Mở đầu về lý thuyết xác suất và các ứng dụng giáo trình dùng cho các trường đại học và cao đẳng

Phần lớn những ván dầ quan trọng nhát của đời sống thực ' ra chỉ là những bài toán của lí huyết xác su ấ t" P.S.Laplaxơ 1812 Trong hoạt động thực tiễn của mình, con người b ắt buộc phải

CD

LÒI N Ó I ĐAU

"Càn nhó rằng mộn khoa học bắt dầu từ uiệc xem xét các trò chơi may rủi lại hứa hẹn trỏ thành dối tượng quan trọng nhát của tri thức loài người Phần lớn những ván dầ quan trọng nhát của đời sống thực '

ra chỉ là những bài toán của lí (huyết xác su ấ t"

P.S.Laplaxơ (1812)

Trong hoạt động thực tiễn của mình, con người b ắt buộc phải tiếp xúc với các biến cố ngẫu nhiên khống th ể dự đoán trước đưcc Một lĩnh vực của Toán học cố tên là : "Lí thuyết Xác suêt" đã ra đời nhằm nghiên cứu các quy luật và các quy tắc tỉm toán các hiện tư ợ n g ngẫu nhiên

Ngày nay Lí thuyết Xác su ấ t (LTXS) đã trở th à n h một ngành Tom học lớn, chiếm vị trí quan trọ n g cả về lí thuyết lẫn ứn£ dụng Một m ặt LTXS là một ngành Toán học cd tẩ m lí

th iy ết ở trình độ cao, m ặ t khác nó được ứng dụng rộng rãi tro ig nhiều ngành KHKT và cả KHXH và N hân văn Đặc biệt LTXS gắn liền với khoa học Thống kê, một khoa học về các phtơng pháp th u thập, tổ chức và phân tích các dữ liệu, thông tin định lượng

ờ rấ t nhiều nước trên th ế giới, LTXS và Thống kê đã được đưỉ vào giảng dạy ngay từ bậc tru n g học và là môn cơ sở bát biũc đối với sinh viên của nhiều ngành học khác nhau ở bậc đại học ơ nước ta, trong chương trìn h cải cách, học sinh phổ

th m g tru n g học đã được làm quen với LTXS

Trong quyết định vể đào tạo đại cương theo 7 nhóm ngành của Bộ Giáo dục và Dào tạo, t ấ t cả các nhổm ngành đều cd chương trình Xác S uất - Thông Kê với thời lượng ít n h ấ t là 4

đơn vị học trình Nhiều cán bộ đã ra công tác có nhu cẩu phải

tự học môn học này

Cho đến nay các giáo trình, sách tham khảo về Xác s u ấ t - Thống kê ở nước ta còn r ấ t ít Một só sách x u ấ t bản trước đây khá lâu đã không còn phù hợp Để đáp ứng nhu cấu về giảng dạy, học tập và ứng dụng LTXS, chúng tôi biên soạn cuốn sách này với hy vọng cuốn sách sẽ là một giáo trìn h có chất lượng, phục vụ cho một đối tượng đông đảo các bạn đọc bao gồm :

tiên làm quen với LTXS, muốn được tr a n g bị nhữ ng kiến thức

cơ bản n h ấ t của môn học

2) Các eán bộ nghiên cứu, các thấy giáo ở đại học và phổ thông và tấ t cả những ai muổn tự học bộ môn này

Trong khi biên soạn sách này, chúng tôi đã dựa trên chương trìn h chuẩn vể môn LTXS cho 7 nhóm ngành của Đại học Quốc gia H à Nội, cũng như chương trìn h chuấn ở các trường đậi học kinh tế, kỉ th u ậ t khác Chúng tôi cũng đã th a m khảo

n hữ ng sách và giáo trìn h mới n h ấ t về Xác s u ấ t của một số nước p h át triển

P h ẩn lớn nội dung cuốn sách đã được chúng tôi thử nghiệm giảng dạy nhiều lần cho sinh viên các khoa Toán, Tin, Hóa, Địa, Sinh, Y

Để giúp các bạn sinh viên không phải thuộc ngành Toán và các bạn tự học dễ lỉnh hội, chúng tôi đã cố gắng lựa chọn các phương pháp trìn h bày th ậ t dễ hiểu Các chứng m inh dài được

bỏ bớt, dành chỗ cho nhiều thỉ dụ cụ th ể để giúp bạn đọc nấm vững lí thuyết hơn, đổng thời qua đổ bước đầu thấy được khả năng ứng dụng rộng rãi của LTXS N hững thí dụ này cũng^đdng vai trò như những bài toán chọn lọc để độc giả lấy làm m ẫu khi giải các bài tập ở cuối chương Cuốn sá>ch có gẩn 100 thí dụ

Để học Toán Xác su ấ t có kết quả, sinh viên n h ấ t thiết phải giải bài tập, giải được càng nhiểu càng tốt T hành thử ở cuối

mỗi chương chúng tôi đưa vào khá nhiểu bài tập để độc giả được th ử thách rèn luyện và tự kiểm tra Da số các bài tậ p ở mức cơ bản, không phải là các bài quá khó Mỗi bài tập đều

cd đáp số và chỉ dẫn để giúp cho các bạn tự học Cuốn sách gốm cò 5 chương và một phụ lục Chương I, Chương II và Chương III trìn h bày những kiến thứ c cơ bàn, cốt lõi của LTXS

m à mọi chương trìn h cho các nhóm ngành đểu đòi hỏi

Để nám được các Chương I và II chỉ yêu cầu kiến thứ c về Đại số ở tru n g học, còn đối với Chương III thỉ cần thêm một chút kiến thức vể Giải tích ờ tru n g học và năm thứ n h ất bậc đại học Chương IV và Chương V được biên soạn phục vụ cho các sinh viên thuộc nhdm ngành 1, 2 (Toán, Tin, Vật lí, Hổa, Địa) và kinh tế, ở đó sự chuẩn bị về Tbán của họ đầy đủ hơn

P hần phụ lục 1 n h ằ m giúp độc giả ôn tậ p lại các kiến thức cơ bàn về Giải tích tổ fyợp phục vụ cho việc học các chương I, II Phụ lục 2 là các b ả n g phân bô nhị thức, Poatxông và chuẩn.Trong quá trìn h biên soạn tác giả đã nhận được nhiểu ý kiến đóng góp của các đổng nghiệp tro n g Bộ môn Xác su ất Thống

kê khoa Tbán “ Cơ - Tin học, Đcại học Quốc gia Hà Nội Xin

chân th à n h cám ơn những đổng góp đó Tấc giả xin bày tỏ

lời cảm ơn đặc b iệt tới GS.TS Nguyễn Duy Tiến, PGS Nguyễn Văn Hữu, PGS Lý H oàng Tú, PTS Trần Phương Dung PTS Nguyễn Văn T hư ờng và ông Nguyễn Khắc An, tro n g việc thẩm định, tổ chức bản thảo và biên tập cuốn sách

Mặc dù tác già d ã hết sức cố gáng, song cuốn sách vẫn có

th ể có nhữ ng thiếu sđt C húng tôi r ấ t mong nhận được sự gdp

ý phê bỉnh của độc giả.

Chương I

B I Ế N CỐ VÀ XÁC S UẤT CỦA BIEN c ố

§1 PHÉP THỬ NGẤU NHIÊN

VÀ KHÔNG GIAN MAU

Trong thực tế ta thường gặp r ấ t nhiều hành động m à các kết q u ả của nổ không th ể dự báo trước được Ta gọi chúng là

các phép thử ngẫu nhiên.

Phép thử ngẫu nhiên thường được kí hiệu bởi chữ s Các kết quả của s là ngẫu nhiên, không th ể xác định trước Tuy nhiên ta cd th ể liệt kê ra tấ t cả các kết quả cố th ể của s

Tập hợp tấ t cả các kết quả cđ th ể của s được gọi là không

g ian m ẫ u của s và ta thường kí hiệu nổ bằng chữ Q Chữ cu dùng để kí hiệu một phẩn tử của Q và ta gọi mỗi phần tử ơ) của Q là một biến cố sơ cáp.

m ặt xuất hiện của con xúc xắc Th không th ể biết trước được m ặt

nào của con xúc sắc sẽ xuất hiện Không gian mẫu Q của & là

Q = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

từ 18 đến 25 và đếm xem có bao nhiêu người cđ thổi quen hút

thuốc lá Con số này cổ th ể là một số nguyên bất kì từ 0 đến

500 Vậy

§2 B IẾ N CỐ VÀ M ỐI QUAN H Ệ GIỮA CH Ú N G

quả của s Ta hãy xét các biến cố (còn gọi là sự kiện) m à việc xày ra hay không xảy ra của chúng hoàn toàn được quyết định bởi kết quả của &

T h í dụ 2

Q = {SNN, NSN, SSN, NNN, SNS, NSS, s s s , NNS}.

Gọi A là biến cố : "Cđ đúng hai lẩn đổng tiền ra m ặt n g ử a” Khi đố các kết quả th u ậ n lợi cho A là

{SNN, NSN, NNS}

Nếu B là biến cố : "Số lẩn x u ất hiện m ặ t ngửa là một số

lẻ" thì các kết quả th u ậ n lợi cho B là

{SNS, SSN, NSS, NNN}

N hư vậy một biến cố A được đống nh ất với một tập con của

Q bao gồm tất cà các kết quả thuận lợi cho A.

Biến có không th ể là biến cố không bao giờ xảy ra Nố tương

ứng với tập con rỗng 0 của Q B iến có chắc chắn là biến cố

luôn luôn xảy ra Nd tương ứng với toàn bộ tậ p Q

a ) Q u a n h ệ g iứ a c á c b ié n cố

Kéo theo : Biến cố A được gọi là kéo theo biến cố B nếu khi

A xảy ra thì B cũng xảy ra Nếu biểu diễn A và B bởi hai tập

con của Q thì A kéo theo B nghĩa là A c B.

Biến cố đối : Biến cố được gọi là biến cố dối của A nếu nó

xảy ra khi chỉ khi A không xảy ra Biến cố đối của A được

kí hiệu là A Tầ có

à = Q \ A

b) Hợp c ủ a c á c biên c ố

Hợp của hai biến cố A và 5 là biến cố xảy ra nếu ít n h ấ t

có m ột tro n g hai biến cô A và B xảy ra Ta kí hiệu hợp của hai biến cố A và B là A u B.

Tương tự ta có th ể định nghĩa hợp của nhiểu biến cố Nếu

Aj u A2 u A n

c) G iao c ủ a c á c biến c ố

Giao của hai biến cô A và 5 là biến cố xảy ra nếu cả A và

B đều xảy ra Ta kí hiệu giao của hai biến cố A và B là AB.

nếu tấ t cà các biến cố Aị , At , ., A n đều xảy ra Kí hiệu giao

Thí dụ 3

Ba xạ th ủ A, B, c mỗi người bắn một viên đạn vào mục

tiêu Giả sử A, B và c là các biến cố sau :

Nói cách khác A và B xung khắc nếu A B = 0

§3 XÁC SUẤT CỦA MỘT BIẾN c ố

Xác su ấ t của một biến cố là m ột số nằm giữa 0 và 1, số này đo lường khả năng x u ất hiện của biến cố đd khi phép thử

được thự c hiện Kí hiệu xác s u ấ t của biến cố A là pCA).

Cd ba phương pháp gán xác s u ấ t cho các biến cố là : định nghĩa- xác su ấ t cổ điển, định nghĩa xác su ấ t dựa trên tẩn s u ấ t

và định nghĩa xác su ất theo tiên đề

a) Đ ịn h n g h ía x á c s u ấ t c ổ đ iể n Giả thử phép thử s có

các kết quả này có đòng kh ả n à n g x u ấ t hiện Khi đó xác s u ấ t của biến cố A là tỉ số giữa sổ k ế t quả th u ậ n lợi của A và số

Như vậy tro n g trường hợp này việc tính xác suất quy về việc đếm số kết quả cố th ể và số kết quả thuận lợi Để việc

"đếm" này thực hiện một cách chính xác, nhanh chóng, ta Gần một số kiến thức về Giải tích Tổ hợp (xem Phụ lục)

Định nghỉa xác suất cổ điển này dựa trê n hai giả thiết quan

i) Các kết quà có thể là hữu hạn ;

ii) Các kết q uả có thể là dòng k h ả năng.

Hai giả th iết này thường được th ỏ a m ã n khi chúng ta tính toán xác su ấ t tro n g các trò chơi m ay rủi, hoặc khi việc chọn lựa là vô tư, không thiên vị

Thí dụ 4

Gieo đổng thời ba con xúc sắc được ch ế tạo cân đối, đổng chất T ính xác s u ấ t để tổng số nốt x u ất hiện của ba con là 9

Giải : Mỗi kết quả của phểp thử là một bộ ba (a, b, c) tro n g

P(A) = 216 0,1157

Thi dụ 5

Trước cổng trường đại học có ba quán cơm binh dâni chất

ngẫu nhiên một quán ăn để ăn trưa Tính xác suất của các biến

cố sau :

a) 3 sinh viên vào cùng một quán ;

khác

Như vậy Q là tập hợp các bộ ba (a, b, c) với 1 ^ a ^ 3,

Thí dụ 6

trong đó có 4 nữ và 2 nam Giả sử rằng khả năng trúng tuyển

trư ờ n g hợp còn lại đểu có ít n h ất một nữ trú n g tuyển Vậy

b) Đ ịn h n g h ía x á c s u ấ t b ằ n g tẩn s u ấ t

Nếu số các kết quả cổ th ể là vô hạn hoặc hữu hạn như ng không đổng khả năng, cách tính xác su á t cổ điển như trên không còn dùng được Giả sử phép thử s có thể được thực

h iện lặp lại r ấ t nhiều lẩn trong những điễu kiện giống hệt nhau

c ủ a biến cố A trong n phép thử Người ta nhận thấy rằ n g khi Stố phép thử n tăng ra vô hạn thỉ tẩ n s u ấ t f n(A) luôn dần tới

raiột giới hạn xác định

Giới hạn đó được định nghĩa là xác suất cùa A

P(A) = lim fn(A).

n -* oc Trên thực tế P(A) được tính xấp xỉ bởi tầ n su ất fn(A) với n

Định nghĩa xác suất bằng tần su ất chỉ áp dụng được cho các phép thử ngẫu nhiên cò thể lặp lại nhiểu lẩn một cách độc lập trong những điều kiện giống hệt nhau Ngoài ra để xác định một cách tương đối chính xác giá trị của xác suất ta phải tiến hành một số đủ lớn các phép thử, mà việc này đôi khi không thể làm được vì hạn chế về thời gian và- kinh phí

c) P h ư ơ n g p h á p t iê n đ ể tr o n g lí thuyết* x á c su ấ t

Bản chất của phường pháp tiên để khi xây dự ng một lí thuyết toán học nào đđ là không quan tâm tới việc định nghĩa các đối tượng của lí thuyết đ<5, mà chỉ quan tâm tới mối quan hệ giữa các đối tượng đổ Các đổi tượng đố cố th ể có bản chất khác nhau, miễn là chúng cùng tu â n theo một bộ các quy tắc xác

định, được gọi là hệ tiên đ'ê Chảng hạn, tro n g bộ môn cờ tướng,

các quân cờ và bàn cờ là cái gỉ cũng được, cái quan trọng là luật chơi L uật chơi là "hệ tiên đề" của bộ môn cờ tướng Trong

việc xây dựng môn H inh học theo phương pháp tiên đé cũng vậy, các khái niệm điểm, đường th ẳ n g và m ật phảng không được định nghĩa (chúng có th ể là b ất cứ cái gì, là các bàn ghế hay cốc bia !) Một hệ tiên đề hỉnh học được nêu ra để định

rõ mối q u an hệ giữa chúng như : Qua hai điểm xác định một đường thẳng, qua ba điểm xác định một m ặ t phẳng, qua một điểm vẽ được một đường th ẳ n g song song với một đường

th ẳ n g đã cho (tiên để Oclit) Các tiên để có th ể được lựa chọn bằng n hữ ng cách khác nhau và tương ứng với mỗi hệ tiên để

là một thứ hình học : Hình học Oclit, H ình học Lôbasepski,

H ỉnh học Riơman

Trong việc xây dựng lí thuyết Xác su ấ t bằng phương pháp tiên đề, người ta cũng không quan tâ m tới việc định nghĩa th ế nào là xác su ất của m ột biến cố, m à chỉ quan tâm tới việc đưa

ra một hệ tiên đề m à định nghĩa xác su ấ t phải tuân theo

Sau đây là hệ tiên để của lí th u y ết Xác su ất do nhà toán học Nga lỗi lạc, Viện sỉ Kolmogorov, đưa ra năm 1933

Giả sử & là một phép thử ngẫu nhiên vồ Q là tập hợp các

là một ỡ - đại số qác biến cố nếu :

cho mỗi biến cô A E 7 một sô P(A) gọi là xác suất của A.

Pìhép gán đổ phải thỏa m ãn các điều kiện sau

2) P(Q) = 1, P ( 0 ) = 0

p ( ũ A ) = 2 m )

Nói cách khác xác su ấ t p là m ột á n h xạ từ f vào [0,1] thỏa

mán 3 điều kiện nêu trên

Thí dụ : Giả sử phép thử & gổm n kết quả có thể

p\ + P2 + ••• + Pn = 1 Gọi 7 là họ t ấ t cả các tậ p con của Q.

định nghĩa

P(A) = 2 Pi

i G /

ở đó I là tập hợp các chỉ số i m à U)ị E A Dễ thấy tương ứnig

A —* P(A) như trê n xác định một xác suất.

Thí dụ

Giả sử phép thử & là chọn ngẫu nhiên một điểm tro n g hình

vuông I Rõ rà n g tập hợp Q các kết quả cổ th ể là tập hợp các

điểm của hình vuông này Q là một tập hợp không đếm được

Biến cố : "Điểm ngẫu nhiên rơi vào tập hợp A tro n g hình vuông I" được đổng n h ất với tập con A của I Gọi lr là họ các tập con của I có diện tích (chú ý rằíig từ lí th u y ết độ đo ta biết

rằ n g không th ể gán diện tích cho mọi tậ p con của /) Bây giờ

ta định nghĩa P(A) là diện tích của tập A Do tính chất của

diện tích, cách gán như trê n thỏa m ãn hệ tiên để Kolmogorov

và như vậy cho ta một xác suất N hững tậ p hợp không cò diện tích tương ứng với các biến cố m à không xác định được xác suất Các biến 'cố này r ấ t "ki quái" và thực tế chúng ta cũng không bao giờ xem xét các biến cố như vậy

Rõ rà n g cđ th ể cố nhiềù cách định nghĩa án h xạ p thỏa mãn

hệ tiên đề Kolmogorov Thực tiễn khách q u an là tiêu chuẩn

q uyết định xem cách gán nào là đúng đắn, phù hợp

d) N g u y ê n lí x á c x u ấ t nhỏ

Một biến cố không th ể có xác su ấ t bằng 0 Tuy nhi-ên một

lớn phép thử Qua thự c nghiệm và quan s á t thự c tế, người ta

th ấ y rằn g các biến cố cđ xác su ất bé sẽ không xảy r a khi ta

chỉ thự c hiện một phép thử hay một vài phép thử Từ dó người

t a th ừ a nhận nguyền lí sau đây, gọi là "Nguyên lí xác suất nhỏ" : "Nếu m ột bĩến có cố xác su ấ t rấ t nhỏ thì thực t ế cđ th ể cho rằ n g tro n g một phép thử biến cố đd sẽ không xảy ra ”

C hẳng hạn mỗi chiếc máy bay đều cổ một xác su ất rấ t nhỏ

<để xảy ra tai nạn Níhưng trên thực t ế ta vẫn không từ chối (đi máy bay vì tin tư ở n g rằ n g tro n g chuyên bay t a đi sự kiện máy bay rơi sẽ không xảy ra

H iển nhiên việc quy định một mức xác su ất th ế nào được gọi là nhỏ sẽ tùy thuộc vào từ ng bài toán cụ thể Chẳng hạn

Mức xác su ất nhỏ này được gọi là mức ý nghỉa Nếu a là

mức ý nghĩa thì số Ịì = 1 - a gọi là độ tin cậy Khi dựa trên nguyên lí xác su ất nhỏ ta tuyên bố rằ n g : "Biến cổ A cd xác

su ất nhỏ (tức là P(A) ^ a) sẽ không xảy ra tr ê n thực tế ” thì

độ tin cậy của kết luận trê n là (ỉ T ính đ úng đ á n của kết luận

Tương tự như vậy ta cđ th ể đư a r a nguyên lí xác su ất lớn

Nếu biến cố A có xác su ất gần b ằ n g 1 thì tr ê n thự c t ế co' th ể

cho rằ n g biến cố đó sẽ xảy ra tro n g một phép thử Cũng như

ở trên, việc quy định một mức xác s u ấ t th ế nào được gọi là lớn sẽ tùy thuộc vào từ n g bài toán cụ thể

§4 CÁC QUY TẮC TÍNH XÁC SUẤT

a) Quy tá c c ộ n g x á c s u ấ t : N ếu A và B là hai biến có xung khấc thì

hai biến cố b ấ t kì là xung khắc (nghĩa là chúng xung khắc

từ ng đôi) Khi đố

p (Aj u A 2 u u A n) = P(A;) + + P(A„)

b) Quy tá c c ộ n g x á c s u ấ t t ổ n g q u á t : N ếu A và B là

hai biến cồ bát kì (không n h á t thiết x u n g khắc) thi

P(A u B) = P(A) + PCB) - PCAB)

l ầ có th ể mở rộng công thứ c này cho hợp của ba biến cố :

Thay vào ta được

p (A u B u C) = P(A) + p (B) + P(C) p (AB)

p {AC) p {BC) + PiABC).

c) Quy t á c c h u y ể n s a n g b iế n c ố dối

Trong nhiều bài toán việc tín h xác su ấ t của biến cố A khó

Lơn nhiễu so với việc tín h xác su ấ t của biến cổ đối A Khi đố

a sẽ tính P(A) rồi từ đó tỉm P(A) nhờ quan hệ sau :

Giải : Kí hiệu A là biến cố : '"Người đd m ắc bệnh tim", B

là biến cố : "Người đó m ắc bệnh huyết áp" Theo giả th iết ta cổ

P(A) = 0,5, P(B) = 0,7, P(C) = 0,6

«=> 1 = 0,6 + P(F) + 0,1

=> p (F) = 0,3.

Thí dụ 11

Trên giá sách cđ n cuốn sách (n ^ 4) tro n g đó có 3 cuốn

sách của cùng một tác giả Tìm xác su ất để không có hai cuốn nào trong ba cuốn đ ứ n g cạnh nhau

Giải : Kí hiệu ba cuốn sách đố là a, b và c.

Kí hiệu H là biến cố đang xét

Hai biến cố A ưà B được gọi là dộc lập vói nhau nếu việc xảy

Nếu hai biến cổ A và B độc lập thì

p (AB) = P(A).PCB) Tổng q u á t các biến cố A [ , A 2 , An được gọi là độc lập nếu việc xảy r a hay không xảy ra của một nhổm bất kì k biến cố

hay không xảy ra của các biến cố còn lại

Giải : Kí hiệu A, B và c là các biến có

Có hai túi đựng các quả cầu Túi thứ n h ấ t chứa 3 q u ả trắn g ,

7 quả đỏ và 15 quả xanh Túi thứ hai cđ chứa 10 q u ả trắ n g ,

quả cầu

Tỉm xác su ất để 2 q u ả cầu được chọn đều cđ cùng m ầu

A~, : "Quả cấu rú t từ túi 2 m ầu trắng"

Quy tác nhân tro n g trư ờng hợp các biến cố b ấ t kì không

§5 P H É P T H Ử LẶ P - C Ô N G TH Ứ C B E C N U L I

Xét một phép thử s và một biến cố A liên quan tới phép

thử đó Xác su ất x u ất hiện A là p Tầ thự c hiện phép thử £

để trong n phép thử lặp này biến cố A x u ấ t hiện đ ú n g k lấn,

Kí hiệu Hk là biến có : "A xảy ra đúng k lần tro n g n phép

thử S" Ta hãy xét một số trư ờng hợp đặc biệt

H ì = A A Ã u ÃA Ã u u ÃÃ Ã A

= rip( 1 p)n~l Một cách tổng q u á t biến có H k là hợp củ a các biến cố có dạng A A A A A (*) tro n g đđ chữ cái A x u ấ t hiện k lấn, còn chữ cái A x u ất hiện n - k lần Do tín h độc lập của các phép

-thử lặp, mỗi biến cố dạng như vậy cđ xác s u ấ t là

Ki hiệu Pk(ft ; p) là xác suất d ề trong m ột dãy n phép thử

b) Cđ ít nh ất một th í nghiệm thành công

Hai đấu thủ A và B thi đấu cờ Xác s u ấ t th á n g của A trong

m ột ván là 0,6 (không; có hòa) Trận đấu bao gổm 5 ván Người

s u ấ t để B tháng cuộc.

QUY TẮC NHÂN T ổ N G QUÁT

a) X ác s u ấ t có đ iề u k iệ n

Giả sử A là một biến có, B là một biến cố khác Xác su ất của B được tính tro n g điều kiện biết rằ n g A đã xảy r a được gọi là xác suất của B vói diêu kiện A và được kí hiệu là p (BỊA).

Để minh họa cho khái niệm r ấ t quan trọ n g này, ta hãy xét

thí dụ sau : Giả sử tro n g một vùng dân cư gổm N người tro n g

Chọn ngẫu nhiên một người Tính xác su ấ t để người đđ bị cận

thị nếu biết rằn g người đó là một phụ nữ.

Gọi B là biến cố : "Người đđ bị cận thị", A là biến cố :

"Người đđ là phụ nữ"! Rõ rà n g p (B/A) chính là tỉ lệ nữ bị cận

l thị do đó P(B/A) = i r

Dễ thấy

T h àn h th ử p (BIA) =

Một cách tổng q u á t ta cđ :

Cho A và B là hai biến cố bất kì, tro n g đđ p(A) ^ 0 Khi

đó xác s u ấ t có điều kiện p (B/A) được tính theo công thức sau

Chú ý : 1) Nếu P(A) = 0 thì xác su ấ t cđ điều kiện p (BỊA)

vẫn tổn tại n hư ng ta không áp dụng công thức trền được

cành bài to á n m à không cần thông qua công thức trên

T h í dụ 16

Trong m ột vùng dân cư, tỉ lệ người nghiện thuốc lá và mắc chứng u ng thư họng là 15% Có 25% số người nghiện thuốc

như ng không ung th ư họng, 50% sổ người không nghiện thuốc

và cũng không bị ung th ư họng và có 10% số người không

nghiện thuốc như ng m ắc chứng u ng thư họng Sử dụng số liệu

thống kê tr ê n có th ể r ú t ra kết luận gì về mối quan hệ giữa

bệnh ung thư họng và thdi quen h ú t thuốc lá ?

Giải : C húng ta hãy so sánh xác su ấ t để một người bị ung

thư họng với điểu kiện người ấy nghiện thuốc lá, với xác su ất

để m ột người bị u ng th ư họng với điêu kiện người ấy không nghiện thuốc lá

Kí hiệu A là biến cố : "Người đó nghiện thuốc lá" c là biến

Theo giả thiết P(AC) = 0,15

167-Như vậy p(C/A) lớn hơn hai lần p(C/A) Diều đó cd nghĩa

lấ một người nghiện thuốc lá sẽ cđ nguy cơ bị u ng th ư họng lớn gấp hai lần một người không nghiện thuốc lá

Thí dụ 17

Gieo đổng thời hai con xúc xắc cân đối Tính xác s u ấ t để

ít n h ất một con đã ra nốt 5

Giải : Gọi A là biến cố : "ít n h ấ t một con đã ra n ố t 5", B

là biến cố : "Tổng số nốt trê n hai con không nhỏ hơn 10" Ta

cần tính p (BỊA) Áp dụng công thức ta có

P(AB)

P(S/A) = T (Ã )

ta có không gian m ẫu gổm 36 kết quà đổng khả n ă n g trong

Vậy P(AB) = — , thành thử p (BIA) = 36 : 36 = y ?

b) Quy tá c n h â n tổ n g q u á t

Với A và 5 là hai biến cố bất kì ta có :

p (AB) = P(A).P(B/A)

bỏ ra) Tìm xác s u ấ t để anh ta mở được cửa ở lẩn thử thứ ba.

Giải : Kí hiệu A là biến cố : "Mở được cửa ở lán thử thứ

Hai em học sinh A và B chơi một trò chơi như sau : Mỗi

4 bi đen

Bi được rú t ra không trả lại vào hộp Người nào rú t được

bi trắ n g trước thỉ th á n g cuộc Tính xác su ất th ắ n g cuộc của người rú t trước

Giải : Giả sử A là người rú t trước Gọi A là biến cố : ”A rút được bi trắng", B là biến cố : "B rú t được bi trắng" Sự

kiện H : "A là người th ắ n g cuộc” là hợp

i ^ j-) và hợp của ch ú n g là biến cố chắc chán

Q = J51 u B 2 u Bn.

đ ủ Công thức này cđ r ấ t nhiều ứng dụng khi giải toán.

Đ ịn h lỉ : Nếu Bị, Bn là m ột hệ dầy đủ thì vói m ỗi biến

Trong m ột nhà máy có ba phân xưởng A, B, c tương ứng

làm ra 25%, 35% và 40% tổng số sản phẩm của nhà máy Biết

rằ n g xác s u ấ t làm ra một sản phẩm hỏng của phân xưởng A

là 0,01, củ a phân xưởng B là 0,02 và của phân xưởng c là0,025 Chọn ngẫu nhiên một sản phẩm của nhà máy T ính xác

s u ấ t để đổ là một sản phẩm hỏng

Giải : Kí hiệu A, B, c, H là các biến có sau

Có hai chuổng thỏ Chuồng thứ n h ấ t cổ 3 thỏ trắ n g và 3

n h iê n 4 con thỏ ở chuổng thứ n h ấ t bỏ vào chuổng thứ hai rồi

s a u đó b ắ t ngẫu nhiên một con thỏ ở chuồng thứ hai ra Tính

x ác su ất để bắt được thỏ nâu từ chuồng thứ hai

Giải : Kí hiệu Bị là biến cố : "Trong 4 thỏ b á t ra từ chuổng

Ị

5

công thức xác su ất đầy đủ ta được

3Thay các giá trị này vào ta được P(A) = —

xác su ất đầy đủ là công thức sau

đầy đủ các biến cố và A là m ột biến cố vói P(A) > 0 thì vói

p (B JA ) =

P(Bk) P(A/Bk)

2 P(B,.) p (ẠỊBi) Chứng m in h

ì = 1

Theo quy tắc n h ân P(A)P(Bk/A) = P(ABk) P(B k)P.(Â/B*) = P(ABk)

Vậy P(A )P(Bk/A) = P(B k)P(A/Bk)

xác suất tiên nghiệm (trước thí nghiệm) Sau khi quan s á t được

rằ n g biến cố A đã xảy ra, các xác s u ấ t của B được tính trê n thông tin này (tức là các xác su ấ t có điểu kiện p (B^A),

P ( £ n/A)) được gọi là các xác suất hậu nghiệm Vì th ế công thức Bayet còn cố tên gọi là công thức xác suất hậu nghiệm Công

thức Bayet cố r ấ t nhiểu ứng dụng, đặc biệt trong các nghiên cứu về y học, xã hội học

Thí dụ 22

Một phiên tòa đang xem xét khả n ă n g xảy ra của một sự

kiện T r ấ t hiếm khi gặp Thống kê cho thấy P(T) = 10 3 H ai nhân chứ ng A và B được mời đến phiên tòa Tòa cũng biết

được độ tin cậy của nhữ ng lời khai của A và B : Họ đểu nổi đúng với xác su ấ t 0,9 Giả sủ rằ n g cả A và B độc lập với nhau đểu tuyên bố rằ n g T xảy ra Khi đđ tòa cần đánh giá xác su ấ t

xảy ra của T là bao nhiêu ?

Giải : Ta cấn tìm P(T/AB) ở đổ A, B là các biến cố : A, B tuyên bố rằ n g T xảy ra.

Theo công thức Bayet

P(77A5) = IỠ8Õ - ° ’075

Như vậy sau lời khai của A và B xác su ấ t để T xảy ra đã

được tă n g lên 7,5 lần !

T h í dụ 23

Một người ốm bị nghi là mác một tro n g hai bệnh A và B Thống kê tình hình mắc bệnh tro n g nhiều năm cho thãy xác

su ất m ắc bệnh A cao gấp đôi xác su ấ t mắc bệnh B Bệnh viện

thực hiện hai xét nghiệm y học Tj và T 2 một cách độc lập cho

bệnh nhân Biết rằng nếu cổ bệnh A thì xét nghiệm Tj cho

dương tính với xác su ất 0,9, còn xét nghiệm T2 cho dương tính

với xác su ất 0,75 Trong trư ờng hợp, có bệnh B xét nghiệm T J

cho dương tính với xác suất 0,05 và xét nghiệm T 2 cho dương

Giả sử cả hai xét nghiệm Tị vạ T 2 đều dương tính Tính

xác su ất mắc bệnh A của người bệnh

Thí dụ 24

(Bài toán người đánh bạc phá sản) Một thanh niên mong

ước m ua được chiếc xe với giá n đôla Trong túi anh ta hiện

đã có k đôla (0 < k < n) Anh ta quyết định kiếm n - k đôla

còn lại b ằn g cách đ án h bạc, chơi trò chơi sấp ngửa, ơ mỗi ván chơi, m ột đồng xu được tu n g lên Nếu đóng xu sấp anh ta sẽ

ta quyết định chơi cho tới khi nào hoặc kiếm* đủ n đôla hoặc

m ấ t sạch k đôla (bị phá sản) Tìm xác s u ấ t để anh ta bị phá sản Giải : Gọi A là biến cố : "Anh ta ’ bị phá sản" p k = P(A) là xác su ấ t phá sản nếu lúc bát đáu chơi an h ta có k đôla Gọi

B là biến cố : "Đổng tiền ra m ặt sấ p ” Theo công thức xác su ấ t

đẩy đủ ta có

P(A) = P(B)P(A/B) + p (ẽ) p iẠỈB) Giả sử p (B) = p, p (B) = q = 1 - p Nếu B xảy ra thì anh

t a có (k + 1) đôla do đổ p (A/B) = p k+1 Nếu B xảy ra thĩ anh

ta m ất 1 đôla do đổ P(A/5) = p k_Ị- Vậy ta cđ

Dãy (pk) là m ộ t dãy truy hổi cấp 2 Xét hai trường hợp

c) Có ít n h ấ t hai nữ.

của mỗi người là như nhau

a) Tính xác su ấ t để cả hai người được chọn là nữ

a) Trong ủ y ban có ít n h ất một đại biểu của Thủ đô ;

b) Mỗi tinh đểu có đúng 1 đại biểu trong ủ y ban.

Xác su ất để mỗi ngày xảy ra đúng một tai nạn là bao nhiêu ?

7 Một đoàn tàu có 4 toa đỗ ở m ột sân ga Có 4 hành khách

từ sân ga lên tầu, mỗi người độc lập với nhau chọn ngẫu nhiên một toa Tính xác su ấ t để 1 toa cđ 3 người, 1 toa có 1 người còn hai toa còn lại không có ai lên

khác nhau Máy bay sẽ rơi khi cđ hoặc một viên đạn trú n g vào

A, hoặc hai viên đạn trú n g B, hoặc 3 viên trú n g c Giả sử các

bộ phận A, B và c lấn lượt chiếm 15%, 30% và 55% diện tích máy bay Tìm xác su ấ t để máy bay rơi nếu :

9 Trong một th à n h phố nào đổ 65% dân cư thích xem đá bong Chọn ngẫu nhiên 12 người, hãy tính xác su ất để trong

đđ cd đ úng 5 người thích xem đá bóng

10 Một sọt cam r ấ t lớn được phân loại theo cách sau : Chọn

cho một hoặc hai quả hỏng thỉ sọt cam xếp ioại 2 • Trong trường hợp còn lại (có từ 3 quả hỏng trở lên) sọt cam được xếp loại 3.Trên thực tế 3% số cam tro n g sọt bị hỏng Tỉm xác su ất để sọt cam được xếp loại

Một học sinh kém làm bài bằng cách chọn hú họa m ột câu

tr ả lời Tìm xác su ấ t để

b) Anh ta được điểm âm.

12 Gieo ba con xúc xác cân đối một cách độc lập Tính xác suát để :

con là khác nhau

13 Một gia đình cổ hai đứa con Tỉm xác su ất để cả hai

đểu là con tra i nếu biết rằn g ít n h ấ t tro n g hai đứa có một đứa

là trai

14 Một cặp trẻ sinh đôi có th ể do cùng m ột trứ n g (sinh đôi

th ậ t) hay do hai trứ n g khác nhau sinh ra (sinh đồi giả) Các cặp sinh đôi t h ậ t luôn cd cùng giới tính Cặp sinh đôi già thì giới t í n h của mỗi đứa độc lập với nhau và có xác su ất 0,5 là con trai

T hống kê cho thấy 34% cặp sinh đôi đểu là trai, 30% cặp Vsinh đôi đều là gái và 36% cặp sinh đôi cố giới tính khác nhau.a) Tìm tỉ lệ cặp sinh đôi thật

b) Tìm tỉ lệ cặp sinh đôi th ậ t tro n g tổ n g só cặp sinh đôi cùng giới tính

15 Có hai chuồng thỏ Chuồng thứ n h ấ t cđ 5 con thỏ đen

và 10 con thò trắng Chuổng thứ hai có 3 thỏ trắ n g và 7 thỏ đen Từ chuồng thứ hai ta bắt ngẫu nhiên một con thỏ cho vào

thứ n h ấ t ra thì được một chú thỏ trắng Tính xác su ấ t để : con thỏ tr ắ n g này là của chuồng thứ nhất

16 M ột chuồng gà có 9 con mái và 1 con trống Chuồng gà kia có 1 con mái và 5 con trổng Từ mỗi chuồng ta b ắt ngẫu nhiên ra m ột con đem bán Các con gà còn lại được dồn vào một chuồng thứ ba Nếu ta lại b ắt ngẫu nhiên một con gà nữa

từ chuồng này ra thì xác su ất bắt được con gà trố n g là bao nhiêu ?

17 Một chiếc máy bay có th ể xu ất hiện ở vị trí A với xác

suất — và ở vị trí B với xác su ấ t — Cổ ba phương án bố trí

4 khẩu pháo bắn máy bay như sau :

Phương án 1 : 3 khẩu đ ặ t tại A, m ột khẩu đ ặ t tại B.

Phương án 2 : 2 khẩu đ ặ t ở A, 2 khẩu đ ặt ở B.

Biết rằ n g xác s u ấ t bắn trú n g máy bay của mỗi khẩu pháo

là 0,7 và các k h ẩu pháo hoạt động độc lập với nhau, hãy chọn phương á n tốt n h ất

18 Một n h à m áy sàn xuất bống đèn cố tỉ lệ bóng đèn đ ạttiêu chuẩn là 80% Trước khi xuất ra thị trường, mỗi bóng đèn đểu được q u a kiểm t r a chất lượng Vì sự kiểm tra không th ể tuyệt đối hoàn hảo nên một bóng đèn tốt cố xác su ất 0,9 được

công n h ậ n là tố t và một bổng đèn hỏng có xác suất 0,95 bị

loại bò Hãy tín h tỉ lệ bđng đạt tiêu chuẩn Sâii_jthi_qua khâu

kiểm t r a c h ấ t lượng •

19 Có- 4 nhổm xạ thủ tập bắn Nhổm thứ n h ất cđ 5 người,

thứ tư cđ 2 người Xác su ấ t bắn trú n g đích của mỗi người tro n gnhóm thứ n h ất, nhổm thứ hai, nhóm thứ ba và nhdm th ứ tư theo thứ tự là 0,8 ; 0,7 ; 0,6 và 0,5 Chọn ngẫu nhiên m ột xạ

th ủ yà xa th ủ n ày bắn trượt Hãy xác định xem xạ thủ này cđ khả năng ở tro n g nhđm nào nhất

20 Trong số bệnh nhân ở m ột bệnh viện cđ 50% điều trị bệnh A, 30% điểu trị bệnh B và 20% điều trị bệnh c Xác su ấ t

ứng là 0,7, 0,8 và 0,9 Hãy tính tỉ lệ bệnh nhân được chữa khỏi bệnh A tro n g tổ n g số bệnh n h ân đã được chữa khỏi bệnh

2 14 3

d) Xác s u ấ t đê Hoa đươc chon là —

15Xác s u ấ t để H oa được chọn nếu biết rằn g cổ 1 nữ được

5chọn là :