Bài giảng toán cao cấp phương trình vi phân ths nguyễn văn phong

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂNNguyễn Văn Phong Toán cao cấp - MS: MAT1006... Một số ví dụKết quả ứng dụng 1.. Năm 1946 Willard Libby, phát hiện rằng trong tế bào của thực vật, động vật, người tron

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

Nguyễn Văn Phong

Toán cao cấp - MS: MAT1006

Nhân hai vế của (1) cho 1/P, ta được

1 P

Một số ví dụ

Kết quả ứng dụng

1 Dựa vào (4), nếu dân số thế giới năm 1990 là 5.8 tỉ và nếu tỉ lệ

r = 2.6% thì dân số thế giới năm 2013 là 10.8245 tỉ

2 Dân số Việt Nam năm 1990 là 63 triệu và tỉ lệ r = 2%, thì dân

số Việt Nam năm 2013 là 101.8 triệu.

Ví dụ 2 Năm 1946 Willard Libby, phát hiện rằng trong

tế bào của thực vật, động vật, người trong suốt thời gianchúng sống, lượng carbon − 14 phóng xạ không đổi Nếuchúng chết, lượng carbon − 14 phóng xạ sẽ giảm do sựphân rã hạt nhân Và sự phân rã này tuân theo môt quyluật cho bởi

dQ

Định nghĩa

Nghiệm PTVP

Hàm khả vi y = ϕ(x ) được gọi là nghiệm của PTVP,nếu khi thay nó cho hàm chưa biết của phương trình sẽđược đồng nhất thức

Ví dụ

Phương trình y 0 = p1 − y 2 có nghiệm là y = sin (x + C )

i) Là nghiệm của (9) hay (10) với mọi C

ii) Với điều kiện đầu y (x0) = y0 sao cho (x0, y0) ∈ D chỉ có duy nhất C = C0 là cho nghiệm y = ϕ (x , C0 ) thoả điều kiện đầu

Dạng tách biến (có biến số phân ly)

Phương trình vi phân có dạng

f1(x )ϕ1(y )dx + f2(x )ϕ2(y )dy = 0 (13)Cách giải

Đối với (12), tích phân hai vế ta có

Z

f (x )dx +

Z

g (y )dy = C (14) Đối với (13), ta biến đổi về dạng (12) như sau

Z f1(x )

f2(x ) dx +

Z ϕ1(y )

ϕ2(y ) dy = C (15)

9) x (1 + x 2 )dy − (1 + y2)dx = 0

10) (x + 1)3dy − (y − 2) 2 dx = 0

Phương trình vi phân toàn phần

Phương trình vi phân có dạng

P(x , y )dx + Q(x , y )dy = 0, với Py = Qx (16)Cách giải

Ta nhận xét rằng, vế trái của (16) là vi phân toàn phần của một hàm u(x , y ) nào đó.

Khi đó, nếu (16) viết dưới dạng du = 0, thì nghiệm tổng quát của có dạng u = C , trong đó

Nghĩa là vế trái của (1) là vi phân toàn phần của hàm u(x , y ), với

u x = e x + y + sin y (a); u y = e y + x + x cos y (b)

Từ (a), ta có

u =

Z (ex+ y + sin y ) dx + C (y )

= ex + xy + x sin y + C (y ) suy ra, u y = x + x cos y + C0(y )

Từ (b), ta có x + x cos y + C 0 (y ) = ey + x + x cos y

Do đó, C0(y ) = e y ⇒ C (y ) = e y

Vậy nghiệm tổng quát của (1) là ex+ xy + x sin y + ey = C

Phương trình vi phân tuyến tính

Phương trình vi phân có dạng

Nếu Q(x ) = 0 thì (18) được gọi là thuần nhất

Nếu Q(x ) 6= 0 thì (18) được gọi là không thuần nhất

Phương trình vi phân tuyến tính

2 Không thuần nhất: y0 + P(x)y = Q(x) (1)

Để tìm nghiệm tổng quát của (1) ta thực hiện

Bước 1: Tìm một nguyên hàm của P(x ): u(x ) = R P(x)dx

Bước 2: Tìm một thừa số tích phân: v (x ) = e u(x )

Bước 3: Nhân hai vế của (1) cho v (x ), ta được



Phương trình đẳng cấp

Định nghĩa

Hàm f (x , y ) được gọi là đẳng cấp bậc m nếu

f (λx , λy ) = λmf (x , y )Khi đó phương trình đẳng cấp có dạng

P(x , y )dx + Q(x , y )dy = 0 (20)Trong đó, P(x , y ), Q(x , y ) là hàm đẳng cấp cùng bậc

Để giải (20), ta đưa (20) về dạng

y0 = f y

x

 (∗) Đặt y = tx ta đưa (∗) về dạng phương trình phân ly biến đối với hàm cần tìm là t

PTVP cấp 2 hệ số hằng

1 Phương trình thuần nhất: y00+ ay0 + by = 0

Giải phương trình k 2 + ak + b = 0 (1) Ta có các khả năng sau:

Nếu (1) có hai nghiệm phân biệt k1, k2 thì NTQ của (21) là

y = C1ek1 x + C2ek2 x ; C1, C2 : Const Nếu (1) có nghiệm kép k thì NTQ của (21) là

y = C1ekx + C2xekx ; C1 , C2 : Const Nếu (1) có 2 nghiệm phức k = α ± βi thì NTQ của (21) là

y = eαx(C1cos βx + C2 sin βx ) ; C1 , C2 : Const

PTVP cấp 2 hệ số hằng

2 Phương trình không thuần nhất

Phương trình không thuần nhất có dạng

y00+ ay0 + by = f (x ) (22)Trong đó, a, b là các hằng số

PTVP cấp 2 hệ số hằng

2 Phương trình không thuần nhất

Để tìm nghiệm tổng quát của (22) ta thực hiện

Bước 1: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất y0Bước 2: Tim một nghiệm riêng của (22), với

Trường hợp 1: Nếu f(x) = e αx P n(x)(Pn(x ) : đa thức bậc n),

và α là nghiệm bội m của phương trình thuần nhất thì nghiệm riêng của (22) có dạng yp = xmeαxQn(x)

trong đó, Qn(x ) là đa thức cùng bậc với Pn(x ).

Trường hợp 2: Nếu f(x) = e αx (Pn(x) cos βx + Qn(x) sin βx) Trong đó, (Pn(x ), Qn(x ) : đa thức bậc n), và α ± i β là nghiệm bội m của phương trình thuần nhất thì nghiệm riêng của (22)

có dạng yp = xmeαx(An(x) cos βx + Bn(x) sin βx)

trong đó, An(x ), Bn(x ) là đa thức cùng bậc với Pn(x ), Qn(x ).

y00 + ay0+ by = αf1(x ) + βf2(x )

Ví dụ

Phương trình y 00 + 4y = ex có nghiệm riêng là: y1 = 15e x , và

phương trình y 00 + 4y = x2 có nghiệm riêng là: y2 = 14x 2 − 1

8 Theo định lý cộng nghiệm

Phương trình y00+ 4y = 6e x có nghiệm riêng:

y (x ) = 6y1 = 6

5ex

Phương trình y00+ 4y = −4x2 có nghiệm riêng:

y (x ) = −4y2 = −x2+ 1

2 Phương trình y 00 + 4y = 10ex + 8x2 có nghiệm riêng:

y (x ) = 10y1 + 8y2 = 2ex+ 2x2+ 1