1. Trang chủ
  2. » Giáo Dục - Đào Tạo

Toán cao cấp tập 2 a2 giải tích nhiều biến

234 225 8

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 234
Dung lượng 4,28 MB

Nội dung

T ) NGUYỄN VÀN KHUÊ (Chủ biên) PHẠM NGỌC THAO-LÊ MẬU HÀI -NGUYỄN ĐÌNH SÁNG TỐN CẰO CẤP T Ậ P I I (A2) (GIẢI TÍCH NHIỀU BIẾN) NHÀ XUẤT BẤN GIÁO DỤC - 1997 5m 083)^^^ ! GD - 97 Chương V TƠ PỊ VÀ HÀM LIÊN TỤC TRONG R" Trong chương ta trình bày sơ" khái niệm kết vể tô pô hay cụ thể hội tụ hàm liên tụổ R" Bỏi R" khơng gian tuyến tính hội tụ sê đưỢc sinh bỏi hàm đặc biệt mà sau gọi chuẩn R" ị l KHÒNG GIAN R" Cấu trú c không gỉan tu y ến tinh, đ ịn h chuẩn, m etric tr ê n R** 1.1 Giả sử n sô tự nhiên, n > Xác định; R" = R R = |x = (x ,, x„) :x, e R , ^ i ắ n| n , i = l,n , gọi tọa độ thứ i X Hiển nhiên R“ khơng gian tuyến tính với phép tính đMỢc xác định theo tọa độ Có nghĩa là: Xị X + y = (X j + y j , x„ + y j , X, y € Xx„) R ” Ầ € R, X6 R" Các phần tử X e R” xem vectơ R" v i ế t X 1.2 Chuẩn R“ hàm R thoả mãn điểu kiện sau: Ni)

R cho X = (Xj, , x j gR “ ẳ -r ì l it-ĩ1 chuẩn R" gọi chuẩn Euclide Thật vậy, rõ ràng N j Ng) thoả mãn Để kiểm :ra N 3) ta dùng bất đẳng thức Cauchy - Bunhiakowski: n n n ^ a,, b, g R, i = l,n ì^\ ! i=l V ^ị Với X = (X|, x„), y = (> X y j eR*’ , ta có: X x ,y ,+ X y f 1=1 i=l i=i ^ i=i I- - - - - - - - - - - - - - n Do i=l ^ J ỉỹ ^ ! i=i i-l ẳy> = i=i I- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - V n + y 2• X+ y Ví dụ Hàm | |: R" -> R cho bởi: x|= max {|xj: ^ i < n } VỚI X = (X|, , x j € R" chuẩn R" gọi chuẩn max R" 1.5 Định nghĩa Khoảng cách hay metric R” hàm d: X R " R thoả mãn: Di) Vx,y G R" d(x,y) ^ d(x.y) = o X = y Dg) d(x,y) = d(y,x), Vx,y R" D 3) d(x,z) < d(x,y) + d(y,z), Vx,y,z € R" (bất đẳng thức tam giác) Cũng chuẩn R“, ta có Vx, y, z e R" : |d (x,y) - d (y,z) < d (y,z) 1.6 Giả sử (p : R" R chuẩn R" Khi dạng đ (x,y) = (p (x-y), X, y € R" xác định metric R" Metric gọi metric sinh chiiẩn ẹ Sau ta xét metric R" sinh chuẩn S ự tư n g đ n g c ủ a c h u ẩ n t r ê n R" 2.1 Hai chuẩn

, V (x, y, z) € D f e CHĐ) co e C^D) (tức p, Q, R € C'(D)) Mục đích tìm điều kiện (cần đủ) để dạng vi phân co Trước hết ta nêu tính chất miền Q mà cần đến: Tính chất - lièn thông: Miền Q (c R“) gọi miền - liên th ô n g nếu: (i) Q liên thơng t.l V (A, B) € íly ln nỗì A vối B báng đường cong lớp c khúc La B c: Q (ii) Mọi đưịng cong kín khúc Q biên m ặt cong đểu khúc chứa Q Khi ta có Mệnh đề Giả sử n (c R^) miền - liên thông (0 = Pdx + Qdy + Rdz dạng (p phân lớp Q Thế khẳng định sau tương đương: a) co dạng vi phân Q b) rotv = Q, c) V = (P, Q R) Pdx + Qdy + Rdz = 0, với đưịng cong kín L L khúc, định hướng, Q d) Pdx + Qdy + Rdz chi phụ thuộc A, B e n (mà i-Ãb khơng phụ thuộc đưịng cong Lab c Q nối A B) Chứng m inh a) => b): Theo giả thiết f e C^(Q): 219 d f =: _ d x + _ d y + — dz = Pdx + Qdy + Rdz õy dz dx T đó: ỡx ta có ẼL = R dz dy raR_^ ỡy l ' dz rotv Q ỡx ’ ổx ỡy ô^f _ dydz dydz * dzdx d \d z ' dxdy ởydx f e C^(Q) b) => c); Theo giả thiết - liên thông, tồn mặt cong t^\ng khúc định hướng s c Q cho ỔS = L Lại theo công thức (S) Pdx + Qdy + Rdz = Pdx + Qdy + Rdz as • -> —^ rotv = rotv n ds = 0, s c) => d) Nếu B (như hình 41) (0 I (ứ ĩí?> hai đưịng cong Q nơi A, 03 iP l e Nếu khơng (như hình 41), chẳng hạn hình 42 ta vẽ thêm đưịng có vỊ trí hình 41 L(2) so sánh chúng với 220 Hình ỉ d) :=> a) Chọn cơ" định A € n đặt f(x, y, z) co + c, X = (x, y z) , c = sơ' Ỉ^A.X f xác định đắn, giả thiết (d), Khi đó, với h đủ bé L ax» hình vẽ, X = (x, y, z), Y = (x + h y, z), ta có: f(x + h,y,z)-f(x,y,z) h co íx "y ] P(x+^, y, z)á ị Hình 42 tị Qua giỏi hạn h 0, đắng thức cho ta: df -(x, y, z) = P(x, y, z) dx dĩ õí Tương tự; = Q; dy ỡz Mệnh đề hoàn toàn chứng minh Chú thích Trường hỢp 0)(x, y) = P(x, y)dx + Q(x, y)dy xem trường hỢp đặc biệt trường hỢp R^ Khi R s Hình 43 P(x, y, z) = P(x, y), Q(x, y, z) s Q(x, y) hiểu mặt cong miên (z = 0) Khi điểu kiện (b) trở thành d\ ây 221 rotv n ds = -— dxdy Vổx õy) Ví dụ a) Xét tính dạng vi phân co = xdx + ydy + zdz Vói V = (x, y, z) = ỡx ổy X y ổz =0 z (0 thoả mãn giả thiết mệnh để hàm (dĩ nhiên 1- liện thông) Vậy co dạng vi phân đúng, dùng phương pháp chứng minh để kiểm nghiệm điều hiển nhiên sau : Với f = —(x^ + + z^) + c df = xdx + ydy b) Xét tính dạng vi phân: co (x,y) = ( Trên tl ổx ^ ỡx zdz + y'^) dx + 2xy + 1) dy = 2y ^ ^ ỡy ay =0 = 2y ^ R2 (dĩ nhiên - liên thông) Vậy 05 dạng vi phân đúng, hàm f mà df = co tìm sau; ỡx => f (x, y) = ^ + xy2 + c (y), số tích phân đơl với X, y Nhưng: 222 c (y) hàm phải tìm ẼL = xy + c ‘(y) = 2xy + ôy => C' (y) = => C(y) = y + c Vậy X c) Miễn D = + xy^ + y - {0} không - liên thông Vối 2 (rotco) = dy ^ _^y2 / -► +c \ ổx Vx^2 + y ^2 J Nhưng chẳng hạn vối L = ( õ X \ -y ày (vòng tròn tâm (0, 0) bán k í n h r) t a có; ydx + xdy 2 ị L o không dạng vi phân Quả vậy, giả sử trái lại -y df(x, y) dx + X X +y vớ i f € C ^ ( R ^ - {0}) (p(t) n o Thế = f(cost, sint) e th ì, với dy , X = cost, y = sin t c ^ ( [ , 2tc1), R'** (A c R“) liên tục aeA liên tục theo biến a Chứng

Ngày đăng: 18/03/2021, 19:15

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

w