Bài giảng toán cao cấp c1 đại học th s huỳnh văn hiếu

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN – TỔ TOÁN BÀI GIẢNG : TOÁN CAO CẤP C1 HỆ ĐẠI HỌC NĂM HỌC 2014 - 2015 9/6/2014 TOÁN CAO CẤP C1 ĐẠI HỌC Giảng viên: ThS Huỳnh Văn Hiếu Tải giảng tailieuhvh.webnode.vn PHÂN PHỐI CHƢƠNG TRÌNH SỐ TIẾT : 30 PHẦN I : ÔN TẬP VÀ BỔ TRỢ KIẾN THỨC CƠ BẢN CHƢƠNG : HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ CHƢƠNG : PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ CHƢƠNG : PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ PHẦN II : KIẾN THỨC TRỌNG TÂM CHƢƠNG : TÍCH PHÂN SUY RỘNG HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ CHƢƠNG : HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ - BÀI TOÁN KINH TẾ CHƢƠNG : PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN CHƢƠNG : LÝ THUYẾT CHUỖI Tài liệu tham khảo Nguyễn Phú Vinh – Giáo trình Toán cao cấp A1–C1 – ĐH Công nghiệp TP HCM Nguyễn Đình Trí – Toán cao cấp (Tập 2, 3) – NXB Giáo dục Lê Văn Hốt – Toán cao cấp C2 – ĐH Kinh tế TP HCM Lê Quang Hoàng Nhân – Toán cao cấp (Giải tích) – ĐH Kinh tế - Tài TP HCM – NXB Thống kê Đỗ Công Khanh – Toán cao cấp (Tập 1, 3, 4) – NXBĐHQG TP.HCM Nguyễn Viết Đông – Toán cao cấp (Tập 1, 2) – NXB Giáo dục §1 §2 §3 §4  Chƣơng Hàm số biến số Bổ túc hàm số Giới hạn hàm số Đại lƣợng vô bé – vô lớn Hàm số liên tục …………………………… §1 BỔ TÚC VỀ HÀM SỐ 1.1 Khái niệm 1.1.1 Định nghĩa hàm số • Cho X ,Y khác rỗng Ánh xạ f : X Y với x y f (x ) hàm số Khi đó: – Miền xác định (MXĐ) f, ký hiệu Df, tập X – Miền giá trị (MGT) f là: G y f (x ) x X  Chƣơng Hàm số biến số – Nếu f (x1 ) f (x ) x1 x f đơn ánh – Nếu f(X) = Y f toàn ánh – Nếu f vừa đơn ánh vừa toàn ánh f song ánh VD a) Hàm số f : thỏa y f (x ) 2x đơn ánh b) Hàm số f : c) Hsố f : (0; • Hàm số y • Hàm số y [0; ) ) thỏa f (x ) x toàn ánh thỏa f (x ) ln x song ánh  Chƣơng Hàm số biến số Nhận xét – Đồ thị hàm số chẵn đối xứng qua trục tung – Đồ thị hàm số lẻ đối xứng qua gốc tọa độ 1.1.2 Hàm số hợp • Cho hai hàm số f g thỏa điều kiện Gg Khi đó, hàm số h(x ) (f hàm số hợp f g f (x ) đƣợc gọi hàm chẵn nếu: f ( x ) f (x ), x Df Chú ý f (x ) đƣợc gọi hàm lẻ nếu: f ( x) f (x ), x Df VD Hàm số y (f f (x ) g )(x ) g )(x ) 2(x 2x 1)2 (g Df f [g(x )] đƣợc gọi f )(x ) x2 x g(x ) hàm hợp x2 1 9/6/2014  Chƣơng Hàm số biến số  Chƣơng Hàm số biến số 1.1.3 Hàm số ngƣợc 1.2 Hàm số lƣợng giác ngƣợc 1.2.1 Hàm số y = arcsin x • Hàm số y sin x có hàm ngƣợc • Hàm số g đƣợc gọi hàm số ngƣợc f, ký hiệu g f , x g(y ), y G f Nhận xét – Đồ thị hàm số y f 1(x ) đối xứng với đồ thị hàm số y f (x ) qua đƣờng thẳng y x f : [ 1; 1] VD arcsin (x ) arcsin log2 x , x >  Chƣơng Hàm số biến số : [ 1; 1] y VD arccos arccos( 1) arcsin x f ; f arccos x , x [ 1; 1] VD arc cot arc cot( 1) y arc cot x arc cot ……………………………………… ; , arctan 2.1 Các định nghĩa Định nghĩa • Cho hàm số f(x) xác định (a; b) Ta nói f(x) có giới hạn L (hữu hạn) x x [a; b ], ký hiệu cho trƣớc ta tìm đƣợc lim f (x ) L , x 0, arc cot( Quy ước arctan x0 cho ) ; ; §2 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ ; ; Quy ước arc cot(  Chƣơng Hàm số biến số (0; ) x arctan cot x có hàm ngƣợc (0; ) : arctan( 1)  Chƣơng Hàm số biến số tan x có hàm ngƣợc : 1.2.4 Hàm số y = arccot x • Hàm số y ; x y arctan x VD arctan 0 ; ; ; arccos arccos Chú ý • Hàm số y arccos x 2 1.2.3 Hàm số y = arctan x [0; ] x  Chƣơng Hàm số biến số 1.2.2 Hàm số y = arccos x • Hàm số y cos x có hàm ngƣợc [0; ] f 0; arcsin( 1) f ; ; 2 y arcsin x x 2x VD Cho f (x ) ) x x0 f (x ) L Định nghĩa (định nghĩa theo dãy) • Cho hàm số f(x) xác định (a; b) Ta nói f(x) có giới x [a; b ], ký hiệu hạn L (hữu hạn) x lim f (x ) L , dãy {xn} (a; b) \ {x } mà x xn x0 x lim f (xn ) n L 9/6/2014  Chƣơng Hàm số biến số  Chƣơng Hàm số biến số Định nghĩa (giới hạn vô cùng) • Ta nói f(x) có giới hạn L (hữu hạn) x , ký hiệu lim f (x ) L , cho trƣớc ta tìm • Tƣơng tự, ký hiệu lim f (x ) x x đƣợc N > đủ lớn cho x > N f (x ) • Tƣơng tự, ký hiệu lim f (x ) L , x L cho trƣớc ta tìm đƣợc N < có trị tuyệt đối đủ lớn cho x < N f (x ) L x x0 f (x ) x cho tìm đƣợc x0 Định nghĩa (giới hạn phía) • Nếu f(x) có giới hạn L (có thể vô cùng) x x0 với x x ta nói f(x) có giới hạn phải x0 (hữu hạn), ký hiệu lim f (x ) L lim f (x ) L x x x0 x 1) lim [C f (x )] x x x0 g(x )] 3) lim [ f (x )g(x )] x a b 2) Xét L ab ; x0 a) L f (x ) a 4) lim , b 0; x x g(x ) b 5) Nếu f (x ) g(x ), x (x ; x0 ) a b 6) Nếu f (x ) h(x ) g(x ), x (x ; x0 ) lim f (x ) lim g(x ) L lim h(x ) L x x0 x x0 x b) L 3) lim x0 x  Chƣơng Hàm số biến số x x0 a 0, lim v(x ) x lim [u(x )]v(x ) x VD Tìm giới hạn L A L B L 9; VD Tìm giới hạn L A L ; B L lim x 4; x e3; C L lim x A L 2x x 2x C L x x lim f (x ) x x L lim x an x n bm x an 1x n m bm 1x m a0 b0 , ta có: an n m ; bn n m ; n sin x x m lim x tan x x ; B L lim x 1; tan2 x C L e; 4x D L e 1; 3x 2x x VD Tìm giới hạn L ab x0 lim f (x )  Chƣơng Hàm số biến số b thì: x0 Các kết cần nhớ , lim x x c) L Định lý Nếu lim u(x ) x x L x0 1) lim x x C a (C số) x0 2) lim [ f (x ) x0 x  Chƣơng Hàm số biến số b Khi đó: a lim g(x ) x0 Chú ý lim f (x )  Chƣơng Hàm số biến số 2.2 Tính chất Cho lim f (x ) x0 • Nếu f(x) có giới hạn L (có thể vô cùng) x x0 với x x ta nói f(x) có giới hạn trái x0 (hữu hạn), ký hiệu lim f (x ) L lim f (x ) L x M có trị cho tuyệt đối lớn tùy ý cho trƣớc ta tìm đƣợc f (x ) M x x0 x Định nghĩa (giới hạn vô cùng) • Ta nói f(x) có giới hạn x x , ký hiệu , M lớn tùy ý cho trƣớc ta lim f (x ) M , x0 2x e2; D L D L ……………………………………… 9/6/2014  Chƣơng Hàm số biến số  Chƣơng Hàm số biến số §3 ĐẠI LƢỢNG VÔ CÙNG BÉ – VÔ CÙNG LỚN 3.1 Đại lƣợng vô bé 1) Nếu (x ), (x ) VCB x x (x ) (x ) (x ) (x ) VCB x x0 a) Định nghĩa Hàm số (x ) đƣợc gọi đại lượng vô bé (VCB) x lim (x ) (x vô cùng) x x x0 tan3 sin VD (x ) (x ) ln x b) Tính chất VCB x VCB x VCB x 2) Nếu (x ) VCB (x ) bị chận lân cận x x0 (x ) (x ) VCB x 3) lim f (x ) ; x VCB x  Chƣơng Hàm số biến số c) So sánh VCB • Định nghĩa Cho (x ), (x ) VCB x Khi đó: x0 k – Nếu k , ta nói (x ) VCB cấp cao (x ), ký hiệu (x ) 0( (x )) – Nếu k (x ), (x ) a x0 VD • cos x VCB cấp với x x x sin2 cos x lim lim x x x2 x vì: , ta nói (x ) VCB cấp thấp (x ) – Nếu k , ta nói (x ) (x ) VCB cấp – Đặc biệt, k 1, ta nói (x ) (x ) VCB (x ) tương đương, ký hiệu (x ) • sin2 3(x  Chƣơng Hàm số biến số 1) (x ) (x ) 2) Nếu (x ) (x ) 4) Nếu (x ) (x ) (x ), (x ) (x ) 0( (x )) (x ) (x ) 0( (x )) (x ) (x ), 2(x ) (x ) (x ) 2(x ) (x ) 2(x ) 1 (x ) 1)2 x 9(x • Quy tắc ngắt bỏ VCB cấp cao 0( (x )) (x ) 1)  Chƣơng Hàm số biến số • Tính chất VCB tƣơng đƣơng x → x0 3) Nếu f (x )  Chƣơng Hàm số biến số (x ) (x ) x , lim x a x0 (x ) Cho (x ), (x ) tổng VCB khác cấp x x0 (x ) lim giới hạn tỉ số hai VCB cấp thấp x x (x ) tử mẫu VD Tìm giới hạn L Giải L lim x x3 (1 x lim x x3 cos x ) x cos x x x lim x cos x x 9/6/2014  Chƣơng Hàm số biến số  Chƣơng Hàm số biến số • Các VCB tƣơng đƣơng cần nhớ x → 1) sin x x) 7) ln(1 x; 4) arctan x x; x2 ; cos x 5) 2) tan x x; 3) arcsin x VD Tính giới hạn L x; lim x 2x sin2 x ) ln(1 sin x tan x x 6) e x x; 8) n x x n VD Tính L lim x x sin x2 sin x 3 tan2 x 2x Chú ý ta thay x Nếu u(x ) VCB x u(x ) công thức  Chƣơng Hàm số biến số VD Cho hàm số y Khi x f (x ) thỏa: 2t t2 y t2 3t x ; x ; C f (x ) Giải Khi x t Chú ý , chọn đáp án đúng? A f (x )  Chƣơng Hàm số biến số x B f (x ) D f (x ) t t x 2(loaïi y 2t, y t2 x2 ; VD lim x 3x 0) lim x A  Chƣơng Hàm số biến số cos x 2x x3 x2 x0 VCL x sin x x cos 4x 2 lim x x x3 tan x x 1) x ( x) x x2 lim x (e x (e 0; VCL x Nhận xét Hàm số f (x ) VCL x VCB x f (x ) x x0 1) (Sai!) x3 x x (Sai!) x  Chƣơng Hàm số biến số b) So sánh VCL • Định nghĩa Hàm số f (x ) đƣợc gọi đại lượng vô lớn (VCL) x lim f (x ) x (x vô cùng) VD x x e lim 3.2 Đại lƣợng vô lớn a) Định nghĩa x ex x f (x ) Quy tắc VCB tƣơng đƣơng không áp dụng cho hiệu tổng VCB chúng làm triệt tiêu tử mẫu phân thức Cho f (x ), g(x ) VCL x x , lim x x0 f (x ) g(x ) k Khi đó: – Nếu k , ta nói f (x ) VCL cấp thấp g(x ) – Nếu k , ta nói f (x ) VCL cấp cao g(x ) – Nếu k cấp , ta nói f (x ) g(x ) VCL – Đặc biệt, k 1, ta nói f (x ) g(x ) VCL tương đương Ký hiệu f (x ) g(x ) 9/6/2014  Chƣơng Hàm số biến số  Chƣơng Hàm số biến số • Quy tắc ngắt bỏ VCL cấp thấp VD • x VCL khác cấp với lim x : x 2x x • x3 x 2x lim x x 2x x x x x x lim x3 0 vì: x x3 Cho f (x ) g(x ) tổng VCL khác cấp x x0 f (x ) lim giới hạn tỉ số hai VCL cấp cao x x g(x ) tử mẫu  Chƣơng Hàm số biến số VD Tính giới hạn: x cos x ;B A lim x 3x 2x Giải A B lim x x lim x 3x x x 2x 2 sin x §4 HÀM SỐ LIÊN TỤC 4.1 Định nghĩa • Số x Df đƣợc gọi điểm cô lập f (x ) 0: x (x ; x0 ) \ {x } x • Hàm số f (x ) liên tục x lim f (x ) x x3 x7 x lim  Chƣơng Hàm số biến số x lim x ………………………………………………………… f (x ) • Hàm số f (x ) liên tục tập X f (x ) liên tục điểm x X Chú ý Hàm f (x ) liên tục đoạn [a; b ] có đồ thị đường liền nét (không đứt khúc) đoạn Quy ước Hàm f (x ) liên tục điểm cô lập  Chƣơng Hàm số biến số 4.2 Định lý • Tổng, hiệu, tích thƣơng hàm số liên tục x hàm số liên tục x • Hàm số sơ cấp xác định đâu liên tục • Hàm số liên tục đoạn đạt giá trị lớn nhỏ đoạn x0 Df  Chƣơng Hàm số biến số 4.3 Hàm số liên tục phía • Định nghĩa Hàm số f (x ) đƣợc gọi liên tục trái (phải) x lim f (x ) f (x ) ( lim f (x ) f (x )) x x0 x x0 • Định lý Hàm số f (x ) liên tục x lim f (x ) x x0 lim f (x ) x x0 f (x ) 9/6/2014  Chƣơng Hàm số biến số tan2 x VD Cho hàm số f (x ) sin2 x 2x  Chƣơng Hàm số biến số ,x ,x để hàm số liên tục x là: 1; B ; C D ln(cos x ) VD Cho hàm số f (x ) A 0;  Chƣơng Hàm số biến số x0 x (C ) x f (x ) x0 Ngƣợc lại, x điểm gián đoạn loại hai ……………………………………………………………………………  Chƣơng Phép tính vi phân hàm biến số x x f (x ) x nên: lim x f (x ) x0 x f (x ) x0 b) Đạo hàm phía Cho hàm số y f (x ) xác định lân cận phải f (x ) f (x ) (nếu có) (x ; b) x Giới hạn lim x x0 x x0 đƣợc gọi đạo hàm bên phải y f (x ) x Ký hiệu f (x ) Tƣơng tự, f (x ) Nhận xét Hàm số f (x ) có đạo hàm x f (x ) f (x ) A ……………………………………………………… O x0 nhƣng f (x ), f (x ) f (x ) không đồng thời ta nói x điểm gián đoạn loại Nhận xét Do §1 Đạo hàm §2 Vi phân §3 Các định lý hàm khả vi – Cực trị §4 Quy tắc L’Hospital y • Nếu tồn giới hạn: lim f (x ) f (x ), lim f (x ) x  Chƣơng Phép tính vi phân hàm biến số 4.4 Phân loại điểm gián đoạn • Nếu hàm f (x ) không liên tục x x đƣợc gọi điểm gián đoạn f (x ) ,x 2x 2 3, x Giá trị để hàm số liên tục x là: 17 17 ; B ; C ; D 12 12 Giá trị arctan2 x f (x ) §1 ĐẠO HÀM 1.1 Các định nghĩa a) Định nghĩa đạo hàm Cho hàm số y f (x ) xác định lân cận (a; b) x0 (a; b) Giới hạn: f (x x) y lim lim x x x x (nếu có) đƣợc gọi đạo hàm y Ký hiệu f (x ) hay y (x ) f (x ) f (x ) x  Chƣơng Phép tính vi phân hàm biến số c) Đạo hàm vô y • Nếu tỉ số x x đạo hàm vô x ta nói y f (x ) có • Tƣơng tự, ta có khái niệm đạo hàm vô phía VD Cho f (x ) f (x ) x f (0) x f (0 ) , Chú ý Nếu f (x ) liên tục có đạo hàm vô x tiếp tuyến x đồ thị y f (x ) song song với trục Oy 9/6/2014  Chƣơng Phép tính vi phân hàm biến số  Chƣơng Phép tính vi phân hàm biến số 1.2 Các quy tắc tính đạo hàm Đạo hàm số hàm số sơ cấp 1) Đạo hàm tổng, hiệu, tích thƣơng hai hàm số: (u v ) u v ; (uv ) u v uv ; k v kv v ,k u v ; uv v 2) Đạo hàm hàm số hợp f (x ) f (x ) uv x 3) sin x cos x ; y (u ).u (x ) 5) tan x  Chƣơng Phép tính vi phân hàm biến số 8) a x ; x 9) ln x x 4) cos x x2 1 13) arctan x x2 1 14) arc cot x ; x2  Chƣơng Phép tính vi phân hàm biến số x VD Tính yx (1) hàm số cho Giải Ta có: yx x (t 2t ) 2t t (e ) et e t ; sin x ; y t e t t 2t cos x tan2 x ; sin2 x ; ; hàm số ngƣợc có đạo hàm thì: yt y (t ) y (x ) hay yx x (t ) xt (4t ) Giải Ta có: y (x ) (2t 1) x 2t y 12t 4t 4t ,t 3t  Chƣơng Phép tính vi phân hàm biến số 1.4 Đạo hàm cấp cao • Giả sử f (x ) có đạo hàm f (x ) f (x ) có đạo hàm f (x ) đạo hàm cấp hai f (x ) f (x ) yx (1) 6) cot x VD Tính y (x ) hàm số cho x  Chƣơng Phép tính vi phân hàm biến số ; x ln a 12) arccos x = ; x 1.3 Đạo hàm hàm số cho phƣơng trình tham số Cho hàm số y f (x ) có phƣơng trình dạng tham số x x (t ), y y(t ) Giả sử x x (t ) có hàm số ngƣợc a x ln a ; 10) loga x 11) arcsin x = 2) y[u(x )]: y (u ).u (x ) hay y (x ) ex ; ; 3) Đạo hàm hàm số ngƣợc y y(x ): x (y ) y (x ) 7) e x 1) x • Tƣơng tự ta có: f (n )(x ) f (n 1) (x ) đạo hàm cấp n f (x ) 9/6/2014  Chƣơng Phép tính vi phân hàm biến số VD Cho hàm số f (x ) A f (6)(0) sin x Tính đạo hàm f B f (6)(0) 32 ; C f (6)(0) VD Tính f (n ) (x ) hàm số f (x ) Giải Ta có f (x ) (n 1)(1 x )n f (x ) n(n 1)(1 x )n n x) (1 ( 1)n (n 1)!(1 Df f (x ) biểu diễn dƣới f (x ) A x 0( x ) dạng: với A số 0( x ) VCB x Khi đó, đại lƣợng A x đƣợc gọi vi phân hàm số y f (x ) x Ký hiệu df (x ) hay dy(x ) Nhận xét • f (x ) A x 0( x ) f (x ) x 0( x ) x A  Chƣơng Phép tính vi phân hàm biến số VD Tính vi phân cấp y ( 1)n n ! (x 4)n (x 1)n  Chƣơng Phép tính vi phân hàm biến số f (x ) 2.1 Vi phân cấp Hàm số y f (x ) đƣợc gọi khả vi x x) Vậy y (n ) 3x x ) §2 VI PHÂN f (x x 2  Chƣơng Phép tính vi phân hàm biến số f (x ) VD Tính y (n ) hàm số y f (x ) (n 1)n(n 1)(1 x )n ………………………………… Vậy f (n )(x ) (0)  Chƣơng Phép tính vi phân hàm biến số 32 ; D f (6)(0) 16 ; (6) arctan(x 1) x A f (x ) A x df (x ) f (x ) x hay df (x ) f (x ) x df (x ) x dx x • Chọn f (x ) x Vậy df (x ) f (x )dx hay dy VD Tính vi phân cấp f (x ) Giải Ta có f (x ) 2ln(arcsin x ) f ( 1) e e 3dx Vậy df ( 1)  Chƣơng Phép tính vi phân hàm biến số 2.2 Vi phân cấp cao Giả sử y f (x ) có đạo hàm đến cấp n thì: d ny VD Tính vi phân cấp hàm số y x 2e 3x x 3x )e 3x (2x y dx d(d n 1y ) y (n )dx n đƣợc gọi vi phân cấp n hàm y VD Tính vi phân cấp hàm số y Giải Ta có y Vậy d 2y cos x sin x dx sin2 x y sin2 x f (x ) ln(sin x ) 9/6/2014  Chƣơng Phép tính vi phân hàm biến số VD Tính vi phân cấp n hàm số y Giải Ta có y 2e 2x y (n ) y e n 2x 22e 2x d ny VD Tính vi phân cấp f (x ) f 16HD d f  Chƣơng Phép tính vi phân hàm biến số e 2x §3 CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN VỀ HÀM KHẢ VI CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 3.1 Các định lý 2n e 2xdx n tan x x 16dx 3.1.1 Bổ đề Fermat Cho hàm số f (x ) xác định (a;b) có đạo hàm x (a;b) Nếu f (x ) đạt giá trị lớn (hoặc bé nhất) x (a;b) f (x ) 3.1.2 Định lý Rolle Cho hàm số f (x ) liên tục [a;b ] khả vi (a;b) Nếu f (a ) f (b) c (a;b) cho f (c )  Chƣơng Phép tính vi phân hàm biến số 3.1.3 Định lý Cauchy Cho hai hàm số f (x ), g(x ) liên tục [a;b ], khả vi (a;b) g (x ) 0, x (a;b) Khi đó, c (a;b) cho: f (b) f (a ) f (c) g(b) g(a ) g (c) 3.1.4 Định lý Lagrange Cho hàm số f (x ) liên tục [a;b ], khả vi (a;b) Khi đó, c (a;b) cho: f (b) f (a ) f (c) b a  Chƣơng Phép tính vi phân hàm biến số 3.2 Cực trị hàm số 3.2.1 Hàm số đơn điệu a) Định nghĩa Cho hàm số f (x ) liên tục trong (a;b) Khi đó: • f (x ) đƣợc gọi tăng ngặt (a;b) f (x1 ) f (x ) , x1, x (a;b) x1 x1 x • f (x ) đƣợc gọi giảm ngặt (a;b) f (x1 ) f (x ) , x1, x (a;b) x1 x1 x x2 x2  Chƣơng Phép tính vi phân hàm biến số  Chƣơng Phép tính vi phân hàm biến số • f (x ) đƣợc gọi tăng hay giảm không ngặt (a;b) f (x1 ) f (x ) f (x1 ) f (x ) hay 0, x1 x x1 x x1, x (a;b) x1 x b) Định lý Cho hàm số f (x ) khả vi trong (a;b) Khi đó: • Nếu f (x ) 0, x (a;b) f (x ) tăng ngặt (a;b) • Nếu f (x ) 0, x (a;b) f (x ) giảm ngặt (a;b) • Nếu f (x ) 0, x (a;b) hay f (x ) 0, x (a;b) f (x ) tăng không ngặt hay giảm không ngặt (a;b) • f (x ) đƣợc gọi đơn điệu (a;b) f (x ) tăng ngặt hay giảm ngặt (a;b) • f (x ) đơn điệu (a;b) liên tục (a;b ] f (x ) đơn điệu (a;b ] (trƣờng hợp khác tƣơng tự) c) Định lý • Nếu f (x ) tăng ngặt (a;b) f (x ) (a;b) không tồn ( ; ) (a;b) cho f (x ) • Nếu f (x ) giảm ngặt (a;b) f (x ) (a;b) không tồn ( ; ) (a;b) cho f (x ) 10 9/6/2014  Chƣơng Phép tính vi phân hàm biến số 3.2.2 Cực trị a) Định nghĩa • Nếu f (x ) liên tục (a;b) chứa x f (x ) x (a;b) \ {x } f (x ) đạt cực tiểu x • Nếu f (x ) liên tục (a;b) chứa x f (x ) x (a;b) \ {x } f (x ) đạt cực đại x f (x ), f (x ), b) Định lý Cho f (x ) có đạo hàm đến cấp 2n (a;b) chứa x thỏa f (x ) • Nếu f (2n )(x ) • Nếu f f (2n (2n ) (x ) 1) (x ) f (2n )(x ) 0 f (x ) đạt cực tiểu x D • Số M đƣợc gọi giá trị lớn f (x ) X nếu: x X : f (x ) M f (x ) M , x X Ký hiệu là: M max f (x ) x X • Số m đƣợc gọi giá trị nhỏ f (x ) X nếu: x X : f (x ) m f (x ) m, x X Ký hiệu là: m f (x ) x X f (x ) đạt cực đại x  Chƣơng Phép tính vi phân hàm biến số  Chƣơng Phép tính vi phân hàm biến số b) Phƣơng pháp tìm max – Chú ý • Hàm số không đạt max X • Nếu M  Chƣơng Phép tính vi phân hàm biến số 3.2.3 Giá trị lớn – giá trị nhỏ a) Định nghĩa Cho hàm số y f (x ) có MXĐ D X max f (x ) m x X m f (x ) D f (x ) thì: x X M, x X  Hàm số liên tục đoạn [a; b] Cho hàm số y f (x ) liên tục đoạn [a; b ] Để tìm max f (x ) f (x ), ta thực bƣớc sau: x [a ;b ] x [a ;b ] • Bƣớc Giải phƣơng trình f (x ) Giả sử có n nghiệm x1, , x n [a; b ] (loại nghiệm [a; b ]) • Bƣớc Tính f (a ), f (x ), , f (x n ), f (b) • Bƣớc Giá trị lớn nhất, nhỏ giá trị tính giá trị max, tƣơng ứng cần tìm  Chƣơng Phép tính vi phân hàm biến số VD Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số f (x ) x x x đoạn [0; 2] Giải Ta có: hàm số f (x ) liên tục đoạn [0; 2] f (x ) 4x 3x x x [0; 2] nên ta loại Do x , f (2) 11 Mặt khác: f (0) 3, f (1) Vậy max f (x ) 11 x , f (x ) x x [0;2] x [0;2]  Chƣơng Phép tính vi phân hàm biến số Chú ý • Nếu đề chƣa cho đoạn [a; b ] ta phải tìm MXĐ hàm số trƣớc làm bƣớc • Có thể đổi biến số t t(x ) viết y f (x ) g(t(x )) Gọi T miền giá trị hàm t(x ) (ta thƣờng gọi điều kiện t x ) thì: max f (x ) x X max g(t ), f (x ) t T x X g(t ) t T 11 9/6/2014  Chƣơng Phép tính vi phân hàm biến số  Chƣơng Phép tính vi phân hàm biến số §4 QUY TẮC L’HOSPITAL VD Tìm giới hạn L Định lý (quy tắc L’Hospital) Cho hai hàm số f (x ), g(x ) khả vi lân cận điểm x g (x ) lân cận x (có thể g (x ) ) Nếu lim f (x ) x lim g(x ) x0 x x0 f (x ) lim x x g (x ) k (hoặc lim x VD Tìm giới hạn L f (x ) lim x x g (x ) A L x2 0x x B L 0; x ; k x e lim ) ex sin2 x arctan2 x C L ; D L Chú ý  Chiều ngƣợc lại định lý không  Ta áp dụng quy tắc L’Hospital nhiều lần  Chƣơng Phép tính tích phân hàm biến số §1 TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH 1.1 Định nghĩa • Hàm số F (x ) đƣợc gọi nguyên hàm f (x ) khoảng (a; b) F (x ) f (x ), x (a; b) Nhận xét • Nếu F (x ) nguyên hàm f (x ) F (x ) C nguyên hàm f (x )  Chƣơng Phép tính tích phân hàm biến số 1) MỘT SỐ NGUYÊN HÀM CẦN NHỚ a.dx ax C , a 2) x dx 3) dx x 5) e xdx 7) cos xdx 9) dx cos2 x x dx x ln x C; 4) ex C; 6) a xdx 8) sin xdx sin x tan x C; C ; 10) x dx sin2 x f (x ) C 13) C ax ln a 14) C cos x cot x C C f (x )dx g(x )dx  Chƣơng Phép tính tích phân hàm biến số 12) C, f (x )dx f (x )dx , k d f (x )dx f (x ) dx 4) [ f (x ) g(x )]dx 11) 1 2) k 3) f (x )dx (đọc tích phân) Ký hiệu  Chƣơng Phép tính tích phân hàm biến số Tính chất 1) k f (x )dx 15) 16) dx x a dx a2 x dx x arctan a a x arcsin a x a ln 2a x a x a2 dx x ln tan C sin x dx cos x ln tan dx x2 ln x x x2 C C, a C C a C a 12 9/6/2014  Chƣơng Phép tính tích phân hàm biến số dx VD Tính I x2 x C; x C; 2 ln x ln x A I C I x B I D I ln ln x ln x 2 x x 2 2 x x 2 C C; C A  Chƣơng Phép tính tích phân hàm biến số 1.2 Phƣơng pháp đổi biến a) Định lý Nếu f ( (t )) (t )dt dt I t C cot x sin x C arcsin ln x 3 sin x Đặt t I sin x cos xdx dt t(t 3) t ln 12 t sin x (2 sin x 3) sin3 x cos xdx dt 12 C 1 x ln x t 1 x 3) x ln x x dx C x ln x C  Chƣơng Phép tính tích phân hàm biến số dx x3 x (x 3 3) 3x 2dx x 2dx dt x (x 3) C x3 ln x3 C  Chƣơng Phép tính tích phân hàm biến số c) Tích phân hàm lƣợng giác I R(sin x, cos x )dx dx cos xdx sin x (2 sin x 2)(x (x 6 C Giải Biến đổi: I Vậy I x Giải Biến đổi I  Chƣơng Phép tính tích phân hàm biến số VD Tính I x x t ln t ln x dx dt x t arcsin ln x Giải Biến đổi: Đặt t x Giải Đặt t F ( (t )) dx VD Tính I x2 VD Tính I F (x ) C với (t ) khả vi thì: f (x )dx dx VD Tính I dx Giải I  Chƣơng Phép tính tích phân hàm biến số Cách giải • Nếu R( sin x, cos x ) sin lẻ) ta đặt t • Nếu R(sin x, cos x ) dt t sin x ln 12 sin x 3) cosin lẻ) ta đặt t • Nếu R( sin x, cos x ) C R(sin x, cos x ) (nghĩa bậc cos x R(sin x, cos x ) (nghĩa bậc sin x R(sin x, cos x ) (nghĩa bậc sin cosin chẵn) ta đặt t tan x hạ bậc 13 9/6/2014  Chƣơng Phép tính tích phân hàm biến số • Nếu R(sin x , cos x ) x tan t b cos x a sin x 2t sin x , cos x t2 c ta đặt: t2 t2  Chƣơng Phép tính tích phân hàm biến số sin3 2x cos2 x dx VD 13 Tính I VD Giải Biến đổi I Đặt t  Chƣơng Phép tính tích phân hàm biến số 1.3 Phƣơng pháp tích phân phần a) Công thức u(x )v (x )dx u(x )v(x ) u (x )v(x )dx uv t x2 du cos6 x cos8 x C x 2x C I u x x dx dv dx x x dx Giải Biến đổi I vdu dx ,v x sin x dx 1)dt VD VD 817 : Tính I x ln x dx u ln x Giải Đặt dv xdx dt  Chƣơng Phép tính tích phân hàm biến số Đặt VD VD 16 : Tính I cos x t (t t8 udv cos2 x )(sin x dx ) Vậy I hay cos5 x (1 x x ln ln du x ln dx , v x x ln 2 x dx x ln2 C C Chú ý • Đối với nhiều tích phân khó ta phải đổi biến trƣớc lấy phần  Chƣơng Phép tính tích phân hàm biến số  Chƣơng Phép tính tích phân hàm biến số x ln x I xdx VD VD 918 : Tính I cos x e Giải Biến đổi I (1 Đặt t Đặt I u dv 2 du 2tdt et (1 t2) et (1 t2) 1)2 Giải Đặt t 2tetdt 2tet C x x t3 3t 2dt dx t t )e dt I et v cos x dx VD 19.: Tính I VD10 sin2 x )e sin x cos x dx (1 e dt x dx I t et (t sin x sin x t 1 x ln x et (1 t2) 2t(det ) td(cos t ) 3t sin t 6t cos t 1)2 t d(sin t ) 3t sin t x2 2etdt e sin x (sin x t cos t dt sin x sin t C x cos x C C 14 9/6/2014  Chƣơng Phép tính tích phân hàm biến số b) Các dạng tích phân phần thƣờng gặp P(x )e • Đối với dạng tích phân x dx , P (x ) đa thức, ta đặt: u e xdx P (x ), dv Ta chia đoạn [a; b ] thành n đoạn nhỏ điểm chia x a x1 xn xn b [xk 1; xk ] tùy ý (k k k f ( k )(x k Giới hạn hữu hạn (nếu có) I ln x, dv 1, n ) n Lập tổng tích phân: P (x ) đa thức, ta đặt: u §2 TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 2.1 Định nghĩa Cho hàm số f (x ) xác định [a; b ] Lấy điểm P(x )ln x dx , • Đối với dạng tích phân  Chƣơng Phép tính tích phân hàm biến số x k ) lim max(xk xk k P(x )dx đƣợc gọi ) tích phân xác định f (x ) đoạn [a; b ] b ……………………………………………………………………… Ký hiệu I f (x )dx a  Chƣơng Phép tính tích phân hàm biến số b k a b g(x )]dx a b f (x )dx , c a [a ; b ] b f (x )dx b 8) m f (x )dx f (x ) g(x )dx a b f (x ) dx a b f (x )dx a 7) a f (x )dx a [a; b ] b a c a g(x ), x g(x )dx f (x )dx 0; f (x )dx 4) f (x )dx b a b f (x )dx b 6) f (x ) b a f (x )dx 3) [a; b ] a b a a 0, x f (x )dx , k a [ f (x ) 2) 5) f (x ) b k f (x )dx 1)  Chƣơng Phép tính tích phân hàm biến số b Tính chất a M, x [a; b ] b c m(b a) f (x )dx M (b a) a  Chƣơng Phép tính tích phân hàm biến số  Chƣơng Phép tính tích phân hàm biến số 9) Nếu f (x ) liên tục đoạn [a; b ] VD Tích phân b c [a; b ] : f (x )dx f (c )(b a ) a Khi đó, đại lƣợng f (c) b b a f (x )dx đƣợc gọi a giá trị trung bình f (x ) đoạn [a; b] hàm số f (x ) x2 dx cos2 x x cos2 x bị chặn (hữu hạn) liên tục đoạn [0; 1] VD Giá trị trung bình hàm số f (x ) e e 1 dx x e 1 [1; e ] x 15 9/6/2014  Chƣơng Phép tính tích phân hàm biến số a) Tích phân với cận thay đổi (tham khảo) Cho hàm f (x ) khả tích [a; b ], với x [a; b ] x f (t )dt liên tục x hàm số (x )  Chƣơng Phép tính tích phân hàm biến số x2 2.2 Công thức Newton – Leibnitz [a; b ] VD2 : VD Giải Đặt t u dt 2udu , t u 1, t x x VD Xét (x ) u 2u ln u 2du t2 e dt, x x x t ln tdt (x ) f (x ) x (x ) Tìm a (x ) t ln tdt, x Cho (x ) 2x ln x (x ) et Ta có: f (t ) (x ) f (x ) ex  Chƣơng Phép tính tích phân hàm biến số Nếu f (x ) liên tục [a; b ] F (x ) nguyên hàm x tùy ý f (x ) (x )  Chƣơng Phép tính tích phân hàm biến số Nhận xét b) Công thức Newton – Leibnitz f (t )dt F (x ) (x )+C 1) Có hai phƣơng pháp tính tích phân nhƣ §1 2) Hàm số f (x ) liên tục lẻ [ a f (x )dx nguyên hàm f (x ) [a; b ] b f (x )dx a F (x ) b a F (b) f (x )dx F (a ) ] thì: f (x )dx  Chƣơng Phép tính tích phân hàm biến số b f (x ) dx , ta dùng bảng xét dấu f (x ) để VD35.: Tính VD dx I a tách f (x ) thành tổng hàm đoạn nhỏ e VD VD4 : Đặc biệt b ;  Chƣơng Phép tính tích phân hàm biến số 4) Để tính ] thì: 3) Hàm số f (x ) liên tục chẵn [ Vậy ta có: Tính I x2 2x (x 1)ln x dx x b f (x ) dx a ; f (x )dx f (x ) a 0, x (a;b) VD VD5 : Tính I x x dx 16 9/6/2014  Chƣơng Phép tính tích phân hàm biến số §3 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 3.1 Tính diện tích S hình phẳng a) Biên hình phẳng cho phƣơng trình tổng quát S S b S Giải Hoành độ giao điểm: x2 x4 x 1, x 0 d f2 (x ) f1(x ) dx S g (y ) a  Chƣơng Phép tính tích phân hàm biến số VD Tính diện tích hình phẳng S giới hạn đƣờng y x y x A S ; B S 15 15 C S ; D S 15 15 g1(y ) dy Cách khác Hoành độ giao điểm x x4 x 1, x x2 x dx x2 (x 2 15 x )dx C x y2 y x x y2 x y Tung độ giao điểm: y2 y y 1, y (y y dy 2)  Chƣơng Phép tính tích phân hàm biến số VD Tính diện tích hình phẳng S giới hạn đƣờng y e x , y e 2x x ln 1 ln A ln ; B ; C ; D ln 2 2 ln (e 2x S ex 2)dx ln ln e 2x x ln 2x e A ln ex C  Chƣơng Phép tính tích phân hàm biến số S Giải Hoành độ giao điểm: e x e 2x e x e x 15 x )dx Giải Biến đổi: x dx (x VD Tính diện tích hình phẳng S giới hạn đƣờng x y y x S x )dx c  Chƣơng Phép tính tích phân hàm biến số (x S 2x 2 y y 2y 27  Chƣơng Phép tính tích phân hàm biến số b) Biên hình phẳng cho phƣơng trình tham số Hình phẳng giới hạn đƣờng cong có phƣơng trình x x(t ), y y(t ) với t [ ; ] thì: S y(t ).x (t ) dt VD Tính diện tích hình elip S : x2 y2 a b2 Giải Phƣơng trình tham số elip là: x a cos t , t [0; ] y b sin t 17 9/6/2014  Chƣơng Phép tính tích phân hàm biến số S b sin t ( a sin t ) dt 3.2 Tính độ dài l đƣờng cong sin2 t dt ab a) Đƣờng cong có phƣơng trình tổng quát ab cos 2t dt  Chƣơng Phép tính tích phân hàm biến số Cho cung AB có phƣơng trình y ab f (x ), x [a; b ] thì: b l [ f (x )]2 dx AB a x2 từ gốc tọa độ VD Tính độ dài cung parabol y O(0; 0) đến điểm M 1;  Chƣơng Phép tính tích phân hàm biến số Giải Ta có:  Chƣơng Phép tính tích phân hàm biến số b) Đƣờng cong có phƣơng trình tham số l (y )2 dx Cho cung AB có phƣơng trình tham số x x (t ) , t [ ; ] thì: y y(t ) 1 x 2 x dx x2 ln x x2 ln l  Chƣơng Phép tính tích phân hàm biến số t2 y ln t t2 ,t  Chƣơng Phép tính tích phân hàm biến số 3.3 Tính thể tích vật thể tròn xoay a) Vật thể quay quanh Ox 0; Thể tích V vật thể miền phẳng S giới hạn y f (x ), y , x a , x b quay quanh Ox là: b Giải Ta có: [x (t )]2 [y (t )]2 dt a VD Tính thể tích V hình phẳng S giới hạn y ln x , y , x 1, x e quay xung quanh Ox [ f (x )]2dx V l [y (t )]2 dt VD Tính độ dài cung C có phƣơng trình: x [x (t )]2 AB t t 2 1 t dt 1 e Giải V ln x dx (x ln x x) e 18 9/6/2014  Chƣơng Phép tính tích phân hàm biến số VD Tính V (E ) : Giải Ta có: x2 y2 2 a b x2 y2 a2 b2 quay quanh Ox b2 y2 a  Chƣơng Phép tính tích phân hàm biến số b) Vật thể quay quanh Oy Thể tích V vật thể miền phẳng S giới hạn x g(y ), x 0, y c y d quay quanh Oy là: a2 d x2 [g(y )]2dy V c b Vậy V a a a2 x dx a ab VD Tính thể tích V hình phẳng S giới hạn y 2x x 2, y quay xung quanh Oy  Chƣơng Phép tính tích phân hàm biến số Giải Parabol y 2x x đƣợc viết lại: y 2x x (x 1)2 x 1 y, x x 1 y, x  Chƣơng Phép tính tích phân hàm biến số Chú ý Thể tích V vật thể miền phẳng S giới hạn y f (x ), y , x a x b quay xung quanh Oy đƣợc tính theo công thức: y b V xf (x )dx (*) a Vậy V 1 y 1 y VD 10 Dùng công thức (*) để giải lại VD dy y dy (1 y )3 Giải V x (2x 2 x )dx 2x 3 x4 ……………………………………………………………………… 19 [...]... sin x, cos x ) của sin lẻ) th ta đặt t • Nếu R(sin x, cos x ) 1 dt t 1 2 sin 4 x ln 12 2 sin 4 x 3 3) của cosin lẻ) th ta đặt t • Nếu R( sin x, cos x ) C R(sin x, cos x ) (nghĩa là bậc cos x R(sin x, cos x ) (nghĩa là bậc sin x R(sin x, cos x ) (nghĩa là bậc của sin và cosin chẵn) th ta đặt t tan x hoặc hạ bậc 13 9/6/2014  Chƣơng 3 Phép tính tích phân hàm một biến s • Nếu R(sin x , cos x ) x... một biến s 1 2 x ln x 2 I 1 2 xdx 3 VD VD 918 : Tính I cos x e Giải Biến đổi I (1 Đặt t Đặt I u dv 2 2 du 2tdt et (1 t2) et (1 t2) 1)2 Giải Đặt t 2tetdt 2tet C 3 x x t3 3t 2dt dx t t )e dt I et v cos 3 x dx VD 19.: Tính I VD10 sin2 x )e sin x cos x dx (1 e dt 1 2 x 4 dx I t et (t sin x sin x t 1 1 2 x ln x 2 et (1 t2) 2t(det ) 6 td(cos t ) 3t 2 sin t 6t cos t 3 1)2 3 t 2 d(sin t ) 3t 2 sin t 3... Nếu R(sin x , cos x ) x tan 2 t 1 b cos x a sin x 2t sin x , cos x t2 1 c th ta đặt: 1 t2 1 t2  Chƣơng 3 Phép tính tích phân hàm một biến s sin3 2x cos2 x dx VD 13 6 Tính I VD Giải Biến đổi I Đặt t  Chƣơng 3 Phép tính tích phân hàm một biến s 1.3 Phƣơng pháp tích phân từng phần a) Công th c u(x )v (x )dx u(x )v(x ) u (x )v(x )dx uv 4 6 t 3 x2 2 du 4 cos6 x 3 cos8 x C x 2x C I u x 2 x dx dv dx x... tích phân hàm một biến s §3 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 3.1 Tính diện tích S của hình phẳng a) Biên hình phẳng cho bởi phƣơng trình tổng quát S S b S Giải Hoành độ giao điểm: x2 x4 x 1, x 0 0 d f2 (x ) f1(x ) dx S g 2 (y ) a  Chƣơng 3 Phép tính tích phân hàm một biến s VD 1 Tính diện tích hình phẳng S giới hạn bởi các đƣờng y x 2 và y x 4 1 2 A S ; B S 15 15 4 8 C S ; D S 15 15 g1(y ) dy Cách... s Giải Ta có: 1 2  Chƣơng 3 Phép tính tích phân hàm một biến s b) Đƣờng cong có phƣơng trình tham s 1 l 1 (y )2 dx 1 0 Cho cung AB có phƣơng trình tham s x x (t ) , t [ ; ] th : y y(t ) 0 1 1 x 1 2 2 2 x 2 dx 1 x2 ln x 1 x2 0 1 ln 1 2 l  Chƣơng 3 Phép tính tích phân hàm một biến s t2 y ln t 1 t2 1 ,t  Chƣơng 3 Phép tính tích phân hàm một biến s 3.3 Tính th tích vật th tròn xoay a) Vật th ... 2 sin 4 x Đặt t I sin 3 x cos xdx 1 4 dt t(t 3) 1 t 3 ln 12 t sin 4 x (2 sin 4 x 3) 8 sin3 x cos xdx dt 3 1 12 C 1 1 5 x 3 1 ln x 3 5 1 t 3 1 1 5 x 3 3) 1 x 2 ln x 1 x 2 dx C 2 1 x ln 5 x 3 2 C  Chƣơng 3 Phép tính tích phân hàm một biến s dx x3 x (x 3 3 3) 3x 2dx x 2dx dt x 3 (x 3 3) C 1 x3 ln 9 x3 3 C  Chƣơng 3 Phép tính tích phân hàm một biến s c) Tích phân hàm lƣợng giác I R(sin x, cos... y x 2 1 S x 4 )dx 1 c  Chƣơng 3 Phép tính tích phân hàm một biến s 1 (x 2 S 2x 0 2 2 1 2 y 2 1 3 y 3 2y 2 1 27 6  Chƣơng 3 Phép tính tích phân hàm một biến s b) Biên hình phẳng cho bởi phƣơng trình tham s 1 2 Hình phẳng giới hạn bởi đƣờng cong có phƣơng trình x x(t ), y y(t ) với t [ ; ] th : S y(t ).x (t ) dt VD 4 Tính diện tích hình elip S : x2 2 y2 a b2 Giải Phƣơng trình tham s của elip... sin t 6t cos t 3 1)2 3 t 2 d(sin t ) 3t 2 sin t 3 x2 2etdt e sin x (sin x 3 t 2 cos t dt 6 sin 3 x 6 sin t C 6 3 x cos 3 x C C 14 9/6/2014  Chƣơng 3 Phép tính tích phân hàm một biến s b) Các dạng tích phân từng phần th ờng gặp P(x )e • Đối với dạng tích phân x dx , P (x ) là đa th c, th ta đặt: u e xdx P (x ), dv Ta chia đoạn [a; b ] th nh n đoạn nhỏ bởi các điểm chia x 0 a x1 xn 1 xn b [xk 1;... Phƣơng trình tham s của elip là: x a cos t , t [0; 2 ] y b sin t 1 17 9/6/2014  Chƣơng 3 Phép tính tích phân hàm một biến s 2 S 2 b sin t ( a sin t ) dt 0 3.2 Tính độ dài l của đƣờng cong sin2 t dt ab a) Đƣờng cong có phƣơng trình tổng quát 0 2 1 ab 0 cos 2t dt 2  Chƣơng 3 Phép tính tích phân hàm một biến s Cho cung AB có phƣơng trình y ab f (x ), x [a; b ] th : b l [ f (x )]2 dx 1 AB a x2 từ gốc... của hàm s trƣớc khi làm bƣớc 1 • Có th đổi biến s t t(x ) và viết y f (x ) g(t(x )) Gọi T là miền giá trị của hàm t(x ) (ta th ờng gọi là điều kiện của t đối với x ) th : max f (x ) x X max g(t ), min f (x ) t T x X min g(t ) t T 11 9/6/2014  Chƣơng 2 Phép tính vi phân hàm một biến s  Chƣơng 2 Phép tính vi phân hàm một biến s §4 QUY TẮC L’HOSPITAL VD 1 Tìm giới hạn L Định lý (quy tắc L’Hospital)