Bài giảng toán cao cấp ma trận định thức ths nguyễn văn phong

MA TRẬN - ĐỊNH THỨC Nguyễn Văn Phong Toán cao cấp - MS: MAT1006 Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Tốn cao cấp - MS: MAT1006 / 44 Nội dung MA TRẬN CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN ĐỊNH THỨC MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO HẠNG CỦA MA TRẬN Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Tốn cao cấp - MS: MAT1006 / 44 Ma trận Định nghĩa Một bảng số (số thức, số dòng n cột  a11  a21 A=  ··· am1 phức) hình chữ nhật gồm m a12 a22 ··· am2 ··· ··· ··· ···  a1n a2n   ···  amn Hay A = (aij )m×n Được gọi ma trận cấp m × n Ký hiệu: - [A]ij phần tử nằm dòng i, cột j A - Mm×n , tập tất ma trận cấp m × n Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Tốn cao cấp - MS: MAT1006 / 44 Ví dụ Cho ma trận A= ∈ M2×3 Khi đó, ta có [A]11 = 1; [A]12 = 2; [A]13 = [A]21 = 4; [A]22 = 5; [A]23 = Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Tốn cao cấp - MS: MAT1006 / 44 Hai ma trận Định nghĩa Hai ma trận A B gọi i) A B cấp ii) [A]ij = [B]ij , ∀i, j Ví dụ Cho hai ma trận A= p q ;B = s Ta có, A = B p = 1; q = 3; s = Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Tốn cao cấp - MS: MAT1006 / 44 Một số ma trận đặc biệt Định nghĩa Ma trận không Ma trận khơng cấp m × n, ký hiệu Om×n , ma trận mà phần tử Ví dụ O2×3 = Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) 0 0 0 ma trận khơng cấp × ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Tốn cao cấp - MS: MAT1006 / 44 Một số ma trận đặc biệt Định nghĩa Ma trận vuông Là ma trận có số dịng số cột Ký hiệu Mn tập ma trận vuông cấp n i) Các phần tử a11 , a22 , , ann : Tạo thành đường chéo (chính) A i) Các phần tử an1 , an−1,2 , , a1n : Tạo thành đường chéo phụ A   −2 Ví dụ Ma trận A =   ma trận vuông −5 cấp Các phần tử 1, 6, −5 nằm đường chéo Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Tốn cao cấp - MS: MAT1006 / 44 Một số ma trận đặc biệt Định nghĩa Ma trận tam giác (dưới) Là ma trận vuông cấp n mà phần tử nằm bên (trên) đường chéo   −2 Ví dụ Ma trận A =   ma trận tam 0 −5 giác Lưu ý: Trong ma trận tam giác phần tử nằm đường chéo Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Tốn cao cấp - MS: MAT1006 / 44 Một số ma trận đặc biệt Định nghĩa Ma trận chéo Là ma trận vuông cấp n mà phần tử không nằm đường chéo   0 Ví dụ Ma trận A =  −7  ma trận chéo cấp 0 Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Tốn cao cấp - MS: MAT1006 / 44 Một số ma trận đặc biệt Định nghĩa Ma trận đơn vị cấp n Là ma trận chéo cấp n, ký hiệu In , mà phần tử đường chéo   0 Ví dụ Ma trận I3 =   ma trận đơn vị cấp 0 Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Tốn cao cấp - MS: MAT1006 / 44 Định thức ma trận vuông Chẳng hạn, n = 2, i.e., A = a11 a12 a21 a22 , áp dụng (1) ta có det A = (−1)1+1 a11 det A11 + (−1)1+2 a12 det A12 = a11 a22 − a12 a21 Nhận xét Nếu A ∈ M2 det A tích phần tử đường chéo trừ tích phần tử đường chéo phụ Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Tốn cao cấp - MS: MAT1006 30 / 44 Định thức ma trận vuông  a11 a12 a13 Khi n = 3, i.e., A =  a21 a22 a23 , áp dụng (1) ta a31 a32 a33 có n  (−1)1+j a1j det A1j det A = j=1 = a11 (a22 a33 − a23 a32 ) − a12 (a21 a33 − a23 a31 ) + a13 (a21 a32 − a22 a31 ) = (a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 ) − (a11 a23 a32 + a12 a21 a33 + a13 a22 a31 ) Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Toán cao cấp - MS: MAT1006 31 / 44 Định thức ma trận vuông Quy tắc Sarrus a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 a11 a12 a21 a22 a31 a32 Khi det A = (a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 ) − (a11 a23 a32 + a12 a21 a33 + a13 a22 a31 ) Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Tốn cao cấp - MS: MAT1006 32 / 44 Định thức ma trận vuông Định lý Cho A = j n×n n Khi (−1)i0 +j ai0 j det Ai0 j i) det A = j=1 n ii) det A = (−1)i+j0 aij0 det Aij0 i=1 Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Toán cao cấp - MS: MAT1006 33 / 44 Định thức ma trận vuông Cho A, B, C ∈ Mn k ∈ R Khi Định lý i) Nếu [C ]1j = [A]1j + [B]1j [A]ij = [B]ij = [C ]ij , ∀i = det C = det A + det B [B]1j = k[A]1j det B = k det A ii) Nếu [B]ij = [A]ij , ∀i = Hơn nữa, ta có det (kA) = k n det A Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Tốn cao cấp - MS: MAT1006 34 / 44 Định thức ma trận vuông Định lý (i)∼(i ) i) Nếu A −−−−→ B det B = − det A (i):=α(i ) ii) Nếu A −−−−−→ B det B = α det A (i):=(i)+α(i ) Nếu A −−−−−−−→ B det B = det A det A = det AT , ∀A ∈ Mn Với A, B ∈ Mn , ta có det (AB) = det A × det B Nếu ma trận có dịng cột tỉ lệ định thức vii) Nếu A ma trận tam giác định thức tích phần tử đường chéo iii) iv) v) vi) Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Tốn cao cấp - MS: MAT1006 35 / 44 Ma trận nghịch đảo Định nghĩa Cho A, B ∈ Mn Ta nói A, B hai ma trận nghịch đảo AB = BA = In , ta nói A B ma trận khả nghịch Ký hiệu B = A−1 hay A = B −1 Ví dụ Cho hai ma trận A= ;B = −3 −1 1 0 Vậy A, B khả nghịch B = A−1 hay A = B −1 Khi đó, ta có AB = BA = Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Tốn cao cấp - MS: MAT1006 36 / 44 Ma trận nghịch đảo Định lý Ma trận A ∈ Mn khả nghịch det A = Khi đó, ta có cơng thức tìm ma trận nghịch đảo sau  T b11 b12 · · · b1n  1   b21 b22 · · · b2n  (2) A−1 = BT = det A det A  · · · · · · · · · · · ·  bn1 bn2 · · · bnn đó, bij = (−1)i+j det Aij , i, j = 1, 2, , n Aij ma trận nhận từ A cách bỏ dòng i cột j Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Tốn cao cấp - MS: MAT1006 37 / 44 Ví dụ Tìm ma trận nghịch đảo   A= 2 −7 Ta có det A = −1, A khả nghịch định  b b 1  11 12 T −1 b21 b22 B = A = det A det A b b 31 31 A−1 xác T b13 b23  b33 với bij = (−1)i+j det Aij , cụ thể Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Tốn cao cấp - MS: MAT1006 38 / 44 Ví dụ b11 = (−1)1+1 b21 = (−1)2+1 b31 = (−1)3+1 1 3 = 2,b12 = −22, b13 = = −5, b22 = 53, b23 = −22 = −1, b32 = 12, b33 = −5 Vậy T   −22 −2 1  −5 53 −22  =  22 −53 −12  = −1 −1 12 −5 −9 22  A−1 Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Tốn cao cấp - MS: MAT1006 39 / 44 Ví dụ Ngồi ta cịn có phương pháp thứ hai để tìm ma trận nghịch đảo sau i) Lập ma trận (A |In ) phép biến đổi sơ cấp ii) Biến đổi (A |In ) −−−−−−−−−−→ (In |B ) Khi đó, bước thứ hai thực ta có B = A−1 Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Tốn cao cấp - MS: MAT1006 40 / 44 Ví dụ Xét lại ví dụ trên, ta có   0 (A |I3 ) =  2  −7 0   0 −2 →  22 −53 −12  0 −9 22 Nghĩa A−1 = I3 A−1   −2 =  22 −53 −12  −9 22 Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Tốn cao cấp - MS: MAT1006 41 / 44 Tính chất Định lý i) Nếu A khả nghịch A−1 tồn −1 ii) A−1 = B −1 A−1 −1 = A−1 iii) (AB) iv) AT =A −1 T v) (kA)−1 = k1 A−1 Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Tốn cao cấp - MS: MAT1006 42 / 44 Hạng ma trận Định nghĩa Cho ma trận A ∈ Mm×n , ta gọi hạng A r i) Mọi định thức A cấp lớn r ii) Trong A tồn định thức cấp r khác Ký hiệu: rank (A) hay r (A)   Ví dụ Ma trận A =  ,có r (A) = 2, det A = A có định thức =0 Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Tốn cao cấp - MS: MAT1006 43 / 44 Tính chất i) Hạng khơng thay đổi qua phép biến đổi sơ cấp qua chuyển vị ii) Nếu A bậc thang hạng A số bậc thang   −1 Ví dụ Ma trận A =   có r (A) = 0 0 Nhận xét: Để tìm hạng ma trận, ta biến đổi ma trận ma trận bậc thang Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Tốn cao cấp - MS: MAT1006 44 / 44 ...Nội dung MA TRẬN CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN ĐỊNH THỨC MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO HẠNG CỦA MA TRẬN Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Tốn cao cấp - MS: MAT1006 / 44 Ma trận Định nghĩa Một... 0 Ví dụ Ma trận I3 =   ma trận đơn vị cấp 0 Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Toán cao cấp - MS: MAT1006 / 44 Một số ma trận đặc biệt Định nghĩa Ma trận dòng (cột) Là ma trận có... Tốn cao cấp - MS: MAT1006 / 44 Một số ma trận đặc biệt Định nghĩa Ma trận chéo Là ma trận vuông cấp n mà phần tử không nằm đường chéo   0 Ví dụ Ma trận A =  −7  ma trận chéo cấp 0 Nguyễn Văn