích biến số - Tập : Phép tính giải tích nhiều biến