Bài tập toán cao cấp tập 1 đại số và hình học giải tích

NGUYỄN ĐÌNH TRÍ (Chủ biên) TẠ VÃN ĐĨNH - NGUYỄN Hổ QUỲNH m Tập TOẮJ\ CÃO CẤP TẬP MỘT ĐẠI SỐ VÀ HỈNH HỌC GIẢI TÍCH (Tài lần thửchln) NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC 517 - 21/325-05 G D -0 Mâ số; 7K177T5-DAI THAY LỊI N Ĩ I Đ À U NAm 1996 Nhà xuấl bàn GÌHO iỉục dã xuất bàn quyẻn Tốn học cao cấp Cập Dại sị vã Hình học giài tích, từ viếi tắi Thcc/1- Quyên Bài tập Toán học ca(t cấp lập viếl lắi BTThcc/1 Ih tiếp nối quyẻn Thcc/1, nhằm trình bày phnn hãi giài hng dẫn cách gÌHÌ tập ỏ quyẻn Thcc/Ỉ Riẽng chương IV chì lã CìTx tập kiến ihức hcK ỏ irưịng phổ thổng nên khững irình bây ị qun độc già có ihẻ xem đáp sị ị qun Thcc/1 Chúng lỏi muốn lưu ý dộc già vé cách dánh số liêu đé đẻ liện việc Ira cửu ỏ quỵẻn Thcc/I chUcing đánh sỏ síí, thí dụ chuơng n chương thứ hai úếl đánh số hai sổ thi dụ tiết 3.2 liết ỏ chương độc già lìm ỏ chưcing tiết ỉhứ 2, mục đánh sổ sổ, thí dụ mục 3.2.1 ià mục ò ỉiếi cùa chưdng độc già lìm ỏ chưổng liếi mục Các định nghĩa, định lí Ihi đụ ý đánh số ba sổ Riẽng hình vẽ chi có mội sổ Ị quyẻn BTThcc/1 cách Jánh sổ làm Iưdng lự ChUrtng có sổ, tiết á> hai sị Riêng lập có hai sị s6 đẩu chưong số ihử hai chì sổ thú tự lập chương, chảng hạn lập 4.3 ỉà lập Ihứ chưring IV, độc già lim nõ ò chưrtng bàilặp Ihú 3- Hình vẽ đánh số bầng mộl số Vi lài liệu nàyviết lán ủ m nẽn khống iránh khôi thiếu SÔI chúng tỏi mong nhận đưọc ý kiến cùa đỏc pÀ chúng Ifti rái càm rtn Hà Nội tháng 5/Ỉ997 Tác già TẠ VẢN DÍNH ChưổHịỊ I TẬP HỘP VÀ ÁNH XẠ* • • A Đ Ê BÀI 1.0 MỞ DẦU l l D ùng kí hiệu học tiết 1.0 hày viết m ệnh sau : DỊĩih nghỉa “ Tam giác A B C gọi tam giác cân nđ cd hai góc bàng DỊnh lí - Nếu tam giác A B C có hai cạnh thỉ nđ tam giác cân Dịnh lí - Điéu kiện cấn đủ đ ể tam giác A B C cân có hai cạnh bảng 1 TẬP HỌP VÀ PH ÀN TỬ' 1.2- Tỉm tâp nghiệm phương trỉnh hay bất phương í r h h biểu diễn chúng trẽn trục số : a) - 4r + = b) - 4x + > c) - 4r + ^ d) e> - X+ > f» a" - X + ^ - X+ = 1.3 Tỉm tập nghiệm hệ phương trỉnh hay bảt phương trinh biểu diễn chúng m ật phảng tọa độ : a) 3x+2^ = 4x ~ y ^ C )3 x -J = d) 3x - y > b) 3x - y = - 6x + 2y = - e) 3x - y < 1.4 Trong trường hợp sau hỏi có A = J3 khơng ? a) A tập số thực & 0, B tập số thực > trị tuyệt đối ; b) A tập số thực ^ 0, B tập sô thực ^ tri tuyệt đối nđ ; c) A tập số ngun khơng âm ^ 100 có tam thừa số lẻ không chia hết cho 3, B tập sồ nguyên không âm ^ 100 cd bình phương trừ gỉiia hết cho 24 1.2 CÁC PHÉP TOÁN VÊ TẬP H ộp 1.5 A, B, c tập cỏa E Chứng minh ràng A U C C A U B v A n C c A n B t h ì C c B 1.6 A JE H ảy xác định tập sau (Ấ), A n A, A u A, , Ẽ, 1.7 A, B tập E Chứng a) N ếu A c B B c minh A b) Nếu A vầ B rời thỉ phấn tử E thuộc A thuộc B c) A c B A d) A c B u J3 = B «=^A u B =E n B = n B =0 e) Ã u B = Ả 7Ĩ*B f) Ã n = Ã T ĩ"b A 1,3 TÍCH ĐÈ CÁC 1.8 Cho ^ = {1, 3}, B = {2, 3, 4} Hày viết ratất cà phán tử A X B vầ biểu diễn :húng thành điểm mật phảng tọa độ 1.9 Cho A = [1, 2] {JC I í X « 2} - B = [2, 3] := {x I ^ X ^ 3} Hảy biểu diễn hình học tập tích A X B m ặt phảng tọa độ 1.4 Q U A N HỆ TƯONG DƯƠNG VÀ QUAN HỆ T H Ứ T ự 1.10 Trong R, quan hệ a xác định = a - 6" có phải q uan hệ tương đương không ? Tỉm lớp tương đương &(a, (R) 1.11 Trong tập số tự nhiên, quan hệ sau cd phài quan hệ tư ơn g đương không ? a) a chia hết cho b ; b) a không nguyên tố với b 1.12 a) Trong khơng gian hình học thơng thường coi tập điểm M, M \ chứng minh quan hệ "M M* đường thẳng phương với đường thảng D cho trước” m ộ t quan hệ tương đương Nêu đậc điểm lớp tương đương b) Cùng câu hịi mặt phẳng với quan hệ "M' ảnh M tron g m ột phép quay quanh tâm o cho trước*" 1.13 Trong tập đường thảng không gian quan hệ D X D ’ có phải quan hệ tương đương không ? 1.14 TVong R^, hày chứng minh quan hệ (x, y) ^ {x\ y ’) ^ x \ y ^ y' quan hệ thứ tự Nó có phải quan hệ thứ tự tồn phán khống ? Nếu không, hăy xác định hai cặp (x, y) i x \ y ' ) cụ th ể không thỏa măn CẢ ịx, y) ^ (x\ jy') lẫn { x \ y') ^ (x, y) Jấ 1.15 Một kì thi có hai niơn thi, đ iểm cho từ đến 20 Mỗi thí sinh c ó hai điểm , X điểm môn thi thứ nhât V điểm niôn thi thứ hai Trong tập thí sinh, người ta x ét tập cập điểm só (JC, y) xác định quan hệ hai ngơi (R sau X I < X-J JC| = vầ ^ Chứng m inh ràng íR m ột quan hệ thứ tự toàn phần tập thí sịnh 1.5 A N H XẠ 1.16 Các ánh xạ f : A B sau đơn ánh, toàn ánh, song ánh ? Xác định ánh xạ ngược cd : 1) A = R, B = R, /*U) = JC + ; 2) A = R, s = R, f(x) = + 2x - 3) A = [4, 9], B = [21, 96], f(x) = 4) A = R , s = R, f{x) = 3x - 2ịx\ 5) A = R , B = (0, + » ) , f{x) = ; + 2x - ■ , ; ; ) A = N , B = N , f{x) = x(x + 1) 1.17 Các ánh xạ sau loại ánh xạ ? Xác định ánh x ngược có : 1) Dối xứ n g đ iểm ; 2) Tịnh tiến theo vectơ a ; 3) Quay quanh tâm o góc mật phảng ; 4) Vị tự tâm o với ti số ^ 1.18 a) Cho ánh xạ / : R -♦ R xác định f(x) = 2x N ổ cd đơn ánh ? tồn ánh ? Tìm ảnh f{K) b) Cho ánh xạ g ; R xãt‘ định X •—» “ X II R* = R - {0) Tỉni anh ” ĩ 19 Xét hai ánh xa / R ^ R xác định bời fix) = |.v| g : r - —* R, : = {x I X E R, X ^ So s n h ft>g gi{ 0} x c đ ị n h bỏi 1.20 Cho tập hợp A, B, c , D ba ánh xạ f :A B ;g : B c -h :c D Chứng minh ràng hnỉgi^ì - ihogUxf 1.21 1) Cho tập E F ánh xạ / ’ : E F A B hai tạp E Chứng minh aí A c B f{A) c fiB) ; b) f(A n Bỉ c f(A^ n f(B) ; c) f(Á u B) = fiA) u p B i 2) Chứng minh ràng f [à đơn ánh n /?) = f(A) n f(B) 1.22 Cho tập E F ánh xạ f : E F A tì tập F, chứng minh a) A c s => /■' 'tA) c f b) n B) = 1.23 Cho f : E '(B) ; 'lAl n / “^'(5 ) F ; g : F -* G Chứng minh ràng ; 1» ■'Nếu f g toàn ánh thỉ Nếu /* đơn ánh thỉ toàn ánh ; đơn ánh ; Nếu f g ỉà song ánh thi gnf song ánh 2) Nếu g^^f song íinh f toàn ánh thỉ f g lã son g ánh 3) Xét hàm s ố y = f(xj = X" + 2x " Nd có bảng biến thiên X y’ ’ ỵ - 00 " -1 ~ + + +00 + + 96 * “*■* 21 Khi X tần g từ đến thi y tầng liên tụ c từ 21 đến 96 Vậy phương tiỉn h x + x - = y € [21, 96] = B CÓ m ột nghiệm JC = -1 + >[4 + y E {4, 9] = A Do đd ánh xạ vừa toàn ánh, vừa đơn ánh, nên song ánh có ánh xạ ngược /*-l(y) = - + 4) Xét hàm số J = f(x) = 3x - \ x \ N ổ có th ể biểu diễn _ | x - 2x = X X 3= y ~ ‘ 3x + 2x = 5x k h i i « cđ bàng biến thiên X 00 y 00 * +00 ỵ = 5x +00 * y = X Khi X tă n g từ “ 00 đến +00 y tâng liên tục từ -00 đến + 00 Vậy phương trỉnh f(x) = >' e ( - 00, +oo) = B có m ột nghiệm X G (" 00, -f-oo) = A Do f vừa tồn ánh, vừa đơn ánh nên song ánh cd ánh xạ ngược :k r '(y ) = 20 y ^ \y,y < 5) Xét hàm số 3^ = f(x) = ^ * = e.è^ Nó có bảng biến thiẻn X -00 +00 ■4-00 0^ Khi X tăng từ -0 đến +00 thị y tâng liên tục từ 0* đến + 00 Vậy phương trình f(x) = y e (0, + 00) = B có m ột nghiệm X E ( - 00, -*" = VTír = \Tr 22 rghỉa X G N hưng X < ig n p ix = \íĩx Ơn (f(yg) khơng xác địnhVậy fog ^ gof 1.20 Xét X G A tíi có [ ho i g o p ỵ x) = hịigoPix) = h[gự{xm [{h(^g\>fìix) = ihog)Ự^xj] = hịgựĩxj]] Vậy ho(goP ~ (àog)of 1.21 1) a) Ta phải chứng minh 1) A c ổ ffAj c frB), 2) f(Aj c r B j => A c B C h ứ ng m i n h 1) : y € f(A) tổn X G A đ ể f(x) = y ; : G A => X € B ('vì A c B) ; tốn X E J3 đ ể f(x) — y ; io G f(B) Vậy f(A) c ffB) Chứng minh 2) : Xét X e A f(x) - y E f(A) ; '(A) c f(B) nên f(xỳ - y E: f(Bj, ta suy X G jB Vậy A = B b) Giả sử y G f(A n B) thị 3jc G A n jB đ ể f(x) = y Khi : vỉ X E A nên f(xj = y G f(A) lổng thời X E B nên f(x) = y G f(B) Do f(x) = e f(A) n f(B) Vậy f{A n B) c f(A) n ffB) c) Xét y € f(A u B) 3x e i4 u B đ ể f(xj = ỵ Khi đó, X G A thl f(xj - ỵ s f(A) \ X e s thi f(x) = y G f(B) ; 23 nghĩa ta ln có f(x) = y e f(A) u f(B) Vậy f(A u B) c f(A) u f(B) Ngược lại, xét y E f(A) u f(Bj Khi y E f(A) 3x E A để f(xj = y ; y E f(B) 3x s B để ffx) = y ; nghỉa ta cd 3x E A u B đ ể f(x) = y Vậy f(x) ^ y G f { A U B) Do f(A) u f(B) c f(A u B) K ết f{A u ổ ) = f(A) u f(B) ) câu b) ta chứng minh f(A n B) c f(A) n f{B) Bây giả sử f đơn ánh Xét y G f(A) n /ĨB) Khi đd y G f(A) tức 3jCj E A để fix^) = thời y s f{B) tức X2 G B đ ể f { x ^ - y Vỉ f đơn ánh nên ta suy Vậy 3x = Xj — Do e f(A e A n B đ ể f{x) = y n B), nghỉa f{A) n f{B) c f{A n Kết : ]khi f đơn ánh B) ta cd /XA n B) = f{A) n f(B) 24 1.22 a ) Xét X G f~UA) Khi X G E £ ffxj ~ y ^ A, A c B, o f ( x ) = G B => X e cd f ' UA) C r H B ) câu a) đươc chứng minh b) Xét X X E /■ /'“ *(A *(An nB)B)tức tức ìầlà XJC€:G EE và f(x) fi Khi f{x) = y e f(xj e X = y A C\ B GrHA), đống thời = y B => X G Vậy X e rHA) n tức r H A n B) c r H A ) n f ~HB) Ngược lại, xét X G f^HA) n f~HB) nghỉa X G f'HA) X £ f ~ \ B ) =» f(x) = y e B => f ( x ) = y E A, thời Vậy f(x) = y G A D B Do X e f ~ H A n B) Vậy r h A ) n / ‘(B) c r H A n B) Kết câu b) chứng minh 1.23 1) Giả th iết f \ k g \k toàn ánh : f(E) = F, g(F) = G Tầ suy (gof)(E) = g ựi E) ] = g(F) = G Vậy g c f toàn ánh ^2 € £ Ta cd Bây già th iết /■ g làđơn ánh X ét Xj e £ , f{x^) = e F, g ( y ộ == e E, f(x-^) ^ G g(> 2) ^s ^ G G 25 = 2| ; (gif)(x^ì = gự(x^)] = g ( y ỷ = z^ = gựiXị)] = g(j-ị) Giả sử ỉ, = z-, Vì g đơn ánh nên - ^2 Từ đd, vi f ỉà đơn ánh nên Xj = %2 - Vậy từ (g()/)ÍXj) = (gof)(Xn) ta suy Xj = Xj- Do g t / đơn ánh T ừ-hai kết ta suy : Nếu f vk g \k son g ánh thỉ g o f song ánh 2) Chứng minh f đơn ánh Giả sử f đơn ánh ; tức tổn cho Xj ^ thời / ’(X|) = wk Xj ^ E (go/)(Xj) = g[fix^)] = gỉfiX )] = (go/líx^), tức (go/)(Xj) = {gof){xỷ Vi (go/) theo giả thiết đơn ánh nên từ thu = ^ ; điéu trái với giả định đẳng thức ta ^ Vậy f đơn án h Theo giả thiết f đă toàn ánh, f song ánh Chứng minh g toàn ánh Vỉ f toàn ánh nên f{E) - F Vì g of tồn ánh nên {gof){E) = G, Ta suy G = (gof)(E) = g ự{E)] = g(F), nghỉa g(F) = G Vậy g toàn ánh Chứng minh g đơn ánh Già sử g không phài đơn ánh, tức tốn J'| vầ y £ F cho g(ỹj) = g(y^) Vì f tồn ánh nên BXị E E để /*(Xj) = 3X2 ^ ^ 26 ^^^2^ “ yi- ; T:i c-rí ểO V = ể l / ' iv ] = ; ể'.v_,t = g[/' A = at (1.2* toàn (1.2) b c d = a d - bc - Vi A = ^ 0, nén X Y xem biết thị hệ luỏn có mơt chi nghiệiiì í.t, ỳ) Do f vừa ánh (vi hệ = _ ( n - ) (n - p + ) = ((^ - p ) + p ) = ^ n{n - ) (n - p + ) ^ ^ p\ n Sau đó, thay s = - c ị + c l + + i-l)PCf„ công thứ c ta s = - ( q _ , + c>_i) + (C^^ + C2_j) + + i - m c f n - \ + C P -l) = = (-ư c ^ n -l n b) + 1)" = 2" /= n c) ỵ ( - ! ) '< /= = (1 - ) " = 1.33 Đật số hạng thứ p + khai triển (37 + 19) 31 “p = 3-BT.TCC.T1 33 Ta có '^p V i 31! ~ (p - ) ! ( - p ) ! -py- 31! 31! V l ~ 19 - p 37 “ 37 (p + 1)!(30-p)! 37 31! 19 ” p!(31 - p ) ! ^ 19 p + 31 - p Ta suy —í— > 608 > 56p < 10, p nguyên ; “ />-1 —— > < »50p > 570 p > 10, p nguyên Vậy cđ < < Uọ < UjQ > Do UjQ số h ạn g lớn : “ lO = Cị®372ll9'® 34 > > w 31 p ... NGUYỄN Hổ QUỲNH m Tập TOẮJ CÃO CẤP TẬP MỘT ĐẠI SỐ VÀ HỈNH HỌC GIẢI TÍCH (Tài lần thửchln) NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC 517 - 21/ 325-05 G D -0 Mâ số; 7K177T5-DAI THAY LỊI N Ĩ I Đ À U NAm 19 96 Nhà xuấl... iỉục dã xuất bàn quyẻn Tốn học cao cấp Cập Dại sị vã Hình học giài tích, từ viếi tắi Thcc /1- Quyên Bài tập Toán học ca(t cấp lập viếl lắi BTThcc /1 Ih tiếp nối quyẻn Thcc /1, nhằm trình bày phnn hãi... TẬP H u HẠN - TẬP DẾM Dược - TẬP KHÔNG DẾM DƯỢC 1. 25 1) Chứng minh hỢp hai tập hữu hạn tập hữu hạn 2) Chứng minh rầng hợp m ột số đếm tập hữu hạn tập- đếm 1. 26 Cho tập E, gọi (P{E) tập tất tập