Tài liệu đào tạo giáo viên sư phạm môn lý thuyết xác suất và thống kê toán - Vũ Viết Yên - 5 pot

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com NHẬP MƠN LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN Y P 0,424 0,161 0,134 0,111 0,093 0,077 Dùng kí hiệu biến ngẫu nhiên Y để biểu diễn biến cố sau: - Có hai khách đợi; - Có khách đợi Tính xác suất sau: a) P(Y = 2) b) P(Y ≥ 1) c) P(4 ≤ Y ≤ 4) d) P(2 < Y < 4) THÔNG TIN PHẢN HỒI Ta ln có đẳng thức: a) P(X ≥ C ) = – P(X < C), với C; b) P(a < X < b) = – ( P(X ≤ a) + P(X ≥ b)) = FX(b) – FX(a + 0), với a < b tuỳ ý 53 Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com NHẬP MƠN LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN TIỂU CHỦ ĐỀ 2.4 BIẾN NGẪU NHIÊN NHỊ THỨC A THÔNG TIN CƠ BẢN a) Một phép thử có hai kết đối lập nhau: kết gọi biến cố “thành cơng”, kí hiệu T kết thứ hai gọi biến cố “thất bại”, kí hiệu B Xác suất p = P(T) gọi xác suất thành công xác suất q = P(B) = − p gọi xác suất thất bại b) Một phép thử Bécnuli lặp lại n lần độc lập với điều kiện Khi số lần Sn xuất thành cơng n phép thử gọi biến ngẫu nhiên nhị thức với tham số (n, p) Khi Sn nhận n + giá trị 0, 1, 2, , n P(Sn = k) = C k pkqn–k, k = 0, 1, 2, , n n Phân phối xác suất Sn gọi phân phối nhị thức với tham số (n; p) B HOẠT ĐỘNG HOẠT ĐỘNG 4.1 TÌM HIỂU KHÁI NIỆM BIẾN NGẪU NHIÊN NHỊ THỨC NHIỆM VỤ: - Sinh viên tự đọc - Giáo viên hướng dẫn sinh viên đọc thông tin để thực cỏc nhiệm vụ sau: Xác định phân phối X số lần xuất mặt S hai lần gieo đồng tiền cân đối đồng chất NHIỆM VỤ Hai lần gieo đồng tiền có phải hai phép thử Bécnuli khơng? Xác định p, q, n NHIỆM VỤ 2: Sử dụng thông tin bản, tính P(X = k), với k = 0, 1, 54 Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com NHẬP MƠN LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN ĐÁNH GIÁ 4.1 Từ hộp chứa cầu trắng cầu đen, lấy ngẫu nhiên sau xem màu hoàn trả lại hộp lấy cách ngẫu nhiên Quá trình tiếp tục Hỏi: a) Mỗi lần lấy có phải phép thử Bécnuli khơng? Nếu kí hiệu T biến cố “quả lấy màu trắng” xác suất P(T) bao nhiêu? b) Kí hiệu X số trắng lấy sau 10 lần lấy Chứng tỏ X có phân phối nhị thức với tham số (10; ) Tính P(X = 4), P(X = 10) P(X ≥ 1) 4.2 Một xúc xắc cân đối đồng chất gieo lần ý đến xuất mặt chấm a) Có thể coi lần gieo phép thử Bécnuli hay khơng? b) Kí hiệu X số lần xuất mặt chấm X có phân phối gì? Tại sao? 4.3 Mười xạ thủ độc lập với bắn vào bia (mỗi người bắn viên) với xác suất bắn trúng đích 0,4 a) Lập bảng phân phối xác suất biến ngẫu nhiên X số viên trúng đích b) Tính P(X ≥ 1) 4.4 Năm hạt đậu gieo xuống đất canh tác với xác suất nảy mầm hạt 0,90 Kí hiệu X số hạt nảy mầm a) X biến ngẫu nhiên gì? b) Lập bảng phân phối xác suất X THÔNG TIN PHẢN HỒI số lần xuất mặt S n lần gieo biến ngẫu nhiên phân phối nhị thức với tham số (n; ) a) Một đồng tiền cân đối đồng chất gieo n lần phép thử Bécnuli với p = q = b) Mỗi lần lấy cầu có hoàn lại phép thử Bécnuli, 10 lần lấy 10 phép thử Bécnuli Như 2 P(X = 4) = C 10 ( )4 ( )6 P(X ≥ 1) = – P(X = 0) = – ( )10 5 55 Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com NHẬP MƠN LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN TIỂU CHỦ ĐỀ 2.5 BIẾN NGẪU NHIÊN LIÊN TỤC A THÔNG TIN CƠ BẢN Biến ngẫu nhiên liên tục biến ngẫu nhiên có tập giá trị khoảng (a; b) P(X = x) = 0, với x Như phân phối X cho bảng phân phối, mà phải cho hàm mật độ Ta nói hàm số f(x) xác định tập số thực R hàm mật độ biến ngẫu nhiên X, x FX (x) − FX (a) = ∫ f (t)dt , x > a a Từ đó, cho a dần tới −∞ ta có: x FX (x) = ∫ f (t)dt , với số thực x (1) −∞ Ngược lại, từ (1) ta có f(x) = F’X (x) Vì hàm mật độ hoàn toàn xác định hàm phân phối nên thực tiễn người ta thường cho phân phối liên tục cách cho hàm mật độ Về mặt hình học, giả sử f(x) hàm mật độ biến ngẫu nhiên X Khi FX(a) diện tích hình thang cong giới hạn đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành đường thẳng có phương trình x = a song song với trục tung B HOẠT ÐỘNG HOẠT ÐỘNG 5.1 THỰC HÀNH TÍNH TỐN VỚI BIẾN NGẪU NHIÊN LIÊN TỤC NHIỆM VỤ Sinh viên tự đọc thơng tin sau thảo luận theo nhóm 2, người để thực nhiệm vụ sau: Cho biến ngẫu nhiên X với hàm mật độ: ⎧2x, f(x) = ⎨ ⎩0, < x < 1; c x < h x > Hãy tính xác suất dạng P(a < X < b) lập hàm phân phối 56 Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com NHẬP MƠN LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN NHIỆM VỤ 1: Tính xác suất sau a) P( 0; F(x) = ⎨ ví i x ≤ 0, ⎩0, λ số dương a) Xác định hàm mật độ X b) Tính P(−1 < X < 2) THƠNG TIN PHẢN HỒI a) Đối với hoạt động 5.1: P( < X < ) = ∫ 2xdx = x = 3/ | 1/ 2 P(− 1 < X < ) = ∫ 0.dx + ∫ x dx 2 58 ( )2 − ( )2 = 16 Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com NHẬP MƠN LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN ⎧0, x ≤ 0; ⎪ F(x) = ⎨ x , < x nên X−a σ có phân phối chuẩn tắc N(0, 1) 59 Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com NHẬP MƠN LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN TIỂU CHỦ ĐỀ 2.6 PHÂN PHỐI TIỆM CẬN CHUẨN A THÔNG TIN CƠ BẢN a) Giả sử Sn biến ngẫu nhiên có phân phối nhị thức với tham số (n; p), Moivre – Laplace chứng minh rằng: x t ⎛ Sn − np ⎞ − < x ⎟ = Φ (x) = lim P ⎜ ∫ e dt, với x∈ R ⎟ n →∞ ⎜ npq 2π −∞ ⎝ ⎠ lim P(Sn = k) − n →∞ ⎛ k − np ⎞ ψ⎜ ⎟ =0 npq ⎜ npq ⎟ ⎝ ⎠ Điều có nghĩa với n lớn biến ngẫu nhiên (1) (2) Sn − np có hàm phân phối xấp xỉ hàm npq phân phối chuẩn tắc Do với n lớn: ⎛ ⎞ S − np ≤ b ⎟ ≈ Φ (b) − Φ (a), a < b P⎜a ≤ n ⎜ ⎟ npq ⎝ ⎠ (3) b) Ta nói biến ngẫu nhiên X1, X2, , Xn độc lập với n số thực C1, C2, , Cn bất kì, biến cố (X1 < C1 ), (X2 < C2 ), , (Xn < Cn) độc lập Định lí giới hạn trung tâm khẳng định X1, X2, , Xn biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối với kì vọng chung a, phương sai chung σ > , với X + X + + X n X = ta có: n ⎛ X−a ⎞ lim P ⎜ n < x ⎟ = Φ (x) với x ∈ R n →∞ ⎝ σ ⎠ Do n lớn: ⎛ ⎞ X−a P⎜b < n < c ⎟ ≈ Φ (c) − Φ (b), b < c σ ⎝ ⎠ 60 Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com NHẬP MƠN LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN B HOẠT ĐỘNG HOẠT ĐỘNG 6.1 THỰC HÀNH VẬN DỤNG ĐỊNH LÍ GIỚI HẠN TRUNG TÂM NHIỆM VỤ Dưới hướng dẫn giáo viên, sinh viên đọc, thảo luận cặp đôi nội dung thông tin để thực nhiệm vụ sau: Biết xác suất để người 70 tuổi tiếp tục sống đến 75 tuổi 0,8 Chọn 500 người 70 tuổi cách ngẫu nhiên Xác định xác suất sau: a) Có 390 người sống đến 75 tuổi b) Có khoảng từ 375 đến 425 người sống đến 75 tuổi NHIỆM VỤ 1: Kí hiệu S số người 500 người 70 tuổi sống đến 75 tuổi Biết S có phân phối nhị thức Xác định tham số (n; p) phân phối NHIỆM VỤ 2: Dựa vào công thức xác suất nhị thức: P(S = k) = Ck p k q n − k , q = − p n để viết cơng thức tính P(S = 390) NHIỆM VỤ 3: Sử dụng cơng thức (2) để tính gần P(S = 390) NHIỆM VỤ 4: Từ công thức: ⎛ k − np S − np l − np ⎞ < < P(k < S < l) = P ⎜ ⎟ ⎜ npq npq npq ⎟ ⎝ ⎠ công thức (3) để tính gần P(375 < S < 425) ĐÁNH GIÁ a) Kí hiệu n số lần thành công n phép thử Bécnuli với xác suất thành công p đặt p = Sn / n Chứng tỏ rằng: Sn − np p − p n = npq pq 61 Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com NHẬP MƠN LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN Với n lớn, ta coi p−p npq n có phân phối chuẩn tắc N(0; 1) khơng? Vì sao? THƠNG TIN PHẢN HỒI Đối với hoạt động 6.1, n = 500, p = 0,80 390 + P(S = 390) = C500 0,80390 0, 2110 + P(S = 390) ≈ ⎛ 390 − 400 ⎞ ψ (−1,12) ψ⎜ ≈ 0, 0238 ⎟= 8,94 500.0,80.0, 20 ⎜ 500.0,80.0, 20 ⎟ ⎝ ⎠ + P(375 < S < 425) ≈ Φ (2,8) − Φ (−2,8) ≈ 0,995 62 Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com NHẬP MƠN LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN TIỂU CHỦ ĐỀ 2.7 KÌ VỌNG VÀ PHƯƠNG SAI THƠNG TIN CƠ BẢN Kì vọng biến ngẫu nhiên số đặc trưng cho giá trị trung bình biến ngẫu nhiên Phương sai biến ngẫu nhiên số đặc trưng cho mức độ phân tán giá trị biến ngẫu nhiên so với kì vọng a) Giả sử X biến ngẫu nhiên rời rạc với bảng phân phối: X x1 x2 xk P p1 p2 pk Kì vọng biến ngẫu nhiên X, kí hiệu E(X), số xác định công thức: E(X) = x1 p1 + x2 p2 + + xk pk + = ∑x p k ≥1 k (2) k Đối với biến ngẫu nhiên liên tục với hàm mật độ f(x) thì: ∞ E(X) = ∫ xf (x)dx (3) −∞ Ta dễ dàng chứng minh tính chất sau kì vọng: (i) Nếu X = a E(X) = a; (ii) E(aX + b) = aE(X) + b, X biến ngẫu nhiên, a b số tùy ý b) Phương sai biến ngẫu nhiên X, kí hiệu V(X), số đặc trưng xác định công thức: V(X) = E[(X − E(X))2] = E(X2) – (E(X))2 Nếu X biến ngẫu nhiên rời rạc với bảng phân phối (1) V(X) = ∑ (x k ≥1 k (4) − a) p k (5) Với a = E(X) Theo công thức (3) ta có: ⎛ ⎞ V(X) = ∑ x p k − ⎜ ∑ x k p k ⎟ k ≥1 ⎝ k ≥1 ⎠ k (6) Nếu X có hàm mật độ f(x) thì: ⎛∞ ⎞ V(X)= ∫ (x − a) f (x)dx = ∫ x f (x)dx − ⎜ ∫ xf (x)dx ⎟ −∞ −∞ ⎝ −∞ ⎠ ∞ ∞ 2 B HOẠT ĐỘNG 63 Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com NHẬP MƠN LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN HOẠT ĐỘNG 7.1 THỰC HÀNH TÍNH KÌ VỌNG VÀ PHƯƠNG SAI CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN RỜI RẠC NHIỆM VỤ Sinh viên tự đọc thông tin để thực nhiệm vụ sau: Chọn ngẫu nhiên bạn từ nhóm gồm bạn nam bạn nữ Kí hiệu X số bạn nam chọn từ nhóm ba bạn chọn.Tớnh kỡ vọng, phương sai X NHIỆM VỤ 1: Kiểm tra lại X nhận giá trị 0, 1, 2, P(X = k) = C k C3− k , với k = 0, 1, 2, Từ C3 lập bảng phân phối X NHIỆM VỤ 2: Tính E(X) NHIỆM VỤ 3: Chứng tỏ P(X2 = k2 ) = P( X = k ), k = 0, 1, 2, Từ lập bảng phân phối X2 tính E(X2) NHIỆM VỤ 4: Tính V(X) HOẠT ĐỘNG 7.2 THỰC HÀNH TÍNH KÌ VỌNG VÀ PHƯƠNG SAI CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN LIÊN TỤC NHIỆM VỤ − Dưới hướng dẫn giáo viên, sinh viên thực nhiệm vụ sau Biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ: ⎧ x, f(x) = ⎨ ⎩0, < x