Bài giảng Toán cao cấp GV. Trần Thị Xuyên

Bài giảng Toán cao cấp GV. Trần Thị XuyênBài giảng Toán cao cấp do giảng viên Trần Thị Xuyên biên soạn trình bày và giới thiệu học phần toán cao cấp về 6 chương như: hàm số và giới hạn, đạo hàm, hàm số nhiều biến số và cực trị của hàm nhiều biến, tích phân, phương trình vi phân, phương trình sai phân.

HỌC VIỆN NGÂN HÀNG

BỘ MÔN TOÁN

———————o0o——————–

BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP

Giảng viên: Trần Thị Xuyến

HÀ NỘI - 2013

GIỚI THIỆU HỌC PHẦN TOÁN CAO CẤP

Chương 5: Phương trình vi phân

Chương 6: Phương trình sai phân

TIÊU CHUẨN ĐÁNH GIÁ SINH VIÊNĐiểm chuyên cần: 10 %

Điểm kiểm tra giữa kì: 2 bài chiếm 30 %

Thi hết học phần: 60%

Thang điểm 10

Bài kiểm tra số 1: Khi kết thúc chương 3

Bài kiểm tra số 2: Khi kết thúc chương 6

CHƯƠNG 1 HÀM SỐ VÀ GIỚI HẠN

1.1.1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ

A Biến sốĐịnh nghĩa 1.1.1 Biến số là đại lượng mà giá trị của nó có thể thay đổi trênmột tập số X 6= ∅

Ta thường kí hiệu biến số là chữ cái: x, y, z và X gọi là miền biến thiên

Các biến số kinh tế hay gặp

x gọi là biến độc lập.

X gọi là miền xác định

y gọi là biến phụ thuộc

f (X) = {y ∈R|y = f (x), x ∈ X} là miền giá trị của hàm số

Ví dụ 1.1.2 x2+ y2− 1 = 0 hay x3− y 3 + 1 = 0

E Hàm ngượcĐịnh nghĩa 1.1.4 Cho hàm số y = f (x) với miền xác định X, miền giá trị Y.Nếu ∀y0 ∈ Y, phương trình f (x) = y0 có nghiệm duy nhất thuộc X thì ta có thểxác định một hàm số cho tương ứng mỗi y0 ∈ Y một và chỉ một x0 ∈ X sao cho

f (x0) = y0

Hàm số này gọi là hàm ngược của hàm số y = f (x), kí hiệu là: f−1

Cách tìm hàm ngược

• Viết f (x) = y và tìm x theo y

• Đổi chỗ kí hiệu x, y cho nhau để biểu diễn f−1 như là hàm của x

Ví dụ 1.1.3 Tìm hàm ngược của hàm sau

y = (x − 1)2, ∀x ≥ 1

Các hàm ngược của các hàm số cơ bản

1 Khi xét hàm sốy = sin x xác định trên X =−π2,π2 và có MGT[−1, 1] có hàmngược là y = arcsin x xác định trên [−1, 1] và có MGT là 

• Hàm số y = f (x) gọi là đơn điệu tăng trên miền X nếu x 1 < x 2 thì f (x 1 ) <

Hàm số tuần hoàn

Hàm sốf (x) xác định trên X được gọi là hàm tuần hoàn với chu kì T nếu ∀x ∈ X,

ta có x + T ∈ X và f (x + T ) = f (x)

Khi nói chu kì của hàm tuần hoàn ta thường lấy chu kì dương nhỏ nhất

G Các hàm số sơ cấp cơ bản và các phép toán sơ cấp

Ví dụ 1.1.4 Các hàm sơ cấp: lg(x2+ sin x),xx+13−1, cos35x

Một số mô hình hàm số trong phân tích kinh tế

được gọi là một dãy số Kí hiệu: (xn)

x n được gọi là số hạng thứ n hay số hạng tổng quát

Ví dụ: xn = 100(1 + 0.14)n có các số hạng là 114; 129.96;

1.2.1 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

Định nghĩa giới hạn của dãy sốĐịnh nghĩa 1.2.1 Ta nói dãy số xn có giới hạn là a (hay xn hội tụ đến a) nếu

Các định lí cơ bản về giới hạn của dãy số

Định lí 1.2.1 1 Giới hạn của một dãy số hội tụ là một số thực duy nhất

2 Nếu dãy số xn hội tụ thì nó bị chặn

3 Nếu xn ≥ yn và cả hai dãy xn, yn đều hội tụ thì

lim

n→+∞ xn ≥ lim

n→+∞ ynGiới hạn của dãy số đơn điệu

Định lí 1.2.2 1 Dãy số tăng và bị chặn trên thì có giới hạn hữu hạn

2 Dãy số giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn hữu hạn.

Ví dụ 1.2.1 Dãy số sau có giới hạn hữu hạn

Định nghĩa 1.2.3 1 Giới hạn bên trái

2 Giới hạn bên phải

lim

x→+∞ arctan x = π

2, x→−∞lim arctan x = −π

2 lim

x→+∞ arccotx = 0, lim

x→−∞ arccotx = πCác định lí cơ bản về giới hạn hàm số

Định lí 1.2.4 Nếu khi x → a, hàm số f (x), g(x) có giới hạn là các số thực b 1 , b 2

x + 1 + √

x)

Ta có

cos

√

x + 1 + √

x 2

x→x 0

f (x) g(x) với f (x), g(x) → 0 khi x → x0

x 2 − 12x + 11Dạng ∞∞: Tính lim

x→x 0

f (x) g(x) với f (x), g(x) → ∞ khi x → x0

Ví dụ 1.2.9 Tính giới hạn sau

lim

x→π

sin mx sin nxCác công thức giới hạn quan trọng khác

1 lim

x→0

loga(1 + x)

x = logae (0 < a 6= 1)lim

x→a

ln(1 + α(x)) α(x) = 1

2 lim

x→a

aα(x)− 1 α(x) = ln a

lim

x→a

eα(x)− 1 α(x) = 1

3 lim

x→a

(1 + α(x))β − 1 α(x) = β (β ∈R)

Ví dụ 1.3.1 Tìm a để hàm số sau liên tục tại x = 0.

CHƯƠNG 2

ĐẠO HÀM

2.1.1 KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM

A Đạo hàm của hàm số tại một điểm

Định nghĩa 2.1.1 Xét hàm số f (x) xác định trên (a; b) chứa x 0 Cho x 0 số gia

∆x và ∆y = f (x0+ ∆x) − f (x0) được gọi là số gia của hàm số ứng với số gia đối số

+ Đạo hàm bên trái của f tại x0: f−0 (x0) = lim

Quy tắc tính đạo hàm bằng định nghĩa

Vìf+0 (0) 6= f−0 (0) nên hàm số y = |x| không có đạo hàm tại x = 0

Định lí 2.1.2 Nếu hàm số f (x) có đạo hàm tại điểm x0 thì nó liên tục tại điểmđó

Chú ý 2.1.3 Điều ngược lại của định lí 2 là sai

Ví dụ: hàm số y = |x| liên tục tại x = 0 nhưng không có đạo hàm tại x = 0

2.1.2 ĐẠO HÀM CỦA CÁC HÀM SƠ CẤP CƠ BẢN

Công thức tính đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản

1.(C)0 = 0 2.(xα)0= αxα−1, (x)0 = 1 3.(ax)0 = axln a; (ex)0 = ex 4.(logax)0 = 1

x ln a, (ln x)

0 = 1x3.(sinx)0 = cosx 6.(cosx)0 = −sinx

7.(tanx)0 = 1

cos 2 x 8.(cotx)

0 = − 1sin2x 9.(arcsinx)0= √ 1

A Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương các hàm số

Định lí 2.1.4 Nếu các hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm tại điểm x0 thì:

y0(x0) = f0(u0).u0(x0)hoặc

y0x= yu0.u0x

Ví dụ 2.1.3 Tính đạo hàm của hàm số y = 2sin 2x

Lời giải:

y0 = 2sin 2x(ln 2)(sin 2x)0= (ln 2)2sin 2x.2 cos 2x = (ln 2)2sin 2x+1cos 2x

2.2.1 KHÁI NIỆM VI PHÂN VÀ LIÊN HỆ ĐẠO HÀM

A Khái niệm hàm khả vi và vi phânĐịnh nghĩa 2.2.1 Hàm f (x) được gọi là hàm khả vi tại điểm x0 nếu tồn tại sốthực k sao cho:

∆f (x0) = k∆x + o(∆x)Tích k∆x gọi là vi phân của hàm số f (x) tại điểm x0 và được kí hiệu là df (x0)

df (x 0 ) = k∆x

Ví dụ 2.2.1 Chứng minh hàm số f (x) = x3 khả vi tại điểm x bất kỳ

B Liên hệ giữa vi phân và đạo hàm

A Vi phân của tổng, hiệu, tích, thương các hàm số

Định lí 2.2.2 Nếu các hàm số u = u(x) và v = v(x) khả vi tại điểm x thì tại điểm

số khả vi theo biến t Khi đó, dy = y0t.dt = yx0dx.

2.3.1 ĐẠO HÀM CẤP CAO

Định nghĩa 2.3.1 Đạo hàm cấp n của hàm số y = f (x) là đạo hàm của đạo hàmcấp n − 1 của hàm số đó

f(n)(x) = [f(n−1)(x)]0

d(n)(y) = y(n)(dx)nChú ý: với n > 1, công thức này chỉ đúng khi x là biến độc lập.

Ví dụ 2.3.2 Vi phân cấp n của hàm số y = sin x là:

d(n)(y) = (sin x)(n)(dx)n = sin(x +nπ

v 0 (x)Chú ý:

1 Quy tắc L’Hospital có thể áp dụng nhiều lần

2 Quy tắc L’Hospital có thể áp dụng cho trường hợp giới hạn một phía

x→a f (x)g(x) với f (x) → 0, g(x) → ∞ khi x → a

Ta biến đổi để đưa về dạng vô định 00 hoặc ∞∞ như sau:

lim

x→a f (x)g(x) = lim

x→a

f (x) 1 g(x)

hoặc lim

x→a f (x)g(x) = lim

x→a

g(x) 1

f (x)

Ví dụ 2.4.2 Tính giới hạn sau

lim

x→ π 2

tan x tan(π

4 − x

2)

Dạng ∞ − ∞: Tìm lim

x→a (f (x) − g(x)) với f (x), g(x) → ∞khi x → a

Ta biến đổi để đưa về dạng vô định 00 hoặc ∞∞ như sau:

lim

x→a [f (x) − g(x)] = lim

x→a

1 g(x) − 1

f (x) 1

Dạng 1∞, ∞0: Xét lim

x→a f (x)g(x), f (x) > 0Đưa giới hạn về dạng vô định 0.∞ bằng cách viết

f (x)g(x)= eg(x) ln f (x) hoặc ln f (x)g(x)= g(x) ln f (x)

Nếu ta tìm được:

lim

x→a [g(x) ln f (x)] = Kthì lim

x→a f (x)g(x) = eK

Ví dụ 2.4.4 Tính giới hạn sau

lim

x→0+ xx2.4.2 TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

Định lí 2.4.2 (Định lí Fermat) Giả sử

1 f (x) đạt cực trị tại điểm x 0 ∈ (a; b);

2 f (x) có đạo hàm tại điểm x0

Khi đó f0(x 0 ) = 0

Nhận xét:

1 Điểm x0 mà tại đó f0(x0) = 0 gọi là điểm dừng

2 Điểm x0 mà tại đóf0(x0) = 0 hoặcf0(x0)không tồn tại thì gọi là điểm tới hạn

3 Nếu hàmf khả vi trên miền xác định thì những điểm cực trị của f phải nằmtrong số các điểm dừng

Quy tắc tìm cực trị của hàm sốBước 1 (Điều kiện cần): Tìm các điểm dừng của hàm số

Giải phương trình f0(x) = 0

Bước 2 (Điều kiện đủ )

Với x0 là một điểm dừng của f (x) và ∃n ≥ 2, n ∈ N sao cho f0(x0) = f00(x0) = =

f(n−1)(x0) = 0, f(n)(x0) 6= 0

1 Nếu n là số chẵn thì x0 là điểm cực trị

• x0 là cực đại nếu f(n)(x0) < 0

• x0 là cực tiểu nếu f(n)(x0) > 0

2 Nếu n là số lẻ thì x0 không là điểm cực trị

Ví dụ 2.4.5 Cho biết hàm lợi nhuận của nhà sản xuất như sau:

π = −1

3Q

3 + 14Q2+ 60Q − 54Tìm mức sản lượng để lợi nhuận đạt tối ưu

2.4.3 Đạo hàm và xu hướng biến thiên của hàm số

A Điều kiện cần

Nếu hàm số f (x) không giảm trên (a; b) và f (x) khả vi thì f0(x) ≥ 0.Nếu hàm số f (x) không tăng trên (a; b) và f (x) khả vi thì f0(x) ≤ 0

B Điều kiện đủ

Cho f (x) khả vi trên (a; b) Nếu tại x0 ∈ (a; b) mà

• f0(x) > 0 thì f(x) tăng trên (a; b)

• f0(x) < 0 thì f(x) giảm trên (a; b)

CHƯƠNG 3

HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ

VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN

3.1.1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN

Định nghĩa 3.1.1 Hàm hai biến f có tập xác định trên D ⊂ R2 là một quy tắccho tương ứng mỗi cặp điểm (x, y) ∈ D một và chỉ một số thực z ∈R

Kí hiệu: z = f (x, y)

Số thực z gọi là giá trị hàm số f tại điểm M (x, y)

Miền xác định của hàm số hai biến

MXĐ của hàm số hai biếnf (x, y) là tập hợp tất cả các cặp số thực (x0, y0)mà biểuthức có nghĩa khi ta gán x = x0, y = y0

Miền giá trị của hàm số hai biến

MGT của hàm số z = f (x, y) là tập hợp tất cả các giá trị của hàm số khi M (x, y)thay đổi trong MXĐ

Ví dụ 3.1.1 Tìm miền xác định và miền giá trị của hàm số: z =p9 − x 2 − y 2

Đồ thị của hàm hai biến

Đồ thị hàm số z = f (x, y) là tập hợp tất cả các điểm P (x, y, z) trong khônggian, trong đó M (x, y) ∈ D G = {(x, y, z) ∈R3|z = f (x, y), (x, y) ∈ D}

Hàm số n biến số

Các khái niệm tương tự như với hàm hai biến số

Một số hàm nhiều biến số trong kinh tế

n→+∞ yn = b

Ví dụ 3.1.2 Tìm giới hạn của dãy điểm Mn −n2,n2n−12 khi n → +∞.

Định nghĩa 3.1.3 Cho hàm số z = f (x, y) có MXĐ D và A(a, b)

Số L (hữu hạn hoặc vô hạn) là giới hạn của z = f (x, y) khi x → a, y → b nếu vớimọi dãy điểm Mn(xn, yn) ∈ D\{A} hội tụ đến A ta đều có lim

1 Giới hạn bội (giới hạn kép)

Các quá trình x → a, y → b diễn ra đồng thời không phụ thuộc lẫn nhau

2 Giới hạn lặp

lim

x→a lim

y→b f (x, y) = F lim

y→b lim

x→a f (x, y) = EHai giới hạn lặp không nhất thiết phải bằng nhau và chúng có thể không tồn tại

Ví dụ 3.1.3 Tính các giới hạn lặp của hàm số

f (x, y) = x − y + x

2 + y2

x + y , khi x → 0, y → 0Hàm liên tục

Định nghĩa 3.1.4 Cho hàm z = f (x, y) xác định trên D và A(a, b) là một điểm tụcủa D Hàm f (x, y) gọi là liên tục tại A nếu

lim

x → 0

y → 0

f (x, y) = f (a, b)

Nếu f (x, y) không liên tục tại A thì ta nói f (x, y) gián đoạn tại A.

3.1.3 Đạo hàm riêng và vi phân

Đạo hàm riêng

Định nghĩa 3.1.5 (Số gia) Cho hàm sốz = f (x, y)xác định trên D và (x0, y0) ∈ D

• ∆x = x − x0 gọi là số gia của biến x

• ∆y = y − y0 gọi là số gia của biến y

• Khi y = y0 không đổi, x thay đổi thì số gia riêng của f (x, y) theo biến x là

∆x nếu giới hạn này tồn tại hữu hạn

• Đạo hàm riêng của hàm z = f (x, y) theo biến y được kí hiệu: ∂f (x,y)∂y hoặc fy0 làlim

∆y→0

f (x,y+∆y)−f (x,y)

∆y nếu giới hạn này tồn tại hữu hạn

Nhận xét: Khi tính các đạo hàm riêng ta chỉ cần áp dụng các công thức vàcác quy tắc tính đạo hàm của hàm 1 biến và coi các biến còn lại là hằng số

Ví dụ 3.1.4 Tính đạo hàm riêng của các hàm số sau

1 z = x2y3+ 2x − 3y + 2x sin y − 3y cos2x tại M1(0, 0) và M2(0, π)

2 z = ln x2y3+ e2x+4y + 12

Định nghĩa 3.1.7 Hàm sốz = f (x1, x2, , xn) có n đạo hàm riêng theo từng biến.

• Đạo hàm riêng của hàm h theo biến x là

• Đạo hàm riêng của hàm h theo biến y là

Ví dụ 3.1.6 Cho hàm h = u3+ uv − v2, u = xy + x2, v = y3− xy

Tính ∂h∂x,∂h∂y

Lời giải:

∂h

∂x = ∂h∂u.∂u∂x +∂h∂v.∂v∂x = (3u2+ v).(y + 2x) + (u − 2v).(−y)

= [3(xy + x2)2+ y3− xy](y + 2x) − y[xy + x 2 − 2(y 3 − xy)]

∂h

∂y = ∂h∂u.∂u∂y +∂h∂v.∂v∂y = (3u2+ v).x + (u − 2v).(3y2− x)

= x[3(xy + x2)2+ y3− xy] + [xy + x 2 − 2(y 3 − xy)](3y 2 − x)

Vi phânĐịnh nghĩa 3.1.8 Cho hàm số z = f (x, y) xác định trên D và có các đạo hàmriêng liên tục tại (x0, y0) ∈ D Biểu thức fx0(x0, y0)∆x + fy0(x0, y0)∆y gọi là vi phântoàn phần của f (x, y) tại (x0, y0) Kí hiệu: dz hoặc df (x0, y0)

Vậy df (x , y ) = f0(x , y )∆x + f0(x , y )∆y

Định nghĩa 3.1.9 • Vi phân riêng của f (x, y) theo biến x là vi phân có đượckhi coi y là hằng số.

Đạo hàm riêng cấp cao

Định nghĩa 3.1.10 Giả sử z = f (x, y) xác định trên D và có các đạo hàm riêngcấp 1 fx0, fy0 là các hàm hai biến mới trong D Các đạo hàm riêng của chúng (nếutồn tại) được gọi là đạo hàm riêng cấp 2 của f (x, y)

Kí hiệu: fx002 , fy002 , fxy00 , fyx00

Nhận xét:

Hàm n biến z = f (x 1 , x 2 , , x n ) có n2 đạo hàm riêng cấp 2

Ví dụ 3.1.9 Tính các đạo hàm riêng cấp 2 của hàm số sau

z = x2y3+ lnxy + 2x − 4yĐịnh lí 3.1.3 (Định lí Schwarz) Cho hàm số z = f (x, y) xác định trên D và

M (a, b) ∈ D Nếu các đạo hàm fxy00 , fyx00 tồn tại trên D và liên tục tại (a, b) thì

fxy00 = fyx00

Định nghĩa 3.1.11 Vi phân cấp 2 của hàm hai biến z = f (x, y) là

d2f (x, y) = fx002 (dx)2+ 2fxy00 dxdy + fy002 (dy)2

Định nghĩa cực trịĐịnh nghĩa 3.2.1 • Hàmf (x, y)đạt cực đại tại(a, b)nếuf (a, b) ≥ f (x, y), ∀(x, y)nằm trong đường tròn không biên có tâm (a, b)

• Hàm f (x, y) đạt cực tiểu tại (a, b) nếuf (a, b) ≤ f (x, y), ∀(x, y) nằm trong đườngtròn không biên có tâm (a, b)

Điểm cực đại, cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị

3.2.1 CỰC TRỊ KHÔNG CÓ ĐIỀU KIỆN RÀNG BUỘC

Phương pháp tìm cực trị hàm hai biến z = f (x, y)B1 Điều kiện cần

Tìm các điểm dừng bằng cách giải hệ

(

fx0 = 0

fy0 = 0B2 Điều kiện đủ

Giả sử fx0(I) = 0, fy0(I) = 0

Tìm a11 = fx002 (I), a22= fy002 (I), a12= fxy00 (I)

Đặt D(I) = a11.a22− a 2

12

• Nếu D(I) > 0, a11> 0 thì I là cực tiểu

• Nếu D(I) > 0, a11< 0 thì I là cực đại

• Nếu D(I) < 0 thì I không phải là cực trị

• Nếu D(I) = 0 thì chưa kết luận được gì

Ví dụ 3.2.1 Tìm các điểm cực trị của hàm số

z = x4+ y4− 4xy + 1Lời giải:

Bước 1: Điều kiện cần

Vậy M 3 (−1, −1) là điểm cực tiểu

Ví dụ 3.2.2 Giả sử một công ti sản xuất hai loại sản phẩm có sản lượng Q1, Q2với mức giá lần lượt p1 = 160, p2 = 120 và hàm chi phí là T C(Q1, Q2) = 3Q21 + 2Q1Q2+ 2Q22+ 10 Đơn vị: sản lượng tính bằng tấn, giá: triệu đồng trên 1 tấnTìm mức sản lượng để công ti đạt lợi nhuận tối đa

Phương pháp nhân tử LagrăngBài toán

Tìm các điểm cực trị của hàm số w = f (x, y)

Với điều kiện: g(x, y) = b

Xuất phát từ bài toán, ta lập hàm Lagrăng

L(x, y, λ) = f (x, y) + λ[b − g(x, y)]

Biến phụ λ gọi là nhân tử Lagrăng

Phương pháp nhân tử Lagrăng

Gọi (x0, y0, λ0) là một điểm dừng của hàm số Lagrăng

Tính định thức

D =

... yx0dx.

2.3.1 ĐẠO HÀM CẤP CAO< /small>

Định nghĩa 2.3.1 Đạo hàm cấp n hàm số y = f (x) đạo hàm đạo hàmcấp n − 1 hàm số

f(n)(x)... đượckhi coi y số.

Đạo hàm riêng cấp cao

Định nghĩa 3.1.10 Giả sử z = f (x, y) xác định D có đạo hàm riêngcấp fx0,... giá trị hàm số: z =p9 − x − y 2

Đồ thị hàm hai biến

Đồ thị hàm số z = f (x, y) tập hợp tất điểm P (x, y, z)