Đang tải... (xem toàn văn)
R cho X = (Xj, , x j gR “ ẳ -r ì l it-ĩ1 chuẩn R" gọi chuẩn Euclide Thật vậy, rõ ràng N j Ng) thoả mãn Để kiểm :ra N 3) ta dùng bất đẳng thức Cauchy - Bunhiakowski: n n n ^ a,, b, g R, i = l,n ì^\ ! i=l V ^ị Với X = (X|, x„), y = (> X y j eR*’ , ta có: X x ,y ,+ X y f 1=1 i=l i=i ^ i=i I- - - - - - - - - - - - - - n Do i=l ^ J ỉỹ ^ ! i=i i-l ẳy> = i=i I- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - V n + y 2• X+ y Ví dụ Hàm | |: R" -> R cho bởi: x|= max {|xj: ^ i < n } VỚI X = (X|, , x j € R" chuẩn R" gọi chuẩn max R" 1.5 Định nghĩa Khoảng cách hay metric R” hàm d: X R " R thoả mãn: Di) Vx,y G R" d(x,y) ^ d(x.y) = o X = y Dg) d(x,y) = d(y,x), Vx,y R" D 3) d(x,z) < d(x,y) + d(y,z), Vx,y,z € R" (bất đẳng thức tam giác) Cũng chuẩn R“, ta có Vx, y, z e R" : |d (x,y) - d (y,z) < d (y,z) 1.6 Giả sử (p : R" R chuẩn R" Khi dạng đ (x,y) = (p (x-y), X, y € R" xác định metric R" Metric gọi metric sinh chiiẩn ẹ Sau ta xét metric R" sinh chuẩn S ự tư n g đ n g c ủ a c h u ẩ n t r ê n R" 2.1 Hai chuẩn
, V (x, y, z) € D f e CHĐ) co e C^D) (tức p, Q, R € C'(D)) Mục đích tìm điều kiện (cần đủ) để dạng vi phân co Trước hết ta nêu tính chất miền Q mà cần đến: Tính chất - lièn thông: Miền Q (c R“) gọi miền - liên th ô n g nếu: (i) Q liên thơng t.l V (A, B) € íly ln nỗì A vối B báng đường cong lớp c khúc La B c: Q (ii) Mọi đưịng cong kín khúc Q biên m ặt cong đểu khúc chứa Q Khi ta có Mệnh đề Giả sử n (c R^) miền - liên thông (0 = Pdx + Qdy + Rdz dạng (p phân lớp Q Thế khẳng định sau tương đương: a) co dạng vi phân Q b) rotv = Q, c) V = (P, Q R) Pdx + Qdy + Rdz = 0, với đưịng cong kín L L khúc, định hướng, Q d) Pdx + Qdy + Rdz chi phụ thuộc A, B e n (mà i-Ãb khơng phụ thuộc đưịng cong Lab c Q nối A B) Chứng m inh a) => b): Theo giả thiết f e C^(Q): 219 d f =: _ d x + _ d y + — dz = Pdx + Qdy + Rdz õy dz dx T đó: ỡx ta có ẼL = R dz dy raR_^ ỡy l ' dz rotv Q ỡx ’ ổx ỡy ô^f _ dydz dydz * dzdx d \d z ' dxdy ởydx f e C^(Q) b) => c); Theo giả thiết - liên thông, tồn mặt cong t^\ng khúc định hướng s c Q cho ỔS = L Lại theo công thức (S) Pdx + Qdy + Rdz = Pdx + Qdy + Rdz as • -> —^ rotv = rotv n ds = 0, s c) => d) Nếu B (như hình 41) (0 I (ứ ĩí?> hai đưịng cong Q nơi A, 03 iP l e Nếu khơng (như hình 41), chẳng hạn hình 42 ta vẽ thêm đưịng có vỊ trí hình 41 L(2) so sánh chúng với 220 Hình ỉ d) :=> a) Chọn cơ" định A € n đặt f(x, y, z) co + c, X = (x, y z) , c = sơ' Ỉ^A.X f xác định đắn, giả thiết (d), Khi đó, với h đủ bé L ax» hình vẽ, X = (x, y, z), Y = (x + h y, z), ta có: f(x + h,y,z)-f(x,y,z) h co íx "y ] P(x+^, y, z)á ị Hình 42 tị Qua giỏi hạn h 0, đắng thức cho ta: df -(x, y, z) = P(x, y, z) dx dĩ õí Tương tự; = Q; dy ỡz Mệnh đề hoàn toàn chứng minh Chú thích Trường hỢp 0)(x, y) = P(x, y)dx + Q(x, y)dy xem trường hỢp đặc biệt trường hỢp R^ Khi R s Hình 43 P(x, y, z) = P(x, y), Q(x, y, z) s Q(x, y) hiểu mặt cong miên (z = 0) Khi điểu kiện (b) trở thành d\ ây 221 rotv n ds = -— dxdy Vổx õy) Ví dụ a) Xét tính dạng vi phân co = xdx + ydy + zdz Vói V = (x, y, z) = ỡx ổy X y ổz =0 z (0 thoả mãn giả thiết mệnh để hàm (dĩ nhiên 1- liện thông) Vậy co dạng vi phân đúng, dùng phương pháp chứng minh để kiểm nghiệm điều hiển nhiên sau : Với f = —(x^ + + z^) + c df = xdx + ydy b) Xét tính dạng vi phân: co (x,y) = ( Trên tl ổx ^ ỡx zdz + y'^) dx + 2xy + 1) dy = 2y ^ ^ ỡy ay =0 = 2y ^ R2 (dĩ nhiên - liên thông) Vậy 05 dạng vi phân đúng, hàm f mà df = co tìm sau; ỡx => f (x, y) = ^ + xy2 + c (y), số tích phân đơl với X, y Nhưng: 222 c (y) hàm phải tìm ẼL = xy + c ‘(y) = 2xy + ôy => C' (y) = => C(y) = y + c Vậy X c) Miễn D = + xy^ + y - {0} không - liên thông Vối 2 (rotco) = dy ^ _^y2 / -► +c \ ổx Vx^2 + y ^2 J Nhưng chẳng hạn vối L = ( õ X \ -y ày (vòng tròn tâm (0, 0) bán k í n h r) t a có; ydx + xdy 2 ị L o không dạng vi phân Quả vậy, giả sử trái lại -y df(x, y) dx + X X +y vớ i f € C ^ ( R ^ - {0}) (p(t) n o Thế = f(cost, sint) e th ì, với dy , X = cost, y = sin t c ^ ( [ , 2tc1), R'** (A c R“) liên tục aeA liên tục theo biến a Chứng