Lý thuyết xác suất và thống kê toán

Chương 4: BIẾN NGẪU NHIÊN HAI CHIỀU KHÁI NIỆM BẢNG PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN HAI CHIỀU RỜI RẠC CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN HAI CHIỀU RỜI RẠC KHÁI NIỆM Định nghĩa Hai biến ngẫu nhiên một chiều được xét một cách đồng thời tạo nên biến ngẫu nhiên 2 chiều, kí hiệu (X, Y) Ví dụ Thu nhập và tiêu dùng; Chiều dài và chiều rộng của một sản phẩm. Định nghĩa Biến ngẫu nhiên 2 chiều được gọi là rời rạc nếu mỗi thành phần của nó là một biến ngẫu nhiên một chiều rời rạc. KHÁI NIỆM Định nghĩa Hai biến ngẫu nhiên một chiều được xét một cách đồng thời tạo nên biến ngẫu nhiên 2 chiều, kí hiệu (X, Y) Ví dụ Thu nhập và tiêu dùng; Chiều dài và chiều rộng của một sản phẩm. Định nghĩa Biến ngẫu nhiên 2 chiều được gọi là rời rạc nếu mỗi thành phần của nó là một biến ngẫu nhiên một chiều rời rạc. KHÁI NIỆM Định nghĩa Hai biến ngẫu nhiên một chiều được xét một cách đồng thời tạo nên biến ngẫu nhiên 2 chiều, kí hiệu (X, Y) Ví dụ Thu nhập và tiêu dùng; Chiều dài và chiều rộng của một sản phẩm. Định nghĩa Biến ngẫu nhiên 2 chiều được gọi là rời rạc nếu mỗi thành phần của nó là một biến ngẫu nhiên một chiều rời rạc. KHÁI NIỆM Định nghĩa Hai biến ngẫu nhiên một chiều được xét một cách đồng thời tạo nên biến ngẫu nhiên 2 chiều, kí hiệu (X, Y) Ví dụ Thu nhập và tiêu dùng; Chiều dài và chiều rộng của một sản phẩm. Định nghĩa Biến ngẫu nhiên 2 chiều được gọi là rời rạc nếu mỗi thành phần của nó là một biến ngẫu nhiên một chiều rời rạc. BẢNG PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN HAI CHIỀU RỜI RẠC Bảng phân phối xác suất đồng thời Bảng phân phối xác suất biên Bảng phân phối xác suất có điều kiện Bảng phân phối xác suất đồng thời Là một hình chữ nhật, liệt kê các giá trị có thể có của X, Y và các xác suất tương ứng. y 1 y 2 y m p(x i ) x 1 p(x 1 , y 1 ) p(x 1 , y 2 ) p(x 1 , y m ) p(x 1 ) x 2 x n p(x n , y 1 ) p(x n , y 2 ) p(x n , y m ) p(x n ) p(y i ) p(y 1 ) p(y 2 ) p(y m ) 1 Trong đó p(x i , y j ) = P(X = x i ; Y = y j ) ≥ 0, ∀ i, j, và  n i=1  m j=1 p(x i , y j ) = 1 Ý nghĩa. Bảng phân xác suất đồng thời phản ánh phân phối xác suất theo cả 2 thành phần của biến ngẫu nhiên 2 chiều. Bảng phân phối xác suất đồng thời Là một hình chữ nhật, liệt kê các giá trị có thể có của X, Y và các xác suất tương ứng. y 1 y 2 y m p(x i ) x 1 p(x 1 , y 1 ) p(x 1 , y 2 ) p(x 1 , y m ) p(x 1 ) x 2 x n p(x n , y 1 ) p(x n , y 2 ) p(x n , y m ) p(x n ) p(y i ) p(y 1 ) p(y 2 ) p(y m ) 1 Trong đó p(x i , y j ) = P(X = x i ; Y = y j ) ≥ 0, ∀ i, j, và  n i=1  m j=1 p(x i , y j ) = 1 Ý nghĩa. Bảng phân xác suất đồng thời phản ánh phân phối xác suất theo cả 2 thành phần của biến ngẫu nhiên 2 chiều. Bảng phân phối xác suất biên Bảng phân phối xác suất biên của thành phần thứ nhất X: X x 1 x 2 x n P x p(x 1 ) p(x 2 ) p(x n ) trong đó p(x i ) =  m j=1 p(x i , y j ), ∀i được gọi là xác suất biên của thành phần X và  n i=1 p(x i ) = 1 Bảng phân phối xác suất biên của thành phần thứ hai Y: Y y 1 y 2 y m P y p(y 1 ) p(y 2 ) p(y m ) trong đó p(y j ) =  n i=1 p(x i , y j ) được gọi là xác suất biên của thành phần Y và  m j=1 p(y j ) = 1 Bảng phân phối xác suất biên Bảng phân phối xác suất biên của thành phần thứ nhất X: X x 1 x 2 x n P x p(x 1 ) p(x 2 ) p(x n ) trong đó p(x i ) =  m j=1 p(x i , y j ), ∀i được gọi là xác suất biên của thành phần X và  n i=1 p(x i ) = 1 Bảng phân phối xác suất biên của thành phần thứ hai Y: Y y 1 y 2 y m P y p(y 1 ) p(y 2 ) p(y m ) trong đó p(y j ) =  n i=1 p(x i , y j ) được gọi là xác suất biên của thành phần Y và  m j=1 p(y j ) = 1 [...]... phối xác suất biên Ý nghĩa Bảng phân phối xác suất biên Ý nghĩa Các phân phối xác suất biên phản ánh phân phối xác suất của từng thành phần của biến ngẫu nhiên 2 chiều Bảng phân phối xác suất biên Ý nghĩa Các phân phối xác suất biên phản ánh phân phối xác suất của từng thành phần của biến ngẫu nhiên 2 chiều Chú ý Bảng phân phối xác suất biên Ý nghĩa Các phân phối xác suất biên phản ánh phân phối xác. .. phân phối xác suất biên Bảng phân phối xác suất biên của thành phần thứ nhất X: X Px x1 p(x1 ) x2 p(x2 ) xn p(xn ) trong đó p(xi ) = m p(xi , yj ), ∀i được gọi là xác suất biên j=1 của thành phần X và n p(xi ) = 1 i=1 Bảng phân phối xác suất biên của thành phần thứ hai Y: Y Py trong đó p(yj ) = thành phần Y và y1 p(y1 ) y2 p(y2 ) n i=1 p(xi , yj ) m j=1 p(yj ) = ym p(ym ) được gọi là xác suất biên... Ví dụ Có 2 hộp bi Hộp 1 có 6 bi trắng và 4 bi đỏ, hộp 2 có 5 bi trắng và 5 bi đỏ Lấy ngẫu nhiên 2 viên bi từ hộp 1 bỏ sang hộp 2, rồi từ hộp 2 lấy ra một viên bi Gọi X là số bi đỏ được lấy ra từ hộp 1, Y là số bi đỏ được lấy ra từ hộp 2 a)Lập bảng phân phối xác suất đồng thời của X và Y b) Lập bảng phân phối xác suất biên của X và Y c) Lập bảng phân phối xác suất của số bi đỏ được lấy ra từ hộp 1... suất biên phản ánh phân phối xác suất của từng thành phần của biến ngẫu nhiên 2 chiều Chú ý Cần và đủ để X và Y độc lập là p(xi , yi ) = p(xi ) p(yi ), ∀i, j Bảng phân phối xác suất có điều kiện Bảng phân phối xác suất có điều kiện X /Y = yj x1 p(x1 /yj ) p(xi /yj ) = x2 p(x2 /yj ) p(xi , yj ) , ∀i,j ; p(yj ) xn p(xn /yj ) n p(xi /yj ) = 1 i=1 Bảng phân phối xác suất có điều kiện X /Y = yj x1 p(x1... Bảng phân phối xác suất biên của X và Y 0 1 2 180 540 288 540 72 540 X Y 0 1 279 540 261 540 CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN HAI CHIỀU RỜI RẠC CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN HAI CHIỀU RỜI RẠC Kì vọng toán Phương sai Kì vọng toán có điều kiện Hàm hồi quy Hiệp phương sai Hệ số tương quan Kì vọng toán Kì vọng toán n E (X ) = m xi p(xi ); E (Y ) = i=1 yj p(yj ) j =1 Kì vọng toán n E (X... Bảng phân phối xác suất có điều kiện X /Y = yj x1 p(x1 /yj ) p(xi /yj ) = Y /X = xi p(xi , yj ) , ∀i,j ; p(yj ) y1 p(y1 /xi ) p(yj /xi ) = x2 p(x2 /yj ) xn p(xn /yj ) n p(xi /yj ) = 1 i=1 y2 p(y2 /xi ) p(xi , yj ) , ∀i,j ; p(xi ) ym p(ym /xi ) m p(yj /xi ) = 1 j=1 Ý nghĩa Các phân phối xác suất có điều kiện phản ánh phân phối xác suất của một thành phần tương ứng với mỗi giá trị xác định của thành... Ý nghĩa Các kì vọng toán phản ánh giá trị trung bình của mỗi thành phần của biến ngẫu nhiên hai chiều Phương sai Phương sai n xi2 p(xi ) − (E (X ))2 → σX = V (X ) yj2 p(yj ) − (E (Y ))2 → σY = V (X ) = V (Y ) i=1 m V (Y ) = j=1 Kì vọng toán có điều kiện Kì vọng toán có điều kiện E(X/Y = yj ) = n xi p(xi /yj ), j = 1, m , là kỳ vọng i=1 toán có điều kiện của X khi Y = yi Kì vọng toán có điều kiện E(X/Y... dụ Các giá trị có thể của X = {0;1;2} và Y = {0; 1} Ta có P(X = 0, Y = 0) = P(X = 0).P(Y = 0/X = 0) = 2 C6 7 105 · = 2 12 540 C10 P(X = 0, Y = 1) = P(X = 0).P(Y = 1/X = 0) = 2 75 C6 5 = · 2 12 540 C10 Tương tự P(X = 1, Y = 0) = P(X = 2, Y = 0) = 144 144 ; P(X = 1, Y = 1) = 540 540 30 42 ; P(X = 2, Y = 1) = 540 540 Ví dụ a) Bảng phân phối xác suất của đồng thời X và Y: 0 0 1 2 1 105 540 144 540 30 540... E(X/Y = yj ) = n xi p(xi /yj ), j = 1, m , là kỳ vọng i=1 toán có điều kiện của X khi Y = yi E(Y/X = xi ) = m yj p(yj /xi ), i = 1, n, là kỳ vọng toán j=1 có điều kiện của Y khi X = xi Hàm hồi quy Hàm hồi quy Định nghĩa f (yj ) = E (X /Y = yj ), j = 1, , m f (xi ) = E (Y /X = xi ), i = 1, , n được gọi là các hàm hồi quy của X đối với Y và của Y đối với X Hàm hồi quy Định nghĩa f (yj ) = E (X... = yj ), j = 1, , m f (xi ) = E (Y /X = xi ), i = 1, , n được gọi là các hàm hồi quy của X đối với Y và của Y đối với X Ý nghĩa Các hàm hồi quy phản ánh sự phụ thuộc của giá trị trung bình của một thành phần vào sự thay đổi của thành phần kia Đó là hai mặt của sự phụ thuộc tương quan giữa X và Y  . rạc. BẢNG PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN HAI CHIỀU RỜI RẠC Bảng phân phối xác suất đồng thời Bảng phân phối xác suất biên Bảng phân phối xác suất có điều kiện Bảng phân phối xác suất đồng thời Là. =  n i=1 p(x i , y j ) được gọi là xác suất biên của thành phần Y và  m j=1 p(y j ) = 1 Bảng phân phối xác suất biên Ý nghĩa. Các phân phối xác suất biên phản ánh phân phối xác suất của từng thành phần. chiều. Chú ý. Cần và đủ để X và Y độc lập là p(x i , y i ) = p(x i ) p(y i ), ∀i, j Bảng phân phối xác suất biên Ý nghĩa. Các phân phối xác suất biên phản ánh phân phối xác suất của từng thành